BAB IPENDAHULUAN1.1 LATAR BELAKANG PENULISAN ILMIAHSaat ini, kita sering menemukan permasalahan-permasalahan integral yang tidak dapat diselesaikan secara analitis. Disisi lain, untuk menyelesaikan sebuah permasalahan integral rumit dibutuhkan waktu yang cukup lama seperti untuk menyelesaikan sebuah permasalahan integral kita membutuhkan beberapa gabungan dari rumus kalkulus atau untuk menyelesaikan sebuah perpaduan integral trigonometri yang rumit. Selain membutuhkan waktu yang lama dalam menyelesaikan sebuah permasalahan integral, akurasi dalam perhitungan secara manual juga sedikit diragukan karena dapat terjadi kesalahan dalam perhitungan secara manual. Oleh karena adanya masalah ini, dibuatlah sebuah penyelesaian yang dapat membantu kita untuk dapat menyelesaikan permasalahan-permasalahan integral tersebut secara numerik atau disebut dengan integral numerik.Penggunaan integral sangat berpengaruh dalam kehidupan sehari-hari seperti menentukan luas suatu bidang, menentukan voluem benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang mempergunakannya.Ukuran penyelesaian permasalahan integral numerik yang baik mengacu pada beberapa rumusan atau metode yang sudah ditemukan oleh para ahli contohnya seperti integral dengan menggunakan metode Monte Carlo, metode Simpson 1/3 Rules dan metode Gauss Quadrature. Gauss Quadrature merupakan aproksimasi dari integral sebuah fungsi, yang ditandai sebagai sebuah kumulasi dari nilai fungsi didalam domain suatu fungsi integral. Gauss Quadrature diciptakan oleh Cark Friedrich Gauss, yang bertujuan untuk memperoleh nilai pasti untuk polinomial derajat 2n-1 atau kurang, dimana domain integral-nya ditransformasikan menjadi [-1,1]. Gauss Quadrature memiliki kelebihan dibandingkan metode integral seperti Trapesium, Simpson, Newton-Cotes, karena metode Gauss Quadrature tidak membagi sama rata segmen-segmannya, selain itu hasil integrasi pada titik tertentu dapat sama dengan hasil integrasi dengan perhitungan eksak. Metode Monte Carlo sudah teruji dalam menyelesaikan persamaan integro-diferensial yang mendefinisikan bidang radiasi, dan metode ini telah digunakan dalam perhitungan global illumination yang menghasilkan citra yang terlihat nyata dari model buatan berdimensi tiga, untuk penerapan pada permainan video, arsitektur, desain, film yang dihasilkan dengan komputer, efek khusus dalam film, bidang bisnis, ekonomi, dan bidang lainnya. Metode ini terutama sangat berguna untuk sistem pembelajaran dengan sejumlah besar derajat bebas berpasangan, seperti cairan, material tidak teratur, dan benda padat yang berpasangan sangat kuat.1.2 TUJUAN PENULISAN ILMIAHTujuan dibuatnya software perhitungan dengan menggunakan metode yang disebutkan adalah agar integral yang tidak dapat diselesaikan secara analitis dapat diselesaikan dengan secara numerikal.Metode Monte Carlo mengacu pada digunakan untuk numerik perkiraan nilai terpisahkan rumit, sedangkan metode Simpson 1/3 Rules digunakan untuk memperkirakan nilai dari integral tertentu. Metode Simpson 1/3 Rules bekerja dengan menciptakan bahkan jumlah interval dan pas parabola di setiap sepasang interval. Aturan Simpson memberikan hasil yang tepat untuk fungsi kuadrat atau parabola.Metode Gauss Quadrature merupakan metode integrasi numerik yang menggunakan interval-interval yang ditentukan dan interval-interval tersebut tidak harus sama panjang. Hal ini bertujuan untuk mendapatkan error sekecil mungkin.

