statistik fermi dirac

Bab V. Statistik Fermi-Dirac


Pada pembahasan yang lalu kita mengembangkan statistik kuantum yakni statistik Bose-Einstein untuk sistem yang mengandung boson. Statistik kuantum berikutnya adalah statistik Fermi-Dirac yang akan kita kembangkan untuk assembly yang sistemnya dibangun oleh fermion, dimana momentum sudutnya merupakan kelipatan bilangan bulat-setengah. Karena fermion memenuhi larangan Pauli, maka setiap keadaan paling banyak diisi oleh satu sistem saja.

DISTRIBUSI FERMI-DIRAC

Misalkan suatu assembly tertutup dan mengandung sejumlah fermion yang tak saling berinteraksi, dengan energi total . Seperti pada pembahasan statistik sebelumnya, konfigurasi assembly dapat dinyatakan dalam bentuk distribusi sistem pada sejumlah pita energi. Tiap pita mengandung sejumlah keadaan dengan energi yang

berada dalam interval dan . Konfigurasi

assembly ditandai oleh nilai yang menyatakan jumlah sistem yang dapat ditempatkan pada berbagai nilai . Karena assemblynya tertutup, maka jumlah total sistem dan energi total haruslah memenuhi syarat

Seperti halnya dengan boson, pertukaran dua fermion tidak akan menghasilkan susunan yang baru karena partikelnya identik (tak dapat dibedakan). Selanjutnya jira terdapat cara menyusun sistem

155


diantara pita energi yang memiliki keadaan, maka jumlah total konfigurasi adalah

yang tentu saja tak lain adalah robot konfigurasi.Oleh karena fermion memenuhi larangan Pauli,

maka jumlah yang dapat ditempatkan pada suatu keadaan hanya dapat bernilai 0 atau 1. Jika sejumlah

sistem telah ditempatkan dalam keadaan, maka

terdapat dari keadaan yang masih kosong.

Maka banyaknya cara mengisi adalah

Untuk menggambarkan proses pengisian ini, gambar berikut memperlihatkan 3 sistem (digambarkan dengan titik) pada 5 keadaan (digambarkan dengan kotak). Hasil menunjukkan bahwa terdapat 10 cara, nilai ini sesuai jika kita menggunakan rumus 5.3

Bobot konfigurasi secara keseluruhan diperoleh dengan mengalikan masing-masing jumlah susunan yang mungkin, yakni

Oleh karena dan cukup besar, maka kita dapat menggunakan pendekatan Stirling

=

Mengikuti metode sebelumnya, syarat yang harus dipenuhi adalah

156


Nilai yang ada dalam tanda kurung haruslah bernilai nol untuk setiap harga manapun

Dari persamaan 5.5

Nilai yang bersesuaian dengan konfigurasi yang memiliki peluang terbesar

Persamaan di atas disebut distribusi Fermi-Dirac untuk assembly fermion.

Bentuk secara umum dikenal

dengan nama fungsi Fermi dan umumnya ditulis dalam bentuk

157


Persamaan di atas diperoleh dengan melakukan substituís dan . dalam persamaan di atas disebut energi Fermi. Jika rapat keadaan dengan energi berada di antara dan , maka jumlah sistem yang berada dalam interval energi tersebut adalah

GAS FERMI-DIRAC

Sebelum membahas lebih jauh perilaku gas yang dibentuk oleh fermion, kita akan menéela fungís Fermi dengan fokus pada energi Fermi . Fungsi Fermi pada temperatur mutlak nol ditunjukkan pada gambar berikut.

Ketika temperatur mutlak 0, suku

memiliki dua nilai yang mungkin.

(i) Untuk dan

(ii) Untuk

Maka fungsi Fermi dapat memiliki dua harga yakni

untuk dan

untuk

Hal ini menunjukkan bahwa pada temperatur mutlak

nol, peluang bahwa keadaan dengan energi

terisi sama dengan satu, dengan kata lain semua keadaan terisi. Sebaliknya bahwa semua keadaan

158


dengan energi kosong. Bentuk fungsi Fermi

untuk temperatur mutlak nol ditunjukkan pada gambar berikut.

