tp-bab-9.pdf

MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 9 1

Bab 9Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: ”Harapan Tanpa

Syarat”

Ilustrasi 9.1 Misalkan banyaknya kecelakaan kerja rata-rata per minggu di suatupabrik adalah empat. Misalkan banyaknya buruh yang terluka/cedera setiap kece-lakaan adalah peubah acak yang saling bebas dengan mean dua. Asumsikan bahwabanyaknya buruh yang terluka di setiap kecelakaan saling bebas dengan banyaknyakecelakaan yang terjadi. Berapa banyak orang terluka rata-rata per minggu?

Ilustrasi 9.2 Seorang petambang terjebak dalam suatu areal pertambangan yangmemiliki tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah terowongan agarselamat dalam waktu dua jam. Pintu kedua dan ketiga akan membawanya ke terowon-gan yang kembali ke areal pertambangan dalam tempo masing-masing tiga dan limajam. Asumsikan bahwa sang petambang selalu memilih pintu dengan acak, berapalama waktu rata-rata yang dibutuhkan untuk dia agar selamat?

Ilustrasi 9.3 Seorang narapidana terjebak dalam suatu sel penjara yang memiliki tigapintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah terowongan dan kembali ke seldalam waktu dua hari. Pintu kedua dan ketiga akan membawanya ke terowongan yangkembali ke sel dalam tempo masing-masing empat dan satu hari. Asumsikan bahwasang napi selalu memilih pintu 1, 2, dan 3 dengan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lamawaktu rata-rata (expected number of days) yang dibutuhkan untuk dia agar selamat?

FUNGSI PELUANG BERSYARAT

Definition 9.1Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. Jika pX(x) > 0 makafungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X = x (notasi: pY |X(y|x)), adalah

pY |X(y|x) =pX,Y (x, y)

pX(x), ∀y ∈ R

Jika pX(x) = 0, kita definiskan pY |X(y|x) = 0 namun tidak dikatakan sebagai fungsipeluang bersyarat.Catatan: Fungsi peluang bersyarat adalah fungsi peluang!

Proposisi 9.1Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. Kedua peubah acak inidikatakan saling bebas (independen) jika dan hanya jika

pX,Y (x, y) = pX(x) pY (y) ∀x, y ∈ R


Contoh/Latihan.

1. Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan mengalami danmemiliki parameter kecelakaan. Banyaknya kecelakaan pada seseorang setiaptahun berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Perusahaan juga mendugabahwa pemegang polis baru akan memiliki parameter kecelakaan yang nilainyaadalah peubah acak gamma dengan parameter s dan α. Jika seorang pemegangpolis baru mengalami n kecelakan di tahun pertama, tentukan peluang bersyaratdari parameter kecelakaannya. Tentukan banyak kecelakaan (yang diharapkan)pada tahun berikutnya.

Solusi:Misalkan N menyatakan banyak kecelakaan per tahun yang berdistribusi Pois-son dengan mean λ, dimana Λ berdistribusi Gamma dengan parameter s dan α(Catatan: Λ adalah huruf besar dari λ).

fΛ|N (λ|n) =P (Λ = λ,N = n)

P (N = n)

=1

P (N = n)P (N = n|Λ = λ) fΛ(λ)

=1

P (N = n)

e−λ λn

n!

sα

Γ(α)λα−1 e−αλ

= C xn+α−1 e−(s+1)x,

dengan C konstanta. Fungsi peluang fΛ|N haruslah berdistribusi Gamma denganparameter s+ 1 dan n+ α. Jadi,

fΛ|N (λ|n) =(s+ 1)n+α

Γ(n+ α)xn+α−1 e−(s+1)x

Banyak kecelakaan yang diharapkan (expected number of accidents), E(Λ|N =n), adalah nilai harapapan (expected value) dari distribusi Gamma dengan pa-rameter s+ 1 dan n+ α yaitu (n+ α)/(s+ 1).

2. Banyaknya orang Z yang datang ke ruang UGD selama sejam memiliki distribusiPoisson dengan parameter λ. Peluang orang yang datang adalah laki-laki adalahp dan peluang perempuan datang adalah q. Misalkan X dan Y berturut-turutadalah banyaknya laki-laki dan perempuan yang datang ke UGD selama sejam.a. Tunjukan bahwa X ∼ POI(pλ) dan Y ∼ POI(qλ)b. Apakah X dan Y saling bebas?

Solusi:Peubah acak Z berdistribusi Poisson:

fZ(z) =e−λ λz

z!, z = 0, 1, 2, . . .


