test medicina

GRANDE MANUALE DI

LOGICA

Versione Ridotta ad uso dimostrativo

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Per la preparazione ai test di ammissione alle facoltà di:

Medicina (statale e private)

Veterinaria

Professioni sanitarie (statale e private)

Ingegneria

Economia (private)

e a tutte le facoltà che hanno un test di ammissione con quiz di logica

https://www.amazon.it/Grande-Manuale-Logica-Francesco-Serafini/dp/1694704505/ref=sr_1_1?__mk_it_IT=%C3%85M%C3%85%C5%BD%C3%95%C3%91&keywords=grande+manuale+di+logica&qid=1573597006&s=books&sr=1-1

L’autore Francesco Serafini dopo la maturità classica si è laureato con lode in ingegneria chimica a ventitré anni. Dopo cinque anni di esperienza nell’industria chimica si è dedicato alla formazione. Docente nelle scuole superiori, si occupa di preparazione al superamento dei test di ammissione alle facoltà a numero chiuso. Ha coordinato oltre cinquanta corsi seguendo più di mille studenti. Durante questa esperienza ha messo a punto un metodo personale di formazione particolarmente efficace. Tiene corsi di preparazione ai test di ammissione a Perugia.

prof.ing. Francesco Serafini Grande Manuale di Logica PiTEST Tutti i diritti riservati ISBN: 9781694704504 E vietata la riproduzione anche parziale

A norma di legge è vietata la riproduzione, anche parziale, del presente volume e di parte di esso con qualsiasi mezzo senza l’autorizzazione scritta dell’autore.

Il successo inizia dalle scelte

INTRODUZIONE

Questo manuale è una guida operativa facile e completa per coloro che intendono affrontare i test di ammissione all’università basati su quiz di logica.

Cosa vuol dire risolvere un quiz di logica

La logica dei quiz non è filosofia né misurazione del Quoziente di Intelligenza; è più semplicemente conoscenza di tecniche. Il nostro obiettivo è quello di mettere il lettore in grado di riconoscere la tipologia del quiz e di utilizzare la tecnica risolutiva più efficace e diretta.

Organizzazione degli argomenti

La classificazione πTEST dei quiz prevede quattro categorie:

LM Logica matematica che comprende i quiz risolvibili con diverse tecniche di calcolo.

LO Logica organizzativa i cui quiz prevedono forme di organizzazione spaziale, temporale o mentale di situazioni pratiche risolvibili con procedimenti logici e schematizzazioni rapide e semplici.

LV Logica verbale nella quale si affrontano tematiche linguistiche delle più disparate tipologie, che richiedono diverse abilità: dall’individuare le strutture logiche all’interno di una argomentazione, al riconoscimento di sinonimi, contrari e ambito semantico fino ai giochi di parole.

LS Logica visuo-spaziale per i quiz grafici di immagini che seguono diverse evoluzioni.

Come studiare questo manuale

Per ogni tipologia di quiz nei vari capitoli è bene leggere attentamente la spiegazione delle tecniche risolutive. Seguiranno poi esempi di quiz svolti e commentati. Suggeriamo di seguire da subito il percorso mentale che proponiamo. La mente infatti memorizza i percorsi mentali che svolge all’inizio di una nuova tematica e poi difficilmente se ne discosta. Proprio per questo è bene imparare dal primo istante un percorso mentale corretto e non tentare una soluzione autonoma di questi quiz per poi confrontarla con la nostra. Il numero di esempi svolti in un capitolo dipende da quante varianti esistono di una stessa famiglia di quiz. È opportuno leggerli tutti per affinare le tecniche risolutive. Dopo la lettura di ciascun capitolo è opportuno esercitarsi risolvendo quiz della stessa tipologia che si trovano nella seconda parte del libro.

Quali argomenti è meglio studiare.

Nel corso degli anni la tipologia dei quiz si è trasformata più volte. Alcuni tipi di quiz che non venivano richiesti da anni possono ricomparire negli odierni test. Questo manuale è completo per la preparazione ad ogni tipo di test di ammissione all’università.

Il metodo

I manuali πTEST offrono un metodo efficace di apprendimento delle tecniche necessarie per

affrontare i quiz. Il modo semplice ed immediato di presentare gli argomenti e le tecniche risolutive sono il risultato di anni di lavoro in aula.

L M

LOGICA MATEMATICA

Teoria ed esempi

Esercitazioni

LM 1 PERCENTUALI E FRAZIONI 1

LM 1.1 PERCENTUALI 1 335

LM 1.2 FRAZIONI 5 341

LM 2 SUDDIVISIONE IN PARTI 7

343

LM 2.1 SUDDIVISIONE IN FRAZIONI 7

LM 2.2 UNA CATEGORIA CON DUE SUDDIVISIONI 10

LM 2.3 UNA CATEGORIA CON TRE SUDDIVISIONI 12

LM 2.4 SUDDIVISIONE IN PIÙ CATEGORIE 13

LM 2.5 SUDDIVISIONE CON OTTIMIZZAZIONE 19

LM 2.6 SUDDIVISIONE IN QUOTE 24

LM 2.7 CASI PARTICOLARI 25

LM 3 CADENZE PERIODICHE 27 349

LM 4 PROBLEMI DI PRODUZIONE 29 350

LM 4.1 LAVORATORI CON LO STESSO RITMO DI LAVORO 29

LM 4.2 LAVORATORI CON DIVERSO RITMO DI LAVORO 36

LM 4.3 PROBLEMI DI PRODUZIONE CON RAPPORTI

MATEMATICI TRA LE PRODUTTIVITÀ DEI DIVERSI

LAVORATORI

37

LM 5 SERIE NUMERICHE E ALFABETICHE 39

352

LM 5.1 SERIE NUMERICHE 39

LM 5.2 SERIE DOPPIE CONCATENATE 42

LM 5.3 SERIE DI LETTERE 45

LM 5.4 SERIE DI NUMERI E LETTERE 47

LM 5.5 SERIE PARTICOLARI 48

LM 5.6 SERIE CON NUMERI ORDINATI NELLO SPAZIO 52

LM 5.7 SERIE DI ELEMENTI 58

LM 6 SIMBOLI E NUMERI 59 362

LM 7 SPAZIO TEMPO VELOCITÀ

61

364 LM 7.1 DUE VEICOLI CHE SI RINCORRONO 62

LM 7.2 DUE VEICOLI CHE SI VENGONO INCONTRO 63

LM 7.3 UN VEICOLO CON DIVERSE VELOCITÀ 64

L O

LOGICA ORGANIZZATIVA

Teoria ed

esempi Esercitazioni

LO 1 CALENDARIO 103 386

LO 2 PIAZZAMENTI 112

LO 3 ORDINAMENTO 114 388

LO 4 ESTRAZIONI AL BUIO 118 392

LO 5 PESATE 123 393

LO 6 PROBLEMI DI EQUILIBRIO 126 394

LO 7 PROBLEMI DI ASSOCIAZIONE 128

LO 7.1 INDICAZIONI DIRETTE 128 395

LO 7.2 SOLUZIONE PER CONGRUENZA E CONTRADDIZIONE 135 403

LO 8 ALBERO GENEALOGICO 147 406

LO 9 TORNEI E CAMPIONATI 149 407

LO 10 CRONOLOGIE 155 409

LO 11 DISPOSIZIONI NELLO SPAZIO 159

411

LO 11.1 LA LUMACA CHE SALE 159

LO 11.2 RECINZIONI 160

LO 11.3 TESSERE 162

LO 11.4 ORGANIZZAZIONE DI OGGETTI NELLO SPAZIO 166

LO 11.5 CIRCUITI ELETTRICI 169

LO 11.6 DISPOSIZIONI IN DIVERSE COMBINAZIONI 171

LM 8 OFFERTE DI PRODOTTI 66 367

LM 9 INTERPRETAZIONE DI GRAFICI E TABELLE 68 368

LM 10 LA MEDIA 75 373

LM 11 PROBLEMI DI CALCOLO GENERICI 78 375

L V

LOGICA VERBALE

Teoria ed


LV 1 LOGICA PROPOSIZIONALE 175

LV 2 NEGAZIONI 179

LV 2.1 NEGAZIONE DI CONNETTIVI LOGICI 179

415

LV 2.2 NEGAZIONI MULTIPLE 184

LV 2.3 FALSE DOPPIE NEGAZIONI 185

LV 2.4 SENSO DI CERTEZZA E DI POSSIBILITÀ 186

LV 2.5 NEGAZIONI DI QUANTIFICATORI 188 421

LV 2.6 NEGAZIONI DI COSTRUTTI COMPLESSI CON

QUANTIFICATORI E CONNETTIVI LOGICI AND E OR 194

LV 2.7 SITUAZIONI PARADOSSALI 195

LV 3 DEDUZIONI 196

LV 3.1 SILLOGISMI 198

LV 3.1.1 POSSIBILI RELAZIONI TRA INSIEMI 199

INCLUSIONE 199

ESCLUSIONE 200

INTERSEZIONE O INCLUSIONE PARZIALE 201

ESCLUSIONE PARZIALE 203

DOPPIA INCLUSIONE 204

INSIEME COMPLEMENTARE 205

LV 3.1.2 QUIZ CHE PREVEDONO IL CORRETTO

COMPLETAMENTO DI UN SILLOGISMO 207 431

LV 3.1.3 QUIZ CON DUE O PIÙ PREMESSE

CHE NON CHIEDONO ESPRESSAMENTE IL

CORRETTO COMPLETAMENTO DEL SILLOGISMO

214 433

LV 3.2 CONDIZIONI SUFFICIENTI E CONDIZIONI

NECESSARIE 222

LV 3.2.1 CONDIZIONI SUFFICIENTI 222 447

LV 3.2.2 CONDIZIONI NECESSARIE 231 453

LV 3.2.3 TRASFORMARE UNA CONDIZIONE SUFFICIENTE IN

UNA NECESSARIA E VICEVERSA 238

LV 3.2.4 REGOLE CONCATENATE 242 457

LV 3.2.5 CONDIZIONE SUFFICIENTE E NECESSARIA

(SE E SOLO SE) 245 459

LV 3.2.6 VIOLAZIONE DELLE REGOLE 248 462

LV 3.3 INDUZIONI 251 464

LV 3.4 TAVOLE DI VERITÀ 254 466

L S

LOGICA VISUO-SPAZIALE

Teoria ed


LS 1 OGGETTI TRIDIMENSIONALI 309

567

LS 2 SUDDIVISIONE DELLO SPAZIO 313

LS 3 CONTARE I LATI 314

LS 4 ROTAZIONI DI IMMAGINI 315

LS 5 EVOLUZIONE DI IMMAGINI 319

LS 6 RUOTE DENTATE 323

LS 7 DIVERSITÀ – ELEMENTI DA SCARTARE 328

LS 8 RIBALTAMENTI – IMMAGINI SPECULARI 330

LV 4 ANALOGIE VERBALI O PROPORZIONI

VERBALI 261 470

LV 5 COMPETENZE LESSICALI 267

LV 5.1 SIGNIFICATI DI PAROLE 269 478

LV 5.2 SINONIMI E CONTRARI 270 483

LV 5.3 ETIMOLOGIE 271 485

LV 5.4 MODI DI DIRE 273 487

LV 5.5 CAMPO SEMANTICO 274 490

LV 6 PAROLE SOSTITUITE A NUMERI 275 492

LV 7 INTERPRETAZIONE DI TESTI 278

LV 7.1 BRANI D’AUTORE 278 500

LV 7.2 BRANI CON PIÙ QUESITI 283 513

LV 8 RAGIONAMENTO CRITICO (ARGOMENTAZIONI) 288

LV 8.1 MESSAGGIO PRINCIPALE 288 535

LV 8.2 AFFERMAZIONE SOSTENUTA 290 539

LV 8.3 RINFORZA O INDEBOLISCE 292 543

LV 8.4 SUPPOSIZIONE IMPLICITA 295 553

LV 8.5 STESSA STRUTTURA LOGICA 297 558

LV 9 GIOCHI DI LETTERE E PAROLE 300 562

LV 10 RELAZIONI TRA INSIEMI 303 565

LM

LOGICA MATEMATICA

LM 1 PERCENTUALI E FRAZIONI

LM 2 SUDDIVISIONE IN PARTI

LM 3 CADENZE PERIODICHE

LM 4 PROBLEMI DI PRODUZIONE

LM 5 SERIE NUMERICHE E ALFABETICHE

LM 6 SIMBOLI E NUMERI

LM 7 SPAZIO TEMPO VELOCITÀ

LM 8 OFFERTE DI PRODOTTI

LM 9 INTERPRETAZIONE DI GRAFICI E TABELLE

LM 10 LA MEDIA

LM 11 PROBLEMI DI CALCOLO GENERICI

PERCENTUALI E FRAZIONI – LM 1 1

LM 1 PERCENTUALI E FRAZIONI

LM 1.1 PERCENTUALI

Quando si vuole esprimere una frazione di una certa quantità abbiamo diversi modi per farlo. Consideriamo ad esempio un insieme costituito da 800 elementi e prendiamone un sottoinsieme di 200 elementi. Esprimiamo il sottoinsieme rispetto all’insieme completo nei seguenti modi. Valore assoluto: Il sottoinsieme è costituito da 200 elementi

Frazione: 𝟐𝟎𝟎

𝟖𝟎𝟎=

𝟏

𝟒 . Il sottoinsieme è costituito da

𝟏

𝟒 degli elementi dell’insieme principale.

Valore relativo: 𝟐𝟎𝟎

𝟖𝟎𝟎= 𝟎, 𝟐𝟓 . Il sottoinsieme è costituito da un numero di elementi pari a 𝟎, 𝟐𝟓 volte

gli elementi dell’insieme principale.

Valore percentuale: 𝟐𝟎𝟎

𝟖𝟎𝟎∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟓% . Il sottoinsieme è costituito da un numero di elementi pari al

𝟐𝟓% degli elementi dell’insieme principale.

VARIAZIONE

Quando avviene una variazione di una grandezza, ad esempio quando le vendite di un prodotto variano da 1200 articoli venduti nel 2016 a 1440 articoli venduti nel 2017, la variazione percentuale viene sempre rapportata al valore iniziale in questo modo: Valore iniziale: 1200 articoli Valore finale: 1440 articoli Variazione: 1440 – 1200 = 240 articoli

Variazione percentuale: 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆

𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆 𝒊𝒏𝒊𝒛𝒊𝒂𝒍𝒆=

𝟐𝟒𝟎

𝟏𝟐𝟎𝟎∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟎%

Sconto e incremento sono variazioni.

