studi kestabilan sistem dinamik dalam skema networked

Studi Kestabilan Sistem Dinamik dalam Skema Networked Control Systems

Dengan Kasus Waktu Tunda dan Data Hilang

Muhammad Faris Departemen Teknik Elektro dan Teknologi Informasi

Fakultas Teknik Universitas Gadjah Mada Jl. Grafika No 2 Kampus UGM Yogyakarta, 55281

e-mail: [email protected]

Abstrak—Komponen aktuator, pengendali, dan sensor pada sistem dinamik yang tersambung melalui suatu jaringan komunikasi nirkabel, sering disebut sebagai Networked Control Systems (NCS). Skema ini memiliki beberapa permasalahan seperti waktu tunda, periode cuplik yang berubah – ubah, serta paket data yang dapat hilang saat pengiriman. Penelitian ini bertujuan untuk studi dan analisis faktor kestabilan pada sistem linear berorde dua dengan skema NCS, dengan kasus gangguan waktu tunda dan paket data hilang yang terjadi secara deterministik. Metode kendali yang digunakan berbasis pole-placement dengan target nilai kestabilan yang bervariasi. Metode pengecekan kestabilan sistem kalang tertutup berdasarkan lokasi nilai karakteristik untuk sistem linear dan Linear Matrix Inequality (LMI) untuk switching systems digunakan pada penelitian ini. Hasil simulasi menunjukkan bahwa sistem dinamik dapat distabilkan sampai tingkatan tertentu dan tergantung dari parameter sistem kendali yang diimplementasikan.

Kata kunci - Networked Control Systems (NCS); Waktu Tunda, Paket Hilang, Pole-Placemen, LMI

I. PENDAHULUAN Sistem kendali merupakan bidang ilmu yang sudah

berkembang lama secara masif sejak pertengahan abad ke-20. Sistem kendali pada dasarnya diperlukan untuk menganalisis sekaligus menstabilkan dan meningkatkan performa dari sistem dinamik, agar responsnya sesuai dengan target yang diharapkan [1].

Salah satu tantangan riset terkini di bidang sistem kendali adalah bagaimana mengatasi permasalahan komunikasi data dan pengaruhnya pada sistem [2]. Sistem kendali klasik selama ini mengasumsikan bahwa proses perpindahan data, baik dari sensor ke pengendali maupun pengendali ke aktuator, dan sinyal referensi tidak mengalami gangguan komunikasi. Hal ini dikarenakan pada umumnya perangkat sistem kendali berada dekat dengan perangkat sensor dan aktuator. Hal ini juga menjamin semua proses berlangsung dengan tersinkronisasi.

Perkembangan saat ini memberi tantangan baru bagi sistem kendali, seperti teknologi komunikasi nirkabel yang secara khusus diterapkan untuk mengatur dan memonitor kinerja fisis dari sistem dinamik dikenal sebagai Cyber-Physical Systems (CPS). Dengan adanya CPS, maka penempatan perangkat sistem kendali tidak lagi harus berada di dekat aktuator maupun sensornya,

melainkan dapat berada di lokasi yang berbeda. Pengiriman data, baik dari sensor ke pengendali maupun dari pengendali ke aktuator dapat dilakukan secara nirkabel, sehingga lebih fleksibel dan murah. Dalam ilmu bidang teknik kendali, skema disebut dengan Networked Control Systems (NCS). Skema NCS sekarang ini mulai banyak menarik perhatian kalangan insinyur profesional untuk kebutuhan industri energi [3], manufaktur, ataupun tranportasi [4].

Gambar 1. Sistem dengan skema NCS [5]

Skema NCS ini selain mempunyai kelebihan juga

memiliki banyak tantangan. Tantangan ini bisa berupa gangguan secara internal atau bahkan eksternal, seperti serangan siber ke dalam jaringan komunikasi [6]. Gangguan internal yang ada adalah waktu tunda, paket data hilang, perubahan waktu cuplik dan sebagainya [7]. Gangguan ini pada praktiknya dapat dimodelkan secara deterministik ataupun stokastik

Permasalahan internal yang paling dasar adalah adanya waktu tunda dalam proses komunikasi data. Hal ini tentunya akan mempengaruhi dinamika dari sistem fisis yang dikendalikan. Waktu tunda ini secara umum dapat dikategorikan dalam tiga jenis: waktu tunda sensor-ke-pengendali, pengendali-ke-aktuator, dan pemrosesan [8]. Waktu tunda ini bisa terjadi secara konstan dan periodik, namun tidak menutup kemungkinan terjadi secara acak.