Untuk Z = z, maka kedatangan pasien laki-laki adalah peubah acak Binomialdengan parameter (z, p):

fX|Z(x|z) = Czx px (1− p)z−x, x = 0, 1, . . . , z

dan untuk pasien perempuan:

fY |Z(y|z) = Czy qx (1− q)z−y, y = 0, 1, . . . , z

Sehingga fungsi peluang bersama X dan Y diberikan Z = z:

fX,Y |Z(x, y|z) = Czx,y px qy, x+ y = z

Untuk mendapatkan fungsi peluang marginal dari X, kita hitung

fX(x) =∑z

fX,Z(x, z) =∑z

fX|Z(x|z) fZ(z)

= · · · = e−pλ (pλ)x

x!

Jadi, X ∼ POI(pλ). Dengan cara sama, kita peroleh Y ∼ POI(qλ). Selanjutnya,untuk menentukan apakah X dan Y saling bebas kita tunjukkan bahwa

fX,Y (x, y) =∑z

fX,Y,Z(x, y, z) =∑z

fX,Y |Z(x, y|z) fZ(z) = fX(x) fY (y)

3. Ketika kebakaran terjadi dan dilaporkan ke perusahaan asuransi, perusahaanasuransi tersebut segera membuat perkiraan awal X yaitu besar nilai klaim yangakan diberikan. Setelah klaim dihitung secara lengkap, perusahaan harus melu-nasi pembayaran klaim sebesar Y . Perusahaan menentukan bahwa X dan Ymemiliki fungsi peluang bersama

fX,Y (x, y) =2

x2(x− 1)y−(2x−1)/(x−1), x > 1, y > 1

a. Tentukan fX(x)b. Jika besar klaim awal yang diberikan adalah 2, tentukan peluang bahwa klaimyang diterima berikutnya adalah antara 1 dan 3.

Solusi:

a. fX(x) =

∫ ∞1

2

x2(x− 1)y−(2x−1)/(x−1) dy

= · · ·

b. P (1 < Y < 3|X = 2) =

∫ 3

1

(fX,Y (x, y)

fX(x)

∣∣∣X=2

)dy

= · · · = 8/9


DISTRIBUSI FUNGSI P.A., DISTRIBUSI X1 +X2

Misalkan X berdistribusi Uniform pada selang (0, 1). Misalkan Y = Xn. Maka

FY (y) = P (Y ≤ y)

= P (Xn ≤ y)

= P (X ≤ y1/n)

= FX(y1/n) = y1/n

dan fungsi peluang dari Y adalah

fY (y) = (1/n) y1/n−1, 0 ≤ y ≤ 1

Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang fX . Misalkan Y = X2,

FY (y) = P (Y ≤ y) = P (X2 ≤ y)

= P (−√y ≤ X ≤ √y)

= FX(√y)− FX(−√y)

dan fungsi peluangnya adalah

fY (y) =1

2√y

(fX(√y)− fX(−√y)

)

Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak positif saling bebas. Misalkan (i) Z =X/Y (ii) Z = XY , maka

FZ(z) = P (Z ≤ z) = P (X/Y ≤ z)= P (X ≤ zY )

=

∫ ∞0

∫ zy

0fX(x) fY (y) dx dy

=

∫ ∞0

fY (y)

∫ zy

0fX(x) dx dy

=

∫ ∞0

fY (y)FX(zy) dy

dan fungsi peluangnya:

fX/Y (z) = · · · =∫ ∞

0y fY (y) fX(zy) dy

Misalkan X dan Y saling bebas dan kita ingin menentukan fungsi distribusi dan fungsi


peluang X + Y ,

FZ(z) = P (Z ≤ z) = P (X + Y ≤ z)= P (X ≤ zY )

=

∫ ∞−∞

∫ z−y

−∞fX(x) fY (y) dx dy

=

∫ ∞−∞

∫ z−y

−∞fX(x) dx fY (y) dy

=

∫ ∞−∞

FX(z − y) fY (y) dy,

dimana fungsi distribusi FX+Y ini disebut “konvolusi” dari distribusi FX dan FY .Fungsi peluangnya adalah

fX+Y (z) =d

dz

∫ ∞−∞

FX(z − y) fY (y) dy

=

∫ ∞−∞

d

dzFX(z − y) fY (y) dy

=

∫ ∞−∞

fX(z − y) fY (y) dy

Tentukan distribusi dari X + Y jika X dan Y peubah acak-peubah acak saling bebasberdistribusi (i) Uniform(0, 1) (ii) Poisson dengan parameter λi.