INCREMENTO

Quando viene fornito un certo valore che aumenta di una certa percentuale si opera nel seguente modo. Esempio. Lo stipendio annuale di una certa persona ammonta a 18.000€ ed aumenta del 5%. Quanto vale ora lo stipendio? Valore iniziale: 18.000€ Variazione percentuale: 5%

Variazione: 𝟏𝟖. 𝟎𝟎𝟎 ∙𝟓

𝟏𝟎𝟎= 900€

Valore dopo l’aumento: 18.000+900=18.900€ Per risolvere questo calcolo si può anche ragionare nel seguente modo. All’inizio lo stipendio è il 100% e dopo l’aumento del 5% arriva al 105% del valore iniziale. Perciò possiamo effettuare il calcolo:

Valore dopo l’aumento: 𝟏𝟖. 𝟎𝟎𝟎 ∙𝟏𝟎𝟓

𝟏𝟎𝟎= 18.900€ (il calcolo manuale risulta in questo caso più

difficile).

2 LM 1 – PERCENTUALI E FRAZIONI

SCONTO

Quando viene fornito il valore di una grandezza dopo la diminuzione di una certa percentuale, tipicamente dopo lo sconto applicato all’acquisto di un bene, e si vuole conoscere il valore iniziale prima dello sconto si opera nel seguente modo. Esempio. Acquistiamo un vestito sul quale è stato praticato lo sconto del 20% e lo paghiamo 160€. Quanto costa il vestito prima di praticare lo sconto? Valore finale: 1.600€ Sconto percentuale: 20% Se abbiamo ricevuto lo sconto del 20%, significa che stiamo pagando l’80% del prezzo pieno (100%-20%=80%). Perciò il problema diventa il seguente: Se l’80% del valore corrisponde a 160€, quale è il valore che corrisponde al 100%? Questo problema può essere risolto con una proporzione:

160 ∶ 80% = 𝑥 ∶ 100%

𝑥 =160 ∙ 100

80= 200€

Per risolvere questo calcolo si può anche ragionare nel seguente modo: 160€ corrisponde all’80% del prezzo x:

160 =80

100∙ 𝑥

Si giunge allo stesso risultato.

IVA

Si opera nel seguente modo quando, similmente al caso precedente, viene fornito il valore di una grandezza dopo l’aumento di una certa percentuale (tipicamente dopo l’applicazione dell’iva nell’acquisto di un bene) e si vuole conoscere il valore prima dell’applicazione dell’iva. Esempio. Il costo di un computer è di 2.440€ compresa l’iva del 22%. Quanto costa il computer senza l’applicazione dell’iva?

Valore finale: 2.440€

Iva applicata: 22%

Il ragionamento corretto per risolvere il problema calcola che stiamo pagando il 122% del prezzo pieno (100%+22%=122%). Perciò il problema diventa il seguente: Se il 122% del valore corrisponde a 2440€, quale è il valore che corrisponde al 100%? Questo problema può essere risolto con una proporzione:

2.440 ∶ 122% = 𝑥 ∶ 100%

𝑥 =2.440 ∙ 100

122= 2.000€

Per risolvere questo calcolo si può anche ragionare nel seguente modo:

2.440€ corrisponde al 122% del prezzo 𝑥:

2.440 =122

100∙ 𝑥

Si giunge allo stesso risultato.


Esempio

In una comunità di 5000 persone il 5% dei membri viene colpito da una malattia infettiva, che richiede il ricovero nel 50% dei casi; quanti ricoveri sono avvenuti?

A) 100

B) 200

C) 150

D) 125

E) 50

Ragioniamo in modo progressivo.

1) Calcolo delle persone ammalate Persone totali della comunità 5.000 persone Percentuale delle persone ammalate: 5%

persone ammalate: 𝟓. 𝟎𝟎𝟎 ∙𝟓

𝟏𝟎𝟎= 250 persone

2) Calcolo delle persone ricoverate Valore di riferimento: 250 persone Percentuale delle persone ricoverate: 50% (ovvero la metà)

persone ricoverate: 𝟐𝟓𝟎 ∙𝟓𝟎

𝟏𝟎𝟎= 125 persone

La risposta corretta è la D)

Esempio

Un titolo azionario nel mese di gennaio è salito del 10% mentre nel mese di febbraio è sceso del 10%. Rispetto al valore iniziale che il titolo assumeva all’inizio del mese di gennaio possiamo dire che:

A) Il titolo azionario alla fine di febbraio non è variato

B) Il titolo azionario alla fine di febbraio è diminuito

C) Il titolo azionario alla fine di febbraio è aumentato

D) Non si può dire nulla se non si conosce il valore effettivo che il titolo assumeva all’inizio di

gennaio

E) Il titolo azionario alla fine di febbraio è aumentato, oppure è diminuito a seconda del valore

effettivo che il titolo assumeva all’inizio di gennaio

Per comodità di calcolo stabiliamo che all’inizio del mese di gennaio il titolo assuma il valore 100. Alla fine di gennaio il titolo sarà aumentato del 10% e perciò varrà 110.

La diminuzione del 10% avvenuta del mese di febbraio è da intendersi rispetto al valore immediatamente precedente, cioè 110. Il 10% di 110 vale 11. Perciò il titolo vale 110-11=99, un valore inferiore a quello di inizio gennaio.

La risposta corretta è la B)

Si può facilmente dimostrare che si giungerebbe al medesimo risultato se si avesse inizialmente una diminuzione del 10% e poi un aumento del 10%.

4 LM 1 – PERCENTUALI E FRAZIONI In generale se una grandezza inizialmente aumenta di una percentuale x e poi diminuisce di una stessa percentuale x, il valore finale sarà in ogni caso inferiore al valore iniziale per qualsiasi valore della percentuale x. Lo stesso risultato si ottiene se la grandezza inizialmente diminuisce e poi aumenta di una stessa percentuale x.

Esempio

Secondo un’indagine statistica, nel 1990 il 40% della popolazione adulta fumava. Sempre secondo tale indagine, nel 1991, a seguito di una campagna anti-fumo, solo il 30% della popolazione adulta continuava a fumare. L’indagine evidenziava quindi una diminuzione del 10% nel numero dei fumatori. Tuttavia, gli organizzatori della campagna anti-fumo, nella loro pubblicità, riportavano una diminuzione nel numero dei fumatori pari al 25%. La pubblicità degli organizzatori della campagna riflette:

A) la variazione nel numero di fumatori espressa come percentuale della popolazione nel 1990

B) la variazione nel numero di fumatori espressa come percentuale dei fumatori nel 1991

C) la variazione nel numero di fumatori espressa come percentuale della popolazione nel 1991

D) la variazione nella dimensione della popolazione espressa come percentuale della popolazione

nel 1990

E) la variazione nel numero di fumatori espressa come percentuale dei fumatori nel 1990

Riflettiamo sui dati forniti. Dalla lettura delle risposte si capisce che nel quiz la difficoltà consiste nell’individuazione del valore di riferimento per il calcolo delle percentuali. Stabiliamo per praticità che il totale della popolazione sia di 100 persone:

1990 1991

Totale popolazione 100 persone 100 persone

% di fumatori 40% 30%

Valore assoluto dei fumatori 40 persone 30 persone

Variazione dei fumatori 40 – 30 = 10 persone

Quando andiamo a calcolare la variazione dei fumatori in forma percentuale dobbiamo stabilire quale è il valore base di riferimento. Abbiamo due possibilità:

considerare come base l’intera popolazione di 100 persone ed effettuare il calcolo

𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆


𝟏𝟎

𝟏𝟎𝟎∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎%

considerare come base i soli fumatori sui quali è stata fatta la campagna antifumo (40 persone)

ed effettuare il calcolo

𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆


𝟏𝟎

𝟒𝟎∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟓%

.

Il secondo calcolo interpreta il testo.

La risposta corretta è la E)

Trovi i quiz per esercitarti su questa tipologia a pag. 335


LM 1.2 FRAZIONI

L’uso delle frazioni è una abilità che si acquisisce fin dalle scuole elementari con domande del tipo: “ i 5/6 di una certa grandezza corrispondono a 110. Quanto vale la grandezza?” Il calcolo si imposta chiamando x la grandezza incognita e scrivendo:

5

6∙ 𝑥 = 110

Si ricava il valore 𝑥:

𝑥 = 110 ∙6

5= 132

Si giunge allo stesso risultato impostando una proporzione: 5

6 corrisponde al valore 110 come l’intero (

6

6) corrisponde ad x

5

6∶ 110 =

6

6∶ 𝑥

Esempio

Nel passaggio da stato liquido a stato solido il volume di una massa di acqua aumenta di 1/11. Di quanto diminuisce il volume della stessa massa di ghiaccio nel passaggio da stato solido a stato liquido?

A) 1/11

B) 11/12

C) 1/12

D) 12/11

E) 1/10

Schematizziamo la situazione:

Consideriamo come valore 1 la quantità iniziale che aumenta di 1

11 e diventa così 1 +

1

11=

12

11

𝑉𝑔ℎ𝑖𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜 = 𝑉𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 x 12

11

Possiamo perciò affermare che il volume della massa liquida si moltiplica per un fattore 12

11 quando

solidifica. Quando operiamo il passaggio di stato opposto fondendo il ghiaccio il volume invece che moltiplicarsi,

si divide per lo stesso fattore. Moltiplicheremo così per 1 12

11

=11

12 .

liquido ghiaccio

𝟏

𝟏𝟐

𝟏𝟏

ghiaccio liquido

𝟏

𝟏𝟏

𝟏𝟐

x12

11

x11

12

6 LM 1 – PERCENTUALI E FRAZIONI

𝑉𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑉𝑔ℎ𝑖𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜 x 11

12

Quando una grandezza si moltiplica per una frazione minore di 1 come 11

12 , è come dire che

diminuisce di 1

12 , ovvero passa dall’unità iniziale (

12

12) ad un valore diminuito di

1

12.

La risposta corretta è la C)


SUDDIVISIONE IN PARTI – LM 2 7

LM 2 SUDDIVISIONE IN PARTI

Un tema ricorrente dei test di ammissione è la suddivisione di un insieme in un certo numero di parti. Il quiz richiede di ricostruire la suddivisione a partire da alcune informazioni. A seconda del tipo di informazioni fornite e dal tipo di domanda si giunge alla soluzione del quiz con semplici tecniche di calcolo che impariamo ad applicare in questo capitolo.

LM 2.1 SUDDIVISIONE IN FRAZIONI

In questo tipo di quiz è presente un insieme suddiviso in alcune parti. Le informazioni relative a ciascuna parte sono fornite in forma di frazione o percentuale per tutte le suddivisioni ad eccetto di una per la quale è fornito il valore reale (numerosità).

Esempio

Nella ditta di costruzioni CASABELLA sono presenti carpentieri, muratori, e manovali. I carpentieri sono 1/5 del totale, i muratori sono 1/4 del totale ed i manovali sono 22. Quanti sono i carpentieri ed i muratori ed il totale dei lavoratori?

A) 12, 8, 22

B) 8, 12, 42

C) 8, 10, 40

D) 10, 8, 40

E) 22, 12, 56

Si disegna una tabella come in figura e si inseriscono le frazioni (o percentuali) in una riga ed i valori assoluti in un’altra riga.

Tipo di lavoratore carpentieri muratori manovali

Frazione o percentuale 1

5

1

4

Valore assoluto 22

Per risolvere il quiz basta completare i dati mancanti nella tabella.

I. Si completa la riga delle frazioni. La frazione mancante dei manovali corrisponde alla

sottrazione delle parti note all’unità: Frazione di manovali = 1 − (1

5+

1

4) =

11

20



5

1

4

11

20

Valore assoluto 22

8 LM 2 – SUDDIVISIONE IN PARTI

II. Si completa la riga dei valori assoluti impostando semplici proporzioni riferite ai valori noti dei

manovali:



5

1

4

11

20

Valore assoluto 8 10 22

La risposta corretta è la C) Lo stesso quiz potrebbe essere proposto utilizzando le percentuali al posto delle frazioni.

Esempio

Nella ditta di costruzioni CASABELLA sono presenti carpentieri, muratori, e manovali. I carpentieri sono il 20% del totale, i muratori sono il 25% del totale ed i manovali sono 22. Quanti sono i carpentieri ed i muratori ed il totale dei lavoratori?

A) 12, 8, 22

B) 8, 12, 42

C) 8, 10, 40

D) 10, 8, 40

E) 22, 12, 56

Il procedimento è lo stesso. Si disegna una tabella come in figura e si inseriscono le percentuali in una riga ed i valori assoluti in un’altra riga.


Frazione o percentuale 20% 25%

Valore assoluto 22

Si completa la prima riga osservando che la percentuale di manovali è:

100% − 20% − 25% = 55%


Frazione o percentuale 20% 25% 55%

Valore assoluto 22

I valori mancanti si ricavano poi con proporzioni simili a quella viste nel precedente esempio.

(n°di carpentieri) ∶ 1

5= 22 ∶

11

20 n°di carpentieri = 8

(n°di muratori) ∶ 1

4= 22 ∶

11

20 n°di muratori = 10

(n° tot. di lavoratori) ∶ 1 = 22 ∶11

20 n° tot. di lavoratori = 40

n° tot.di lavoratori = 40



Esempio

Una fotocopiatrice costa 2.400 euro più 2/3 del costo della fotocopiatrice stessa. Qual è la spesa totale per la fotocopiatrice?

A) 7.200 euro

B) 3.600 euro

C) 6.625 euro

D) 1.600 euro E) 4.000 euro

Il quiz propone una situazione semplice. Il testo però è volutamente fuorviante. Infatti il italiano le parole “2.400 euro più 2/3 del costo della fotocopiatrice stessa” possono essere fraintese. Il senso corretto di questa espressione é: “il costo complessivo è dato da due parti che dovranno essere sommate: la prima parte vale 2400€ e la seconda parte rappresenta i 2/3 del valore”

Una fotocopiatrice Prima parte Seconda parte


3

Valore assoluto 2400€

Per risolvere il quiz basta completare i dati mancanti nella tabella.