Tantangan lainnya adalah kemungkinan adanya paket data yang hilang dalam proses komunikasi nirkabel. Hal ini bisa terjadi karena kondisi jaringan yang tidak stabil. Salah satu simulasi dasar kehilangan paket data adalah dengan menghitung batas maksimum periode dimana sistem masih stabil dengan kondisi kehilangan data [9].

ISSN: 2085-6350 Yogyakarta, 24-25 Juli 2019 CITEE 2019

168 Departemen Teknik Elektro dan Teknologi Informasi, FT UGM

Berdasarkan permasalahan yang dibahas di atas, penelitian ini dilakukan guna menganalisis kestabilan sistem dinamik dalam skema NCS, terutama berdasarkan metode pole-placement dengan target nilai berbeda. Pada Bab II, akan dijelaskan pemodelan sistem dinamik dalam konteks gangguan waktu tunda dan paket data hilang. Kemudian dilanjutkan dengan pembahasan implementasi metode kendali pole-placement serta kekangan Linear Matrix Inequalities (LMI). Bab IV membahas diskusi hasil dari penelitian ini dan Bab V memberikan kesimpulan serta saran.

Gambar 2. Respons sistem dengan waktu tunda 0 – h [5]

II. PEMODELAN NCS

A. Sistem Dinamik NCS Pada penelitian ini, digunakan sistem kontinu linier

berorde dua yang bersifat invarian terhadap waktu (LTI) dan diekspresikan dalam state-space model, seperti ditunjukkan dalam persamaan berikut:

�̇�𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑥𝑥(𝑡𝑡) + 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑡𝑡) (1)

Untuk memudahkan analisis dan rekayasa sistem kendali, maka sistem dinamik kontinu ini harus diubah menjadi sistem diskret dengan menggunakan metode zero-order hold (ZOH). Sistem dinamik diskret hasil pencuplikan ditulis dalam persamaan berikut:

𝑥𝑥𝑘𝑘+1 = 𝑒𝑒𝐴𝐴ℎ𝑥𝑥𝑘𝑘 + ∫ 𝑒𝑒𝐴𝐴𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑ℎ0 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑘𝑘 (2)

Dengan adanya waktu tunda, maka data masukan ke aktuator dapat mengalami keterlambatan, sehigga ZOH mengaplikasikan lebih dari satu tipe masukan ke pengendali. Dalam kasus ini, akan diimplementasikan waktu tunda konstan, yakni dari τ = 0 − ℎ dan τ = ℎ − 2ℎ.

B. Sistem dinamik dengan 𝜏𝜏 ∈ {0,ℎ} Model dinamik diskret untuk skema NCS memerlukan

modifikasi yang berbeda dari persamaan dinamik diskret standar. Modifikasi ini berdasarkan waktu tunda τ yang diberikan, yakni dari waktu cuplik 0 sampai h, seperti diilustrasikan dalam Gambar 2. Untuk itu, persamaan (2) dimoidifikasi agar dapat mengakomodasi waktu tunda, yang ditulis sebagai berikut:

𝑥𝑥𝑘𝑘+1 = 𝑒𝑒𝐴𝐴ℎ𝑥𝑥𝑘𝑘 + � 𝑒𝑒𝐴𝐴𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑ℎ

ℎ−τ𝐵𝐵𝐵𝐵𝑘𝑘−1 + � 𝑒𝑒𝐴𝐴𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑

ℎ−τ

0𝐵𝐵𝐵𝐵𝑘𝑘

Metode diskretisasi sistem kontinu dan model dinamik diskret dapat dilihat dalam referensi ini [10]. Dalam model ekstensi ini, maka variabel state vector atau kondisi sistem ditambahkan dengan keluaran pengendali atau masukan aktuator pada waktu lampau (k-1), sebagai berikut:

ξ𝑘𝑘 = �𝑥𝑥𝑘𝑘𝑇𝑇

𝐵𝐵𝑘𝑘−1𝑇𝑇 �

Sehingga persamaan dinamiknya berubah menjadi seperti berikut:

