“Teori Tiga Dunia Matematika David Tall” Untuk Memenuhi Tugas Mata kuliah

Seminar Pendidikan Matematika

Dosen Pembimbing :

Drs. H. Karim , M.Si

Drs. Hidayah Ansori , M.Si

OLEH :

Rahmatya Nurmeidina

NIM :

A1C108059

Program Studi Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Lambung Mangkurat

Banjarmasin

2011

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ii

I. PENDAHULUAN 1

A. Latar Belakang 1

B. Rumusan masalah 3

C. Tujuan Penulisan 3

II. TINJAUAN PUSTAKA 4

A. Sekilas Tentang Ddavid Tall 4

B. Teori Tiga Dunia Matematika yang Dikembangkan oleh David Tall 5

III. PEMBAHASAN

Implikasi dalam Belajar Matematika

13

14

DAFTAR PUSTAKA 18

BAB 1

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pengertian belajar secara kualitatif adalah proses memperoleh arti-arti

dan pemahaman–pemahaman serta cara-cara menafsirkan dunia di sekeliling

siswa. Belajar dalam pengertian ini difokuskan pada tercapainya daya pikir

dan tindakan yang berkualitas untuk memecahkan masalah-masalah yang kini

dan nanti dihadapi siswa. (Syah, 2009)

Dari pengertian di atas, dapat kita pahami bahwa dengan belajar

diharapkan siswa dapat mencapai daya pikir yang berkualitas. Sehingga dapat

disimpulkan bahwa belajar dan berpikir memiliki keterkaitan yang erat.

Pengertian berpikir adalah proses yang dinamis yang dapat dilukiskan

menurut proses atau jalannya. Proses berpikir, terbagi beberapa macam,

diantaranya, berpikir deduktif (umum ke khusus) dan berpikir induktif

(khusus ke umum) (Lestariani, 2010).

Transisi berpikir secara sederhana adalah masa

perpindahan/perubahan cara berpikir, misalnya dari berpikir konkret ke

berpikir fomal (Abdussakir, 2011)

Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Dalam matematika, suatu

generalisasi, sifat, teori, dalil itu belum dapat diterima kebenarannya sebelum

dapat dibuktikan secara deduktif. (Tim MKPBM, 2001).

Dalam belajar matematika, siswa diharapkan dapat melaui proses transisi

berpikir dari berpikir konkret ke berpikir formal. Seperti menggunakan

penalaran dan mulai mengenal bukti-bukti atau teorema yang mendasari

konsep yang sedang diajarkan.

Sesuai aturan dari Principles and Standarts for School Mathematics

NCTM 2000, bukti (proof) dan penalaran (reasoning) harus dikenalkan mulai

dari sekolah dasar sampai menengah. Misalnya mencoba membuktikan

kebenaran suatu pernyataan secara deduktif. (Abdussakir, 2011)

Tetapi, pada umumnya siswa sekolah dasar dan menengah masih

berpikir secara induktif cenderung melihat contoh dalam menjawab, karena

mereka masih belum terbiasa dalam proses penalaran, berpikir secara

deduktif atau berpikir dari konkret ke fomal. Untuk itu, diperlukan

serangkaian proses berpikir dari pemahaman konsep, mengenalkan simbol,

sampai memahami definisi dan bukti matematika yang menunjukkan bahwa

siswa telah mencapai pemahaman dunia formal. Seiring dengan hal di atas,

David Tall seorang professor di bidang pemikiran matematika

mengemukakan Teori Tiga Dunia Matematika, yaitu Dunia Konseptual-

Diwujudkan, Proceptual-Simbolik, dan Aksiomatik-Formal. Maka, hal ini

pulalah yang melatarbelakangi penulis dalam membuat makalah yang penulis

beri judul “Teori Tiga Dunia Matematika David Tall”

B. Tujuan Penulisan

1. Untuk mengetahui seperti apa Teori Tiga Dunia Matematika David Tall.

2. Untuk mengetahui implikasi Teori Tiga Dunia Matematika David Tall

terhadap proses belajar matematika.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Sekilas Tentang David Tall

David Orme Tall, lahir 15 Mei 1941. Ia adalah

seorang “Professor in Mathematical Thinking” Profesor

di Bidang Pemikiran Matematika (1992) di Universitas

Warwick, United Kingdom, dan pada tahun 2006 beliau

menjadi profesor Emeritus (Gelar profesor yang didapatkan ketika seseorang

telah pensiun). Seluruh hidupnya dalam pendidikan matematika,

didedikasikan untuk memahami perkembangan matematika di segala usia

dengan individu yang berbeda.