1.3 BATASAN PENULISAN ILMIAHPembuatan penulisan ilmiah ini dibatasi dengan fungsi polynomial dan eksponensial. Pembuatan algoritma dari makalah ini menggunakan bahasa pemrograman visual basic yang berbasis .NET. Visual Basic karena memiliki tampilan atau interface yang cukup menarik dan lebih mudah digunakan apabila dibandingkan dengan bahasa pemrograman lainnya.Penyelesaian - penyelesaian integrasi yang digunakan untuk menyelesaikan fungsi diatas adalah dengan menggunakan metode Monte Carlo, metode Simpson 1/3 Rules dan metode Gauss Quadrature.

BAB IITINJAUAN PUSTAKA2.1 INTEGRAL NUMERIK SCARA UMUMDi dalam kalkulus, integral adalah satu dari dua pokok bahasan yang mendasar disamping turunan (derivative). Dalam kuliah kalkulus integral, telah diajarkan cara memperoleh solusi analitik (dan eksak) dari integral Tak-tentu maupun integral Tentu. Integral Tak-tentu dinyatakan sebagai:

Solusinya, F(x), adalah fungsi menerus sedemikian sehingga F'(x) = f(x), dan C adalah sebuah konstanta. Integral Tentu menangani perhitungan integral di antara batas-batas yang telah ditentukan, yang dinyatakan sebagai (P.6.2) Menurut teorema dasar kalkulus integral, persamaan (P.6.2) dihitung sebagai

Secara geometri, integrasi Tentu sama dengan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

Daerah yang dimaksud ditunjukkan oleh bagian yang diarsir.

Gambar 6.1 Tafsiran geometri integral tentuFungsi-fungsi yang dapat diintegrasikan dapat dikelompokkan sebagai:1. Fungsi menerus yang sederhana, seperti polinomial, eksponensial, atau fungsi trigonometri. Misalnya,

Fungsi sederhana seperti ini mudah dihitung integralnya secara eksak dengan menggunakan metode analitik. Metode-metode analitik untuk menghitung integral fungsi yang demikian sudah tersedia, yaitu axn dx = axn+1/(n+1) + C eax dx = eax/a+ C sin(ax+b) dx = -1/a cos(ax+b) + C cos(ax+b) dx = 1/a sin(ax+b) + C dx/x = lnx + C lnxdx = x lnx- x + C 2. Fungsi menerus yang rumit, misalnya

fungsi yang rumit seperti ini jelas sulit, bahkan tidak mungkin, diselesaikan dengan metode-metode integrasi yang sederhana. Karena itu, solusinya hanya dapat dihitung dengan metode numerik.

3. Fungsi yang ditabulasikan, yang dalam hal ini nilai x dan f(x) diberikan dalam sejumlah titik diskrit. Fungsi seperti ini sering dijumpai pada data hasil eksperimen di laboratorium atau berupa data pengamatan di lapangan. Pada kasus terakhir ini, umumnya fungsi f(x) tidak diketahui secara eksplisit. Yang dapat diukur hanyalah besaran fisisnya saja. Misalnya,

Integrasi fungsi seperti ini jelas harus didikerjakan secara numerik.2.2 INTEGRASI NUMERIK MONTE CARLO2.2.1 METODE MONTE CARLOBerdasarkan [1] http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_integration, secara matematis, integral Monte Carlo adalah sebuah teknik integrasi numerikal dengan menggunakan bilangan acak. Algoritma Monte Carlo secara acak memilih angka yang telah dievaluasi secara integrasi. Metode ini berguna untuk dimensi integral yang tinggi. Tehnik pensampelan yang biasa digunakan adalah uniform sampling, stratified sampling dan importance sampling.Menurut [2] bila kita memilih elemen pertama dari n: x1,x2..,xn dari sebuah rangkaian bilangan acak dalam interval (0,1) maka dapat dituliskan rumusnya sebagai berikut:

Jadi integral di aproksimasikan dari rata-rata dari n angka dari f(x1),f(x2), . f(xn). bila fungsi ini benar-bernar dijalankan, maka kesalahan dalam order ini ada 1/, yang sama sekali tidak kompetitif dengan algoritma yang baik seperti metode Romberg. Tetapi, pada dimensi yang lebih tinggi metode Monte Carlo cukup menarik. Sebagai contoh:

Dimana (xi,yi,zi) adalah rangkaian bilangan acak dari n angka dengan cube 0 x 1, 0 y 1, dan 0 z 1. Untuk memperolah angka bilangan dalam cube, kita mengasumsikan bahwa kita memiliki rangkaian bilangan acak dalam (0,1) yang disumbangkan oleh 1, 2, 3, 4, 5, 6.. untuk mendapatkan bilangan acak pertama p1 di dalam cube, anggap p1=( 1, 2, 3). Yang kedua tentu daja p2=( 4, 5, 6) dan seterusnya.Bila interval dalam tidak dalam panjang 1, tetapi bila dikatakan dengan kasus(a,b), maka rata-rata f dari bilangan acak sebanyak n angka dalam (a,b) bukan sebuah pendekatan untuk integral tersebut tetapi untuk

Yang setuju dengan keinginan kami bahwa fungsi f(x) = 1 memiliki rata-rata 1. Demikian pula pada dimensi yang lebih tinggi, rata-rata wilayah f diperoleh dengan mengintegrasikan dan membagi dengan area, volume, atau ukuran wilayah. Misalnya,

Merupakan rata-rata f dari diskripsi parallel dari 3 ketidaksetaraan dimana 0 x 2, -1 y 1, 1 z 3.Jadi, bila (xi,yi) memberikan bilangan acal dengan distribusi uniform, contoh dibawah ini mengilustrasikan tehnik Monte Carlo:

Dalam setiap kasus, bilangan acak harus didistribusikan secara uniform dalam batasan wilayah.Secara umum, kita memiliki

Disini kita menggunakan fakta bahwa rata-rata fungi pada himpunan sama dengan integral dari fungsi diatas yang telah ditetapkan kemudian dibagi ukuran dari himpunan atau berdasarkan [3] http://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-vi-pengantar-monte-carlo.pdf, dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut:

Berikut ini merupakan contoh penyelesaian integral dengan menggunakan metode Monte Carlo berdasarkan [4] http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/montecarlo/MonteCarloMod/Links/MonteCarloMod_lnk_4.html:

Dari persamaan tersebut dapat dilihat bahwa nilai: a = 0b = 4

Bila dimisalkan N = 10 dengan x1,x2,x3,xn merupakan bilangan acak dengan interval (0,4) maka penyelesaian fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

Grafik dari penyelesaian fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

Bila ditelusuri secara analitis maka hasil dari fungsi diatas adalah

dengan interval (0,4)

Berdasarkan perhitugan diatas maka dapat diketahui bahwa kesalahan relatif terhadap nilai eksak:

Bila kita menggunakan N = 1000 maka grafik dari fungsi diatas adalah sebagai berikut:

Dengan hasil I = 5,43848 dimana kesalahan relatifnya sebesar:

Dengan menggunakan N = 10000 maka grafik dari fungsi diatas adalah sebagai berikut:

Dengan hasil I = 5,34253 dimana kesalahan relatifnya sebesar:

2.2.2 ALGORITMA DAN FLOWCHART METODE MONTE CARLODengan asumsi bahwa fungsi f(x) diketahui, maka solusi dalam bentuk algoritma untuk menghitung hasil integral dari suatu fungsi dengan menggunakan pendekatan metode Monte Carlo dapat dituliskan sebagai berikut:Masukkan fungsi f(x), batas atas b, batas bawah a dan jumlah segmen N1. INISIALISASI f(x), b, a, N, I, sigmafx, array[N]2. READ f(x), a, b, N3. For i = 1; I >= N; i++{array[i] = unirand(a,b)}4. For i = 1; i >= N; i++{sigmafx = sigmafx+f(array[i])}5. I = (b-a) * ((1/N)*sigmafx)6. SelesaiBerdasarkan pada Algoritma di atas, dapat dibuat flow chart dari algoritmanya, yaitu sebagai berikut :