ξ𝑘𝑘+1 = 𝐹𝐹(ℎ, τ)ξ𝑘𝑘 + 𝐺𝐺(ℎ, τ)𝐵𝐵𝑘𝑘

Dimana,

𝐹𝐹(ℎ, τ) = � 𝑒𝑒𝐴𝐴ℎ � 𝑒𝑒𝐴𝐴𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑

ℎ

ℎ−𝜏𝜏𝐵𝐵

0 0� ,𝐺𝐺(ℎ, τ) = �� 𝑒𝑒𝐴𝐴𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑

ℎ−𝜏𝜏

0𝐵𝐵

𝐼𝐼�

Gambar 3. Respons sistem dengan waktu tunda h – 2h [5]

Dengan asumsi bahwa sistem ekstensi yang dipengaruhi oleh waktu tunda ini dapat distabilkan, maka model ini nantinya akan ditanamkan sistem kendali kalang tertutup berdasarkan pole-placement. Salah satu alternatif pemodelan ekstensi sistem selain menambahkan u(k-n) adalah dengan menmbahkan variable x(k-n). Namun hal ini berimplikasi dimensi dari model akan menjadi lebih besar karena umumnya jumlah variabel keadaan lebih banyak dibanding jumlah masukan ke sistem.

C. Sistem dinamik dengan 𝜏𝜏 ∈ {ℎ,2ℎ} Untuk sistem dengan waktu tunda h – 2h, seperti yang

diilustrasikan Gambar 3, maka model dinamik diskret memerlukan modifikasi. Hal ini dikarenakan respons dari variabel keadaan tidak lagi dipengaruhi oleh masukan aktuator pada waktu cuplik k dan k-1, melainkan k-1 dan k-2. Sehingga persamaan sistem menjadi seperti berikut:

𝑥𝑥𝑘𝑘+1 = 𝑒𝑒𝐴𝐴ℎ𝑥𝑥𝑘𝑘 + � 𝑒𝑒𝐴𝐴𝐴𝐴ℎ

2ℎ−τ𝑑𝑑𝑑𝑑𝐵𝐵𝐵𝐵𝑘𝑘−2 + � 𝑒𝑒𝐴𝐴𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑

2ℎ−τ

0𝐵𝐵𝐵𝐵𝑘𝑘−1

Dengan,

𝜉𝜉𝑘𝑘 = �𝑥𝑥𝑘𝑘𝑇𝑇

𝐵𝐵𝑘𝑘−2𝑇𝑇

𝐵𝐵𝑘𝑘−1𝑇𝑇� ,𝐺𝐺(ℎ, 𝜏𝜏) = �

000𝐼𝐼

�

𝐹𝐹(ℎ, 𝜏𝜏) = � 𝑒𝑒𝐴𝐴ℎ � 𝑒𝑒𝐴𝐴𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑

ℎ

2ℎ−𝜏𝜏𝐵𝐵 � 𝑒𝑒𝐴𝐴𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑

2ℎ−𝜏𝜏

0𝐵𝐵

0 0 0�

Untuk pemodelan dengan waktu tunda yang lebih besar, bisa dilihat pembahasannya di [8].

D. Model dinamik dengan paket data yang hilang Pada eksperimen ini, paket data yang hilang berupa

masukan ke aktuator u(k). Untuk itu, pemodelan sistem kalang terbuka dimodifikasi menjadi model piecewise-affine dengan bentuk masukan aktuator sebagai berikut:

CITEE 2019 Yogyakarta, 24-25 Juli 2019 ISSN: 2085-6350

Departemen Teknik Elektro dan Teknologi Informasi, FT UGM 169

𝐵𝐵𝑡𝑡 �𝐵𝐵𝑘𝑘 = −𝐾𝐾𝑥𝑥𝑘𝑘, 𝑚𝑚𝑘𝑘 = 00, 𝑚𝑚𝑘𝑘 = 1

Dengan mk = 0 bila kinerja sistem normal dan mk = 1 bila terdapat paket data hilang.

