-1-

SUKU BANYAK

1. PENGERTIAN SUKU BANYAK

Suku banyak (polinomial) dalam x berderajat n biasanya dituliskan secara umum sebagai berikut :

Untuk n bilangan cacah dan konstanta dan .

disebut koefisien dan disebut konstanta sedangkan x disebut variabel (peubah)Penulisan suatu suku banyak biasanya terurut dari pangkat yang tertinggi ke pangkat yang lebih rendah.

Contoh 1 : Pada suku banyak tentukan derajat suku banyak tersebut,

koefisien dan konstantanya !

Jawab : ……………

2. NILAI SUKU BANYAK

Untuk menentukan nilai suatu suku banyak dalam x atau sering ditulis f(x) pada suatu harga x = c ada 2 cara, yaitu :1. cara substitusi, yaitu dengan mengganti variabel x dengan harga c atau f(c)2. cara skema (pembagian sintetis), yaitu dengan mengoperasikan koefisien-

koefisiennya dengan pola tertentu.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh di bawah ini !

Contoh 2 : Tentukan nilai suku banyak pada x = 2 !

Jawab : cara I (dengan substitusi)

maka

cara II (dengan skema) 2 2 -5 4 1

4 -2 4 + 2 -1 2 5 Nilai suku banyak yang dimaksud.

berarti kalikan bilangan yang di bawah dengan 2.

Jika pada suatu suku banyak tidak terdapat variabel tertentu (urutan derajat variabel meloncat) maka koefisien variabel tersebut dianggap 0.Misal suku banyak maka koefisien dari dianggap 0.

LATIHAN SOAL

1. Hitunglah nilai suku banyak berikut pada masing-masing harga x dengan cara substitusi !

Suku Banyak

-2-

2. Hitunglah nilai suku banyak pada soal no. 1 dengan cara skema /pembagian sintetis!

3. Jika untuk x = 5 nilai f(5) = 0 maka tentukan nilai a !

3. PEMBAGIAN SUKU BANYAK

Untuk membagi suatu suku banyak dengan pembagi (x – c) ada 2 cara, yaitu :1. cara pembagian biasa seperti pembagian suatu bilangan dengan bilangan lain yang

lebih kecil (bagi kurung). Dalam hal ini derajat sisanya harus kurang dari derajat pembagi.

2. cara pembagian sintetis /skema seperti yang sudah dijelaskan di atas dengan mengambil x = c dengan operasi tambah atau x = -c dengan operasi kurang.

Contoh 1 : Tentukan hasil bagi dan sisa dari dibagi x – 2

hasil bagi Jawab : cara I :

x – 2

-

-

-

- 3 sisa

Jadi hasil baginya : dan sisanya 3 atau bisa ditulis :

= (x – 2) ( ) + 3

cara IIa : 2 3 -5 2 -7 1

6 2 8 2 + 3 1 4 1 3 sisa

hasil bagi

cara IIb :

Suku Banyak

-3-

-2 3 -5 2 -7 1 -6 -2 -8 -2 - 3 1 4 1 3 sisa

hasil bagi

Jadi hasil baginya : dan sisanya 3.

LATIHAN SOAL

1. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian berikut dengan cara pembagian bentuk biasa dan cara pembagian sintetis!

2. Tentukan nilai a jika dibagi (x – 5) mempunyai sisa 283 !

3. Tentukan nilai a jika habis dibagi (x – 5) !

4. Tentukan k jika dibagi dengan (x – 1) dan (x + 1) memberikan sisa yang sama !

4. TEOREMA SISA

Suatu suku banyak f(x) yang dibagi oleh pembagi (x – c) dan menghasilkan hasil bagi H(x) dan sisa S dapat ditulis :f(x) = (x – c).H(x) + SJika x = c maka f( c) = (c – c).H(c ) + S atau S = f(c )

Jadi jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh x – c , maka sisanya adalah f(c ).

Pernyataan di atas sering dikenal dengan nama teorema sisa. Jadi untuk menentukan sisa dari pembagian f(x) oleh x – c bisa digunakan cara substitusi x oleh c atau dengan pembagian skema/sintetis.

Contoh 1 : Tentukan sisa pembagian oleh x + 2

Jawab : Sisanya = f(-2) =

Suku Banyak

-4-

5. PEMBAGIAN DENGAN AX - B

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh ax – b dapat ditulis :f(x) = (ax – b).H(x) + S

f(x) = a(x - ).H(x) + S

f(x) = (x - ).a H(x) + S

Menurut teorema sisa di atas maka sisa pembagian suku banyak f(x) oleh pembagi ax –

b adalah f( ). Hasil baginya harus dibagi a supaya kembali ke H(x).

