stk511 analisis statistika - stat.ipb.ac.id · penduga parameter 2 p v s ... variable mean se mean...

STK511 Analisis Statistika

Pertemuan – 5

Statistika Inferensia (1)

Pendugaan Parameter mengacu pada suatu proses yang menggunakan data contoh untuk menduga nilai suatu parameter (populasi).

5. Statistika Inferensia (1)

Penduga Parameter

2

2

x

s

p

anang kurnia ([email protected])

Penduga Titik, seperti :

untuk menduga

s2 untuk menduga 2

Penduga Selang, seperti :

Selang kepercayaan (1 - )100% bagi

Jika 2 diketahui:

Jika 2 tdk diketahui:

y

2 2y z y z

n n

2 2( 1) ( 1)n n

s sy t y t

n n


Jenis Penduga


Survei dilakukan terhadap 20 rumah tangga (RT) di suatu kota untuk menduga besarnya rata-rata biaya pendidikan (juta Rp/thn/RT).

Datanya diperoleh sebagai berikut:

RT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Biaya Pendi (juta Rp)

2.3 4.5 4.0 5.0 3.8 7.2 6.25 5.75 6.7 7.8

RT 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Biaya Pendi (juta Rp)

6.8 5.3 8.0 15.1 13.2 4.5 2.0 4.7 5.75 10.1

a. Dugalah rata-rata biaya pendidikan per RT per tahun

b. Buatlah selang kepercayaan 95%. Asumsikan biaya pendidikan mengikuti sebaran normal.


Ilustrasi (1)


Jawab: Descriptive Statistics: y

Variable Mean SE Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum

y 6.438 0.732 3.275 2.000 4.500 5.750 7.650 15.100

a. Penduga rata-rata biaya pendidikan

ˆ 6.438y


Ilustrasi (1)


Jawab: One-Sample T: y

Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI

y 20 6.43750 3.27542 0.73241 (4.90456, 7.97044)

b. Selang kepercayaan 95%


Ilustrasi (1)

(0.05/2; 19)

/ 3.27542 / 20 0.73241

2.093

y

db

s s n

t

6.438 2.093 0.732 6.438 2.093 0.732

4.905 7.970


Perhatikan : ,

Kita memiliki .

Pertanyaannya : Statistik yang mana yang akan digunakan untuk menduga ?

Penduga Tak Bias Terbaik

1.

2. memiliki ragam minimum


Statistik ? → Nilai Tengah


Penduga Tak Bias

• Bias :

• Jika tak bias, maka dan

Ilustrasi :




Penduga Tak Bias Terbaik

• tak bias.

• memiliki ragam terkecil dari semua kemungkinan penduga tak bias lainnya.

Mean Square Error (MSE)




Ilustrasi : Teorema Limit Pusat Sebaran rataan contoh, n = 30



Perhatikan :

maka dan ,

sehingga :


Penduga Selang


Perhatikan :

• Peluang selang acak (BB,BA) memuat µ adalah 1 - α.


Penduga Selang


Perhatikan :

• Peluang selang acak (BB,BA) memuat µ adalah 1 - α.

• Dari seratus kali pengambilan contoh acak (selang acak) maka ada sebanyak kurang lebih (1 – α) x 100% yang memuat µ.

• Selang kepercayaan 95% :

kita yakin kalau mengambil 100

contoh acak (selang acak) maka ada

95 selang yang terbentuk akan

memuat µ (nilai tengah populasi).


Penduga Selang


Diperoleh data hasil pengukuran tinggi badan (Y ) dalam cm di suatu kelas STK511 dari 25 orang mahasiswa sebagai berikut :

161 159 152 169 156 167 149 158 141 156

154 156 157 152 154 162 174 151 173 185

161 155 170 163 150

Jika diketahui , buat selang kepercayaan 95% bagi .


Ilustrasi (2)

10Y Y


Jawab :

SK-nya adalah :


Ilustrasi (2)

/2

159.4

10 / 25 2

1.96

y

y

Z

159.4 3.92 155.48;163.32


Jawab :

SK-nya adalah :

Minitab : The assumed standard deviation = 10


TB 25 159.400 9.522 2.000 (155.480, 163.320)


Ilustrasi (2)

/2

159.4

10 / 25 2

1.96

y

y

Z

159.4 3.92 155.48;163.32


Perhatikan : Suatu selang kepercayaan (1 – α) x 100% untuk µ berdasarkan .

B = margin of error.