Dalam beberapa tahun terakhir Tall telah bekerja pada apa yang

disebutnya 'Tiga Cara Operasi Mendasar yang Berbeda', salah satunya

melalui perwujudan fisik, termasuk tindakan fisik dan penggunaan indera

visual dan lainnya, yang kedua melalui penggunaan simbol-simbol

matematika yang beroperasi sebagai proses dan konsep (prosep) dalam

aritmatika, aljabar dan kalkulus simbolis, dan ketiga melalui matematika

formal dalam ‘Advanced Mathemathic Thinker (Berpikir Matematika

Maju/Tingkat Tinggi)'. Ketiga cara tersebut dikenal sebagai Teori Tiga

Dunia Matematika, yaitu Perwujudan (Konseptual), Simbolik (Proceptual)

dan Formal (Aksiomatik).

B. Teori Tiga Dunia Matematika yang Dikembangkan oleh David Tall

David Tall (2008a) menggunakan istilah ‘set-before’ untuk merujuk

kepada struktur mental manusia yang dibawa sejak lahir, yang mungkin

memerlukan sedikit waktu untuk matang saat otak manusia membuat koneksi

pada awal kehidupan. Sebagai contoh, struktur visual otak memiliki sistem

built-in untuk mengidentifikasi warna dan corak, untuk melihat perubahan

dalam corak, mengidentifikasi sisi, mengkoordinasikan sisi untuk melihat

benda-benda dan melacak gerakan mereka.

David Tall (2008a) juga menyatakan ada tiga set-before mendasar

yang menyebabkan manusia berpikir secara matematis dengan cara tertentu.

Yaitu :

1. Pengenalan pola, persamaan dan perbedaan

2. Pengulangan rangkaian tindakan sampai menjadi otomatis

3. Bahasa untuk menggambarkan dan memperbaiki cara kita berpikir tentang

sesuatu,

Meskipun pengenalan dan pengulangan untuk berlatih kebiasaan-

kebiasaan juga ditemukan pada spesies lain, kekuatan bahasa, dan

penggunaan simbol-simbol yang terkait, yang memungkinkan manusia untuk

fokus pada ide-ide penting, untuk menamai mereka dan berbicara tentang

mereka untuk memperbaiki makna. Pengenalan pola adalah fasilitas penting

untuk matematika, termasuk pola dalam bentuk dan bilangan.

David Tall (2008a) selanjutnya menggambarkan cara berpikir ini ke

dalam ‘Tiga Dunia Matematika’ yang berkembang dalam pengalaman

duniawi dengan cara yang cukup berbeda. Tiga Dunia Matematika ini sebagai

berikut.

1. Dunia ‘perwujudan-konseptual’, berdasarkan persepsi dan refleksi pada

sifat-sifat objek, pada awalnya terlihat dan dirasakan dalam dunia nyata

tapi kemudian dibayangkan dalam pikiran,

2. Dunia ‘simbolis-proseptual’, yang tumbuh keluar dari dunia perwujudan

melalui tindakan (seperti menghitung) dan disimbolkan sebagai konsep

masuk akal (seperti angka) yang berfungsi sebagai proses untuk berbuat

dan konsep untuk berpikir (prosep), dan

3. Dunia ‘formal-aksiomatik’, dari kerangka teoritik definisi konsep dan

bukti matematika, yang membalik urutan konstruksi makna dari definisi

yang didasarkan pada objek dikenal menuju konsep formal berdasarkan

pada set-teoritik definisi (Tall, 2004:285, 2008a:5).

Setiap ‘dunia’ mempunyai urutan pengembangan sendiri dan bentuk-

bentuk bukti sendiri yang dapat dipadukan untuk menghasilkan berbagai

macam cara berpikir secara matematis (Tall, 2008a:5, Tall dan Mejia-Ramos,

2006:5)

‘Perwujudan konseptual’ tidak hanya mengacu pada klaim yang lebih

luas dari Lakoff (1987) bahwa semua pemikiran adalah perwujudan, tapi

lebih khusus untuk representasi perseptual sesuatu. Secara konseptual, kita

dapat mewujudkan figur geometris, seperti segitiga yang terdiri dari tiga

segmen garis lurus; kita membayangkan segitiga seperti itu dan menjadikan

suatu segitiga khusus yang bertindak sebagai prototipe untuk mewakili

seluruh kelas segitiga. Kita ‘melihat’ gambaran suatu grafik tertentu yang

mewakili suatu fungsi spesifik atau generik.