I. Si completa la riga delle frazioni. La frazione mancante per la prima parte è 1 −2

3 =

1

3



3

2

3

Valore assoluto 2400€

II. Si completa la riga dei valori assoluti impostando semplici proporzioni



3

2

3

Valore assoluto 2400 € 4800 €

La risposta corretta è la A)

(n°di carpentieri) : 20% = 22 ∶ 55% n°di carpentieri = 8

(n°di muratori) ∶ 25% = 22 ∶ 55% n°di muratori = 10

(n° tot.di lavoratori) : 100% = 22 ∶ 55% n°tot.di lavoratori = 40

Seconda parte : 2

3 = 2400 :

1

20 Seconda parte = 4800

Totale = 2400€ + 4800€ = 7200€


LM 2.2 UNA CATEGORIA CON DUE SUDDIVISIONI

In questo tipo di quiz è presente un insieme suddiviso secondo due attributi di una stessa categoria con la particolarità che alcuni elementi possono avere entrambi gli attributi. Ad esempio un gruppo di persone appartenenti alla categoria dei musicisti può essere diviso in pianisti e violinisti; è possibile che un pianista sia anche violinista.

Un quiz può essere il seguente:

All’interno di un gruppo di 32 persone tutti suonano almeno il pianoforte o il violino. Sapendo che 25 persone suonano il pianoforte e 18 suonano il violino, quante persone suonano contemporaneamente entrambi gli strumenti?

Nel testo troviamo la PAROLA CHIAVE “almeno il pianoforte o il violino” che, come studieremo nella logica proposizionale, è un quantificatore parziale che in un quiz assume sempre un ruolo significativo. In questo caso interpretiamo il significato di “almeno” con “al minimo” e ciò serve a specificare che non esiste alcun membro del gruppo che non suoni nulla e qualcuno potrebbe studiare anche più di uno strumento.

La situazione è la seguente:

Il metodo di calcolo più immediato è il seguente:

I. Si sommano i numeri delle persone che suonano i singoli strumenti: 25 + 18 = 43

II. Da questo numero si sottrae il totale effettivo delle persone: 43 – 32 = 11

Le persone che suonano contemporaneamente entrambi gli strumenti sono 11. Il quiz si risolve in modo algebrico, la graficizzazione non è necessaria, ma potrebbe seguire il calcolo a scopo di verifica.

Esempio

In una classe di 25 alunni tutti studiano almeno inglese o francese. Visto che 12 alunni studiano francese e 20 inglese, quanti studiano entrambe le lingue?

A) 37

B) 5

C) 12

D) 7 E) 17

Si sommano i numeri degli alunni che studiano una lingua: 12 + 20 = 32 Da questo numero si sottrae il totale effettivo degli alunni: 32 – 25 = 7


32 persone

25 pianisti

18 violinisti

11


Esempio

In una scuola elementare di Oslo i 7/8 dei bambini hanno i capelli biondi ed i 5/6 hanno meno di nove anni. Si può concludere che:

A) 24/17 dei bambini hanno meno di nove anni e sono biondi

B) al massimo 17/24 dei bambini hanno meno di nove anni e sono biondi

C) almeno 17/24 dei bambini hanno meno di nove anni e sono biondi

D) 7/8 dei bambini hanno meno di nove anni e sono biondi

E) 5/6 dei bambini hanno meno di nove anni e sono biondi

Rispetto all’esempio precedente l’insieme viene suddiviso non in base a valori quantificati ma in frazioni. Il calcolo segue lo stesso procedimento ma risulta sicuramente più complesso. Questo rende necessario valutare i casi limite che si creano. Il caso limite 1 mette i bambini con meno di nove anni al massimo tra i bambini biondi. Il caso limite 2 valuta la situazione opposta mettendo i bambini con meno di nove anni al minimo tra i bambini biondi.

1.

2.

Nel caso limite 1 è immediato trovare che i bambini che sono biondi ed hanno meno di nove anni sono 5/6 del totale. Nel caso limite 2 per calcolare la frazione di bambini che sono biondi ed hanno meno di nove anni possiamo operare matematicamente nel modo che abbiamo già utilizzato nell’esempio precedente:

I. Si sommano le frazioni dei bambini biondi e dei bambini con meno di 9 anni: 𝟕

𝟖+

𝟓

𝟔=

𝟐𝟏+𝟐𝟎

𝟐𝟒=

𝟒𝟏

𝟐𝟒

II. Da questo valore si sottrae il totale (che parlando di frazioni corrisponde all’unità): 𝟒𝟏

𝟐𝟒 −𝟏 =

𝟏𝟕

𝟐𝟒

Nel caso limite 2 i bambini che sono biondi ed hanno meno di nove anni sono 𝟏𝟕

𝟐𝟒 del totale.

Riuniamo i risultati dei due casi limite e avremo che i bambini che sono biondi ed hanno meno di nove

anni sono una frazione del totale che va da un minimo di 𝟏𝟕

𝟐𝟒 ad un massimo di

𝟓

𝟔 .

Analizzando le risposte del quiz vediamo che la risposta corretta è la C) che con il temine “almeno” esprime il limite minimo della frazione di bambini che sono biondi ed hanno meno di nove anni.

7/8 biondi 1/8

5/6 meno di nove anni

Caso limite 1

5/6 biondi con meno di nove anni

1/6

7/8 biondi 1/8

5/6 meno di nove anni

Caso limite 2

17/24 biondi con meno di nove anni

1/6

5/6

17/24

12 LM 2 – SUDDIVISIONE IN PARTI Facciamo osservare che il temine “almeno” presente nella risposta corretta è una PAROLA CHIAVE. Quando leggiamo il testo del quiz, e le risposte, dobbiamo imparare a riconoscere i termini che hanno una rilevanza logica e costituiscono PAROLE CHIAVE.


LM 2.3 UNA CATEGORIA CON TRE SUDDIVISIONI

Il quiz della tipologia precedente si fa più complesso quando abbiamo tre attributi all’interno di una categorizzazione.

Esempio

In una classe di 38 alunni tutti studiano almeno una lingua straniera che può essere inglese, tedesco o francese. Visto che 12 alunni studiano francese, 20 inglese e 16 tedesco, sapendo che 6 studiano sia inglese che tedesco, e che nessuno studia contemporaneamente inglese e francese, quanti studiano sia tedesco che francese?

A) 6

B) 8

C) 18

D) 4 E) Nessuno

Dalla analisi del testo individuiamo la PAROLA CHIAVE “almeno una lingua straniera”. Ripetiamo l’osservazione fatta nell’esempio iniziale del paragrafo precedente. Il temine almeno è un quantificatore parziale che nel testo di un quiz assume sempre un ruolo significativo. In questo caso consideriamo il significato “al minimo” che serve a specificare che nessuno studente evita le lingue straniere e qualcuno può studiarne anche più di una. Possono così esistere alunni che studiano due o tre lingue straniere. Dai dati forniti nel testo risulta che non c’è neanche un alunno che studia contemporaneamente inglese e tedesco. Ne consegue che non ci sarà nessuno che studia inglese, tedesco e francese. Possiamo così scartare l’evenienza di un triplo attributo. Affrontiamo il calcolo in due fasi distinte: 1. Troviamo quanti sono gli alunni che studiano due lingue (a prescindere da quali siano le coppie di

lingue). Utilizziamo lo stesso schema di calcolo della tipologia precedente di quiz:

I. Si sommano i numeri degli alunni che studiano una lingua: 12 + 20 + 16 = 48 II. Da questo numero si sottrae il totale effettivo degli alunni: 48 – 38 = 10

Gli alunni che studiano contemporaneamente due lingue sono 10.

2. Ora suddividiamo i 10 alunni che studiano due lingue nelle possibili combinazioni di lingue straniere.

Esistono tre tipi di accoppiamenti di due lingue:

inglese – francese

inglese – tedesco

tedesco – francese Assegniamo i valori attraverso le informazioni del testo:


Informazioni del testo

inglese – francese 0 “nessuno studia contemporaneamente inglese e francese”

inglese – tedesco 6 “che 6 studiano sia inglese che tedesco”

tedesco – francese x Domanda del quiz

Totale 10

È immediato ricavare che a studiare tedesco e francese sono in 4.


LM 2.4 SUDDIVISIONE IN PIÙ CATEGORIE

In questo tipo di quiz è presente un insieme suddiviso in parti secondo diverse categorie. Ad esempio un gruppo di persone può essere diviso in uomini e donne ed anche in fumatori e non fumatori. La doppia suddivisione dà luogo ad una serie di possibili situazioni.

Esempio

Un gruppo di 100 persone, 70 donne e 30 uomini, è stato sottoposto ad una indagine sulla abitudine al fumo. È risultato che il 60% del gruppo è fumatore. Quale delle seguenti affermazioni risulta non corretta?

A) Possono esistere donne fumatrici

B) È possibile che il 100% degli uomini sia fumatore

C) È possibile che il 100% delle donne sia fumatrice

D) Può esistere un uomo che non fuma

E) Non può esistere una donna che non fuma

Rappresentiamo in forma grafica i dati del testo con alcuni segmenti. Rappresentiamo la prima suddivisione uomini-donne.

La seconda suddivisione può collocarsi in diversi modi rispetto alla prima. Prepariamo due segmenti fumatori e non-fumatori.

Se vogliamo sapere come avvengono le “intersezioni” tra i diversi gruppi dobbiamo valutare due casi limite: Il caso limite 1 cerca di mettere i fumatori al massimo tra le donne e al minimo tra gli uomini. Il caso limite 2 cerca la situazione opposta mettendo i fumatori al minimo tra le donne e al massimo tra gli uomini.

100 persone

60 fumatori

40 non fumatori

70 donne 30 uomini


1.

Studiando i due casi limite possiamo dire che il numero di donne che fumano va da 30 a 60, mentre il numero di uomini che fumano va da 0 a 30. È immediato verificare dai grafici precedenti che l’unica affermazione falsa è la C). Al massimo

abbiamo 60 donne su 70 fumatrici che è meno del 100% delle donne. La risposta corretta è la C)

Esempio

“In un cinema ci sono 200 spettatori: 40 sono italiani, 50 sono donne, e 60 preferiscono i film di genere fantasy”. Sulla base di queste informazioni, di quanti spettatori si può affermare con certezza che sono allo stesso tempo italiani, donne e amanti del genere fantasy?

A) Di nessuno

B) Di cento

C) Di cinquanta

D) Di dieci

E) Di quaranta

Rappresentiamo in forma grafica i dati del testo con alcuni segmenti.

La domanda verte su spettatori che sono allo stesso tempo italiani, donne ed amanti del genere fantasy. Se vogliamo sapere come avvengono le “intersezioni” tra i diversi gruppi dobbiamo valutare i casi limite. Usiamo lo stesso criterio del precedente esempio, ovvero massimizziamo e minimizziamo le sovrapposizioni.

70 donne 30 uomini

60 fumatori

Caso limite 1

Fumatori 60 donne su 70 0 uomini su 30

40 non fumatori

60 fumatori 40 non fumatori

70 donne 30 uomini Caso limite 2

Fumatori 30 donne su 70 30 uomini su 30

200 spettatori

60 pref. fantasy 140 altre preferenze

40 italiani 160 non italiani

50 donne 150 uomini

30 donne fumatrici

60 donne fumatrici


Gli spettatori che sono allo stesso tempo italiani, donne ed amanti del genere fantasy vanno da un massimo di 40 ad un minimo di 0. Perciò non possiamo dire con certezza che non ci sia nessuno che appartiene allo stesso tempo alle tre categorie. Come regola generale possiamo dire che se la somma delle singole numerosità delle categorie coinvolte (40+50+60=150) non supera la numerosità totale (200), possiamo concludere che non c’è per certo nessuna persona che possiede tutte le categorie proposte.


Esempio

Ad un corso di studi universitario sono iscritti 150 studenti, di cui: 98 maschi, 105 miopi, 119 castani e 129 in corso. Qual è il minimo numero di uomini miopi, castani e in corso?

A) 52

B) 1

C) 3

D) 0

E) 2

Rappresentiamo in forma grafica i dati del testo con alcuni segmenti.

200 spettatori

60 pref. fantasy

40 italiani

50 donne

Caso limite 1

Contemporan. italiani, donne e

pref.fantasy 40

200 spettatori

60 pref. fantasy 40 italiani 50 donne

Caso limite 2

Contemporan. italiani, donne e

pref.fantasy 0

150 studenti

119 castani 31 non c.

98 maschi 52 femmine

105 miopi 45 non miopi

129 in corso 21 fuor

i cors

o

16 LM 2 – SUDDIVISIONE IN PARTI La domanda verte su studenti che sono allo stesso tempo miopi, maschi e castani. A differenza dell’esempio precedente MA08 la somma delle numerosità nelle diverse categorie supera la numerosità dell’insieme degli studenti. Se vogliamo sapere come avvengono le “intersezioni” tra i diversi gruppi dobbiamo valutare il solo caso limite che minimizza le sovrapposizioni. Usiamo lo stesso criterio del precedente esempio, ovvero minimizziamo le sovrapposizioni.

Esaminiamo due categorie alla volta. Iniziamo a ragionare su maschi e miopi e ci chiediamo quanti studenti al minimo sono maschi e miopi. Il tipo di calcolo è lo stesso che abbiamo visto nell’esempio MA07: (98 + 105) –150 = 53

Consideriamo ora il confronto tra i 119 studenti castani e i 53 studenti maschi miopi. Applichiamo nuovamente lo stesso tipo di calcolo e avremo: (53 + 119) – 150 = 22 maschi miopi castani.

Continuiamo con lo stesso procedimento con l’ultima categoria dei fuori corso. Consideriamo il confronto tra i 129 studenti in corso e i 22 studenti maschi miopi castani. Applichiamo nuovamente lo stesso tipo di calcolo e avremo: (22 + 129) – 150 = 1 maschi miopi castani in corso.


150 studenti

Caso limite

Minimizzare le

sovrapposiz.

Step 1

98 maschi

105 miopi

53 maschi miopi (98+105) –150= 53

150 studenti

Caso limite

Minimizzare le

sovrapposiz.

Step 2

53 maschi miopi

22 (53 + 119) – 150 = 22 maschi miopi

castani

150 studenti

Caso limite

Minimizzare le

sovrapposiz.