Contoh 2 : Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian oleh 2x – 1

Jawab : Dengan menggunakan pembagian sintetis :

4 0 3 -6 1

2 1 2 -2

4 2 4 -4 -1

Jadi sisanya = -1 dan hasil baginya =

LATIHAN SOAL

1. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian :

2. Tentukan a jika habis dibagi 2x – 1

3. Tentukan a jika habis dibagi 2x + 1

4. Tentukan a jika habis dibagi 2x + 5

6. TEOREMA FAKTOR

Suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x – c) menghasilkan sisa 0, maka dikatakan (x – c) merupakan faktor dari f(x). Jadi suku banyak f(x) mempunyai faktor (x – c) jika dan hanya jika f(c ) = 0 Untuk mencari faktor-faktor dari suku banyak f(x) bisa digunakan cara pembagian sintetis/skema, yaitu dengan mencoba-coba faktor-faktor dari konstanta suku banyak yang menghasilkan sisa 0.

Suku Banyak

-5-

Contoh 1: Faktorkanlah suku banyak

Jawab : Faktor-faktor dari konstanta 8 adalah

-1 1 -2 -9 2 8 -1 3 6 -8 + 1 -3 -6 8 0 1 1 -2 -8 + 1 -2 -8 0 -2 -2 8 + 1 -4 0

Jadi

LATIHAN SOAL

1. Faktorkanlah tiap-tiap suku banyak berikut atas faktor-faktor rasionalnya !

2. Tentukan a jika mempunyai faktor :a. x + 1b. x – 1

3. Tentukan p sehingga mempunyai faktor x + 4

4. Hitunglah a dan b jika habis dibagi oleh

5. Buktikan bahwa :a. x – 2 adalah faktor dari

b. 2x + 3 adalah faktor dari

6. Buktikan bahwa :a. habis dibagi oleh x + 1

b. habis dibagi oleh x + a

c. habis dibagi oleh a – b

7. PERSAMAAN SUKU BANYAK

Persamaan suku banyak berbentuk f(x) = 0 dimana f(x) merupakan suku banyak bisa diselesaikan jika f(x) difaktorkan terlebih dahulu. Kemudian dengan menggunakan prinsip A.B = 0 maka A = 0 atau B = 0.

Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari = 0 !

Suku Banyak

-6-

Jawab : Seperti contoh mengenai teorema faktor di atas , maka : = 0

= 0 x = -1, x = 1, x = -2 atau x = 4 HP : {-2,-1,1,4}

LATIHAN SOAL

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan suku banyak berikut :

2. Buktikan bahwa –4 merupakan akar persamaan dan tentukan akar-akar yang lain

3. Buktikan bahwa merupakan akar persamaan dan

tentukan akar-akar yang lain !

4. Tentukan koordinat titik potong kurva dengan sumbu X

5. Tentukan himpunan penyelesaian untuk dari

8. PEMBAGIAN DENGAN BENTUK KUADRAT

Jika pembaginya berbentuk kuadrat maka sisanya harus berupa linier (berderajat 1) atau konstanta.Cara menentukan sisanya ada 2 cara, yaitu dengan pembagian bagi kurung atau dengan menggunakan teorema sisa.

Contoh 1 : Tentukan sisa pembagian oleh

Jawab :

-

-

- -

Jadi sisanya = -9x – 4

Cara lain dengan teorema sisa :

= ( ).H(x) + Sisa

Suku Banyak

-7-

= (x – 2) (x + 1).H(x) + (ax + b) Menurut teorema sisa : Untuk x = 2 maka f(2) = 2a + b atau 2a + b = -22 ………. (1) Untuk x = -1 maka f(-1) = -a + b atau –a + b = 5 ……….. (2) Dari (1) dan (2) didapat a = -9 dan b = -4 sehingga sisa = ax + b = -9x – 4

LATIHAN SOAL

1. Tentukan sisa pembagian suku banyak berikut :

2. Tentukan nilai a dan b jika habis dibagi oleh

3. Diketahui habis dibagi x + 2. Jika dibagi oleh x – 2 bersisa –4. Tentukan nilai a dan b serta ketiga akar-akar persamaan tersebut !

4. Suatu fungsi f jika dibagi x – 1 sisanya 2 dan jika dibagi x – 2 sisanya 61. Tentukan sisanya jika f dibagi oleh (x – 1)(x – 2)

5. Jika suku banyak dibagi oleh maka sisanya x – 3. Tentukan nilai a dan b !

6. Suatu suku banyak berderajat dua dalam x habis dibagi x + 2. Jika suku banyak itu dibagi dengan x – 1 maka sisanya 6 dan jika dibagi dengan x – 2 maka sisanya 12. Tentukan rumus suku banyak tersebut !

Suku Banyak