‘Proceptual simbolisme’ mengacu pada penggunaan simbol-simbol

yang muncul dari skema aksi, seperti menghitung, yang menjadi konsep-

konsep, seperti bilangan (Gray & Tall, 1994). Suatu simbol seperti 3 + 2 atau

√푏 − 4 푎푐 mewakili proses yang harus dilakukan sekaligus konsep yang

dihasilkan oleh proses tersebut.

‘Aksiomatik formalisme’ mengacu pada formalisme Hilbert yang

membawa kita melampaui operasi formal Piaget. Perbedaan utama dari

perwujudan dan simbolisme matematika dasar matematika adalah bahwa

dalam matematika dasar, definisi muncul dari pengalaman dengan benda-

benda yang sifatnya dijabarkan dan kemudian digunakan sebagai definisi.

Perhatikan Gambar

Matematika sekolah berkembang dari perwujudan konsepsi tindakan

fisik, bermain dengan bentuk, menempatkan mereka dalam koleksi, menunjuk

dan menghitung, membagi, dan mengukur. Setelah operasi ini dilakukan dan

menjadi rutinitas, mereka dapat disimbolkan sebagai bilangan dan digunakan

secara dual sebagai operasi atau sebagai entitas mental. Saat fokus perhatian

beralih dari perwujudan ke manipulasi simbol, berpikir matematika berubah

dari perwujudan ke dunia simbolik (proseptual). Melalui matematika sekolah,

perwujudan memberikan arti khusus dalam berbagai konteks, sementara

simbolisme dalam aritmetika dan aljabar menawarkan dunia mental daya

komputasi.

Kemudian transisi ke dunia aksiomatik formal didasarkan pada

pengalaman perwujudan dan simbolisme ini untuk merumuskan definisi

formal dan untuk membuktikan teorema dengan menggunakan bukti

matematis. Bukti formal yang tertulis adalah tahap akhir berpikir matematika.

(Tall, 2008)

Selanjutnya, masing-masing ‘dunia’ mempunyai caranya sendiri

untuk membangun dalam pengalaman sehari-hari. Dunia Perwujudan

didasarkan pada sensor (organ) persepsi, tapi penerimaannya itu kemudian di

analisa, didiskripsikan, didefinisikan dan dikembangkan argumen formal

untuk memformulasikan kesimpulan jenis-jenis Geometri Euclide. Dunia

simbol berganti dari fokus ke tindakan untuk meningkatkan prosedur

sophistikasi (canggih) dan untuk mengonsep struktur aritmatika dan simbol

umum pada aljabar. Pemikiran formal berkebalikan dari

pengalaman.Selanjutnya, menganalisa konsep yang ada untuk menentukan

sifatnya.itu dimulai dengan memilih sifat-sifat sebagai aksioma dan

menyusun sifat-sifat lain dari struktur pemikiran dunia formal.

Tingkat pemahaman dalam tiga dunia matematika tersebut dapat dilihat pada

gambar berikut :

Tall juga mebuat kerangka untuk kalkulus dan Matematika Analisis, yaitu

Dalam kerangka ini, grafik dan gagasan mendiami lereng konseptual

diwujudkan dunia benda dan sifat mereka dalam hal kontinuitas alami dan

lokal kelurusan. Simbolik konsep fungsi dan turunan dalam dunia

simbolisme proseptual. Kalkulus dasar berkembang sebagai campuran dari

keduanya. Sementara itu, analisis matematis berada pada dunia aksiomatik

formal yang melibatkan perubahan substansial dalam pengertian dari

definisi formal termasuk definisi limit epsilon-delta. Sementara itu dunia

matematika formal aksiomatik adalah sebuah lingkungan kerja untuk

penyajian definisi formal dan bukti formal, itu lingkungan yang tidak cocok

untuk kalkulus dasar yang membangun lebih alami pada perwujudan dan

simbolisme. (Tall, 2010)

Teori David Tall merupakan teori tentang berpikir, sehingga temasuk

dalam aliran kognitif. hanya implikasi dalam pembelajaran dapat ditunjukkan

bahwa jika pembelajaran langsung dimulai dengan dunia formal, maka

pemahaman siswa kurang terintegrasi. Pembelajaran hendaknya dimulai dari

dunia perwujudan, lalu simbolik, lalu formal. Di setiap proses belajar, entah

materi apapun, pasti ada kegiatan berpikir. Dengan demikian, teori ini

mencakup semua proses berpikir untuk materi apa saja dalam matematika.

ini adalah teori berpikir matematika. Berpikir itu terjadi di kognitif siswa,

tidak nampak secara eksplisit. Hanya saja, proses berpikir bisa dilihat dari

cara siswa mengerjakan sesuatu melalui representasi yang digunakan.

