ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM)Endah Wahyuni, S.T., M.Sc., Ph.DMat rikulasi S2 Bidang Keahlian St rukt urJurusan Teknik Sipil2011ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisa struktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan, matriks perpindahan, dan matriks gaya. Dengan menggunakan hubungan :{ P } =[ K ] { U } dimana :{ P } =matriks gaya[ K ] =matriks kekakuan{ U } =matriks perpindahan Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitu dengan menggunakan Metode Kekakuan. Pada Metode Kekakuan, variable yang tidak diketahui besarnya adalah : perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi) sudah tertentu/pasti. Jadi jumlah variable dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaktentuan kinematis struktur. Metode Kekakuan dikembangkan dari persamaan kesetimbangan titik simpul yang ditulis dalam : Koefisien Kekakuan dan Perpindahan titik simpul yang tidak diketahui .Types of Elements Spring elements Truss elements (plane & 3D) Beam elements (2D &3D) Plane Frame Grid elements Plane Stress Plane Strain Axisymmetric elements Plate ShellDegrees of Freedom (DOF) Derajat kebebasan yang dimiliki oleh suatu struktur. Tiap jenis elemen akan mempunyai jumlah dan jenis kebebasan tertentu.Hitung derajat kebebasan element dari jenis element yang disebutkan sebelumnyaMetode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method)matriks kekakuan U1, P1 U2, P2 { P }= [ K ] { U } U3, P3 U4, P4gaya perpindahan P1K11 K12 K13 K14 U1 P2K21 K22 K23 K24 U2 P3K31 K32 K33 K34 U3 P4K41 K42 K43 K44 U4 1 12 = P1=K11. U1+K12. U2 +K13. U3+K14 . U4Kesetimbangan gayadi arah U1P2=K21. U1 +K22. U2 +K23. U3 +K24. U4 Kesetimbangan gaya di arah U2P3=K31. U1 +K32. U2 +K33. U3 +K34. U4 Kesetimbangan gaya di arah U3P4=K41. U1 +K42. U2 +K43. U3 +K44. U4 Kesetimbangan gaya di arah U4 Jika U1 =1danU2= U3= U4= 0 , maka :P1 = K11; P2 = K21 ; P3 = K31 ; P4 = K41Lihat Gambar (a) Jika U2 =1danU2= U3= U4= 0 , maka :P1 = K12; P2 = K22 ; P3 = K32 ; P4 = K42Lihat Gambar (b) Jika U3 =1danU2= U3= U4= 0 , maka :P1 = K13; P2 = K23 ; P3 = K33 ; P4 = K43Lihat Gambar (c) Jika U4 =1danU2= U3= U4= 0 , maka :P1 = K14; P2 = K24 ; P3 = K34 ; P4 = K44Lihat Gambar (d)U1 = 1 P1 = K11P2 = K21P3 = K31P4 = K41U1 = 1 P1 = K11P2 = K21P3 = K31P4 = K41U1 = 1 P1 = K11P2 = K21P3 = K31P4 = K41U1 = 1 P1 = K11P2 = K21P3 = K31P4 = K41Matrix kekakuan: K11 K12 K13 K14

K21 K22 K23 K24

K31 K32 K33 K34

K41 K42 K43 K44 2 3 2 3LEI 6

LEI 12- LEI 6

LEI 12 LEI 2 LEI 6-LEI 4 LEI 62 2

2 3 2 3LEI 6- LEI 12 LEI 6

LEI 12- Matriks Kekakuan LEI 4 LEI 6-LEI 2 LEI 62 2 Gambar(a) (b)(c) (d) K= K = Jika pada batang bekerja gaya aksial : L, EA K11 = LEA K21 = LEA U1, P1 U2, P2

U3, P3 U4, P4 U1,P1 U2,P2 U1= 1 K12 = - LEA U2= 1 K22 =LEA 1 1 2 Matriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial :

6 x 6 K = 2 3 2 3LEI 6 LEI 12- 0 LEI 6

LEI 120LEI 2

LEI 6-0 LEI 4

LEI 602 22 3 2 3LEI 6-LEI 120 LEI 6 LEI 12 0 - LEI 4

LEI 6-0 LEI 2 LEI 602 20 0 LEA- 0 0LEA0 0LEA-0 0LEAContohq Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar 1 1 2 23 L, EIL, EI Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen Menentukan matriks tujuanDOF : 22 rotasi Matriks kekakuan struktur [ Ks ]2 x 2 Membuat matrik kekakuan elemen : [ Ks ]= [ K1 ]+ [ K2 ] 12 3 0 1 2 0 0 0 12 1 2 3 0 0 0 12 0 11 2 0 Membuat matrik kekakuan elemen : Elemen 10 0 01 2 3 2 3LEI 6

LEI 12- LEI 6

LEI 120 LEI 2 LEI 6-LEI 4 LEI 62 20

2 3 2 3LEI 6- LEI 12 LEI 6

LEI 12- 0 LEI 4 LEI 6-LEI 2 LEI 62 21 K1 = [ K1 ] =Matriks Tujuan{ T1 } = { 0001 }T 0LEI 4 2 x 20 0 Elemen 20 1 02 2 3 2 3LEI 6

LEI 12- LEI 6

LEI 120 LEI 2 LEI 6-LEI 4 LEI 62 21

2 3 2 3LEI 6- LEI 12 LEI 6

LEI 12- 0 LEI 4 LEI 6-LEI 2 LEI 62 22 Matriks Tujuan{ T2 } = { 0102 }T 2 x 2 K2 = [ K2 ] = LEI 4

LEI 2LEI 2

LEI 4= + 0 0 = Matriks Kekakuan Global Struktur [ Ks ]= [ K1 ]+ [ K2 ]

[ Ks ] 2 x 2 LEI 4

LEI 2LEI 2

LEI 40LEI 4LEI 4

LEI 2LEI 2

LEI 8Untukmendapatkandeformasiujung-ujungaktifstruktur,makadigunakan hubungan : { Ps } = [ Ks ] { Us }{ Us }=[ Ks ]-1{ Ps } dimana : Us =deformasi ujung-ujung aktif Ks=kekakuan struktur Ps=gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi) q 0 0 Untuk contoh di atas, maka : Ps= Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1 [ Ks ] = [ Ks ]-1=82 -2 -4 EIL 2 . 2 - 4 . 81((

=8 2 -2 - 4

EI 28L((

Jadi:{ Us }=[ Ks ]-1{ Ps } Us=8 2 -2 - 4

EI 28L((

2L q1212L q121LEI 4

LEI 2LEI 2

LEI 82L q1212L q1212L q1212L q121U11 U12 U13 U14 0 0 0 U21 U22 U23 U24 0 0 Us= EI 28L Us = Deformasi untuk masing-masing elemen Elemen 1 : U1 = = Elemen 2 : U2 = = 2 2L q61 - L q312 2L q64 L q61+EIL q 16833EIL q 16853Rotasi di joint 2 Rotasi di joint 3 EIL q 16833EIL q 16833EIL q 16853q 0 0 0 0 0 0 PR2 =PR1= Reaksi akibat beban luar :

2L q1212L q121 2L q 2L q2L q1212L q121 2L q 2L q0 0 0 0 0 0 0 Gaya akhir elemen : Elemen 1:{ P1 } = [ K1 ] +{ PR1 } P1 = +

P1== 2 3 2 3LEI 6 LEI 12-LEI 6 LEI 12LEI 2

LEI 6- LEI 4

LEI 62 22 3 2 3LEI 6-LEI 12

LEI 6 LEI 12- LEI 4

LEI 6- LEI 2

LEI 62 2EIL q 168332L q5642L q562L q566L q5662L q2822L q281L q283L q2830 0 00 Elemen 2:{ P2 } = [ K2 ] +{ PR2 } P2 = +

