matematika i matrix dan determinan

25
MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN RETNO ANGGRAINI

Upload: reese-lynch

Post on 31-Dec-2015

94 views

Category:

Documents


1 download

DESCRIPTION

MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN. RETNO ANGGRAINI. Definisi Matrix. Matrix adalah kumpulan angka yang disusun berdasarkan baris dan kolom 1 3 5 2 4 6 Ordo Matrix adalah ukuran matrix yang menunjukkan jumlah baris dan jumlah kolom - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

MATEMATIKA IMATRIX DAN DETERMINAN

RETNO ANGGRAINI

Page 2: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

Definisi Matrix

Matrix adalah kumpulan angka yang disusun berdasarkan baris dan kolom

1 3 5 2 4 6Ordo Matrix adalah ukuran matrix yang

menunjukkan jumlah baris dan jumlah kolom

Contoh : {A} dgn ordo 2x3 = memiliki 2 baris dan 3 kolom

{ }

Page 3: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

OPERASIONAL MATRIX

PENJUMLAHAN MATRIX : {A} +{B} yaitu penjumlahan antar dua atau lebih

matrix dgn ordo matrix yg samaPENGURANGAN MATRIX : {A}-{B} yaitu penguranan antar dua atau lebih

matrix dgn ordo matrix yg samaPERKALIAN MATRIX 1. Dengan skalar : n.{A} 2. Antar Matrix : {A}.{B}

Page 4: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

Membentuk matrix

Contoh dlm Sistem Persamaan linear

20 x1 + 3 x2 = 3

10 x1 - 5 x2 = 5

maka dapat dibentuk matrix

20 3 x1 3

10 -5 x2 5{ } } }{ {=

Page 5: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

ILMU HITUNG MATRIX

Penjumlahan Matrix {A}+{B} = {C}Pengurangan Matrix {A} – {B} = {C}Perkalian Matrix dengan skalar n.{A} = {nA)}Perkalian antar matrix {A}x{B} = {C}

Page 6: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

SIFAT PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIX

{A} + {B} = {B} + {A}{A} + ({B}+{C}) = ([A}+{B}) + {C}{A} + 0 = {A}{A} + {-A} = 0{A} – {B} ≠ {B} – {A}{A} - ({B}-{C}) ≠ ([A}-{B}) - {C}{A} - 0 = {A}

Page 7: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

MATRIX KHUSUS

Matrix segitiga

a. Segitiga Atas

b. Segitiga BawahMatrix Diagonal

Matrix Identitas

1 2 30 1 40 0 5{

{}

1 0 02 1 03 2 0

}1 0 00 5 00 0 4

{ }

}1 0 00 1 00 0 1{

Page 8: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

SIFAT PERKALIAN MATRIX

PERKALIAN SKALAR

c({A}+{B}) = c{A} + c{B}

(c+k) {A} = c{A} + k{A}

c(k{A}) = (ck) {A}

{I} {A} = {A}

PERKALIAN MATRIX

(k{A}){B} = k (AB) = A (kB)

A(BC) = (AB) C

(A+B) C = AC + BC

C (A+B) = CA + CB

AB ≠ BA

AB = 0 bukan berarti A atau

B atau keduanya = 0

Page 9: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

TRANSPOSE MATRIX

Tranpose matrix adalah penukaran posisi pada matrix. Baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris

{A} bxk : {A}T = {A} kxb

Contoh : 1 2 32 4 53 6 7

{A} = { {} { A }T=

1 2 32 4 63 5 7

}

Page 10: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

SIFAT TRANSPOSE MATRIX

(A+B)T = AT + BT

(AT)T = A(A)T = (A)T (AB)T =BT AT

Page 11: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

INVERS MATRIX

Invers matrix adalah kebalikan dari suatu matrix

Disimbolkan {A}-1 = Dimana {A}-1 = {adjoin}

1A

1 Det

Page 12: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

DETERMINAN

Determinan merupakan besaran skalar yang berhubungan dengan matrix

Disimbolkan det{A) atau IAI

Matrix ordo 2x2

{A} = { }

det{A} = ad – bc Matrix ordo 3x3

{A} = { }

det{A} = I I

dgn ke kanan + kekiri -

a b c d

a b cd e fg h i

a b cd e fg h i

a bd eg h

Page 13: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

CONTOH DETERMINAN

Page 14: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

METODE PERHITUNGAN DETERMINAN

MATRIX ORDO 2X2

ad - bc MATRIX ORDO 3X3

aturan sarrus : perkalian menyilang. Dgn pemberian tanda arah kekanan (+) arah kekiri (-)