(Abdussakir,2011)

C. Implikasi dalam Belajar Matematika

Seperti di jelaskan di bagian awal makalah ini, belajar dan berpikir

merupakan bagian yang tak terpisahkan. Belajar dapat diwujudkan dalam

sebuah proses berpikir, dan belajar dapat membentuk daya pikir menjadi lebh

maju dan berkualitas. Oleh karena itu, Teori Tiga Dunia Matematika ini dapat

diimplementasikan dalam dunia pengajaran dengan cara pembentukan

pengajaran dari guru yang bertahap dari pengenalan konsep,

merepresentasikannya dalam bentuk simbol, sampai siswa sudah mulai

dikenalkan dengan definisi dan aksioma. Dapat dilihat pada contoh berikut :

1. Penjumlahan Bilangan Bulat bersifat Komutatif

Dunia Perwujudan/Konsep

Kita dapat melihat penambahan adalah komutatif dengan menyusun

kembali 5 sebagai 3 + 2 atau 2 + 3

Dunia Simbol

Seorang anak dapat menghitung 2 buah penjumlahan dengan memberikan

jawaban yang sama

Dunia Formal

Axioma x + y = x + y

2. Penjumlahan Vektor bersifat Komutatif

Dunia Perwujudan/Konsep

Karena pada gambar kedua u dan v saling

sejajar maka u+v = v+u

Dunia Simbol

Vektor dapat dituangkan dalam bentuk

matrik. Sehingga, vektor bersifat komutatif sesuai dengan sifat Matriks,

penjumlahan matrik bersifat komutatif karena penjumlahan komponennya

besifat komutatif.

Dunia Fomal

10 aksioma dalam Ruang Vektor

3. Fungsi

Dunia Perwujudan

Pengenalan pola awal mengenai fungsi di gambarkan melalui diagram

panah

.

Dunia Simbol

Setelah siswa mengerti konsep yang dimaksud pada diagram panah, siswa

mengenal f(x) sebagai simbol yang menunjukan pegulangan rangkaian.

Berdasarkan gambar konsep, maka f( x) = x2

Dunia Formal

Setelah itu, siswa mulai dikenalkan dengan definisi fungsi

f: A —> B jika dan hanya jika

1. untuk setiap a di A ada b di B sehinga f(a) = b

2. a, b di A dengan a = b, maka f(a) = f(b).

4. Teori Rantai Kalkulus

Dunia Perwujudan

. 1

. 4

. 9

.16

. 1

. 4

. 9

.16

1 .

2 .

3 .

4 .

Dunia Simbolis

Dunia Formal

Diberikan I , Interval di ℛ g : I → ℛ, f : j → ℛ, dengan f (j) ⊆ i, c ∈ j,

jika, f terdiferensial di c dan g terdiferensial di f(c) maka g ∘ 푓 ,

terdiferensial di c dan (g ∘ 푓)’(c) = g ‘ (f (c)) f ’ (c)

5. Pola dan Barisan Bilangan.

Dunia Perwujudan

Dunia Simbolik

Berdasarkan pola bilangan persegi di atas didapatkan hasil di setiap pola :

1,4,9.16.25. Sehingga didapatkan rumus Barisan Bilangan : n2.

Dunia Formal

Pengertian barisan bilangan real

Bila N adalah himpunan bilangan asli dan R adalah himpunan bilangan

real maka fungsi (pemetaan) a: N →R disebut barisan bilangan real.

Kekonvergenan barisan

Definisi: (an) konvergen ke a ↔ lim →∞ 푎 = a ↔ ∀ > 0 ∃푁 = 푁 ∋

∀ 푛 > 푁 → |푎 − 푎| < 휀

BAB III

SIMPULAN

1. David Orme Tall, lahir 15 Mei 1941. Ia adalah seorang Profesor di Bidang

Pemikiran Matematika (1992) di Universitas Warwick, United Kingdom, dan

pada tahun 2006 beliau menjadi profesor Emeritus. Seluruh hidupnya dalam

pendidikan matematika, didedikasikan untuk memahami perkembangan

matematika di segala usia dengan individu yang berbeda.