P2== 2 3 2 3LEI 6 LEI 12-LEI 6 LEI 12LEI 2

LEI 6- LEI 4

LEI 62 22 3 2 3LEI 6-LEI 12

LEI 6 LEI 12- LEI 4

LEI 6- LEI 2

LEI 62 2EIL q 168532L q564L q5632L q56242L q282L q2816L q2812EIL q 168332L q1212L q121 2L q 2L qq 0 - - + - ++ Free Body Diagram: Menggambar gaya-gaya dalam: Bidang D: Bidang M: 2L q2822L q281L q2832L q282L q2816L q283L q2812L q283L q283L q2816L q28122L q2822L q281Elemen Portal 2DB C P EI EI L L/2L/2 AA B C 1 2 DOF = 2 0 11 2 Sebuah portal statis tak tentu seperti pada gambar Matriks kekakuan struktur [ Ks ]2 x 2 [ Ks ]= [ K1 ]+ [ K2 ] [ K1 ] =0 0 0Elemen 10 1 0 2 x 2 1 Matriks Tujuan{ T1 } = { 01 }T 2 x 2 Elemen 21 2 1 2 x 2 2 Matriks Tujuan{ T2 } = { 12 }T 2 x 2 K1 = [ K2 ] = LEI 4

LEI 2LEI 2

LEI 4LEI 2 LEI 4 LEI 4 LEI 2 LEI 4 K2 = LEI 2 LEI 4 LEI 4 LEI 2 = + 0= 0 0 Matriks Kekakuan Global Struktur[ Ks ]= [ K1 ]+ [ K2 ]

[ Ks ] 2 x 2 Untukmendapatkandeformasiujung-ujungaktifstruktur,makadigunakan hubungan : { Ps } = [ Ks ] { Us }{ Us }=[ Ks ]-1{ Ps } dimana : Us =deformasi ujung-ujung aktif Ks=kekakuan struktur Ps=gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi) LEI 4

LEI 2LEI 2

LEI 4LEI 4

LEI 2LEI 2

LEI 8 LEI 4P Untuk contoh di atas, maka : 0 0 Ps= Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1 [ Ks ] = [ Ks ]-1=82 -2 -4 EIL 2 . 2 - 4 . 81((

=8 2 -2 - 4

EI 28L((

L P81 L P81LEI 4

LEI 2LEI 2

LEI 8L P81L P81Jadi:{ Us }=[ Ks ]-1{ Ps } Us=8 2 -2 - 4

EI 28L((

Us= EI 28L Us = L P81L P812 2L q61 - L q312 2L q64 L q61+EIL P 11232EIL P 11252Rotasi di joint B Rotasi di joint C U11 U12 0 U21 U22 Deformasi untuk masing-masing elemen Elemen 1 : U1 = = Elemen 2 : U2 = = EIL P 11232EIL P 11232EIL P 11252P Reaksi akibat beban luar : 0 0 L P81 L P81 0 PR1 = 0 PR2 = L P81L P810 0 0 P1= + P1= Hasil perhitungan hanya momen saja Gaya akhir elemen : Elemen 1:{ P1 } = [ K1 ] +{ PR1 }

EIL P 11232L P566L P563LEI 2 LEI 4 LEI 4 LEI 2 P2= + P2= = 00 Hasil perhitungan hanya momen saja Elemen 2:{ P2 } = [ K2 ] +{ PR2 }

EIL P 11252L P81L P81EIL P 11232LEI 2 LEI 4 LEI 4 LEI 2 2L q5662L q283P0 Dihitung lagi Dihitung lagi Free Body Diagram: P569L P566P2817P2811P569P569P569P2817P2817L P566L P563Bidang M: - - + L P566L P563L P5611+ Bidang D: Bidang N: - +P2817- P569P2811PP2817- P569- Transformasi Sumbu 1 2 2 3 1 3 U3, P3 u3, p3 U1, P1 U2, P2 u1, p1 u2, p2 u1 u2 u3 = C S 0 -S C 0 0 0 1 U1 U2 U3 C= cos S= sin Koordinat Lokal dan Global C S 0 -S C 0 0