Step 3

22

(22 + 129) – 150 = 1 maschi miopi

castani in corso

129 in corso

119 castani

SERIE NUMERICHE E ALFABETICHE – LM 5 39

LM 5 SERIE NUMERICHE E

ALFABETICHE

LM 5.1 SERIE NUMERICHE

Questo tipo di quiz presenta una serie di elementi, numeri o lettere (a volte entrambi insieme) che sono stati pensati secondo un certo criterio di progressione non dichiarato. Bisogna individuare tale criterio studiando gli elementi forniti. Tra due elementi della serie si possono effettuare somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, elevamenti a potenza e radici quadrate o più di una di queste opzioni. Sono quiz molto semplici per chi li crea, ma a volte difficili per chi li deve risolvere.

Creiamo noi una serie di numeri secondo il criterio “il doppio più uno” (2 · x +1). Iniziamo dal valore 1, l’elemento seguente sarà il doppio del precedente valore (1) aumentato di 1:

1 ∙ 2 + 1 = 3 Il valore ancora seguente è il doppio del precedente valore (3) aumentato di 1:

3 ∙ 2 + 1 = 7 Ed il seguente sarà:

7 ∙ 2 + 1 = 15 Il quiz richiederà di individuare il successivo elemento della serie. Nell’esempio seguente vediamo come si presenterebbe il quiz relativo alla serie che abbiamo descritto.

Esempio

Individuare il numero che completa correttamente la seguente successione: 1, 3, 7, 15, ? A) 18

B) 30

C) 31

D) 35

E) 38

Abbiamo descritto sopra come il quiz è stato creato. Ora immaginiamo di non saperlo e seguiamo un procedimento che ci permetterà di scoprirlo. Analizziamo il rapporto presente tra il primo ed il secondo elemento ed anche tra il secondo ed il terzo e così pure tra il terzo ed il quarto. Dobbiamo individuare, se esiste, un rapporto di sequenza che si mantiene nella successione.

Legame tra 1 e 3. Ci sono diversi modi per procedere dal numero 1 al numero tre:

“più 2” 1 + 2 = 3

“per 3” 1 ∙ 3 = 3

“Il doppio più 1” 1 ∙ 2 + 1 = 3

Legame tra 3 e 7.

“più 4” 3 + 4 = 7

“Il doppio più 1” 3 ∙ 2 + 1 = 7

40 LM 5 – SERIE NUMERICHE E ALFABETICHE

Legame tra 7 e 15.

“più 8” 7 + 8 = 15

“Il doppio più 1” 7 ∙ 2 + 1 = 15

Notiamo che la regola “il doppio più 1” è sempre presente. Possiamo immaginare con ottima probabilità di trovare la soluzione proiettando questa regola sull’elemento mancante ed avremo:

𝟏𝟓 ∙ 𝟐 + 𝟏 = 𝟑𝟏


Qualcuno potrebbe osservare che la successione rispetta anche la seguente regola. Il numero da

sommare nel primo passaggio è 2 nel secondo passaggio è 4 = 22 e nel terzo passaggio è 8 = 23. Si nota che il valore da sommare è una potenza di 2 crescente. Perciò al prossimo passaggio si sommerà il

valore 16 = 24 e si avrà il valore 15 + 24 = 15 + 16 = 31. Si giunge allo stesso risultato. Questo secondo modo di procedere è matematicamente più complesso ma ugualmente corretto. Si potrebbe dimostrare con passaggi algebrici che le due sequenze derivano l’una dall’altra; evitiamo tali passaggi perché fuori tema. Osserviamo che chi realizza questi tipi di quiz spesso segue criteri di progressione abbastanza semplici.

Esempio

Individuare il numero che segue logicamente: 100, 95, 85, 70, 50, ? A) 20

B) 30

C) 35

D) 25

E) 15

Come nel precedente esempio affrontiamo il quiz analizzando il rapporto presente tra il primo ed il secondo elemento ed anche tra il secondo ed il terzo e così pure tra il terzo ed il quarto. Dobbiamo individuare, se esiste, un rapporto di sequenza che si mantiene nella successione.

Legame tra 100 e 95. Si individua un solo criterio

“meno 5” 100 − 5 = 95


“meno 15” 85 − 15 = 70


“meno 10” 95 − 10 = 85


“meno 20” 70 − 20 = 50

Notiamo che la regola è “sottrarre un multiplo crescente di 5”. Al prossimo passaggio dovremo sottrarre 25 ed avremo:

50 − 25 = 25



Esempio

Individuare il numero che segue logicamente: 7, 8, 15, 23, … A) 30

B) 15

C) 31

D) 29

E) 38

Come nel precedente esempio affrontiamo il quiz studiando il rapporto presente tra il primo ed il secondo elemento ed anche tra il secondo ed il terzo e così pure tra il terzo ed il quarto.

7, 8, 15, 23, …

+1 +7 +8

Notiamo che il terzo elemento, il numero quindici è ottenuto dalla somma dei due precedenti numeri 7 ed 8.

7, 8, 15, 23, …

A questo punto andiamo a verificare se questa possa essere una regola e osserviamo che anche il quarto numero è ottenuto dalla somma dei due numeri che lo precedono.

7, 8, 15, 23, …

Abbiamo scoperto il criterio della serie: “ogni numero (a partire dal terzo) è dato dalla somma dei due numeri che lo precedono.

Il numero mancante sarà perciò dato da: 15 + 23 = 38

7, 8, 15, 23, 38


+

+

+


LM 5.2 SERIE DOPPIE CONCATENATE

Nella creazione di un quiz si può introdurre una certa difficoltà alternando due distinte sequenze di numeri, ognuna avente un proprio criterio. Ad esempio immaginiamo le due distinte sequenze:

I) Sommare un numero via via crescente ogni volta più grande di un fattore 1

Inizia da 1; “più 1”, “più 2”, “più 3”, “più 4”, “più 5”, …

1, 2 , 4 , 7 , 11, 16, …

II) Sommare un numero via via crescente ogni volta più grande di un fattore 2

inizia da 1; “più 2”, “più 4”, “più 6”, “più 8”, …

1, 3 , 7 , 13, 21, …

Prendiamo in modo alternato un numero dalla prima serie ed un numero dalla seconda serie. Abbiamo creato la sequenza 1, 1, 2, 3, 4, 7, 7, 13, 11, 21, …

Per chi ha creato la sequenza il lavoro è stato semplice. Non lo è per chi dovrà risolverla. Se si cerca una regola che si ripeta non si giunge ad alcuna conclusione. I numeri 1, 1 e 7, 7 che si ripetono uguali e vicini, risultano particolarmente rivelatori di una doppia serie concatenata come anche il passaggio decrescente 13, 11 dopo una serie di numeri che rimangono uguali o crescenti. Grazie a questi indizi proveremo subito a suddividere la serie in due parti facendo un vero e proprio lavoro si smontaggio: A questo punto è facile individuare i due criteri che abbiamo già descritto prima analizzando ogni serie

singolarmente. Il numero mancante apparterrà alla prima serie e sarà dato da 11 + 5 = 16 .

Esempio

Individuare il numero che completa correttamente la seguente successione di numeri: 8, 4, 11, 8, 14, 12, 17 ……

A) 18

B) 16

C) 12

D) 14

E) 11

Notiamo che i numeri si alternano ora crescenti ed ora decrescenti. Questo fatto ci deve fare insospettire. Dobbiamo valutare subito se è il caso di cercare due distinte serie concatenate.


I) La prima serie di numeri è 8, 11, 14, 17 che segue la regola seguente

Aggiungere il valore 3.

Inizia da 8; “più 3”, “più 3”, “più 3”, “più 3”, …

II) La seconda serie di numeri è 4, 8, 12, … che segue la regola seguente

Aggiungere il valore 4.

Inizia da 4; “più 4”, “più 4”, “più 4”, “più 4”

Il numero mancante, per motivi di alternanza tra prima e seconda serie, deve appartenere alla seconda

serie e sarà: 12 + 4 = 16. La risposta corretta è la B).

In alternativa al metodo risolutivo precedente nella ricerca di un possibile criterio per la sequenza proviamo a cercare una regola con somme e sottrazioni: Ci accorgiamo che i numero vengono alternativamente sottratti e sommati con dei valori che seguono una certa regola. I numeri sottratti sono valori decrescenti: -4, -3, -2, … I numeri sommati sono anche loro decrescenti +7, +6, +5, … Per motivi di alternanza il numero mancante dovrà essere ottenuto per sottrazione. Il valore da sottrarre

sarà per ordine di sequenza il valore “1”. 17 − 1 = 16.


Esempio

Aggiungi il numero che manca : 4 8 9 27 16 ? A) 8

B) 48

C) 64

D) 7

E) 70

Cerchiamo un criterio nella successione studiando sequenze di somme e sottrazioni: Non si riesce a trovare alcun criterio. Perciò proviamo a dividere la serie in due distinte sequenze:


Nella prima sequenza 4, 9, 16 sono tutti “quadrati perfetti”. La sequenza è: 22, 32, 42. L’idea di avere numeri elevati alla potenza 2 ci fa valutare la seconda sequenza 8, 27, … nell’ottica delle potenze cubiche, cioè la sequenza è: 23, 33, … La soluzione sarà così 43=64.


Esempio

Completare la seguente serie numerica: 11, 7, 22, 21, 44, ?, ?, 189, 176 A) 63; 88

B) 28; 55

C) 63; 66

D) 35; 77

E) 42; 88

In questo quiz i dati mancanti sono due. Il che ci fa subito pensare alla possibilità di due serie concatenate. Infatti individuiamo:

I) La prima serie di numeri è 11, 22, 44, ?, 176 che segue la regola seguente:

moltiplicare per 2.

Inizia da 11;

11 ∙ 2 = 22;

22 ∙ 2 = 44,

44 ∙ 2 = 88 dato mancante indicato nelle risposte A) ed E)

88 ∙ 2 = 176

II) La seconda serie di numeri è 7, 21, ?, 189 che segue la regola seguente:

moltiplicare per 3.

Inizia da 7;

7 ∙ 3 = 21; 21 ∙ 3 = 63, dato mancante indicato nelle risposte A) e C)

63 ∙ 3 = 189


LA MEDIA – LM 10 75

LM 10 LA MEDIA

La media di per sé è un semplice algoritmo di calcolo. Per risolvere alcuni quiz che coinvolgono il calcolo della media osserviamo che quando alcuni elementi hanno un certo valore come media, possiamo immaginare che tutti gli elementi assumano un valore pari alla media stessa. Quando, ad esempio, il testo di un quiz afferma “nello scorso mese quattro aviatori hanno pilotato mediamente un aereo per 20 ore”, possiamo utilizzare questo dato immaginando che ogni aviatore ha volato esattamente 20 ore. Se poi il quiz aggiunge l’informazione che un quinto aviatore ha volato per 70 ore e chiede il valore medio delle ore di volo dei cinque aviatori possiamo eseguire il seguente calcolo:

20 + 20 + 20 + 20 + 70

5=

150

5= 30 ore

Esempio

Uno studente universitario, dopo aver superato due esami, ha la media del 24. Nell’esame successivo lo studente prende 21. Qual è la sua media dopo il terzo esame?

A) 23 B) 23,5 C) 22

D) 22,5 E) 21,5

Il fatto che con due votazioni la media raggiunta sia 24 ci permette di immaginare che i due voti siano stati 24 e 24. A questo punto aggiungiamo il terzo valore, 21, e potremo calcolare la media:

24 + 24 + 21

3=

69

3= 23


Esempio

La paga media oraria di 60 lavoratori è di 8 euro. Alcuni però ricevono 7,5 euro all’ora mentre i rimanenti sono pagati 10 euro all’ora. Quanti sono quelli pagati 7,5 euro all’ora?

A) 46 B) 44 C) 48

D) 42 E) 50

Se chiamiamo x il numero di lavoratori che ricevono 7,5 euro l’ora, avremo che gli altri che ricevono 10

euro l’ora sono 60 − x. Il valor medio è 8 euro l’ora. Questo ci permette di impostare il calcolo:

7,5 ∙ x + 10 ∙ (60 − x)

60= 8 → x = 48


76 LM 10 – LA MEDIA

Invece di impostare una equazione si potrebbe procedere per tentativi verificando le risposte. Ad esempio la risposta A) comporterebbe 46 lavoratori pagati 7,5 euro l’ora e 60-46=14 lavoratori pagati

10 euro l’ora. Il valor medio sarebbe 46∙7,5+14∙10

60=

485

60 ≠ 8. La risposta A) non è corretta.

Si procede in questo modo fino alla risposta corretta.

Esempio

Chiara, Diana, Elisa, Federica e Grazia appartengono a una squadra femminile di calcetto 5 contro 5. Dopo aver giocato 20 partite, Chiara ha segnato in media 1,2 gol a partita, Diana 0,6 gol a partita e Elisa 0,75 gol a partita. Le altre giocatrici, Federica e Grazia, non hanno segnato alcun gol. Durante le 5 partite seguenti, Chiara segna in totale altri 6 gol, mentre Diana, Elisa e Federica segnano ciascuna 1 gol e Grazia non ne segna nemmeno uno. Qual è in media il numero di gol segnati per partita dall’intera squadra dopo 25 partite?

A) 12,00 B) 2,55 C) 2,40

D) 0,48 E) 0,60

Il quiz chiede la media dei gol segnati dall’intera squadra dopo 25 partite. I dati sono divisi in due fasi: prime 20 partite e restanti 5 partite. Dovremo sommare tutti i gol di tutte le atlete. Chiara nelle prime venti partite ha riportato una media di 1,2 gol a partita; il totale dei suoi gol in 20

partite è 1,2 ∙ 20 = 24 gol. Svolgiamo un simile ragionamento per le altre atlete.

Prime 20 partite Restanti 5 partite Totale in 25 partite

Chiara 1,2 ∙ 20 = 24 6 30 Diana 0,6 ∙ 20 = 12 1 13 Elisa 0,75 ∙ 20 = 15 1 16 Federica 0 1 1 Grazia 0 0 0

TOTALE 𝟔𝟎

Media 𝟔𝟎

𝟐𝟓= 𝟐, 𝟒


Esempio

Se in una certa zona la piovosità media è di 360 millimetri all’anno, quanto piove mediamente in due anni e cinque mesi?