2. Pengenalan pola, pengulangan rangkaian, dan bahasa merupakan tiga set-

before yang mendasari manusia untuk berpikir matematis. Atas dasar tiga set-

before itulah David Tall mengembangkan Teori Tiga Dunia Matematika ini,

pengenalan pola termuat di dalam Dunia Perwujudan (Konsep), pengulangan

rangkaian merupakan bagian dari Dunia Simbolis Proceptual, dan bahasa

untuk menggambarkan dan memperbaiki cara kita berpikir sesuatu, juga

merupakan representasi dari Dunia Formal Aksiomatik.

3. Teori Tiga Dunia Matematika David Tall tediri dari:

a. Dunia Perwujudan-konsep : persepsi, atau gambaran dari objek, termasuk

pengenalan pola, melihat persamaan dan perbedaan. Awalnya masih

diamati langsung, kemudian kita harus membiasakan diri untuk

menuangkan apa yang ada di gambar itu ke dalam pikiran melalui konsep.

b. Dunia Simbolis Proceptual : tindak lanjut dari dunia perwujudan melalui

tindakan (menghitung) dan disimbolkan kembali. Bisa diarahkan ke

dalam bentuk aljabar dan aritmatika.

c. Dunia Formal Aksiomatik : penggunaan definisi-definisi dan aksioma.

Representasi Konsep dan simbol berkembang lebih lanjut dengan

penggunaan bahasa untuk mendefinisikan dan merumuskan aksioma,

bagian ini juga bisa disebut sebagai tingkatan matematika yang maju atau

mahir, ‘Advanced Mathematic Thinker’. Dunia Formal inilah yang dituju

ketika kita belajar matematika. Tapi dalam perjalanannya, di mulai

berurutan dari bagaimana kita memahami konsepnya.

4. Teori Tiga Dunia Matematika David Tall ini merupakan teori tentang berpikir

dalam matematika. Sehingga teori ini dapat diimplikasikan pada proses

bepikir siswa ketika belajar matematika dalam setiap pokok bahasan (tidak

seperti Teori Van Hiele yang hanya khusus umtuk geometri). Misalnya ketika

belajar tentang konsep sifat komutatif pada penjumlahan bilangan real,sifat

komutatif pada penjumlahan vektor, Fungsi, Barisan dan Teori rantai pada

kalkulus.

DAFTAR PUSTAKA

Abdussakir. 2011. Transisi berpikir dari Dunia Sekolah Menengah Ke Perguruan tinggi. http://abdussakir.wordpress.com/2010/10/04/transisi-berpikir-dari-sekolah-menengah-ke-perguruan-tinggi/Diakses tanggal 27 februari 2011. Danaryanti, Agni. 2005. Analaisis Real 1. Banjarmasin

Lestariani, Asih, 2010. Berpikir dan Belajar . http://edukasi.kompasiana.com/2010/12/07/berpikir-dan-belajar/ (Diakses tanggal 26 Maret 20011)

http://en.wikipedia.org/wiki/David_O._Tall, (Diakses tanggal 31 Maret 2011)

http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/downloads.html.

(Diakses tanggal 12 Maret 2011)

Syah, Muhibbin. 2009. Psikologi Belajar. Jakarta : Rajawali Pers.

Tall, D. O. 2004. Thinking Through Three Worlds of Mathematics, Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Bergen, Norway.all. (Makalah diunduh tanggal 31 Maret 2011).

Tall. D. O. 2005. The Transition from Embodied Thought Experiment and Simbolic Manipulation to Formal Proof . (Makalah Diunduh Tanggal 20 Maret 2011)

Tall, D.O. 2008a. The Transition to Formal Thinking in Mathematics. Mathematics Education Research Journal, Vol.20No.2Hal:5-24. (Makalah diunduh tanggal 26 Maret 2011).

Tall, D.O. 2010. A Sensible approach to the Calculus. (Makalah diunduh tanggal 31 Maret 2011). Tall. D.O. Prof David Tall-CV. (Diunduh tanggal 5 Maret 2011)

Tim MKPBM. 2001. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer.

Universitas Pendidikan Indonesia, Bandung.

Zholieh. 2011.Pola Bilangan Persegi dan Persegipanjang http://zholieh.wordpress.com/2011/01/09/pola-bilangan-persegi-dan-persegipanjang/ Diakses tanggal 27 April 2011.