TEOREMA FAKTOR

Pengertian Faktor dan Teorema faktorTeorema 3Misalkan f(x) adalah sebuah suku banyak, (x – k) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0Teorema tersebut dikenal sebagai teorema faktor. Dalam teorema faktor memuat kata hubung jika dan hanya jika, Sehingga teorema faktor adalah sebuah teorema faktor itu dapat dibaca sebagai berikut.1. Jika (x – k) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 0 dan2. Jika f(k) = 0 maka (x – k) adalah faktor dari f(x).Bukti Teorema 31. Misalkan (x – k) adalah faktor dari f(x), maka f(x) dapat dituliskan sebagaif(x) = (x – k) H(x)∙dengan H(x) adalah suku banyak hasil bagi dengan bentuk tertentu.Substitusi nilai x = kedalam persamaan f(x) = (x – k) H(x), sehingga diperoleh :∙f(k) = (k – k) H(k)∙↔ f(k) = 0 H(k)∙↔ f(k) = 0Jadi, jika (x – k) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 0.2. Misalkan f(x) dibagi dengan (x – k) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa f(k). Dengan menggunakn teorema 1, pernyataan ini dapat ditulis sebagaif(x) = (x – k) H(x) + f(k)∙untuk f(k) = 0, persamaan diatas berubah menjadif(x) = (x – k) H(x)∙Hubungan ini menunjukkan bahwa (x – k) adalah faktor dari f(x).Berdasarkan uraian 1 dan 2 terbukti bahwa :(x – k) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0.CONTOH :Tunjukkan bahwa (x + 2) adalah faktor dari suku banyak f(x) = x4 + 3x3 + 4x2 + 8x +8.JAWAB :Untuk menunjukkan bahwa (x + 2) adalah faktor dari f(x) = x4 + 3x3 + 4x2 + 8x + 8, cukup ditunjukkan bahwa nilai f(- 2) = 0f(-2) = (- 2)4 + 3 (- 2)3 + 4 (- 2)2 + 8 (- 2) + 8 = 16 – 24 + 16 – 16 + 8 = 0karena f(- 2) = 0, maka (x + 2) adalah faktor dari f(x) = x4 + 3x3 + 4x2 + 8x + 8.Menentukan Faktor-Faktor Suatu Suku BanyakLangkah 1Jika (x – k) adalah faktor dari suku banyak f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 maka nilai-nilai k yang mungkin adalah nilai faktor-faktor bulat dari a0.Langkah 2Dengan cara coba-coba, substitusikan nilai x = k sehingga diperoleh f(x) = 0. Jika demikian maka (x – k) adalah faktor dari f(x). Akan tetapi jika f(k) ≠ 0 maka (x – k) bukan faktor dari f(x).Langkah 3Setelah dipeeroleh sebuah faktor (x – k), faktor-faktor yang lain dapat ditentukan dari suku banyak hasil bagi f(x) oleh (x – k).CONTOH :Carilah faktor-faktor dari suku banyak f(x) = x3 – 13x + 12, kemudian tuliskan suku banyak itu dalam bentuk perkalian dari faktor-faktornya.JAWAB :f(x) = x3 – 13x + 12, maka suku tetapan a0 = 12