III. METODE KENDALI DAN KEKANGAN Dalam penelitian ini, digunakan metode untuk kendali

pole-placement dan kekangan berupa kondisi Linear Matrix Inequality (LMI) untuk verifikasi kestabilan. Verifikasi berbasis LMI ini digunakan untuk sistem dengan waktu tunda yang tidak konstan atau sistem yang mengalami kehilangan paket data.

A. Pole-Placement Pole-placement adalah metode kendali yang berkerja

dengan memindahkan pole atau nilai karakteristik pada sistem kalang terbuka ke nilai tertentu dengan pendekatan sistem kalang tertutup [10]. Tujuan pemindahan ini adalah untuk menstabilkan sistem yang pada dasarnya tidak stabil dan meningkatkan performa respons dari sistem. Syarat utama suatu sistem dapat distabilkan tentu sistem harus bersifat stabilizable. Pada penelitian ini, bentuk persamaan dinamik kalang tertutup adalah sebagai berikut:

ξ𝑘𝑘+1 = (𝐹𝐹(ℎ, τ) − 𝐺𝐺(ℎ, τ)𝐾𝐾)ξ𝑘𝑘

Dengan nilai pengali K dihitung berdasar target nilai karakteristik. Untuk sistem dengan kasus paket data hilang, pemodelan sistem berubah menjadi seperti berikut:

𝑥𝑥𝑘𝑘+1 = ��𝑒𝑒𝐴𝐴ℎ − � 𝑒𝑒𝐴𝐴𝐴𝐴

ℎ

0𝑑𝑑𝑑𝑑𝐵𝐵K�𝑥𝑥𝑘𝑘 =:𝐴𝐴0𝑥𝑥𝑘𝑘, 𝑚𝑚𝑘𝑘 = 0

𝑒𝑒𝐴𝐴ℎ𝑥𝑥𝑘𝑘 =:𝐴𝐴1𝑥𝑥𝑘𝑘, 𝑚𝑚𝑘𝑘 = 1

Setelah itu matriks transisi kalang tertutup akan diperiksa kestabilannya dari posisi nilai karakteristik dan metode LMI.

B. Linear Matrix Inequality (LMI) Linear Matrix Inequality (LMI) adalah metode untuk

menyelesaikan permasalahan optimisasi konveks yang berisi sistem dengan pertidaksamaan matriks linear [11]. Metode ini sudah sejak lama digunakan di bidang teknik kendali, khususnya pada permasalahan kestabilan sistem. Persamaan LMI yang digunakan pada penelitian ini, yang diturunkan dari konsep kestabilan Lyapunov, adalah sebagai berikut:

𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑇𝑇 𝑃𝑃𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝑃𝑃 ≤ −𝑄𝑄

𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑒𝑒𝐴𝐴ℎ𝑙𝑙 − � 𝑒𝑒𝐴𝐴σℎ

0𝑑𝑑σ𝐵𝐵𝐾𝐾�𝑒𝑒𝐴𝐴(ℎ𝑙𝑙−ℎ)

Dengan ℎ𝑐𝑐 adalah kelipatan waktu cuplik ketika paket data hilang, dimana hl ϵ {h,2h,…,(ɀ+1)h}. Solusi berupa matriks P yang bersifat definit positif dan semua nilai karakteristiknya positif. Q adalah matriks konstanta yang mengatur laju menuju daerah kestabilan. Sistem NCS dikatakan globally asymptotically stable (GAS) bila terdapat matriks P yang memenuhi kekangan tersebut.

IV. HASIL EKSPERIMEN Pada eksperimen, diujikan dua sistem dinamik LTI

dengan nilai karakteristik yang berbeda yakni:

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑑𝑑𝑡𝑡𝑒𝑒𝑚𝑚 1: 𝐴𝐴1 = �100 10 1� , 𝐵𝐵1 = �01�

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑑𝑑𝑡𝑡𝑒𝑒𝑚𝑚 2: 𝐴𝐴2 = �0 1

0 1� , 𝐵𝐵2 = �01� Kedua sistem tersebut dipilih karena keduanya

mempunyai nilai karakteristik yang tidak stabil, yakni 1. Sistem kedua mempunyai nilai pada sumbu imajiner, sedangkan sistem pertama mempunyai respons lebih cepat dikarenakan letak nilai karakteristik yang jauh dari sumbu imajiner. Pada masing – masing model tersebut akan diujikan pada eksperimen waktu tunda konstan dan paket data hilang.

