1

TEOREMA DERET PANGKAT

Konsep Dasar

Deret pangkat merupakan suatu bentuk deret tak hingga

...)xx(a)xx(a)xx(aa)xx(a 3032

020100m

m0m ++++=

= (1)

diasumsikan x, x0, dan koefisien ai merupakan bilangan real. Jumlah parsial untuk n suku

pertama bentuk di atas adalah sn yang dapat dituliskan sebagai n0n

202010n )xx(a...)xx(a)xx(aa)x(s ++++= (2)

dan sisa deret pangkat (1) didefinisikan sebagai Rn ...)xx(a)xx(a)x(R 2n02n

1n01nn ++= ++++ (3)

Untuk persamaan (1) di atas dapat diperoleh s0 = a0

R0 = a1(x x0) + a2(x x0)2 + a3(x x0)3 + ...

s1 = a0 + a1(x x0)

R1 = a2(x x0)2 + a3(x x0)3 + a4(x x0)4 + ...

s2 = a0 + a1(x x0) + a2(x x0)2

R2 = a3(x x0)3 + a4(x x0)4 + a5(x x0)5 + ...

Konvergensi

Jika diambil suatu nilai x = x1, maka deret pangkat (1) dinyatakan konvergen jika )x(s)x(slim 11nn = hadir sebagai suatu bilangan real.

2

sebaliknya deret pangkat itu akan divergen jika )x(s)x(slim 11nn = tidak hadir sebagai suatu bilangan real. Jika deret (1) adalah konvergen pada x = x1, dan jumlah deret tersebut untuk

x = x1 dapat dituliskan sebagai

=

=0m

m01m1 )xx(a)x(s

maka untuk tiap n tertentu dapat dituliskan

s(x1) = sn(x1) + Rn(x1) (4)

Pada kasus konvergensi, untuk suatu nilai positif tertentu terdapat suatu nilai N (yang

tergantung terhadap ) sedemikian sehingga, untuk (4)

N (5) Secara geometris ini berarti bahwa semua sn(x1) dengan n > N, terletak antara s(x1) dan

s(x1) + . Untuk deret yang konvergen, kita dapat menentukan nilai pendekatan dari s(x)

untuk x = x1 dengan mengambil harga n yang cukup besar.

Radius Konvergensi

Untuk menentukan nilai x, yang menghasilkan deret konvergen, tes rasio (Boas, 1983)

dapat digunakan. Tes rasio menyatakan bahwa jika rasio absolut dari suku ke-m+1 terhadap

suku ke-n mendekati suatu nilai karena n , maka deret dikatakan konvergen jika <

1 dan divergen jika > 1.

0m

1m

mxx

aa

lim = + (6)

s(x1)s(x1) - s(x1) +

3

0xxR1 = (7)

dimana

m

1m

m aalim

R1 +

= atau 1m

m

m aalimR

+= (8)

jika limit ada, maka deret adalah konvergen, dan konvergensi menyatakan < 1, sehingga

Rxx 0

4

Penyelesaian:

Dari deret di atas, diperoleh am = m!, dengan demikian

1m

m

m aa

limR+

=

)!1m(

!mlimRm +=

1m

1limRm +=

R = 0

Menurut tes rasio, konvergensi menyatakan bahwa

1xR1xx

R1

0

5

1xxxR1

0

6

Penyelesaian

Deret ini merupakan deret dengan pangkat t = x3 dengan koefisien am = (-1)m/8m, maka

1m

m

m aa

limR+

=

m1m

m 88limR

+

=

8R = Menurut tes rasio, konvergensi menyatakan bahwa

1xR1xx

R1 3

0

7

Penjumlahan

Dua deret pangkat dapat dijumlahkan, misalkan

=

=0m

m0m )xx(a)x(f (15)

g(x) = =

0m

m0m )xx(b (16)

memiliki radius konvergensi positif (R > 0) dan jumlah dari f(x) dan g(x) dapat dituliskan

sebagai berikut

=

+0m

m0mm )xx)(ba( (17)

konvergensi dari fungsi hasil penjumlahan ini terletak di dalam interval konvergensi dari

tiap-tiap fungsi asal.

Perkalian

Dua deret pangkat f(x) dan g(x) yang dinyatakan pad persamaan (15) dan (16) dapat

diperlakukan operasi perkalian, dengan hasil berikut:

...)xx)(bababa()xx)(baba(ba

)xx)(ba...baba(

200211200011000

m00m1m1

0mm0

++++++=+++

= (18)

konvergensi dari fungsi hasil perkalian ini terletak di dalam interval konvergensi dari tiap-

tiap fungsi asal.