Postulat Kesejajaran Euclid

“Jika dua garis dipotong oleh garis transversalsedemikian hingga jumlah dua sudut interior(sudut dalam) pada satu sisi transversal adalahkurang dari 180°. Garis tersebut akan bertemupada satu sisi transversal.”

Teorema Jajargenjang

Untuk membuktikan teorema ini, kita membagi jajargenjang ke dalam segitiga dengan sebuah diagonal. Dan coba untuk buktikan bahwa segitiga adalah kongruen. Dikarenakan:

1. Mereka memiliki sisi AC

2. Hubungan sudut adalah sama, menjadi sudut dalam untuk AD dan BC yang sejajar

3. Hubungan sudut adalah sama. Menjadi alternatif sudut dalam untuk AB dan DC yang sejajar

Sehingga segitiga kongruen dan memiliki kesamaan │AB│= │AD│ dan │DC│= │BC│

A D

CB

Ilustrasi

l

m

h

2

1

B

A

1. Diberikan garis l dan m

2. Garis transversal h memotong l

dan m di A dan B sehingga

membentuk pasangan sudut

interior dalam berseberangan

yaitu 1 dan 2 yang sama besar.

3. Misal l dan m tidak sejajar berarti

akan bertemu di C dan terbentuk

∆ABC (hipotesis)

4. C terletak di depan sisi AB

5. 1 < 2 (menurut teorema sudut

ekterior)

7. Jadi garis l dan m sejajar

6. Hal ini kontradiksi dengan 1 = 2

C

Postulat modern Euclid“hanya ada satu garis sejajar pada garis

yang melalui titik bukan pada garis

tersebut.”

l

mP

Q

2 1

1. Diberikan garis l dan titik P bukan pada l

2. Akan ada garis melalui P sejajar l, misal

m

3. Dari P ditarik garis tegak lurus l dengan

kaki Q

4. Lukis garis n melalui P(n≠m)

5. Jika 1 adalah siku-siku maka n

berhimpitan dengan m (berlawanan

dengan asumsi) maka 1 = lancip

6. Jadi 1 + Q < 180°.

n

Jumlah sudut di dalam sebuah segitiga

“Jika adalah sudut dari segitiga yangada sedemikian hingga .

1. Diberikan segitiga sembarang

dengan sudut

2. Tarik garis sejajar dengan

melalui puncak segitiga yaitu

3. Dengan menggunakan teorema

sudut berpelurus maka

diketahuilah bahwa

Postulat Kongruen

“Jika segitiga ABC dan A’B’C’ adalah dimisalkan bahwa │AB│=

│A’B’│, sudut ABC = sudut A’B’C’ , │BC│=│B’C’│

Demikian juga,

│AC│=│A’C’│, sudut BCA = sudut B’C’A’, sudut CAB = sudut

C’A’B’. “

A B

C

A’ B’

C’

ILUSTRASI

Diberikan ∆ABC sedemikian sehingga ABC ACB. Akan

ditunjukkan bahwa . Andaikan . Itu berarti >

atau < . Misalkan > Karenanya, terdapat C’ pada

sedemikian sehingga AC’. Berdasarkan Teorema Segitiga

Sama Kaki, ABC’ AC’B. Menurut Teorema Sudut

Eksterior, m AC’B > m ACB. Karena ABC ACB dan

ABC’

AC’B, maka m ABC’ > m ABC. Padahal, menurut postulat

Penjumlahan Sudut, m ABC’ + m C’BC = m ABC yang berarti m

ABC’ > m ABC. Terjadi kontradiksi di sini, sehingga haruslah

A

C’

CB

TEOREMA SEGITIGA SAMA KAKI

“Jika sebuah segitia memiliki dua

sisi yang sama, sedemikian hingga

sudut yang berhadapan sama

besar.”

Diberikan ∆ABC sedemikian sehingga ABC ACB. Akan

ditunjukkan bahwa . Andaikan . Itu berarti

> atau < . Misalkan > Karenanya, terdapat D

pada sedemikian sehingga AD. Berdasarkan Teorema

Segitiga Sama Kaki, ABD ADB. Menurut Teorema Sudut

Eksterior, m ADB > m ACB. Karena ABC ACB dan

ABD ADB, maka m ABD> m ABC. Padahal, menurut

postulat Penjumlahan Sudut, m ABD+ m DBC = m ABC

yang berarti m ABD > m ABC. Terjadi kontradiksi di

sini, sehingga haruslah

B

D

A

C

Kuadrat dari Penjumlahan

Luas dari Jajargenjang dan Segitiga

Teorema Pythagoras

Untuk setiap segitiga siku-siku, jumlah satuanpersegi pada sisi-sisi terpendek sama denganjumlah satuan persegi pada sisi miring

Pembuktian Teorema Thales

Segitiga APQ dan PQB membentuk segitiga AQB dengan alas AB

Segitiga APQ dan PQC membentuk segitiga APC dengan alas AC

Luas Segitiga APQ = Luas segitiga PQC

Sudut Dalam Lingkaran

Jika A dan B adalah duatitik pada lingkaranuntuk sembarang titik Cpada busur yangmenghubungkan nyamaka sudut ACB adalahkonstan.