MATRIX ORDO NXN

- Ekspansi Baris

- Ekspansi Kolom

Page 15: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

Ekspansi BarisMereduksi salah satu baris untuk

memperkecil ordo matrix, guna menentukan matrix minor dan menghitung determinan dari matrix

Contoh reduksi baris

2 3 43 5 64 6 8

3 5 64 6 8

Mereduksi baris kedua Untuk kemudian dijadikanPivot untuk perhitungan determinan

{ {} }

2 3 43 5 64 6 8{ {2 3 4

• 6 8} }

Mereduksi baris pertama Untuk kemudian dijadikanPivot untuk perhitungan determinan

Page 16: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

Determinan dgn Metode Ekspansi Kolom

Jika suatu matrix {A} =

Maka Determinan dari matrix {A} dengan reduksi kolom pertama adalah :

IAI = ∑ aji.(-1)i+j Aji

dimana :

aji nilai matrix pada posisi ij yang direduksi

Aji matrix yang telah terduksi

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

{ }

Page 17: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

Contoh

Page 18: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

Ekspansi KolomMereduksi salah satu kolom untuk

memperkecil ordo matrix, guna menentukan matrix minor dan menghitung determinan dari matrix

Contoh reduksi kolom

2 3 43 5 64 6 8

2 33 54 6

Mereduksi kolom pertama Untuk kemudian dijadikanPivot untuk perhitungan determinan

{ {} }

2 3 43 5 64 6 8{ {

3 45 66 8} }

Mereduksi kolom ketiga Untuk kemudian dijadikanPivot untuk perhitungan determinan

Page 19: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

Determinan dgn Metode Ekspansi Baris

Jika suatu matrix {A} =

Maka Determinan dari matrix {A} dengan reduksi baris pertama adalah :

IAI = ∑ aij.(-1)i+j Aij

dimana :

aij nilai matrix pada posisi ij yang direduksi

Aij matrix yang telah terduksi

{ A } =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

{ }

Page 20: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

Contoh

Page 21: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

SIFAT SIFAT DETERMINAN

Harga determinan akan tetap walaupun posisi matrix berubah baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris (Transpose matrix)

Jika dua baris atau kolom di tukarkan tempatnya maka nilainya menjadi (-)

Jika ada dua baris/kolom yang identik maka harga determinannya akan = 0

Jika elemen salah satu baris atau kolom semua dikalikan dengan faktor yang sama maka nilai determinanya pun akan dikalikan dgn faktor yang sama pula

Jika elemen salah satu baris/kolom ditambah/dikurangi dgn kelipatan elemen baris atau kolom lain maka nilai determinannya akan tetap

Page 22: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

ADJOIN MATRIX BUJUR SANGKAR

Matrix yang berkenaan dengan perhitungan invers matrix

Langkah pembentukan adjoint matrix

1. Membentuk matrix Kofaktor {C}

2. Mentranspose matrix kofaktor {C}T

A11 A12 A13A21 A22 A32A31 A32 A33

{C} = { }

A11 A21 A31A12 A22 A32A13 A23 A33

{C}T ={ }

Page 23: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

Contoh

Page 24: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

INVERS MATRIX

Merupakan kebalikan dari matrix Invers Matrix = {A}-1 = Pembentukan Invers Matrix 1. Hitung determinan A = IAI 2. Bentuk matrix C yg elemenya adalah kofaktor elemen IAI 3. Bentuk Transpose matrix C = {C}T

4. Membagi dgn determinan A = IAI 5. Akan terbentuk invers matrix

1 det

{adjoin}

Page 25: MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

Contoh