Teorema faktorOleh

Kelompok V

Teorema Faktor

Teorema…

(x – k) merupakan faktor dari sukubanyak jika dan hanya jika f(k) = 0

Jadi, pembagian sukubanyak oleh salah satu faktornya akan menghasilkan sisa pembagian bernilai nol.

Teorema...

Bukti teorema faktor:Menurut teorema sisa, sukubanyak f(x) dibagi (x – k) sisanya f(k) sehingga persamaan dasaranya:f(x) = (x – k) H(x) + f(k), dengan H(x) = hasil bagi. Dari persamaan diatas bila f(x) = 0 maka f(x) = (x –

k) H(x). Ini artinya (x – k) merupakan faktor dari f(x). Bila (x – k) merupakan faktor dari f(x).

f(x) = (x – k) H(x) untuk sembarang H(x) sehingga f(k) = (k – k) H(x)

Teorema...

Ada beberapa hal yang harus diperhatikan saat memfaktorkan sukubanyak.Jika jumlah koefisien sukubanyak sama dengan nol,

maka (x – 1) adalah faktor dari suku banyak tersebut.

Jika jumlah koefisien pangkat genap sama dengan jumlah koefisien pangkat ganjil, maka (x + 1) adalah faktor dari sukubnyak tersebut.

Jika (1) dan (2) tidak terpenuhi, maka lakukan dengan cara menguji coba setiap faktor dari nilai koefisien terakhir sukubanyak hingga diperoleh f(x) = 0

Contoh Soal...

1. Dengan teorema faktor buktikan bahwa (x – 4) adalah faktor dari f(x) = x4- 4x3 + 2x2 – 9x +4.jawab:(x – 4) = 0, x = 4 f(x) = x4- 4x3 + 2x2 – 9x +4 f(4) = 44- 4(4)3 + 2(4)2 – 9(4) +4 f(4) = 256 - 256 + 32 – 36 +4 f(4) = 0karena f(4)=0, maka (x – 4) merupakan faktor dari f(x) = x4- 4x3 + 2x2 – 9x +4.

Contoh Soal…

2. Faktorkanlah polinom berikut f(x) = 3x3 - 4x2 – 3x +4.jawab:faktor dari 4 adalah ±1, ±2, ±4. lakukan uji coba pada nilai-nilai tersebut. (x-1)=0, x=1–> f(x) = 3(1)3 – 4(1)2 – 3(1) +4 = 0

(merupakan faktor)selanjutnya, untuk menentukan faktor lainnya kita gunakan cara Horner.x=1 3 -4 -3 4

3 -1 -4

3 -1 -4 0f(x) = (x-1)(3x2 – 1x – 4)

= (x-1)(3x-4)(x+1)jadi, faktor-faktor dari f(x) = 3x3 - 4x2 – 3x +4 adalah (x-1)(3x-4)(x+1)

Contoh Soal…

3. Tentukan nilai a (x+2) merupakan faktor dari f(x)= x3 - ax2 – x – 2.jawab:untuk menjawabnya kita menggunakan cara Horner(x+2)=0x=-21 -a -1 -2

-2 (2a+4) (-4a-6)

1 (-a-2) (2a+3) (-4a-8)

(-4a-8)=0 -4a=8

a=-2

Soal Latihan…

1. Dengan teorema faktor buktikan bahwaa. (2x + 1) adalah faktor dari f(x) = 2x4 + x3 -

16x2 +8x +8.b. (x + 2) adalah faktor dari f(x)=2x3 + 4x2 - 3x -

6.

2. Faktorkanlah polinom berikut f(x) = (x2 – 1) (x2 – 4).

3. Tentukan nilai a, jika (x+1) merupakan faktor dari f(x)= ax3 + 11x2 – 6x – 8.

4. Tentukan nilai p dan q, jika x2 + x – 6 adalah faktor dari px2 - x2 + qx + 18.

Kunci jawaban

1. a) 2x + 1= 0 , x= -1/2 f(x)=2x4 + x3 - 16x2 + 8x +8.

f(-1/2)=2(-1/2)4 + (-1/2)3 - 16(-1/2)2 + 8(-1/2) +4

f(-1/2)=1/8 – 1/8 – 4 – 4 + 8f(-1/2)=0

Karena f(-1/2)=0,maka(2x+1)merupakanfaktor dari 2x4 + x3 - 16x2 + 8x +8.

Kunci jawaban

b) x+2=0,x=-2 f(x)=2x3 + 4x2 - 3x -6

f(-2)=2(-2)3 + 4(-2)2 – 3(-2) -6 f(-2)=-16 + 16 + 6 – 6 f(-2)=0Karena f(-2)=0,maka (x+2) merupakanfaktor dari 2x3 + 4x2 - 3x -6.

Kunci jawaban

2. (x2 – 1) (x2 – 4)= x4 – 5x2 + 4faktor dari 4 adalah ±1, ±2, ±4. Lakukan uji coba pada nilainilai tersebut x=1–> f(x) = (14– 5(1)2 + 4)= 0 (merupakan

faktor)selanjutnya, untuk menentukan faktor lainnya kita gunakan cara Horner.

x=1 1 0 -5 0 41 1 -4 -4

1 1 -4 -4 0f(x) = (x2–1)(x2 – 4)

= (x-1)(x3 + x2 - 4x – 4) = (x-1)(x2– 4)(x+1) = (x–1)(x + 2)(x – 2)(x + 1)

jadi, faktor-faktor dari f(x) = (x2 – 1)(x2 – 4) adalah (x–1); (x + 2); (x – 2); (x + 1).

Kunci jawaban

3. x + 1 = 0, x = -1karena x + 1 merupakan faktor dari

f(x)= ax3 + 11x2 – 6x – 8, maka f(x)= 0

x=-1a 11 -6 -8 -a a-11 17-a

a 11-a a-17 9-akarena 9 – a = 0, maka a = 9

Kunci jawaban

4. x2 + x – 6 = 0 (x + 3) (x – 2) = 0 x = -3 atau x = 2

Nilai x kemudian disubtitusi ke dalampersamaan f(x) = px2 – x2 + qx + 18f(-3) = p(-3)2 – (-3)2 + q(-3) + 18

= 9p – 3q + 9f(2) = p(2)2 – (2)2 + q(2) + 18

= 4p + 2q + 14

Good job !!!

9p – 3q = -9 …………………………………………(1)4p + 2q = -14 ………………………………………(2)Dengan menggunakan metode eliminasi,diperoleh p = -2 , dan nilai q didapat dengan menyubtitusikan nilai p :

9p – 3q = -99(-2) – 3q = -9 -18 - 3q = -9 -3q = 9 q = -3Maka,nilai p=-2 dan q=-3.