EKSPEKTASI BERSYARAT

Definisi 9.2Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluangbersama fX,Y (x, y). Jika fX(x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X = xadalah ekspektasi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x,

E(Y |X = x) =

∫ ∞−∞

yfX,Y (x, y)

fX(x)dy =

∫ ∞−∞

y fY |X(y|x) dy

Proposisi 9.2Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluangbersama fX,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka

E(Y ) =

∫ ∞−∞

E(Y |X = x) fX(x) dx

atauE(Y ) = E(E(Y |X = x))


Definisi 9.3Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluangbersama fX,Y (x, y). Jika fX(x) > 0 maka variansi bersyarat dari Y diberikan X = xadalah variansi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x,

V ar(Y |X = x) = E((Y − E(Y |X = x)

)2∣∣∣X = x)

Proposisi 9.3Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluangbersama fX,Y (x, y). Misalkan variansi dari Y hingga. Maka

V ar(Y ) = E(V ar(Y |X = x)) + V ar(E(Y |X))

Bukti.

...

Latihan.

1. Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi eluang bersama

f(x, y) = e−x(y+1), 0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ e− 1

a. Tentukan fY (y)b. Hitung P (X > 1|Y = 1

2)c. Hitung E(X|Y = 1

2)

Solusi:

P (X > 1|Y =1

2) =

∫ ∞1

e−x(y+1)

1/(y + 1)dx

=

∫ ∞1

3

2e−

32x dx

= e−3/2

2. K meninggalkan kantor setiap hari kerja antara pukul 6-7 malam. Jika dia pergit menit setelah pukul 6 maka waktu untuk mencapai rumah adalah peubah acakberdistribusi Seragam pada selang (20, 20 + (2t)/3). Misalkan Y adalah banyakmenit setelah pukul 6 dan X banya menit untuk mencapai rumah, berapa lamawaktu mencapai rumah?

Solusi:Y ∼ U(0, 60), X|Y = y ∼ U(20, 20 + (2y)/3).

E(X) =

∫ 60

0E(X|Y = y) fY (y) dy = 30


3. E(X1 +X2|X1)

4. Jika X dan Y peubah acak-peubah acak Poisson saling bebas dengan parameterλx dan λy, tentukan E(X|X + Y = n). Bagaimana jika X dan Y berdistribusiGeometrik identik dengan parameter p?

KOVARIANSI dan KORELASI

Kita ketahui bahwa jika X dan Y saling bebas maka

fX,Y (x, y) = fX(x) gY (y),

Akibatnya,E(XY ) = E(X)E(Y )

Konsekuensi ini juga berlaku untuk setiap fungsi g dan h,

E(g(X)h(Y )

)= E

(g(X)

)E(h(Y )

)Definisi 9.4Kovariansi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan Cov(X,Y ), adalah

Cov(X,Y ) = E((X − E(X)

) (Y − E(Y )

))Catatan: Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y ) = 0 (implikasi).

Sifat-sifat kovariansi

• Cov(X,Y ) = Cov(Y,X)

• Cov(X,X) = V ar(X)

• Cov(aX, Y ) = aCov(X,Y )

• Cov(∑n

i=1 Xi,∑m

j=1 Yj

)=∑n

i=1

∑mj=1 Cov(Xi, Yj)

Bukti.

Perhatikan bahwa:

V ar

(n∑i=1

Xi

)= Cov

n∑i=1

Xi,

n∑j=1

Xj

=

n∑i=1

n∑j=1

Cov(Xi, Xj)

=n∑i=1

V ar(Xi) +∑∑

i 6=jCov(Xi, Xj)


Korelasi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan ρ(X,Y ), didefinisikan sebagai

ρ(X,Y ) =Cov(X,Y√

V ar(X)V ar(Y ),

asalkan V ar(X) dan V ar(Y ) bernilai positif. Dapat ditunjukkan pula bahwa

−1 ≤ ρ(X,Y ) ≤ 1

Koefisien korelasi adalah ukuran dari derajat kelinieran antara X dan Y . Nilai ρ(X,Y )yang dekat dengan +1 atau −1 menunjukkan derajat kelinieran yang tinggi. Nilai posi-tif korelasi mengindikasikan nilai Y yang cenderung membesar apabila X membesar.Jika ρ(X,Y ) = 0 maka dikatakan X dan Y tidak berkorelasi.

Latihan.

1. Tunjukkan bahwaCov(X,E(Y |X)) = Cov(X,Y )

2. Misalkan X peubah acak normal standar dan I (bebas dari X) sdh

P (I = 1) = P (I = 0) = 1/2

. DidefinisikanY = X, jika I = 1

Y = −X, jika I = 0

Tunjukkan bahwaCov(X,Y ) = 0

tp-bab-9.pdf

Documents