A) 570 millimetri B) 900 millimetri C) 720 millimetri

D) 270 millimetri E) 870 millimetri

LA MEDIA – LM 10 77

In questo quiz l’uso del concetto di piovosità “media” ci permette di immaginare che la piovosità è identica in ogni giorno dell’anno e di calcolare con una semplice proporzione la piovosità media nel periodo di 2 anni e 5 mesi (corrispondente a 29 mesi)

360 𝑚𝑚 ∶ 12 𝑚𝑒𝑠𝑖 = 𝒙 𝑚𝑚 ∶ 29 𝑚𝑒𝑠𝑖

𝑥 = 360 ∙ 29

12= 870 𝑚𝑚


Esempio

In auto percorriamo un primo tratto in leggera discesa di 100 km alla velocità costante di 100 km/h, e un secondo tratto in salita di 100 km alla velocità costante di 50 km/h. Possiamo affermare che:

A) la media delle velocità indicate dal tachimetro durante il moto è circa 75 km/h B) dato che abbiamo tratti in discesa, è impossibile che la velocità possa rimanere costante C) nessuna delle altre risposte proposte è corretta, visto che non abbiamo tenuto conto della

natura vettoriale della velocità D) la media delle velocità indicate dal tachimetro durante il moto è circa 66,7 km/h E) il modulo del vettore velocità media può essere anche superiore a 100 km/h, dato che non ci

muoviamo lungo una retta

La velocità media nell’intero percorso si calcola esclusivamente come 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 (mai come media

delle velocità). Dobbiamo prima calcolare il tempo impiegato per ciascun tratto.

𝑡1 =𝑠𝑝𝑎𝑧𝑖𝑜1

𝑣1=

100 𝑘𝑚

100 𝑘𝑚ℎ

= 1 ℎ

𝑡2 =𝑠𝑝𝑎𝑧𝑖𝑜2

𝑣2=

100 𝑘𝑚

50 𝑘𝑚ℎ

= 2 ℎ

𝑡𝑡𝑜𝑡 = 𝑡1 + 𝑡2 = 1 + 2 = 3 ℎ A questo punto calcoliamo la velocità media:

𝑣𝑚𝑒𝑑 =𝑠𝑝𝑎𝑧𝑖𝑜𝑡𝑜𝑡

𝑡𝑡𝑜𝑡=

200 𝑘𝑚

3 ℎ= 66,7

𝑘𝑚

ℎ

Questo risultato conferma che la velocità media non si calcola come media dei valori di velocità (questo

calcolo errato porterebbe al valore di 75 km/h, risposta A)

La risposta corretta è la D) Trovi i quiz per esercitarti su questa tipologia a pag. 373

LO

LOGICA ORGANIZZATIVA Alcuni quiz prevedono la determinazione della posizione spazio-temporale di un certo oggetto-fatto. Anche se spesso sono presenti numeri, questo tipo di logica non è puramente matematica, ma richiede capacità di organizzazione dei dati forniti da realizzare con tabelle, grafici e schemi.

LO 1 CALENDARIO

LO 2 PIAZZAMENTI

LO 3 ORDINAMENTO

LO 4 ESTRAZIONI AL BUIO

LO 5 PESATE

LO 6 PROBLEMI DI EQUILIBRIO

LO 7 PROBLEMI DI ASSOCIAZIONE

LO 8 ALBERO GENEALOGICO

LO 9 TORNEI E CAMPIONATI

LO 10 CRONOLOGIE

LO 11 DISPOSIZIONI NELLO SPAZIO

112 LO 2 – PIAZZAMENTI

LO 2 PIAZZAMENTI

Quando questo quiz viene proposto nei test di ammissione ripete sempre la stessa forma espositiva. È bene imparare a riconoscerlo e a memorizzare la tecnica risolutiva. Consideriamo una classifica di piazzamenti in una competizione. Immaginiamo il piazzamento di 11 atleti in una competizione e consideriamo l’atleta che si è piazzato al quinto posto.

In una classifica al contrario in cui il primo è il peggiore, questo atleta si è piazzato settimo. In generale al proprio piazzamento nella classifica dei migliori corrisponde un piazzamento in quella dei peggiori. Dopo aver fatto queste considerazioni risulterà facile comprendere il senso del seguente quiz.

PIAZZAMENTI – LO 2 113

Esempio

Un ciclista partecipa ad una gara e si piazza al quinto posto della classifica. Uno spettatore gli fa però notare che nella competizione è stato il settimo peggior ciclista. Quanti ciclisti hanno partecipato alla competizione?

A) 13 B) 21

C) 11

D) 33 E) 15

La tecnica risolutiva più rapida è la seguente: Consideriamo che se il ciclista è quinto, allora avrà 4 atleti davanti. Per il fatto che è il settimo dei peggiori allora potremo dire che avrà 6 atleti dietro di lui.

TOTALE: 4 avanti + 6 dietro +1 lui = 11

La risposta corretta è la C) Lo stesso tipo di quiz è stato proposto con una struttura espositiva più “criptata” nel seguente modo.

Esempio

Sandra ha partecipato ad una gara di equitazione salto ostacoli. Le regole della gara erano le seguenti:

1. ciascun concorrente partecipa a due gare cronometrate 2. l’ordine in cui i concorrenti saltano per la 1a gara è estratto a sorte 3. nella 2a gara i concorrenti saltano nell’ordine contrario al piazzamento ottenuto

nella 1a gara. Sandra era l’undicesima concorrente a saltare nella 1a gara. Alla fine della 1a gara si era piazzata al settimo posto in classifica e, quindi, nella 2a gara era la quindicesima concorrente a saltare. Quanti concorrenti hanno preso parte alla gara di salto ostacoli?

A) 22 B) 25 C) 16

D) 33 E) 21

La posizione di piazzamento in ordine inverso partendo dal peggiore viene proposta con un artificio, cioè organizzando la seconda partenza con l’ordine inverso del piazzamento della prima gara. Perciò il fatto che nella seconda gara Sandra parta come quindicesima significa che nella prima gara era la quindicesima dei peggiori. Osserviamo anche che il dato “Sandra era l’undicesima concorrente a saltare nella 1a gara” è un dato inutile, ovvero un distrattore perché l’ordine della prima gara è casuale. Sara si è piazzata settima nella prima gara e perciò avrà 6 atleti davanti. Per il fatto che nella seconda gara parte 15a ha 14 atleti dietro di lei.

TOTALE: 6 avanti + 14 dietro +1 lei = 21


114 LO 3 – ORDINAMENTO

LO 3 ORDINAMENTO

Alcuni quiz si basano sull’ ordinamento di eventi in ordine crescente o decrescente. Può trattarsi di un ordine temporale, dell’altezza di un gruppo di persone o la velocità di diversi veicoli, oppure può trattarsi del piazzamento in una competizione, e così via.

I dati sono forniti con una serie di affermazioni che ci permettono di collocare i diversi elementi in un grafico su un asse che rappresenta la grandezza in gioco.

Per esempio mettiamo in grafico le due affermazioni: “B è maggiore di C; C è maggiore di A” una alla volta. Il grafico che ne deriva è semplice ed immediato da comprendere. Mettiamo ora in grafico le due affermazioni: “P è maggiore di M; M è uguale ad N” una alla volta.

Il grafico che ne deriva è semplice ed immediato da comprendere. Valutiamo queste due affermazioni: “B è minore di C; A è minore di C.” Non emerge dalle due affermazioni alcuna informazione su come si relazionano tra di loro gli elementi B ed A, se non il fatto che entrambi sono minori di C. Nel rappresentare la situazione in grafico bisogna evitare di aggiungere informazioni che il testo non fornisce. Perciò gli elementi B ed A devono essere scritti sovrapposti con frecce che indicano le diverse possibilità di posizione reciproca.

A C

A

BC

A

A

B

A

CC

A

A B

A

CC

A

Grafico errato con questa rappresentazione si aggiunge l’informazione “A minore di B” che il testo non prevede

N

M

A

PC

A

Grafico corretto L’ indeterminazione è evidenziata senza

aggiungere informazioni inesistenti

ORDINAMENTO – LO 3 115

Nel rappresentare in grafico tutte le informazioni contenute nel testo del quiz a volte non si determinano con precisione tutte le posizioni degli elementi in gioco. Bisogna lasciare il grafico così come è senza aggiungere informazioni ulteriori. La risposta corretta sarà in ogni caso individuabile. Attenzione: a volte vengono usati nello stesso quiz aggettivi opposti del tipo “maggiore” e “minore”, oppure “alto” e “basso”. Nella fretta di giungere rapidamente alla soluzione del quiz può capitare di fare confusione.

Esempio

Marianna ha tre sorelle, Francesca, Simona e Antonietta, e due fratelli, Domenico e Vincenzo. Si sa che:

I) Domenico è il maggiore di tutti; II) Vincenzo è più grande di Simona e Francesca (non necessariamente in quest’ordine)

ma più piccolo di Marianna e Antonietta (non necessariamente in quest’ordine). In base alle informazioni precedenti è certamente vero che:

A) Domenico è più piccolo di Vincenzo

B) Marianna è più piccola di Domenico ma più grande di Vincenzo

C) Vincenzo è più grande di Marianna

D) Antonietta potrebbe essere più grande di Francesca

E) Simona è più piccola di Domenico ma più grande di Vincenzo

La rappresentazione in grafico è la seguente:

Risulta facile individuare che l’unica affermazione certamente vera è quella della risposta B)

Grafico errato con questa rappresentazione si aggiunge l’informazione “B minore di A” che il testo non prevede

A B

A

CC

A

Simona Vincenzo

A

Domenico

Francesca

Marianna

Antonietta

Più grande Più piccolo

116 LO 3 – ORDINAMENTO

Esempio

“Le ciliegie sono più dolci delle pesche; le pesche sono più aspre delle albicocche; le albicocche sono meno aspre delle ciliegie”. In base alle precedenti informazioni, è necessariamente vero che:

A) le albicocche sono meno dolci delle ciliegie

B) le pesche sono meno aspre delle albicocche

C) le albicocche sono più dolci delle ciliegie

D) le ciliegie sono meno dolci delle pesche

E) le albicocche sono più aspre delle pesche

Rappresentiamo in grafico ponendo attenzione al fatto che aspro è l’opposto di dolce.

Risulta facile individuare che l’unica affermazione certamente vera è quella della risposta C)

Esempio

Su un pianeta vivono tre persone: Antonio, Marco, Giovanni. Esiste una persona sul pianeta, più ricca di tutte le altre. Marco è più ricco di Antonio. Antonio è più povero di Giovanni. Quale delle seguenti conclusioni è sicuramente FALSA?

A) Antonio è il più povero

B) Giovanni è il più ricco

C) Giovanni è più povero di Marco

D) Marco e Giovanni hanno la stessa quantità di soldi

E) Marco è il più ricco

Rispetto ai quiz precedenti esiste anche la prima informazione “Esiste una persona sul pianeta, più ricca di tutte le altre” della quale dovremo tener conto. Con le due informazioni “Marco è più ricco di Antonio. Antonio è più povero di Giovanni” possiamo realizzare il seguente schema Non risulta determinata la posizione relativa tra Giovani e Marco. Dalla prima informazione sappiamo però che tra Giovanni e Marco sicuramente ce ne sarà uno che è più ricco anche se non sappiamo quale dei sia.

Valutiamo le cinque risposte cercando di individuare quella sicuramente falsa.

più dolce meno aspro

meno dolce più aspro

Pesche Ciliegie Albicocche

Giovanni

Marco Antonio

più ricco meno ricco

ORDINAMENTO – LO 3 117

A) Antonio è il più povero

Sicuramente vera.

B) Giovanni è il più ricco

È possibile e non sarà “sicuramente falsa”.

C) Giovanni è più povero di Marco


D) Marco e Giovanni hanno la stessa quantità di soldi

Questo non accadrà mai perché uno dei due è più ricco dell’altro. Questa è l’affermazione

sicuramente falsa che cerchiamo.

E) Marco è il più ricco




LV

LOGICA VERBALE

LV 1 LOGICA PROPOSIZIONALE

LV 2 NEGAZIONI

LV 3 DEDUZIONI

LV 4 ANALOGIE VERBALI

LV 5 COMPETENZE LESSICALI

LV 6 PAROLE SOSTITUITE A NUMERI

LV 7 INTERPRETAZIONE DI TESTI

LV 8 RAGIONAMENTO CRITICO

LV 9 GIOCHI DI LETTERE E PAROLE

LV 10 RELAZIONI TRA INSIEMI

LOGICA PROPOSIZIONALE – LV 1 175

LV 1 LOGICA PROPOSIZIONALE

Qualsiasi quiz è sempre scritto rispettando le regole grammaticali e sintattiche della nostra lingua (analisi logica e del periodo) e rispettando anche le regole lessicali e semantiche dei termini utilizzati. In ogni quiz dobbiamo eseguire l’analisi proposizionale. Per analisi proposizionale intendiamo l’individuazione dei “connettivi logici” che conferiscono valore logico alle frasi di un testo. Grazie alla presenza di questi connettivi logici i sostantivi, i verbi, gli avverbi, le congiunzioni e gli aggettivi acquistano una valenza logica e la struttura verbale ottiene così un valore di ragionevolezza. In questo capitolo viene proposto un sistema di schematizzazione che rende veloce e scorrevole l’analisi proposizionale. Esprimiamo le parti di un’argomentazione con strutture molto simili a quelle del lessico matematico.

Iniziamo con il definire cosa è una PROPOSIZIONE LOGICA: è un enunciato che può essere vero o falso in modo non discutibile, è cioè una «formula ben formata» (fbf). Ad esempio sono fbf le affermazioni: “otto è un numero pari”, “Firenze è una bella città”, “oggi è una bella giornata”, “vado a passeggio”. Al contrario non è una fbf l’affermazione: “mi piacerebbe assistere all’ultima partita di campionato” che esprime un desiderio e non un fatto che può essere vero o falso. Alcune proposizioni si dicono complesse perché sono composte da più proposizioni come ad esempio: ”Se oggi è una bella giornata, allora vado a passeggio “.

Per indicare le preposizioni usiamo lettere simboliche: a, b, p, q, r, s, A, B, C.

Le proposizioni possono essere modificate e correlate con i seguenti connettivi logici:

¬ NOT a = io mangio ¬a = io non mangio

˄ AND [ ET ] a = io mangio b = io bevo a ˄ b = io mangio e bevo

˅ OR [ VEL ] a = io mangio b = io bevo a ˅ b = io mangio oppure bevo

˅̇ XOR [aut aut] a = io mangio b = io bevo a ˅̇ b = io o solo mangio o solo bevo

⇒ implicazione p = io mangio q = io digerisco p ⇒ q = se mangio allora digerisco

⇔ doppia implicazione r = c’è il sole s = io esco p ⇔ r = se e solo se c’è il sole allora esco

deriva Se piove mi bagno; oggi piove; oggi mi bagno.