Dua nilai karakteristik target untuk pole-placement adalah pasangan kompleks konjugat -2 ± j1 dan -20 ± j1. Dua nilai yang berbeda jauh digunakan untuk mengecek efek posisi nilai karakteristik terhadap kestabilan sistem. Selain itu, kedua sistem ini bersifat stabilizable bahkan controllable, sehingga memungkinkan untuk distabilkan dalam skema kalang tertutup.

Perangkat lunak yang digunakan adalah MATLAB yang dilengkapi optimization solver Sedumi via Yalmip [12].

A. Pengujian Maksimum Waktu Cuplik Sebelum diuji dengan gangguan, maka sebelumnya

respons sistem disimulasikan dalam kondisi nominal dalam rentang waktu tertentu, untuk mengetahui batas maksimal waktu cuplik yang masih dapat diterima oleh sistem. Hasil diamati dengan lokasi nilai karakteristik. Hasilnya ditunjukkan pada Tabel 1.

TABEL 1. TABEL WAKTU CUPLIK MAKSIMUM

Sistem 1 Sistem 2 Nilai h maksimum 0.037 0.411

Dari tabel tersebut, terlihat bahwa Sistem 2 mempunyai tingkat kehandalan lebih tinggi. Hal ini dikarenakan tidak semua nilai karakteristiknya tidak stabil.

B. Pengujian Waktu Tunda Pengujian ini dilaksanakan dengan rentang waktu

cuplik (sampling time) dan waktu tunda (delay) dari 0 - 0.05 dengan interval 0.001. Untuk setiap waktu tunda h, maka akan diuji dengan waktu tunda dari 0 – h dan h – 2h. Hasil pengujian dari dua kasus tersebut digabung dalam sebuah grafik yang disajikan pada Gambar 4, 5, 6, dan 7. Area stabil ditunjukkan oleh warna hijau, sedangkan area tidak stabil ditunjukkan oleh warna biru.

Dari Gambar 4 terlihat bahwa tren naiknya area kestabilan pada Sistem 1 bisa dipertahankan hingga



tingkatan waktu cuplik 0.05. Setelah itu, seiring naiknya waktu cuplik, maka daerah kestabilan yang dapat dipertahankan mengalami penurunan. Hal ini sangat berbeda dengan hasil pengujian Sistem 2 pada Gambar 5, dimana sistem tersebut mampu mempertahankan kestabilan hingga dua kali lipat waktu tunda untuk semua rentang waktu cuplik h.

Gambar 4. Area kestabilan Sistem 1 dengan nilai karakteristik -2 ± j1


Secara teori, waktu cuplik yang semakin singkat, mendekati nol, pada dasarnya meningkatkan kehandalan sistem terhadap gangguan waktu tunda. Sehingga dengan adanya waktu tunda, bila waktu cuplik semakin lama, maka sistem kalang tertutup menjadi tidak stabil. Efek ini akan terasa pada sistem yang nilai karakteristiknya semua berada di wilayah tidak stabil dan ada nilai yang letaknya sangat jauh dari sumbu imajiner, sehingga nilai tersebut cenderung rise time-nya cepat, tetapi membutuhkan masukan aktuator yang sangat besar untuk menstabilkan sistemnya.

Selain itu terlihat bahwa pemilihan target nilai karakteristik dapat mempengaruhi kehandalan sistem kalang tertutup. Seperti pada perbandingan Gambar 4 dengan 5 dan Gambar 6 dengan 7, dimana ketika target jauh dari sumbu imajiner, area kestabilan menurun secara signifikan. Hal ini sesuai penjelasan lokasi nilai karakteristik sebelumnya.

C. Pengujian Paket Data Hilang Pada bagian ini, model (2) diujikan dalam kondisi kehilangan paket data yang terjadi secara berurutan, kemudian diamati batas maksimum kehilangannya (ɀ). Eksperimen ini menggunakan kekangan LMI untuk menguji kondisi kestabilan. Penyelesaian LMI ini bergantung dengan iterasi hl dan Q. Nilai waktu cuplik h yang digunakan disini untuk iterasi adalah 0.01m sedangkan Q adalah 10−4.