Maka untuk suatu margin error dan tingkat kepercayaan tertentu serta ragam yang diketahui, ukuran contoh minimum adalah :


Masalah Ukuran Contoh Minimum


Rata-rata konsentrasi seng yang diperoleh dari suatu contoh yang berasal dari 36 lokasi yang berbeda di sebuah sungai adalah 2.6 gram/ml. Jika diketahui simpangan baku populasi sebesar 0.3 gram/ml,

Berapa besar ukuran contoh minimum yang harus diambil jika kita ingin yakin 95% bahwa nilai dugaan kita berbeda dari tidak lebih dari 0.05 gram/ml ?

1393.13805.0

)3.0(96.12

n

2

2

e

zn

Jawab :


Ilustrasi (3)


Perhatikan :

dengan

dan

Sehingga untuk :


Selang Kepercayaan 2 Contoh Acak Saling Bebas


.

Rumus jadi :

dengan




Dalam suatu percobaan, dicobakan 2 metode (A dan B) dan diperoleh data sbb. :

Buat selang kepercayaan 90% bagi jika .


Ilustrasi (4)


Dalam suatu percobaan, dicobakan 2 metode (A dan B) dan diperoleh data sbb. :

Buat selang kepercayaan 90% bagi jika .

Jawab :

Selang Kepercayaan :


Ilustrasi (4)


Jawab :

Minitab

Two-Sample T-Test and CI: A, B

Two-sample T for A vs B

N Mean StDev SE Mean

A 5 20.84 7.25 3.2

B 6 22.53 5.43 2.2

Difference = mu(A) - mu(B)

Estimate for difference: -1.69333

90% CI for difference: (-8.68945, 5.30278)

Both use Pooled StDev = 6.3028


Ilustrasi (4)


Perhatikan :

Bagaimana kalau ?

dengan




Perhatikan :

untuk n besar, berlaku :

Diperoleh selang kepercayaan (1 - α) 100% bagi p adalah


Selang Kepercayaan untuk Proporsi


Perhatikan :

untuk n besar, berlaku :

Diperoleh selang kepercayaan (1 - α) 100% bagi p adalah


Selang Kepercayaan untuk Proporsi 2 Contoh Acak


Catatan medis di suatu rumah sakit menunjukkan bahwa dalam contoh yang terdiri dari 1000 laki-laki, 52 diantaranya menderita penyakit jantung, sedangkan dari 1000 perempuan, 23 diantaranya yang menderita penyakit tersebut.

Buatlah selang kepercayaan 95% bagi beda proporsi laki-laki dan perempuan yang menderita penyakit jantung.

Jawab :

0.052(1 0.052) 0.023(1 0.023)

0.052 0.023 1.961000 1000

Selang Kepercayaan 95% bagi p1 – p2 :


Ilustrasi (5)


Perhatikan pada suatu pemilihan umum, misalkan peluang Si A dan Si B menang pada suatu TPS adalah sama, tentukan ukuran contoh TPS minimum jika diinginkan kesimpulan yang diperoleh memiliki tingkat kepercayaan 95% dengan margin error 5%.

Jawab :


Ilustrasi (6)

2

1.96 x 0.25384.16

0.05

385

n

2 2

/2 /2 x Z pq Z

n pqB B


Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu:

Dugalah rata-rata beda berat badan sebelum dan sesudah mengikuti program diet, lengkapi dengan selang kepercayaan 95%!

Berat Badan Peserta

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sebelum (X1) 90 89 92 90 91 92 91 93 92 91

Sesudah (X2) 85 86 87 86 87 85 85 87 86 86

D = X1 - X2 5 3 5 4 4 7 6 6 6 5


Ilustrasi (7)


Penduga Selang

Beda nilai tengah bagi contoh berpasangan: d

Selang kepercayaan (1-)100% bagi d

2 2( 1) ( 1)

d ddn n

s sd t d t

n n

2

2

i 1 2

( )

dan d1

i

id i i

d d

s x xn

Pasangan 1 2 3 … n

Sampel 1 (X1) x11 x12 x13 x1n

Sampel 2 (X2) x21 x22 x23 x2n

D = (X1-X2) d1 d2 d3 dn


Selang Kepercayaan Nilai Tengah Data Berpasangan


Minitab

Paired T-Test and CI: X1, X2

Paired T for X1 - X2

N Mean StDev SE Mean

X1 10 91.1000 1.1972 0.3786

X2 10 86.0000 0.8165 0.2582

Difference 10 5.10000 1.19722 0.37859

95% CI for mean difference: (4.24356, 5.95644)


Ilustrasi (7)


Minitab

Descriptive Statistics: D

Variable Mean SE Mean StDev

D 5.100 0.379 1.197

One-Sample T: D


D 10 5.10000 1.19722 0.37859 (4.24356, 5.95644)


Ilustrasi (7)


Bersambung …….



Tabel t-Student


stk511 analisis statistika - stat.ipb.ac.id · penduga parameter 2 p v s ... variable mean se mean...

Documents