176 LV 1 – LOGICA PROPOSIZIONALE

Poniamo: a = io canto e b = io ballo Il connettivo logico AND viene anche chiamato “et” o “congiunzione logica” e può essere scritto

con il simbolo “˄”. Lega due proposizioni a e b imponendo che siano vere entrambe contemporaneamente.

Nella formulazione verbale estesa viene scritto come “e”: “io canto e ballo”. Sinteticamente a ˄ b.

Per descrivere quando la proposizione complessa a ˄ b è vera o falsa si utilizza la tabella di verità:

a b a ˄ b

Vero Vero Vero a ˄ b risulta vero perché viene rispettata la condizione che a e b siano entrambi veri

Vero Falso Falso a ˄ b risulta falso perché non viene rispettata la condizione che a e b siano entrambi veri (b è falso)

Falso Vero Falso a ˄ b risulta falso perché non viene rispettata la condizione che a e b

siano entrambi veri (a è falso)

Falso Falso Falso a ˄ b risulta falso perché non viene rispettata la condizione che a e b

siano entrambi veri (a e b sono entrambi falsi)

Nella tabella di verità a ˄ b risulta vero quando a e b sono entrambi veri. Se uno dei due o entrambi

sono falsi allora a ˄ b sarà falso.

Poniamo: a = io canto e b = io ballo Il connettivo logico OR, chiamato anche “vel” o “disgiunzione inclusiva”, può essere scritto con il

simbolo “˅”. Lega due proposizioni a e b in modo che almeno una delle due debba essere vera (se sono vere entrambe va comunque bene). Nella formulazione verbale estesa viene scritto come “o” e “oppure”: “io canto oppure ballo” ma anche

“io o canto o ballo”. Sinteticamente a ˅ b.

Per descrivere quando la proposizione complessa a ˅ b è vera o falsa si utilizza la tabella di verità.

a b a ˅ b

Vero Vero Vero a ˅ b risulta vero perché viene rispettata la condizione che sia vero

almeno uno tra a e b (a e b sono entrambi veri)

Vero Falso Vero a ˅ b risulta vero perché viene rispettata la condizione che sia vero

almeno uno tra a e b (in questo caso a)

Falso Vero Vero a ˅ b risulta vero perché viene rispettata la condizione che sia vero

almeno uno tra a e b (in questo caso b)

Falso Falso Falso a ˅ b risulta falso perché non viene rispettata la condizione che sia

vero almeno uno tra a e b (a e b sono entrambi falsi)

Nella tabella di verità a ˅ b risulta vero quando almeno uno tra a e b è vero. Se entrambi sono falsi

allora a ˅ b sarà falso. Il connettivo logico OR è detto inclusivo in quanto la verità di una delle due proposizione include la possibilità che sia vera anche l’altra.

OR [ VEL ] a ˅ b (inclusivo – o…, o…)

AND [ ET ]

a ˄ b

LOGICA PROPOSIZIONALE – LV 1 177

Poniamo: a = io canto e b = io ballo Il connettivo logico XOR (eXclusive OR), chiamato anche “disgiunzione esclusiva”, viene

riconosciuto dalla tipica espressione “o solo.. o solo..” e può essere scritto con il simbolo “ ˅̇”. Lega due proposizioni a e b in modo che una sola delle due sia vera; se sono vere entrambe l’affermazione risulta falsa. Nella formulazione verbale estesa viene scritto come “o solo… o solo…”: “io o solo canto o solo

ballo”. Sinteticamente a ˅̇ b. Come abbiamo già visto per il connettivo logico vel, per descrivere quando la proposizione complessa

a ˅̇ b è vera o falsa si utilizza la tabella di verità.

a b a ˅̇ b

Vero Vero Falso a ˅̇ b risulta falso perché non viene rispettata la condizione che

sia vero uno ed uno soltanto tra a e b (sono entrambi veri)

Vero Falso Vero a ˅̇ b risulta vero perché viene rispettata la condizione che sia

vero uno ed uno solo tra a e b (in questo caso a)

Falso Vero Vero a ˅̇ b risulta vero perché viene rispettata la condizione che sia

vero uno ed uno solo tra a e b (in questo caso b)

Falso Falso Falso a ˅̇ b risulta falso perché non viene rispettata la condizione

che sia vero uno ed uno soltanto tra a e b (sono entrambi falsi)

Nella tabella di verità a ˅̇ b risulta vero quando uno ed uno solo tra a e b è vero. Se entrambi sono falsi

oppure se entrambi sono veri allora a ˅̇ b sarà falso.

Il connettivo logico XOR è detto esclusivo in quanto la verità di una proposizione esclude la possibilità che sia vera l’altra.

Il connettivo logico NOT può essere scritto con il simbolo “¬”. È simile al segno matematico “-“. Negare una affermazione è simile al cambio di segno di un numero.

Io canto e Io non canto possono essere scritti anche come a e ¬a analogamente al numero 4 che ha come opposto -4.

Si può applicare anche ad una affermazione complessa come ad esempio a ˄ b oppure a ˅ b; in tal caso la negazione va studiata con particolare attenzione e con specifiche leggi (ricorre frequentemente nei quiz dei test di ammissione) che avremo modo di studiare nel prossimo capitolo. Un’altra applicazione complessa della negazione che ricorre nei test è data dalle negazioni multiple. Studieremo anche queste nel prossimo capitolo.

NOT ¬

XOR (esclusivo – o solo…, o solo…)

a ˅̇ b

178 LV 1 – LOGICA PROPOSIZIONALE

Poniamo: A = io mangio e B = io digerisco L’implicazione lega due proposizioni in modo che una sia causa dell’altra.

Quando colleghiamo A e B con il connettivo logico di implicazione, possiamo schematizzare la struttura

logica con la scrittura A⇒B. Questo significa che la prima azione “io mangio” causa la seconda “io digerisco”. Questa struttura logica viene considerata una regola, ovvero una legge che, una volta espressa, deve essere sempre ritenuta valida. Un modo di esprimere verbalmente l’implicazione è la struttura “Se ……, allora ……”. Per

l’implicazione sopra riportata a titolo di esempio la struttura verbale risulta: “se A, allora B”, cioè “Se mangio, allora digerisco”.

Nota: Avremo modo di studiare nel capitolo LV 3.2 l’espressione “A è sufficiente per B” e “B è

necessario per A” che esprimono la regola A⇒B.

Poniamo: A = c’è il sole e B = io esco La doppia implicazione lega le due proposizioni in modo che una sia causa dell’altra e viceversa.

Quando colleghiamo A e B con il connettivo logico ⇔ possiamo schematizzare la struttura logica con la

scrittura A⇔B. Questo significa che la prima azione “c’è il sole” implica la seconda “io esco”; al contempo “io esco” implica che “c’è il sole”. Anche questa struttura logica viene considerata una regola, ovvero una legge che, una volta espressa, deve essere sempre ritenuta valida. Un modo di esprimere verbalmente la doppia implicazione è la struttura “Se e solo se ……, (allora) ……”. Per l’implicazione sopra riportata la struttura verbale risulta: “Se e solo se r, allora s”, cioè “Se e solo se c’è il sole, allora esco”.

Nota: Avremo modo di studiare nel capitolo LV 3.2.5 a pag. 245 l’espressione “A è necessaria e

sufficiente per B” che esprime la regola A⇔B.

Quando abbiamo due proposizioni vere possiamo derivarne una conclusione. Ad esempio se abbiamo le due seguenti proposizioni:

Quando piove mi bagno Oggi piove

possiamo trarre come conclusione che oggi mi bagno

Possiamo schematizzare il connettivo logico di derivazione con una freccia marcata .

Se è vero che quando piove mi bagno ed oggi piove mi bagno.

Nota: Nel capitolo LV 3 avremo modo di studiare ampiamente queste situazioni.

DOPPIA IMPLICAZIONE

⇔

IMPLICAZIONE

⇒

DERIVAZIONE

NEGAZIONI – LV 2 179

LV 2 NEGAZIONI

LV 2.1 NEGAZIONE DI CONNETTIVI LOGICI

Esaminiamo ora l’uso del connettivo logico NOT (¬) insieme ai connettivi logici AND e OR. Diciamo per semplicità “negare AND” o “negare OR”, ovvero negare una proposizione complessa.

NEGAZIONE DI AND

Riprendiamo l’esempio precedente:

Poniamo a = io canto e b = io ballo.

Utilizziamo il connettivo logico AND: a ˄ b io canto e io ballo.

Ora neghiamo a ˄ b e scriviamo ¬ (a ˄ b).

¬ (a ˄ b) può essere espressa verbalmente come: “Non è vero che io canto e ballo” Ragioniamo per capire in quali situazioni risulta verificata (cioè vera) la negazione.

L’uso di AND prevede che entrambe le parti a e b siano vere. Se è falsa una o è falsa l’altra, allora stiamo negando quanto è stato espresso da AND. Cioè, se “io canto ma non ballo” oppure se “io ballo ma non canto” sto negando il fatto che “io canto e ballo”. Ovviamente la proposizione

complessa a ˄ b risulta falsa, cioè negata, anche nel caso che le due proposizioni a e b siano entrambe false.

Se scriviamo questo ragionamento in modo simbolico otteniamo: ¬ (a ˄ b) = ¬ a ˅ ¬ b Questa importante osservazione costituisce una delle due leggi di De Morgan.

Esempio

Negare che domani ci sarà il sole e andremo in campagna equivale a dire che: A) Domani non ci sarà il sole e perciò non andremo in campagna. B) Domani non ci sarà il sole e non andremo in campagna.

C) Domani non ci sarà il sole ma andremo comunque in campagna. D) Domani ci sarà il sole ma non andremo in campagna E) Domani o non ci sarà il sole o non andremo in campagna.

¬ (a ˄ b)

Prima legge di De Morgan

¬ (a ˄ b) = ¬ a ˅ ¬ b

180 LV 2 – NEGAZIONI Il modo corretto di affrontare il quiz è quello di individuare le parole chiave e i connettivi logici presenti nel testo.

Negare che domani ci sarà il sole e andremo in campagna

È utile scrivere sopra il testo del quiz i simboli in questo modo. Piuttosto che leggere e valutare le singole risposte cerchiamo di applicare, come tecnica risolutiva, la

prima legge di De Morgan: ¬ (a ˄ b) = ¬ a ˅ ¬ b

¬ a ˅ ¬ b si può esprimere come:

domani non ci sarà il sole oppure non andremo in campagna

Immediatamente riconosciamo questa struttura nella risposta corretta E).

Se volessimo risolvere questo quiz analizzando in modo più istintivo che logico le risposte, sarebbe facile sbagliarsi.

Analizziamo le risposte sbagliate cercando di capire dove si trova l’errore che è stato volutamente introdotto da chi ha formulato il quiz.

A) Domani non ci sarà il sole e perciò non andremo in campagna. In questa risposta viene erroneamente introdotto un senso di causa effetto (e perciò) tra “il

sole”(a) e “l’uscita in campagna”(b).

B) Domani non ci sarà il sole e non andremo in campagna. La negazione di AND non comporta obbligatoriamente la negazione di entrambe le parti a e b. Questa alternativa è un tipico distrattore e può sembrare corretta ad un primo sguardo superficiale del quiz. Risulta invece riduttiva rispetto al più ampio numero di casi che

costituiscono le possibili negazioni di a ˄ b, ovvero i casi: “¬a, b” ; “a, ¬b” ; “¬a, ¬b”.

C) Domani non ci sarà il sole ma andremo comunque in campagna. (¬a et b)

Questa situazione può essere ambigua e trarre in inganno. Infatti ritrae la situazione “¬a ˄ b”.

Questa situazione, di suo, nega l’affermazione di partenza a ˄ b, ma non è l’unica situazione a

creare la negazione di a ˄ b.

La legge di De Morgan afferma che ¬ (a ˄ b) equivale a ¬a ˅ ¬b che a sua volta equivale ai tre

casi: “a, b” ; “a, ¬b” ; “¬a, ¬b”

“¬a, b” da solo è una delle possibili situazioni che negano a ˄ b, ma non è la sua negazione

completa. È anche questa una risposta riduttiva come la risposta B).

D) Domani ci sarà il sole ma non andremo in campagna Per questa risposta vale un ragionamento uguale a quello esposto per la risposta precedente.

Infatti la risposta D) ritrae la situazione “a ,¬b” che da sola è un qualcosa che nega a ˄ b, ma

non è la sua negazione completa. Risposta riduttiva.

¬ NOT

a b AND

¬a ¬b

OR

˄

˅


NEGAZIONE DI OR


Poniamo a = io canto e b = io ballo

Utilizziamo il connettivo logico OR: a ˅ b io o canto o ballo.

Ora neghiamo a ˅ b e scriviamo ¬ (a ˅ b).

¬ (a ˅ b) può essere espressa verbalmente come: “Non è vero che io canto oppure ballo” Ragioniamo per capire in quali situazioni risulta verificata (cioè vera) la negazione.

L’uso di OR prevede che almeno una delle due parti a o b sia vera. Se sono false entrambe, allora stiamo negando quanto è stato espresso da OR. Cioè, se “io non canto” e “io non ballo” sto negando il fatto che “io canto oppure ballo”.

Se scriviamo questo ragionamento in modo simbolico otteniamo: ¬(a ˅ b) = ¬a ˄ ¬b Questa importante osservazione costituisce la seconda delle due leggi di De Morgan

Esempio

Negare che Giuseppe è stanco oppure è influenzato equivale a dire che: A) Giuseppe non è stanco, ma è influenzato. B) Giuseppe non è influenzato, ma è stanco.

C) Giuseppe non è stanco, ma potrebbe essere influenzato. D) Giuseppe non è influenzato e non è stanco. E) Giuseppe non è influenzato, ma potrebbe essere stanco.

Come nel precedente quiz dobbiamo individuare le parole chiave e i connettivi logici presenti nel testo.

Negare che Giuseppe è stanco oppure è influenzato

Piuttosto che leggere e valutare le singole risposte cerchiamo di applicare, come tecnica risolutiva, la

seconda legge di De Morgan: ¬ (a ˅ b) = ¬ a ˄ ¬b.

¬ (a ˅ b)

Seconda legge di De Morgan

¬ (a ˅ b) = ¬ a ˄ ¬ b

¬ NOT

a b OR ˅

182 LV 2 – NEGAZIONI

a ˄ ¬ b si può esprimere come:

Giuseppe non è stanco e non è influenzato

Immediatamente riconosciamo questa struttura nella risposta corretta D).