0 1 C= cos S= sin u1 u2 u3 u4 u5 u6 = 0 0 U1 U2 U3 U4 U5 U6 [ u ]=[ R ][ U ] R = matriks rotasi Ataudapat ditulis:u=U Dimana : = Untuk transformasi sumbu sebuah titik dengan 6 dofdapat ditulis : P1 P2 P3 P4 P5 P6 = 0 0 p1 p2 p3 p4 p5 p6 [ P ]=[ R ]T[ p ] R = matriks rotasi K Transformasi sumbu juga berlaku untuk gaya : p= P P=-1p -1=T P=Tp p=ku;u=RU P=RTpP=KU =RTkuK=RTkR =RTkRU Matriks kekakuan elemen untuk 6 dof :

6 x 6 k = 2 3 2 3LEI 6 LEI 12- 0 LEI 6

LEI 120LEI 2

LEI 6-0 LEI 4

LEI 602 22 3 2 3LEI 6-LEI 120 LEI 6 LEI 12 0 - LEI 4

LEI 6-0 LEI 2 LEI 602 20 0 LEA- 0 0LEA0 0LEA-0 0LEA 00-00 0126L0-126L 06L4L20-6L2L2 -0000 0-12-6L012-6L 06L2L20-6L4L2 Dimana : = = [ K ]=[ R ]T[ k ][ R ] k = LEI 3 IL A 2C -S 0 S C 0 00 1 C -S0 S C0 001 0 0 00-00 0126L0-126L 06L4L20-6L2L2 -0000 0-12-6L012-6L 06L2L20-6L4L2 K = C S 0 -SC 0 00 1 C S0 -SC 0 001 0 0 g1 g2 g4 -g1 -g2 g4 g3 g5 -g2 -g3 g5 g6 -g4 -g5 g7 g1 g2 -g4 g3 -g5 g6 Dimana: g1 = ( C2+12 S2 )g5 = 6 L C g2 = CS ( - 12 )g6 = 4L2 g3 = ( S2+12 C2 )g7 = 2L2 g4 = - 6 L S K = Sebuah portal seperti gambar,dengan menggunakan transformasi sumbu hitunglah gaya-gaya dalam yang bekerjaq = 1,68 k/ft L = 10 ft M = 14 kft = 168 kin L =10 ft 1 2 3 1 2 E=30.000 ksi A= 5in2 I =50in4 L=10ft 1 2 1 2 3 0 0 3 1 0 0 2 0 0Sumbu Global DOF[ Ks ] 3 x 3 1 2 1 23 2 4 5 4 5 6 1 3Sumbu Lokal DOF[ k ] 3 x 3 6 1 3 2 2 1 2 x x 1 = 270o 1= CS0 -SC0 001 = 0-10 1 00 001 2 3 x x = 0o 2= CS0 -SC0 001 = 1 00 0 10 001 Matriks transformasi batang : Batang 1:= 270ocos 270o=0 sin 270o=-1 Batang 2:= 0ocos 0o=1 sin0o=0 C S 0 -SC 0 00 1 C S0 -SC 0 001 0 0 0 -1 0 0 00 10 0 0 00 00 1 0 00 00 0 0-1 0 00 0 1 00 00 0 0 01 C S 0 -SC 0 00 1 C S0 -SC 0 001 0 0 10 0 0 00 01 0 0 00 00 1 0 00 00 0 1 00 00 0 0 10 00 0 0 01 R1 == R2 == g1 g2 g4 -g1 -g2 g4 g3 g5 -g2 -g3 g5 g6 -g4 -g5 g7 g1 g2 -g4 g3 -g5 -g4g6 0 0 0 1 0 2 Matriks kekakuan system struktur Elemen 1 : 1=3 3112) . 10 (50 . 30.000 LEI== 0,87 1=5012) . (10 . 5 IL A 2 21== 1.440 C =0; S= -1 { T } ={ 0 0 0 1 0 2 }T 000102 K1 = g1-g4 0 -g4 g60 0 00 1 2 3 10,44-626,40 -626,450.1120 0 0 0 1 23 g1 = ( C2+12 S2 )=0,87 [ 0 + 12 (-1)2 ]=10,44 g4 = - 6 L S=-0,87 . 6 . 120 (-1) =626,4 g6 = 4L2 =0,87 . 4 . 1202 = 50.112 Sehingga : K1 = K1 = g1 g2 g4 -g1 -g2 g4 g3 g5 -g2 -g3 g5 g4 g6 -g4 -g5 g7 g1 g2 -g4 g3 -g5 g4 g7g6 1 0 2 0 0 3 g1 g4 g4 g4 g6g7 g4 g7g6 1 2 3 Elemen 2 : 2=3 3112) . 