Nilai-nilai k yang mungkin adalah faktor bulat dari a0 = 12, yaitu ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 dan ±12Subtitusikan nilai-nilai x = k, sehingga diperoleh f(k). Jika f(k) = 0 maka (x – k) adalah faktor dari f(x), tetapi jika f(k) ≠ 0 maka (x – k) bukan faktor dari f(x).· Untuk nilai k = -1, diperoleh :f(- 1) = (- 1)3 – 13(- 1) + 12 = -1 + 13 + 12 = 24 ≠ 0(x + 1) bukan faktor dari f(x).· Untuk nilai k = 1, diperoleh :f(- 1) = (1)3 – 13(1) + 12 = 1 – 13 + 12 = 0(x – 1) adalah faktor dari f(x).Hasil bagi f(x) = x3 – 13x + 12 oleh (x – 1) ditentukan dengan metode pembagian sintetik.1 1 0 -13 12 + + + 1 1 -121 1 -12 0Dari bagan tersebut terlihat bahwa hasil baginya adalah x2 + x – 12 dan bentuk ini dapat di faktorkan menjadi (x – 3)(x + 4).Jadi, faktor – faktor linear, dari f(x) = x3 – 13x – 12 dan bentuk ini dapat difaktorkan menjadi (x – 3)(x + 4).Jadi, faktor – faktor linear dari f(x) = x3 – 13x + 12 adalah (x – 1)(x – 3)(x + 4)~ Akar-Akar Rasional dari Persamaan Suku BanyakMisalkan f(x) adalah suku banyak, (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(x) = 0. Sedangkan f(k) = 0 jika dan hanya jika k adalahakar persamaan f(x) = 0. Dengan menggunakan kaidah silogisme pada dua pernyataan tersebut, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.Misalkan f(x) adalah sebuah suku banyak. (x – k ) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika k adalah akar dari f(x) = 0. k disebut akar atau nilai nol dari persamaan suku banyak f(x) = 0CONTOH :Tunjukkan bahwa salah satu akar persamaan suku banyak x3 – 7x – 6 = 0 adalah 3. Kemudian tentukan akar- akar yang lain.JAWAB :· Misalkan f(x) = x3 – 7x – 6. Untuk menunjukkan bahwa 3 adalah akar dari f(x) = 0, cukup dperlihatkan bahwa f(3) = 0 Karena f(3) = 0, maka 3 adalah akar dari persamaan f(x) = x3 – 7x – 6 = 0· Untuk menentukan akar-akar yang lain, dicari terlebih dahulu hasil bagi f(x) = x3 – 7x – 6 dengan x – 3. Hasil bagi itu ditentukan dengan metode pembagian sintetik sebagai berikut

3 1 0 -7 -6+ + +3 9 6 1 3 2 0Hasil baginya adalah H(x) = x2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2).Jadi, akar-akar yang lainnya adalah x = -1 dan x = -2.Teorema Akar-Akar RasionalMisalkan f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 adalah sebuah persamaan suku banyak dengan koefisien-koefisien bulat. Jika adalah akar rasional dari f(x) = 0, maka c adalah faktor bulat positif dari a0 dan d adalah faktor bulat dari an. Langkah 1Mula-mula ditentukan akar-akar yang mungkin dari persamaan suku banyak f(x) = 0, yaitu , c adalah faktor bulat positif dari a0 dan d adalah faktor bulat dari an.

Langkah 2Dari himpunan akar-akar yang mungkin yang diperoleh dari langkah 1, akar-akar yang sebenarnya harus memenuhi syarat f( ) = 0.CONTOH :Tentukan akar-akar persamaan suku banyak f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 2 = 0JAWAB : f(x) = (x) = x3 – 6x2 + 9x – 2 = 0, a3 = 1 dan a0 =-2Akar-akar yang mungkin adalah -2, -1, 1 dan 2.Menguji nilai-nilai akar yang mungkin.· f(-2) = (-2)3 – 6(-2)2 + 9(-2) – 2 = -52 ≠ 0, maka -2 bukan akar f(x) = 0· f(-1) = (-1)3 – 6(-1)2 + 9(-1) – 2 = -18 ≠ 0, maka -1 bukan akar f(x) = 0· f(1) = (1)3 – 6(1)2 + 9(1) – 2 = 2 ≠ 0, maka 1 bukan akar f(x) =0· f(2) = (2)3 – 6(2)2 + 9(2) – 2 = 0, maka 2 adalah akar dari f(x) = 0Menentukan akar-akar irasionalKarena 2 adalah akar dari f(x) = 0, maka f(x) dapat dituliskan menjadif(x) = x3 – 6x2 + 9x – 2 = 0 = (x – 2) x2 – 4x + 1 = 0bentuk kuadrat ini merupakan hasil bagi x3 – 6x2 + 9x – 2 dengan x – 2akar-akar irasionalnya ditentukan dari persamaan kuadrat x2 – 4x + 1 = 0.Dengan menggunakan rumus kuadrat diperoleh x = 2 - √3 atau x = 2 + √3.Jadi, persamaan suku banyak f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 2 = 0 mempunyai akar Rasional 2 dan akarirasional 2 - √3 atau 2 + √3, ditulis himpunan penyelesaiannyaHP = { 2, 2 - √3, 2 + √3 }.