Sumur potensial persegi tak terbatas

Sistem sederhana seperti itu partikel terjebak dalam kotak sumur tidak terbatas, partikel tidak dapat menembus. Potensial ini disebut sebuah sumur tak terbatas dan memberikan :

Jelasnya fungsi gelombang harus nol dimana potensial tak terbatas.Dimana potensialnya nol (di dalam kotak),Persamaan Schrödinger bebas waktu adalah:

Solusi umum:

x0 L

Seluruh energi kinetik dan

dimana

Batas titik : 0 and L

0)()0( L000cos0sin)0( BBA

kxAx sin)(

)(xV

xLo

Di titik L:

0sin)( kLAL0)(0 xA

,3,2,,00sin kLkL

,3

,2

,,0LLL

k

,3,2,1dengan , nL

nkn

mkE

2

22

,3,2,1 ,22 2

222

nL

n

mm

kE n

n

Quantized EnergyKuantisasi bilangan gelombang sekarang:

Pemecahan untuk energi

menghasilkan:

Catatan bahwa energi bergantung pada nilai n. Oleh sebab itu energi merupakan kuantisasi dan selain nol.

Khusus n = 1 disebut

tingkat dasar

2

22

8mL

hnEn

Batas keadaan dari potensial bahwa fungsi gelombang nol di x = 0 dan x = L. Hasil sesuai dengan solusi untuk nilai bilangan dari n sedemikian kL = n.

Fungsi gelombangnya adalah:

Fungsi gelombang yang ternormalisasinya :

Fungsi yang sama untuk sebuah getaran pegas

Kuantisasi

x0 L

2 /A L

½ ½ cos(2nx/L)

Sumur Potensial kotak terbatas

Batasan :

Mengingat fungsi gelombang harus nol sampai batas, solusi persamaanya:

Persamaan Schrödinger di luar, pada regions I dan III adalah:

dimana:

2 2

022

dV E

m dx

22

02 2

2( )

d mV E

dx

dianggapE < V0

Bagian dalam kotak sumur, dimana potensial V adalah 0, persamaan

gelombangnya : dimana

Solusi disini adalah:

Memerlukan kondisi

batas bahwa:

Maka fungsi gelombangnya

halus/rata pada region

pertemuan.

Catatan fungsi gelombang

itu tidak nol di bagian dalam

dari kotak

Solusi sumur potensial terbatas

(sebagai sumur tak terbatas)

II

Solusi Fungsi Gelombangnya adalah

dimana Hn(x) adalah Hermite polynomials ke n.

Sumur Potensial Parabolik

Penghalang Potensial

Apabila sebuah partikel berenergi (E) melalui suatu penghalang potensial (Vo) dan lebar L seperti gambar

L

Maka jumlah partikel yang mampu melewati penghalang atau koefisien transmisi (T) dapat ditentukan dengan persamaan:

E

VT

o

2

1

1

2

2

2mL

Tangga Potensial

Jika E≤Vo

2

1

'

kk

kkR

Jika E≥Vo

Koefisien Refleksi (menentukan jumlah partikel yang dipantulkan:

2' )(2

oVEm

k

Vo

EE

X=0

E≤Vo

E≥Vo

Osilator harmonik sederhana menggambarkan beberapa situsi : pegas, molekul dan kisi-kisi atom.

EkspansiTaylor dari sebuah fungsi potensial

Osilator Harmonik

2102( ) ( )V x x x

ambil dan memberikan:

Mengingat ekspansiTaylor dari sebuah fungsi potensial

Substitusi ke dalam persamaan Schrödinger’s:

ambil x0 = 0