2.3 INTEGRASI NUMERIK SIMPSON 1/3 RULES2.3.1 METODE SIMPSON 1/3 RULES BIASADalam analisis numerik, metode Simpson adalah metode untuk integrasi numerik, aproksimasi numerik integral tertentu. Dapat digunakan dengan pendekatan berikut:

Metode ini di diberikan kepada matematikawan Thomas Simpson(1710-1761) dari Leicestershire.Cara kerja dari metode simpson 1/3 ini adalah hampir sama dengan metode lagrange yang menentukan polynomial orde tinggi. Metode ini memiliki 3 fungsi sebagai nilai awal yaitu (x,f(x,)), (x,f(x)), (x,f(x)). Cara menentukan nilai dari I untuk mendapatkan nilai integral exact dengan pendekatan sebagai berikut:

Dalam rumusan metode simpson 1/3 menggunakan pendekatan yang hampir sama dengan metode newton-cotes, dengan bentuk rumusan sebagai berikut:

Dimana a= x, b = x, (a+b)/2 = x, dan h = (b-a)/2Untuk mendapatkan nilai approximaxi(Et) dari metode simpson 1/3 dapat dihitung dengan rumusan sebagai berikut:

Contoh Soal:F(x)=0.2+25x-200x+675x-900x+400xDengan a =0 dan b = 0.8, Nilai excat integral = 1.6405331. Tentukan titik tengah dari interval a dan b

2. Tentukan f(x)F(x)=f(0)=0.2F(x)=f(0.4)=2.456F(x) =f(0.8)= 0.232

3. Tentukan nilai dari I

4. Tentukan nilai approximaxi

2.3.2 ALGORITMA DAN FLOWCHART METODE SIMPSON 1/3 RULES BIASAAlgoritma dari metode simpson 1/3 rules biasa dengan a sebagai batas bawah, b sebagai batas atas dan f(x) merupakan fungsi yang dicari adalah sebagai berikut:1. Read a,b2. Hitung nilai h3. Masukan kedalam fungsi algoritma simpson 1/34. Hitung nilai EtFlow Chart dari algoritma metode Simpson 1/3 Rules biasa adalah sebagai berikut:

2.3.3 METODE SIMPSON 1/3 RULES MULTIPLE APPLICATIONMetode ini merupakan bagian lanjutan dari yang pertama dimana cara kerja dari metode ini hampir sama dengan integral lipat 1. Untuk mendapatkan nilai exact dapat menggunakan rumusan sebagai berikut:

Perbedaan pada multiple-application adalah selain memberikan nilai a= x dan b= x, juga memberikan nilai n (merupakan banyak segment). Pada awal metode ini menentukan terlebih dahulu nilai h, dimana rumus h adalah:

hasil dari nilai h merupakan sebagai nilai penambahan langkah x pada interval f(x) sampai pada f(xn) . Setelah mencari nilai dari masing-masing f(x) kemudian mencari nilai dari I, dengan rumusan:

Dimana jika nilai n adalah ganjil akan dikalikan 4 sedangkan jika nilai n merupakan bilangan genap maka akan dikalikan 2. Setelah mendapatkan nilai dari I dicarilah nilai approximaxi dari metode ini dengan rumusan:

Contoh Soal:F(x)=0.2+25x-200x+675x-900x+400xDengan n= 4, a= 0, b =0.8, nilai eksak integral = 1.6405331. Tentukan nilai h = 2. Tentukan f(x)F(x)=f(0)=0.2F(x)=f(0.2)=1.288F(x) =f(0.4)= 2.456F(x)=f(0.6)=3.464F(x) =f(0.8)=0.2323. Tentukan nilai dari I

4. Tentukan nilai approximaxi

2.3.4 ALGORITMA DAN FLOWCHART METODE SIMPSON 1/3 RULES MULTIPLE APPLICATIONAlgoritma dari metode simpson 1/3 rules multiple application dengan a sebagai batas bawah, b sebagai batas atas dan f(x) merupakan fungsi yang dicari adalah sebagai berikut: 1. Read n, a, b2. Hitung nilai h3. Proses hitung dengan fungsi multiple simpson 1/34. Hitung nilai Et

Flowchart dari algoritma diatas adalah:

2.4 INTEGRASI NUMERIK GAUSS QUADRATURE2.2.1 METODE GAUSS QUADRATUREMenurut [6] http://himawat.lecture.ub.ac.id/files/2010/03/Lecture-6-integral.ppt , Metode Gauss Quadrature memiliki gambar sebagai berikut:

Gambar 1.1 Gauss Quadrature 1 TitikRumus umum integrasi Gauss Quadrature adalah sebagai berikut:I=Pada Rumus umum diatas merupakan pemberat (weight) untuk menyeimbangkan kesalahan positif dengan kesalahan negatif. Rumus umum tersebut juga bergantung dengan jumlah titik pemberat (n) dimana semakin banyak jumlah titik pemberat maka semakin akurat hasil integral dengan nilai analitik atau nilai sebenarnya. Untuk menyelesaikan integrasi Gauss Quadrature harus dicari dahulu nilai pemberat (w) dan nilai x (dinamakan abscissas) sebanyak nilai n (jumlah titik).Langkah langkah dalam menyelesaikan integrasi dengan metode gauss quadrature adalah dengan mengubah batas atas (b) dan batas bawah (a) menjadi nilai 1 (batas atas) dan -1 (batas bawah) dengan cara sebagai berikut:

Rumus dalam melakukan transformasi adalah :x = m.t +cDimana t akan ditempati nilai batas atas dan batas bawah dari integral g(x), dan x akan ditempati oleh variabel batas atas dan batas bawah dari integral f(x)a = m(-1) +c.................Persamaan (1)b = m(1) +c .................Persamaan(2)Dengan metode substitusi akan didapat persamaan baru sebagai berikut:m=(b-a)/2c=(b+a)/2x = (a-b)/2 t + (a+b)/2dx = (a-b)/2 dtMaka didapat fungsi integral baru sebagai berikut:

Setelah itu, dicari weight dan x dalam persamaan integral yang baru . Sebagai contoh , akan dijelaskan cara untuk menentukkan nilai pemberat berdasarkan rumus integrasi Gauss- Quadrature dengan 2 titik :I = Pada persamaan diatas, akan dicari dan kita membutuhkan fungsi polinomial sejumlah nilai w dan x yang kita cari. Pada kondisi diatas kita membutuhkan 4 derajat sebagai berikut:

Kemudian dicari integral dari fungsi polinomial diatas :

= Kemudian fungsi polinomial diatas dimasukkan kedalam fungsi integrasi Gauss Quadrature: + = Kemudian dengan hasil diatas didapatkan persamaan baru: + =2......................................persamaan (1)..........................persamaan(2)......................persamaan(3)..........................persamaan(4)Setelah didapatkan persamaan berikut dilakukan proses eliminasi untuk persamaan 2 dan 4. Proses eliminasi bertujuan untuk mendapatkan kemungkinana- kemungkinan untuk mendapatkan nilai w dan x. Setelah dilakukan proses eliminasi didaptkan persamaan:

Persamaan yang memenuhi :

Misal dengan menggunakan persamaan pada persamaan diatas + =2......................................persamaan (1)..........................persamaan(2)

.................................persamaan(5)......................persamaan(3)

((

..........................persamaan(4)

w1 = 1w2 = 1 = =

Dan aturan Quadrature menjadi : I = Menurut [3]math.okstate.edu/~yqwang/teaching/math4513_fall11/Notes/gaussian.pdf dan[4]http://processingjs.nihongoresources.com/bezierinfo/legendre-gauss-values.php Ada beberapa hasil nilai w dan x berdasarkan titik n, sebagai berikut:n = 2 weight - wiabscissa - xi1.0000000000000000-0.57735026918962571.00000000000000000.5773502691896257

n = 3 weight - wiabscissa - xi0.88888888888888880.00000000000000000.5555555555555556-0.77459666924148340.55555555555555560.7745966692414834n = 4weight - wiabscissa - xi0.6521451548625461-0.33998104358485630.65214515486254610.33998104358485630.3478548451374538-0.86113631159405260.34785484513745380.8611363115940526