Analizziamo le risposte sbagliate cercando di capire dove si trova l’errore che è stato volutamente introdotto da chi ha formulato il quiz. Le risposte A) e B) non negano entrambe le parti a e b. Sono perciò errate.

A) Giuseppe non è stanco, ma è influenzato.

B) Giuseppe non è influenzato, ma è stanco.

Le risposte C) ed E) sono simili alle risposte A) e B) ed inoltre introducono un senso di possibilità che non ha alcun senso in questo quiz.

C) Giuseppe non è stanco, ma potrebbe essere influenzato.

Giuseppe non è influenzato, ma potrebbe essere stanco.

AND ¬a ¬b ˄


NEGAZIONE DI XOR


Poniamo a = io canto e b = io ballo

Utilizziamo il connettivo logico XOR: a ˅̇ b : io o solo canto o solo ballo.

Ora neghiamo a XOR b e scriviamo ¬(a ˅̇ b).

¬(a ˅̇ b) può essere espressa come: “Non è vero che io o solo canto o solo ballo” Ragioniamo per capire in quali situazioni risulta verificata (cioè vera) la negazione.

L’uso di XOR prevede che una ed una sola delle due parti a o b sia vera. Se si verificano entrambe, allora stiamo negando quanto è stato espresso da XOR. Anche se non si verificano entrambe stiamo negando. A differenza della negazione di AND e di OR la cui negazione corrisponde ad una unica legge (De Morgan), esistono infatti due situazioni possibili che negano XOR.

a ˄ b ¬ (a ˅̇ b) =

¬a˄ ¬b

Quando un quiz coinvolge una disgiunzione esclusiva XOR, capita spesso che presenti una struttura tale da riuscire a coinvolgere nella risposta corretta entrambe le due situazioni che lo negano.

Esempio

Per negare che nella trattoria La Romana servono o solo pizza o solo pasta possiamo affermare che:

1) Nella trattoria Romana non servono né pizza né pasta. 2) Nella trattoria Romana servono pizza e non servono pasta. 3) Nella trattoria Romana servono sia pizza che pasta. 4) Nella trattoria Romana non servono pizza ma servono pasta.

Quale delle quattro precedenti affermazioni nega la proposizione iniziale. A) Soltanto la 1. B) Soltanto la 4. C) La 1 e la 3.

D) La 2 e la 4 E) Soltanto la 4.

Individuiamo le parole chiave e i connettivi logici presenti nel testo

negare che nella trattoria La Romana servono o solo pizza o solo pasta Riconosciamo il connettivo logico XOR e sappiamo che esistono due possibili modi di negarlo:

a ˄ b e ¬a ˄ ¬b che ritroviamo nelle affermazioni 3 ed 1.


¬ (a ˅̇ b)

NOT a b XOR

¬ XOR

˅̇ ˅̇

DEDUZIONI – SILLOGISMI – LV 3 207

LV 3.1.2 QUIZ CHE PREVEDONO IL CORRETTO

COMPLETAMENTO DEL SILLOGISMO

Quando un quiz parla esplicitamente di un sillogismo da completare, allora dobbiamo individuare il

termine medio ed escluderlo dalla conclusione.

Esempio

Tutti i filosofi sono antipatici – qualche filosofo è italiano – dunque ................. è antipatico. S’individui il CORRETTO COMPLETAMENTO del sillogismo:

A) ogni italiano B) ogni filosofo C) qualche italiano D) qualche antipatico E) qualche filosofo

1) Individuiamo i tre insiemi in gioco: “filosofi”, “italiani” e “antipatici”.

Analizziamo tutte le proposizioni che compongono il testo.

La prima proposizione “Tutti i filosofi sono antipatici“ contiene il quantificatore Tutti che porta ad una relazione di INCLUSIONE. La seconda proposizione “qualche filosofo è italiano“ contiene il quantificatore qualche che porta ad una relazione di INTERSEZIONE.

antipatici

208 LV 3 – DEDUZIONI – SILLOGISMI

Riuniamo i due diagrammi e avremo il sistema relazionale completo:

Nota: tratteggiamo il bordo dell’insieme italiani che interseca antipatici perché non sappiamo

nulla sull’esistenza di antipatici italiani.

2) Identifichiamo il TEMINE MEDIO “filosofi“ che ricorre in entrambe le premesse. Questo non dovrà comparire nella conclusione.

Scartiamo quindi le risposte B) ed E) che contengono il termine medio.

Scartiamo anche la risposta D) che porterebbe ad asserire “qualche antipatico è antipatico” espressione autoreferente (o tautologia), di per sé esatta ma che non rappresenta una conclusione del sillogismo.

Dobbiamo scegliere tra le risposte A) e C): “ogni italiano è antipatico” oppure “qualche italiano è antipatico”. Ci viene in aiuto il diagramma che abbiamo realizzato che indica

senza possibilità di dubbio la risposta C) “qualche italiano è antipatico”.



Esempio

Tutti i condottieri sono coraggiosi – nessun coraggioso è dissimulatore – dunque ...................... è condottiero. Si individui il CORRETTO COMPLETAMENTO del sillogismo:

A) nessun dissimulatore B) nessun coraggioso C) qualche condottiero

D) qualche dissimulatore E) ogni dissimulatore

1) Individuiamo i tre insiemi in gioco: “condottieri”, “coraggiosi” e “dissimulatori”.

Analizziamo tutte le proposizioni che compongono il testo. La prima proposizione “Tutti i condottieri sono coraggiosi “ contiene il quantificatore Tutti che porta ad una relazione di INCLUSIONE.

La seconda proposizione “nessun coraggioso è dissimulatore“ contiene il quantificatore “nessun” che porta ad una relazione di ESCLUSIONE.

Riuniamo i due diagrammi e avremo il sistema completo:

2) Identifichiamo il TEMINE MEDIO “coraggiosi“ che ricorre in entrambe le premesse.

Questo non dovrà comparire nella conclusione.

210 LV 3 – DEDUZIONI – SILLOGISMI Scartiamo quindi la risposta B) che contiene il termine medio. Scartiamo anche la risposta C) che porterebbe ad asserire “qualche condottiero è condottiero” espressione di per sé esatta ma che non rappresenta una conclusione del sillogismo (è una espressione autoreferente o tautologia).

Dobbiamo scegliere tra le risposte A) D) ed E): “nessun dissimulatore è condottiero” oppure “qualche dissimulatore è condottiero” oppure “ogni dissimulatore è condottiero”. Ci viene in aiuto il diagramma che abbiamo realizzato che indica senza possibilità di dubbio la risposta A) “nessun dissimulatore è condottiero”.


Esempio

Nessun ingenuo è cattivo – qualche cattivo è adulto – dunque ........................................ non è ingenuo. S’individui il CORRETTO COMPLETAMENTO del sillogismo:

A) ogni adulto B) qualche ingenuo C) qualche cattivo D) ogni cattivo E) qualche adulto

1) Individuiamo i tre insiemi in gioco: “ingenui”, “cattivi” e “adulti”.

2) Analizziamo tutte le proposizioni che compongono il testo.

La prima proposizione “Nessun ingenuo è cattivo“ contiene il quantificatore nessun che porta ad una relazione di ESCLUSIONE.


La seconda proposizione “qualche cattivo è adulto “ contiene il quantificatore qualche che porta ad una relazione di INTERSEZIONE.

Prima di riunire di due diagrammi riflettiamo sul rapporto tra l’insieme “adulti” e l’insieme “ingenui”. Poiché non abbiamo informazioni su tale rapporto, indichiamo con un tratteggio la possibile intersezione tra i due insiemi. Rimane così la possibilità (e non la certezza) che esistano persone ingenue ed adulte.

3) Identifichiamo il TEMINE MEDIO “cattivi “ che ricorre in entrambe le premesse. Questo non dovrà comparire nella conclusione.

Scartiamo quindi le risposte C) ed D) che contengono il termine medio. Scartiamo anche la risposta B) che porterebbe ad asserire “qualche ingenuo non è ingenuo” espressione errata nella formulazione stessa. Dobbiamo scegliere tra le risposte A) ed E): “ogni adulto non è ingenuo” oppure “qualche adulto non è ingenuo”. Ci viene in aiuto il diagramma che abbiamo realizzato che indica che la risposta A) è restrittiva perché esclude la possibile esistenza dell’intersezione tratteggiata in grafico.


254 LV 3 – TAVOLE DI VERITÀ

LV 3.4 TAVOLE DI VERITÀ

Le tavole di verità permettono di esprimere il valore di Vero o Falso per un certo enunciato costituito

da operatori logici applicati a due proposizioni A e B.

Si inizia dalla tabella che propone tutte le combinazioni possibili tra i valori di A e B.

Consideriamo diverse correlazioni logiche tra A e B:

LA NEGAZIONE (¬)

La negazione semplicemente inverte il senso della proposizione: da vera diventa falsa e viceversa.

AND (˄), OR (˅) e XOR (˅̇) Abbiamo studiato nel capitolo LV 1 a pag. 161 il senso di questi connettivi logici e come si ritrovano nelle tavole di verità:

A B

V V

V F

F V

F F

A ¬A B ¬B

V F V F

F V F V

A B A ˄ B A B A ˅ B

A B A ˅̇ B

V V V V V V V V F

V F F V F V V F V

F V F F V V F V V

F F F F F F F F F

TAVOLE DI VERITÀ – LV 3 255

IMPLICAZIONE Abbiamo studiato nel capitolo LV 3.2 a pag. 222 le condizioni sufficienti. Teniamo presente la tabella di applicazione delle condizioni sufficienti con i quattro possibili casi a pagina 228.

Abbiamo visto nel “modus ponens” che data la regola A⇒B , quando si verifica il caso A (A Vero),

allora sarà di conseguenza vero anche B. Quando invece si verifica il caso ¬A (A Falso), B può assumere entrambi i valori.

Nella tavola di verità nel caso A Vero e B Vero la regola è ben applicata e pertanto la regola è Vera.

Nel caso A Vero e B Falso la regola NON è ben applicata e pertanto la regola è Falsa.

Nel caso A Falso la regola non fornisce deduzioni certe e possiamo avere liberamente B Vero oppure B Falso la regola NON è violata e pertanto è Vera. Riassumendo:

A B A⇒B

V V V

A B A⇒B

V F F

A B A⇒B

F V V

F F V

A B A ⇒ B

V V V

V F F

F V V

F F V

Con il caso A Vero deve risultare B

Vero. Poiché in questa riga risulta B Falso, la regola risulta falsa/violata.

Con il caso A Falso può risultare B Vero oppure falso. La regola risulta Vera perché non è violata.


DOPPIA IMPLICAZIONE Abbiamo studiato nel capitolo LV 3.2.5 a pag. 245 le condizioni sufficienti e necessarie. Teniamo presente la tabella di applicazione con i quattro possibili casi a pagina 226

Nella tabella di verità nel caso A Vero e B Vero la regola è ben applicata e pertanto la regola è Vera.

Nel caso A Vero e B Falso la regola NON è ben applicata e pertanto la regola è Falsa/violata.

Nel caso A Falso e B Vero la regola NON è ben applicata e pertanto la regola è Falsa/violata.

Nel caso A Falso e B Falso la regola è ben applicata e pertanto la regola è Vera.

Riassumendo:

A B A⇔B

V V V

A B A⇔B

V F F

A B A⇔B

F V F

A B A⇔B

F F V

A B A⇔B

V V V

V F F

F V F

F F V


Esempio

Le tavole di verità sono tabelle usate nella logica per determinare se, attribuiti i valori di verità alle proposizioni che la compongono, una determinata proposizione è vera o falsa. Le tavole di

verità della congiunzione “e” (˄), dell’implicazione (⇒) e della negazione “non” (¬) sono rispettivamente:

Qual è la tabella di verità della proposizione P: (¬A ⇒ B) ˄ A ?

A)

A B P V V V

V F F

F V F

F F F

B)

A B P V V F

V F V

F V V

F F F

C)

A B P V V F

V F F

F V F

F F F

D)

A B P V V V

V F V

F V F

F F F

E)

A B P V V V

V F V

F V F

F F V

Per costruire la tavola di verità dalla proposizione (¬A ⇒ B) ˄ A , INIZIAMO PER GRADI

affiancando inizialmente alla tavola i valori di ¬A e B per poi operare l’implicazione ⇒

Alla prima riga troviamo F ⇒ V. Il suo valore risulta dalle tavole di verità qui

accanto dell’operatore logico ⇒.

(F ⇒ V) = V . Scriviamo così il valore

Vero. Facciamo attenzione a non confonderci

nella lettura di A e B. Nella tavola qui a fianco (Tavola di verità dell’opera dell’operatore logico ⇒). A e B sono generici e dobbiamo considerare solo i valori di V e F per ricavare l’applicazione dell’operatore

logico ⇒.

A B A ˄ B A B A ⇒ B

A ¬A V V V V V V V F

V F F V F F F V

F V F F V V

F F F F F V

A B ¬A ⇒ B ¬A ⇒ B

prima riga V V

F ⇒ V

seconda riga V F F ⇒ F

terza riga F V V ⇒ V

quarta riga F F V ⇒ F

A B A ⇒ B

V V V

V F F

F V V

F F V

V riportiamo il valore Vero nella prima riga


Alla seconda riga troviamo F ⇒ F. Il suo valore risulta dalle tavole di verità qui


(F ⇒ F) = V . Scriviamo così il valore Vero.

Alla terza riga troviamo V ⇒ V. Il suo valore risulta dalle tavole di verità qui


(V ⇒ V) = V . Scriviamo così il valore

Vero.

A B ¬A ⇒ B ¬A ⇒ B

prima riga V V F ⇒ V V

seconda riga V F

F ⇒ F

terza riga F V V ⇒ V


A B A ⇒ B

V V V

V F F

F V V

F F V

A B ¬A ⇒ B ¬A ⇒ B


seconda riga V F F ⇒ F V

terza riga F V

V ⇒ V


A B A ⇒ B

V V V

V F F

F V V

F F V

V riportiamo il valore Vero nella seconda riga

V riportiamo il valore Vero nella terza riga


Alla quarta riga troviamo V ⇒ F. Il suo valore risulta dalle tavole di verità qui


(V ⇒ F) = F . Scriviamo così il valore

Falso.