10 (50 . 30.000 LEI== 0,87 2=5012) . (10 . 5 IL A 221== 1.440 C =1; S= 0 { T } ={ 1 0 2 0 0 3 }T 102003 1 23 K2 = K2 = 1.252,800 0 50.11225.056 0 25.05650.112 1.263,24-626,40 -626,4100.224 25.056 025.05650.112 g1 = ( C2+12 S2 )=0,87 [ 1.440 . 12 + 12 (0)2 ]=1.252,8 g4 = - 6 L S=-0,87 . 6 . 120 (0) =0 g6 = 4L2 =0,87 . 4 . 1202 = 50.112 g7 = 2L2 =0,87 . 2 . 1202 = 25.056 Sehingga : KS = K2 = q = 0,14 k/in 168 kin168 kin168 kin 0 0 0 168 0 1.263,24-626,40 -626,4100.224 25.056 025.05650.112 - 1 0 168 0 0,00095 0,00192 -0,00096 Defleksi horizontal di 2 Rotasi di 2 Rotasi di 3 Matriks beban: 8,48,4 PS = { Ps }=[ Ks ]{ Us } { Us }=[ Ks ]-1{ Ps } US = US = u11 u12 u13 u14 u15 u16 0 0 0 0,00095 0 0,00192 = 0 0 0 0 0,00095 0,00192 u21 u22 u23 u24 u25 u26 0,00095 0 0,00192 0 0 -0,0096 = 0,00095 0 0,00192 0 0 -0,0096 Displasement masing-masing batang (koordinat lokal) u1 == u2 == 0 -1 0 0 00 10 0 0 00 00 1 0 00 00 0 0-1 0 00 0 1 00 00 0 0 01 10 0 0 00 01 0 0 00 00 1 0 00 00 0 1 00 00 0 0 10 00 0 0 01 0 1,193 k 47,512 kin 0 -1,193 k 95,620 kin 0 1,193 k 3,959 kft 0 -1,193 k 7,968 kft Gaya akhir batang : Elemen1: { P1 } = [ k1 ] { u1 } +{ 0 } P1= = 1,19 k -7,8 k -95,84 kin -1,19 k -9 k 168 kin 1,19 k -7,8 k -7,99 kft -1,19 k -9 k 14 kft Elemen2: { P2 } = [ k2 ] { u2 } +{ Faksi } P2= = q = 1,68 k/ft14 kft 7,8 k 9 k 1 2 1,19 k1,19 k 7,99 kft 1,193 k 1,193 k 0 3,959 7,968 kft Free body diagram: 3,959+-7,9914++-++-1,1931,1937,89-1,19 1,19KONSTRUKSI RANGKA BATANG Pada Konstruksi Rangka Batang (KRB), perhitungan matriks kekakuan elemen [ K ] berdasarkan kasus rangka batang 2 Dimensi. Gaya yang bekerja hanya tarik dan tekan aksial saja, sedang gaya momen dan lintang tidak terjadi. Perhatikan gambar dengan elemen struktur batang dengan luas A dan Modulus Elastisitas E konstan. Perhitungan kekakuan elemen hanya mengandung elemen A, E dan empat titik koordinat, yaitu : xi, xj, yi, dan yj. x,u y,v L i j + d i j cui uiqi pi qj pj Elemen Rangka Batang, dengan sudutElemen Rangka Batang setelah pada bidang xyperpindahan titik ui > 0, titik lain tetap c = cos C2 CS -C2 -CS ui = pi qi pj qj Pertama, harus menghitung : L =( ) ( )2i j2i jy - y x - x +C =cos =L x - xi j S =sin =Ly - yi j Perpendekan aksial cui menghasilkan gaya tekan aksialF=icuLAE|.|

