tipe-tipe matrix
TRANSCRIPT
JENIS-JENIS MATRIKS
Budi MurtiyasaJurusan Pendidikan Matematika
Universitas Muhammadiyah Surakarta2008
design by budi murtiyasa ums 2008
JENIS-JENIS MATRIKS
Matriks Echelon
(i) setiap baris yang semua unsurnya nol (jika ada) terletak sesudah baris yang mempunyai unsur tidak nol
(ii) pada setiap baris yang mempunyai elemen tidak nol; elemen tidak nol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen tidak nol baris sebelumnya.
E = F = G =
4000
2700
0231
Elemen (unsur) tidak nol pertama dari suatu baris disebut unsur utama atau elemen pivot
3, -7, 4 disebut elemen pivot dr matriks E; 2, 9 elemen pivot matriks F;1, 7, 4 elemen pivot matriks G.
design by budi murtiyasa ums 2008
Matriks Segitiga
Untuk setiap matriks persegi A berdimensi nxn
•Matriks segitiga atas, jika untuk semua i > j, aij = 0.
A =
nn
n
n
a
aa
aaa
...00
......00
...0
...
222
11211
B =
400
110
032C =
0000
7300
5100
3012
•Matriks segitiga bawah, jika untuk semua i < j, aij = 0.
A =
nnnn aaa
aa
a
...
0.........
0...
0...0
21
2221
11
H =
907
031
002
K =
7400
0310
0021
0003
design by budi murtiyasa ums 2008
Matriks Diagonal
Matriks persegi A berdimensi nxn dengan aij = 0 untuk semua i > j dan i < j.
D =
nnd
d
d
..00
0..00
0..0
0..0
22
11
D = diag(d11, d22, …, dnn)
D =
5000
0000
0070
0004
Atau D = diag(4,7,0,-5)
Jika D = diag(d11, d22, …, dnn) dengan d11 = d22 = … = dnn = k, maka matriksnya disebut matriks skalar
S =
400
040
004
design by budi murtiyasa ums 2008
Matriks Identitas
Dari matriks skalar jika k = 1, matriknya disebut matriks identitas.
I2 =
10
01I3 =
100
010
001
Andaikan B =
50
24
13
B I2 = B Dan I3 B = B
Matriks Komutatif
Dua matriks persegi A dan B yg berdimensi sama disebut komutatif (commute) jika berlaku AB = BA.
Sebaliknya, disebut anti komutatif (anti-commute) jika berlaku
AB = - BA. design by budi murtiyasa ums 2008
Matriks Periodiks
Matriks persegi A yang berlaku Ak+1 = A, dengan k bilangan bulat postip.
Untuk k = 1, berarti A2 = A, maka A disebut idempoten.
Matriks Nilpoten
Matriks persegi A yang berlaku Ap = 0, untuk p bilangan bulat positip.
Matriks Invers
Andaikan A dan B dua matriks persegi berdimensi sama sehingga berlaku :AB = BA = I, maka B disebut invers A, atau A invers B.
B = A-1 A A-1 = A-1 A = I
A = B-1 B-1 B = B B-1 = I
design by budi murtiyasa ums 2008
Matriks yang mempunyai invers disebut matriks nonsingular atau matriks yang invertibel.
Matriks involuntory
Matriks persegi A sedemikian hingga berlaku A2 = I.
Sifat : (A-1)-1 = A
(AB)-1 = B-1 A-1
design by budi murtiyasa ums 2008
Tranpose Matriks
Matriks A = (aij) berdimensi mxn, tranposenya adalah AT = (aji) yg berdimensi nxm.
Sifat-sifat :
1. (AT)T = A
2. (A + B)T = AT + BT
3. (AB)T = BT AT
design by budi murtiyasa ums 2008
Matriks Simetri
Matriks persegi A = (aij) sehingga berlaku AT = A. aij = aji
Untuk sembarang matriks persegi A, berlaku : (A + AT) adalah simetri
Untuk sembarang A berdimensi mxn, maka (A AT) adalah simetri.
Matriks Simetri Miring
Matriks persegi A = (aij) sehingga berlaku AT = -A. aij = - aji
Untuk sembarang matriks persegi A, berlaku : (A – AT) adalah simetri miring
design by budi murtiyasa ums 2008
Conjugate Matriks
Matriks dengan elemen-elemen bilangan kompleks
A = (aij) )( ijaA
A =
iii
ii
96237
85432
iii
iiA
96237
85432
Sifat-sifat :
1. AkkA
2. AA
3. BABA )(
4. BAAB )(
5. )()( TT AA
Catatan : Notasi )()( TT AA AH
design by budi murtiyasa ums 2008
Jika A dan B conformable untuk operasi penjumlahan atau perkalian :
1. (AH)H = A
2. (kA)H = AHk
3. (A + B)H = AH + BH
4. (AB)H = BH AH
design by budi murtiyasa ums 2008
Matriks Hermitian
Matriks persegi A sedemikian hingga AH = A.
A = A =
AH = = A
Untuk sembarang matriks persegi A berlaku (A + AH) adalah Hermitian
design by budi murtiyasa ums 2008
Matriks Skew-Hermitian (Hermitian Miring)
Matriks persegi A sedemikian hingga AH = – A.
A = A =
AH = = –A
Untuk sembarang matriks persegi A berlaku (A – AH) adalah Skew-Hermitian
design by budi murtiyasa ums 2008
Matriks Ortogonal
Matrik persegi A sedemikian hingga A AT = I = AT A.
Karenanya, jika A ortogonal maka A-1 = AT
B =
B BT = I ; jadi B ortogonal
design by budi murtiyasa ums 2008
Matriks Uniter
Matrik persegi A sedemikian hingga A AH = I = AH A.
Karenanya, jika A uniter maka A-1 = AH
design by budi murtiyasa ums 2008
Matriks Normal
Matrik persegi A sedemikian hingga A AT = AT A.
Matrik persegi A sedemikian hingga A AH = AH A.
design by budi murtiyasa ums 2008