Berdasarkan hasil pengujian di Tabel 2, secara umum terlihat bahwa Sistem 2 jauh lebih handal menghadapi paket data hilang yang terjadi berurutan dibanding Sistem 1 yang tidak bisa sama sekali menghadapi kondisi tersebut. Hal ini dikarenakan Sistem 1 mempunyai nilai karakteristik yang lebih besar, sehingga lebih sulit menghadapi kondisi kehilangan paket data.

Hal yang menarik lainnya adalah, semakin besar target nilai karakteristik, maka sistem juga akan semakin handal, seperti ditunjukkan pada Tabel 2. Hal ini dikarenakan nilai karakteristik tersebut jauh dari sumbu imajiner sehingga damping ratio-nya besar dan mampu mempertahankan kondisi kestabilan sistem lebih lama pada kasus ini.

CITEE 2019 Yogyakarta, 24-25 Juli 2019 ISSN: 2085-6350

Departemen Teknik Elektro dan Teknologi Informasi, FT UGM 171

TABEL 2. MAKSIMUM PAKET HILANG BERURUTAN

Nilai karakteristik Nilai ɀ Sistem 1 Sistem 2

-2 ± j1 0 2 -20 ± j1 1 7

V. KESIMPULAN Penelitian ini membahas mengenai analisis kestabilan

sistem dinamik dalam skema Networked Control Systems (NCS), dengan konteks waktu tunda dan paket data hilang yang bersifat konstan. Sistem dinamik kalang terbuka yang diujikan bersifat tidak stabil. Dengan menggunakan kendali pole-placement, sistem tersebut dapat distabilkan hingga tingkatan waktu tunda dan cuplik tertentu. Bila waktu tunda dan cuplik diperbesar, maka secara umum, sistem akan menjadi tidak stabil.

Dalam pengujian paket data hilang, sistem menjadi lebih handal terhadap kehilangan data berurutan bila target nilai karakteristik jauh dari sumbu imajiner. Dalam kedua kasus diatas, desain sistem kendali sangat berpengaruh terhadap kestabilan sistem.

REFERENSI [1] K. J. Murray and R. M. Aström, Feedback Systems: An

Introduction for Scientists and Engineers, vol. 2.10b. 2008. [2] J. Lunze, Control Theory of Digitally Networked Dynamic

Systems. Springer International Publishing, 2014. [3] C. A. Macana, N. Quijano, and E. Mojica-Nava, “A survey on

cyber physical energy systems and their applications on smart grids,” 2011 IEEE PES Conference on Innovative Smart Grid Technologies Latin America SGT LA 2011 - Conference Proceedings, 2011.

[4] Y. A. Harfouch, S. Yuan, and S. Baldi, “Adaptive control of interconnected networked systems with application to heterogeneous platooning,” IEEE International Conference on Control and Automation, ICCA, no. July, pp. 212–217, 2017.

[5] T. Keviczky and N. van de Wouw, “Networked and Distributed Control Systems Lectures,” Delft, 2017.

[6] A. Teixeira, K. C. Sou, H. Sandberg, and K. H. Johansson, “Secure control systems: A quantitative risk management approach,” IEEE Control Systems, vol. 35, no. 1, pp. 24–45, 2015.

[7] J. P. Hespanha and P. Naghshtabrizi, “A Survey of Recent Results in Networked Control Systems,” Procedings of the IEEE, vol. 31, no. 9, pp. 1611–1621, 2007.

[8] W. Zhang, M. S. Branicky, and S. M. Phillips, “Stability of networked control systems,” IEEE Control Systems Magazine, vol. 21, no. 1, pp. 84–97, 2001.

[9] J. J. C. van Schendel, M. C. F. Donkers, W. P. M. H. Heemels, and N. van de Wouw, “On dropout modelling for stability analysis of networked control systems,” in American Control Conference, 2010, pp. 555–561.

[10] K. J. Aström and B. Wittenmark, Computer-controlled Systems (3rd Ed.). Upper Saddle River, NJ, USA: Prentice-Hall, Inc., 1997.

[11] S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004.

[12] J. Löfberg, “YALMIP: A toolbox for modeling and optimization in MATLAB,” IEEE International Conference on Computer Aided Control Systems Design, 2004, pp. 284–289.



studi kestabilan sistem dinamik dalam skema networked

Documents