\| Dimana :x dan y merupakan komponen dari ; pi = - pj = Fc qi = - qj = Fs Komponen ini menghasilkan kesetimbangan statis, sehingga diperoleh : LAEK = C2CS-C2-CS CSS2 -CS-S2 -C2-CSC2 CS -CS-S2 CS S2 Hasil yang sama juga akan diperoleh dengan cara memberikan perpindahan pada vi, uj, dan vj, dimana gaya bekerja sendiri-sendiri. Dan jika 4 dof dengan nilai tidak nol bekerjabersama-sama,dandengansuperposisimasing-masingelemenmatriks kekakuan, dapat dihitung sebagai berikut :

LAEC2CS-C2-CS CSS2 -CS-S2 -C2-CSC2 CS -CS-S2 CS S2 ui vi uj vj pi qi pj qj K = 10-1 0 00

0 0 -10 1 0 00 0 0 Hubungan matriks kekakuan dengan gaya dapat ditulis sebagai berikut : [ K ] { D }= { F } = Untuk kasus khusus : 1.Jika nilai = 0, sebagai batang horizontal, matriks kekakuan elemen [ K ] 4 x 4 Hanya berisi 4 komponen yang tidak bernilai nol, yaitu : k11 = k33 = -k13 = -k31 =

LAE LAE LAEK = 000 0 01

0-1 00 0 0 0-1 0 1 1.Jika nilai = 90, sebagai batang vertikal, matriks kekakuan elemen [ K ] 4 x 4 Hanya berisi 4 komponen yang tidak bernilai nol, yaitu : k22 = k44 = -k24 = -k42 =

LAE LAESebuah Konstruksi Rangka Batang dengan luas A dan Modulus Elastisitas E yang sama, seperti pada GambarL L L L 1 4 3 765 2 3 4 2 5 1 v u Hitunglah matriks kekakuaan masing-masing elemen K = C2CS-C2-CS CSS2 -CS-S2 -C2-CSC2 CS -CS-S2 CS S2 K1= 10-1 0 00

0 0 -10 1 0 00 0 0 Perumusan untuk mencari nilai matriks kekakuan elemen dengan sudut :

Batang 1, 2 dan 3 merupakan batang horizontal, sehingga = 0o Maka :[ K1 ] = [ K2 ] = [ K3 ]

LAE LAEK4= 0,250 0,433-0,250 -0,433 0,433 0,750

-0,433 -0,750 -0,2500,433 0,250 -0,433 -0,433-0,750 0,4330,750 K5= 0,250-0,433-0,2500,433 -0,433 0,750 0,433 -0,750 -0,2500,433 0,250 -0,433 0,433-0,750-0,4330,750 Batang 4 dan 6 merupakan batang diagonal dengan sudut = 60o Dimana:C= cos 60o= 0,5 S= sin60o= 0,866 Maka :[ K4 ] = [ K6 ]

Batang 5 dan 7 merupakan batang diagonal dengan sudut = 300o Dimana:C= cos 300o=0,5 S= sin300o= -0,866 Maka :[ K5 ] = [ K7 ]

LAE LAE