n = 5weight - wiabscissa - xi0.56888888888888890.00000000000000000.4786286704993665-0.53846931010568310.47862867049936650.53846931010568310.2369268850561891-0.90617984593866400.23692688505618910.9061798459386640

n = 10 weight - wiabscissa - xi 0.2955242247147529-0.1488743389816312 0.29552422471475290.1488743389816312 0.2692667193099963-0.4333953941292472 0.26926671930999630.4333953941292472 0.2190863625159820-0.6794095682990244 0.21908636251598200.6794095682990244 0.1494513491505806-0.8650633666889845 0.14945134915058060.8650633666889845 0.0666713443086881-0.9739065285171717 0.06667134430868810.9739065285171717

n = 20weight - wiabscissa - xi0.1527533871307258-0.07652652113349730.15275338713072580.07652652113349730.1491729864726037-0.22778585114164510.14917298647260370.22778585114164510.1420961093183820-0.37370608871541950.14209610931838200.37370608871541950.1316886384491766-0.51086700195082710.13168863844917660.51086700195082710.1181945319615184-0.63605368072651500.11819453196151840.63605368072651500.1019301198172404-0.74633190646015080.10193011981724040.74633190646015080.0832767415767048-0.83911697182221880.08327674157670480.83911697182221880.0626720483341091-0.91223442825132590.06267204833410910.91223442825132590.0406014298003869-0.96397192727791380.04060142980038690.96397192727791380.0176140071391521-0.99312859918509490.01761400713915210.9931285991850949Contoh Soal:Diketahui I=dx = 0.8939Hitung integral itu menggunakan pendekatan Gauss Quadrature dengan dan 4 titik.Jawab:Batas atas (b) =1.3Batas bawah (a) = 0.1Mentransformasikan integral

0.6521451548625461-0.33998104358485630.65214515486254610.33998104358485630.3478548451374538-0.86113631159405260.34785484513745380.86113631159405260.6 [ 0.65215 f(0.6 x -0.33998 + 0.7) + 0.65215 f(0.6 x 0.33998 + 0.7) + 0.34785 f(0.6 x -0.86114 + 0.7) + 0.34785 f(0.6 x 0.86114 + 0.7) ]= 0.6 [ 0.65215 f(0.496012) + 0.65215 f(0.903988) + 0.34785 f(0.183316) + 0.34785 f(1.216684)= 0.8939Estimasi Kesalahan pada Gauss Quadrature 4 titik : = 0%

Kesimpulan: Hasil integral dengan metode Gauss Quadrature dengan 4 titik sama dengan hasil analisis pada fungsi I=dx

2.2.2 ALGORITMA DAN FLOWCHART METODE GAUSS QUADRATUREAlgoritma GaussQuadrature1. Read n,b,a2. Masukkan kedalam fungsi Gauss Quadratur n titik3. Hitung nilai 4. Program selesaiFlowchart dari Algoritma diatas :

DAFTAR PUSTAKA[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_integration[2] [3] http://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-vi-pengantar-monte-carlo.pdf[4]http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/montecarlo/MonteCarloMod/Links/MonteCarloMod_lnk_4.html[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_quadrature[6] http://himawat.lecture.ub.ac.id/files/2010/03/Lecture-6-integral.ppt

Start

Read f(x), a, b, N

For i = 1; I >= N; i++

array[i] = unirand(a,b)

For i = 1; I >= N; i++

sigmafx = sigmafx+f(array[i])

I = (b-a) * ((1/N)*sigmafx)

End

Start

Finish

Inisialisasi nilai a dan b

I = (b-a)*( f(x0)+4*f(x1)+f(x2))/6)

Et =(abs((ei-I/ei))+100

H= b-a/2

Start

Finish

Inisialisasi nilai n, a dan b

I = (b-a)*( f(x0)+4*sigmaf(xi)+2*sigmaf(xi)+f(xn))/3n)

Et =(abs((ei-I/ei))+100

H= b-a/n

Start

Read n,b,a

Masukkan ke dalam Fungsi Gauss - Quadrature

Hitung estimasi kesalahan

Finish