Abbiamo costruito così la tavola di verità di ¬A ⇒ B

Possiamo ora proseguire per costruire la tavola di verità della proposizione del quiz (¬A ⇒ B) ˄ A

A B ¬A ⇒ B ¬A ⇒ B


seconda riga V F F ⇒ F V

terza riga F V V ⇒ V V

quarta riga F F

V ⇒ F

A B A ⇒ B

V V V

V F F

F V V

F F V

A B ¬A ⇒ B ¬A ⇒ B

V V F ⇒ V V

V F F ⇒ F V

F V V ⇒ V V

F F V ⇒ F F

A B ¬A ⇒ B (¬A ⇒ B) ˄ A (¬A ⇒ B) ˄ A

V V F ⇒ V V ˄ V =

V F F ⇒ F V ˄ V =

F V V ⇒ V V ˄ F =

F F V ⇒ F F ˄ F =

F riportiamo il valore Falso nella quarta riga


Per completare la tavola bisogna effettuare l’operazione AND (˄) tra le due colonne (¬A ⇒ B) e A.

Possiamo far riferimento alla tavola di verità dell’operatore logico AND (˄) indicata nel test del quiz.

Avremo così alla prima riga e alla seconda riga V ˄ V = V

Alla terza riga V ˄ F = F

Alla quarta riga F ˄ F = F

Compiliamo così la tavola:


A B ¬A ⇒ B (¬A ⇒ B) ˄ A (¬A ⇒ B) ˄ A

V V F ⇒ V V ˄ V = V

V F F ⇒ F V ˄ V = V

F V V ⇒ V V ˄ F = F

F F V ⇒ F F ˄ F = F


LS

LOGICA VISUO-SPAZIALE Raccogliamo in questa sezione i quiz che richiedono la capacità di immaginare oggetti nello spazio e di comprenderne le possibili rotazioni, i ribaltamenti speculari ed altre alterazioni. La capacità di comprendere le strutture spaziali è una dote innata per alcune persone per le quali questo tipo di quiz risulta semplice. Chi non ha questa dote dovrà abituarsi ad usare tecniche di interpretazione degli oggetti nello spazio.

LS 1 OGGETTI TRIDIMENSIONALI

LS 2 SUDDIVISIONE DELLO SPAZIO

LS 3 CONTARE I LATI

LS 4 ROTAZIONI DI IMMAGINI

LS 5 EVOLUZIONE DI IMMAGINI

LS 6 RUOTE DENTATE

LS 7 DIVERSITÀ – ELEMENTI DA SCARTARE

LS 8 RIBALTAMENTI – IMMAGINI SPECULARI

LOGICA VISUO-SPAZIALE – LS 309

LS 1 OGGETTI TRIDIMENSIONALI

Per gli oggetti tridimensionali bisogna utilizzare l’immaginazione. Il tempo a disposizione per un singolo quiz non è sufficiente per realizzare un disegno.

Esempio

Piegando il modellino a sinistra si ottiene il solido mostrato:

A) In figura 1 B) In figura 3 C) In figura 4 D) In figura 5 E) In figura 2

Le possibili forme proposte per il solido ci fanno immediatamente pensare ad un parallelepipedo con alcune facce di troppo. Contiamo le facce del solido che formeremo. Chiamiamo le tre possibili facce del parallelepipedo col nome di Base, Lato corto e Lato lungo. Notiamo che sono presenti dei pezzetti di disegno che chiamiamo linguette che servono ad incollare il solido quando verrà chiuso. Il solido chiuso, se è regolare avrà due Basi, due Lati lunghi e due Lati corti.

Ci accorgiamo che le Basi sono due come dovrebbero, ma sono presenti tre lati lunghi invece di due e quattro lati corti invece di due. Quando immaginiamo di chiudere il solido ci accorgiamo che i lati in più andranno a sovrapporsi. Il solido che potrà formarsi è quello della figura 5 che rappresenta una scatola con coperchio mobile.

La risposta corretta è la D).

310 LS – LOGICA VISUO-SPAZIALE

Esempio

Quale o quali tra i solidi numerati sono compatibili con tale vista?

A) Solo il solido 2 B) I solidi 2 e 3 C) Solo il solido 3 D) I solidi 1 e 3 E) Il solido 4

Si tratta di una proiezione ortogonale. Estraiamo dalla prima figura la presenza di un triangolo in alto e di due rettangoli sottostanti dei quali quello centrale è più basso dell’altro. Indichiamo le due altezze con le lettere h ed H. Il lato secondo il quale effettuare la vista è il lato frontale. I quattro solidi proposti hanno tutti una piramide a base quadrata sulla sommità e di conseguenza avranno tutti un triangolo in alto sulla vista frontale. Cerchiamo i solidi che presentano come vista frontale due rettangoli proporzionati con le altezze h ed H che abbiamo individuato. Notiamo che le figure 2 e 3 soddisfano la nostra ricerca.

La risposta corretta è la B).

ESE

ESERCITAZIONI Si consiglia di svolgere i seguenti quiz solo dopo aver studiato la parte teorica relativa ad ogni sezione studiano i quiz svolti come esempio e seguendo gli schemi di ragionamento proposto. I quiz sono raccolti secondo la suddivisione riportata nell’indice.

LOGICA MATEMATICA – ESE 335

LM 1.1 PERCENTUALI

Teoria ed esempi a pag. 1

1. In un ospedale un gruppo di 150 pazienti è stato curato con un nuovo farmaco. Il 40% ha

mostrato netti miglioramenti entro 3 giorni dall’inizio della cura, il 25% dal 4º al 7º giorno e tutti i restanti tra l’8º e il 15º giorno. Quanti pazienti hanno mostrato miglioramenti dal 4º giorno in poi?

A) 90 pazienti B) 75 pazienti

C) 150 pazienti D) 104 pazienti

E) 60 pazienti

2. In un magazzino all’ingrosso un vestito del prezzo di 150 euro viene venduto in saldo con

uno sconto del 40%. Alla cassa viene successivamente applicata l’I.V.A. del 20%. Quanto spende il cliente per il vestito?

A) 120 euro B) 108 euro

C) 130 euro D) 132 euro

E) 90 euro

3. In un esame il punteggio finale può essere un qualunque numero intero compreso tra 0 e

180 (estremi compresi). Per essere promossi bisogna ottenere almeno il 45% del punteggio massimo ammissibile. Qual è il punteggio massimo che può aver ottenuto un alunno bocciato?

A) 70 B) 40

C) 90 D) 100

E) 80

4. Una società che inizialmente fatturava 100 milioni di euro ha visto calare del 60% il

fatturato nel primo anno, del 50% nel secondo e del 90% nel terzo. Qual è il suo fatturato alla fine del terzo anno?

A) 0 milioni di euro B) 4 milioni di euro

C) 98 milioni di euro D) 2 milioni di euro

E) 1 milione di euro

5. Una cassetta per la frutta pesa 400 grammi. Sapendo che la frutta rappresenta il 92% del

peso lordo, qual è il peso della cassetta piena di frutta? A) 5.000 grammi

B) 500 grammi

C) 4.600 grammi

D) 2.500 grammi

E) 5.400 grammi

6. "In Germania il numero dei disoccupati è tornato nel gennaio di quest'anno sopra la

soglia psicologica dei 4 milioni. Tuttavia, in confronto a gennaio dell'anno scorso, la disoccupazione è scesa di 400.200 unità. Il tasso annuo di disoccupazione è così salito, nel gennaio di quest'anno, al 10,0% dal 9,3% di dicembre dell'anno scorso. Nel gennaio dell'anno scorso, il tasso era risultato dell'11,0%". Quale fra le seguenti affermazioni NON può essere dedotta dal brano precedente? A) La disoccupazione in Germania a gennaio di quest'anno è scesa in confronto alla rilevazione di

gennaio dell'anno scorso

B) Il tasso annuo di disoccupazione in Germania rilevato a gennaio di quest'anno è maggiore

rispetto a quello di gennaio dell'anno scorso

336 ESE – LOGICA MATEMATICA

C) La disoccupazione in Germania ha superato una soglia psicologica

D) Il tasso annuo di disoccupazione in Germania è salito fra dicembre dell'anno scorso e gennaio

di quest'anno

E) Tutte le altre affermazioni possono essere dedotte dal brano precedente.

7. Il cartello promozionale di un negozio recita:

Ogni 200 euro spesi vi diamo un buono da 20 euro, spendibile al prossimo acquisto Tancredi, passando, riflette su quanto sia lo sconto effettivo praticato dal negozio. Quale osservazione è quella corretta? A) Il massimo sconto ottenibile mediante questa promozione è del 20 %

B) Il massimo sconto ottenibile mediante questa promozione è del 10 %

C) Il massimo sconto ottenibile mediante questa promozione è minore del 10 %

D) Il massimo sconto ottenibile mediante questa promozione è maggiore del 10 %

E) Il massimo sconto ottenibile mediante questa promozione è minore del 2 %

8. “Un recente esperimento condotto dall’Ospedale Policlinico di Milano su un

campione di pazienti sieropositivi ha mostrato che la somministrazione congiunta di più farmaci a questi pazienti è in grado di ridurre mediamente l’insorgenza di AIDS nel 18% dei casi. Più in particolare, l’insorgenza si riduce del 10% nelle donne e del 20% negli uomini”. Quale delle seguenti conclusioni può essere dedotta dalle informazioni riportate sopra? A) Nessuna delle conclusioni riportate nelle altre alternative è corretta

B) Il campione di pazienti sieropositivi è stato selezionato in modo del tutto casuale

C) Le pazienti donne avevano un’età media superiore a quella dei pazienti uomini

D) Il campione di pazienti era costituito da una maggioranza di pazienti uomini

E) I pazienti uomini hanno registrato un’insorgenza media della malattia inferiore a quella dei

pazienti donne

9. Una imbarcazione con un prezzo di listino pari a 40.000 euro viene venduta con uno sconto del 30%. A quanto è ammontato lo sconto?

A) 13.333 euro B) 1.200 euro

C) 12.000 euro D) 3.000 euro

E) 28.000 euro

10. Un autotreno pesa 20 tonnellate. Nell'ipotesi che possa trasportare al massimo il 60% del

proprio peso, quante tonnellate di sabbia possono essere ancora caricate se ne trasporta già 10?

A) 20 B) 2

C) 0 D) 10

E) 15

LOGICA MATEMATICA – ESE 337 11. In una certa regione il numero di persone con oltre cinquant'anni di età è

progressivamente aumentato di circa il 40%, mentre la popolazione di età inferiore è rimasta numericamente costante. In questa stessa area, una malattia che indicheremo con la sigla M, mortale se non adeguatamente curata con trattamenti complessi e costosi, colpisce attualmente ogni anno circa 120 nuove persone ogni milione di abitanti. Un 25% di questi ammalati ha cinquant'anni o meno. Negli ultimi due decenni ci sì è impegnati molto nella prevenzione ma, contro le aspettative, in una quindicina d'anni, il numero complessivo di casi che ogni anno si ammala della malattia M è raddoppiato. In questo stesso periodo, la percentuale dei soggetti con cinquant’anni o meno che ogni anno si ammalano si è dimezzata. Una sola delle seguenti affermazioni ha un preciso fondamento in quanto esplicitamente dichiarato nel testo: A) la malattia M è incurabile

B) la malattia M non può essere in alcun modo prevenuta

C) nella regione si sta ottenendo una riduzione dei casi di malattia M

D) la malattia M colpisce soprattutto gli anziani

E) l’attuale aumento della malattia tra gli anziani è dovuto al fatto che solo di recente è stata avviata

un'efficace prevenzione tra i giovani

12. Una biblioteca contiene 160 libri così suddivisi per materia: biologia 20%; medicina

30%; letteratura 35%; chimica 5%; storia 10%. I libri di quali materie, tra loro sommati, sono 48?

A) Quelli di biologia e quelli di letteratura

B) Quelli di medicina e quelli di storia

C) Quelli di letteratura e quelli di storia

D) Quelli di biologia e quelli di chimica

E) Quelli di biologia e quelli di storia

13. Negli ultimi vent'anni la popolazione della città A è aumentata di circa il 5%, arrivando a

340.000 abitanti; la città B ha visto invece una leggera riduzione, scendendo sotto i 700.000, mentre la città C ha triplicato i suoi abitanti, arrivando a 42.000. Sulla base di questi dati qual era la popolazione delle tre città vent'anni prima?

A) A 323.000; B 702.000; C 14.000 B) A 300.000; B 702.000; C 22.000 C) A 323.000; B 695.000; C 44.000

D) A 255.000; B 695.000; C 22.000 E) A 357.000; B 715.000; C 14.000

14. Il proprietario di una fabbrica di orecchini, in occasione della festa dell'8 marzo, vuole fare un regalo alle sue 100 dipendenti donne. Poiché sa che il 10% di esse porta un solo orecchino e che il rimanente si divide in parti uguali tra chi non ne porta affatto e chi ne porta due, quanti orecchini dovrà far preparare?

A) 90 B) 180

C) 100 D) 200

E) 45

15. Una concessionaria ha venduto 200 motocicli in settembre e 340 in ottobre. A quanto ammonta l'incremento percentuale delle vendite da un mese all'altro?

A) 35% B) 70%

C) 210% D) 140%

E) 100%

LOGICA MATEMATICA – ESE 341

37. Un recente studio ha mostrato che negli ultimi 20 anni il peso medio degli italiani è salito del 5%. Più in particolare, il peso medio dei cittadini del Centro-Nord è cresciuto del 6%, mentre quello dei cittadini del Meridione è cresciuto del 3%. Quale delle seguenti conclusioni può essere dedotta dalle informazioni riportate sopra? A) I cittadini del Centro-Nord sono più numerosi dei cittadini del Meridione

B) Alcuni cittadini del Centro-Nord sono immigrati dal Meridione

C) I cittadini del Centro-Nord hanno un peso medio superiore rispetto ai cittadini del Meridione

D) Nessuna delle altre alternative è corretta

E) I cittadini del Centro-Nord sono mediamente aumentati di peso di 3 chilogrammi in più

rispetto ai cittadini del Meridione

RISPOSTE

1-A 2-B 3-E 4-D 5-A 6-B 7-C 8-D 9-C 10-B 11-D 12-E

13-A 14-C 15-B 16-D 17-E 18-A 19-D 20-D 21-C 22-C 23-B 24-E

25-D 26-A 27-B 28-C 29-C 30-D 31-B 32-A 33-E 34-D 35-C 36-B

37-A

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