Sifat fungsi dapat dijelaskan secara

sederhana sebagai berikut. Pada temperatur mutlak nol, fermion menduduki keadaan dengan energi yang paling rendah. Oleh karena hanya satu fermion yang dapat menduduki satu keadaan, maka keadaan dengan energi paling rendah semuanya terisi sampai semua fermion berada dalam tingkatan energi tersebut. Singkatnya dapat dikatakan bahwa tingkatan energi Fermi adalah tingkatan energi tertinggi yang diduduki oleh fermion pada temperatur mutlak nol, keadaan dengan tingkatan energi di atasnya tidak terisi.

Nilai dapat dicari dari persamaan 5.11

dengan menggunakan syarat bahwa

159

F 0

1

f

0


Oleh karena bentuk fungsi Fermi pada K,

untuk , ketika untuk

syarat di atas dapat ditulis menjadi

Karena fermion merupakan sistem kuantum maka

bentuk fungsi rapat keadaan dapat diambil dari

persamaan 4.12 oleh karena momentum sudut spin fermion memungkinkan lebih dari satu keadaan untuk setiap tingkatan energi. Dengan penerapan yang lebih luas ini, misalnya dalam kasus elektron, kita dapat memandang bahwa bilangan kuantum spin magnetiknya dapat berharga dan . Jadi memungkinkan dua keadaan untuk tiap tingkatan energi

dalam sebuah ruang . Persamaan 5.13b menjadi

Secara sederhana kita dapat menghubungkan besaran di atas dengan energi termal dengan

mendefenisikan temperatur Fermi melalui hubungan

160


Dalam tabel berikut disajikan nilai dan untuk

berbagai gas Fermi-Dirac ; gas fermion yang dibentuk oleh atom isotop Helium pada tekanan standar dan juga gas elektron dalam logam alkali lithium dan natrium

Tabel 1. Energi dan temperatur Fermi

Gas

Helium 0,94 x 10-3 10Gas elektron dlm lithium 4,7 54.000Gas elektron dalam natrium 2.1 24.000

Untuk gas molekuler yang mengandung fermion, temperatur Ferminya relatif rendah dibandingkan temperatur kamar normal.

GAS ELEKTRON

Dari tabel 1 nampak bahwa untuk gas elektron temperatur Ferminya relatif tinggi, diperkirakan bahwa kenaikan temperatur dari temperatur mutlak ke nilai di sekitar temperatur kamar hanya akan berpengaruh pada elektron-elektron dengan energi yang dekat dengan energi Fermi. Hal ini ditunjukkan pada gambar berikut dengan asumís bahwa dan nilai fungsi Fermi diberikan untuk berbagai harga khusus (yang lebih mudah dihitung).

0,73

161


0,5

0,27

Distribusi jumlah elektron ke seluruh tingkatan energi merupakan perkalian antara fungsi distribusi dengan rapat keadaan

Bentuk grafik dapat dilihat pada gambar berikut.

162

εF εF+ kTεF - kT

ε

f(ε)

T > 0

T = 0

g(ε) ~ ε1/2


Sifat-sifat gas elektron pada temperatur mutlak nol dapat dihitung dari distribusi integral dengan

mengambil batas integral dari 0 sampai . Contoh

energi rata-rata elektron pada adalah :

sehingga untuk dan untuk

,

nilai diambil dari persamaan 5.14

Untuk mencari bagaimana perilaku gas elektron apabila temperatur mutlak dinaikkan (di atas nol), maka pertama perlu dicari energi Fermi sebagai fungsi temperatur. Dengan menggunakan persamaan 5.11 serta syarat kekekalan

Maka

163


Oleh karena itu kita hanya perlu mencari nilai energi Fermi sebagai batas atas integral. Pendekatan yang dapat diambil adalah .

Tingkatan energi Fermi sebagai fungsi temperatur dapat dinyatakan dengan

Untuk , nilai pada temperatur

kamar kira-kira sama dengan 8 x 10-5.Energi rata-rata elektron pada temperatur

diperoleh dengan menghitung nilai integral

untuk memperoleh

Panas jenis pada volume constan satu mol gas elektron diperoleh dari

Dengan temperatur Fermi pada temperatur kamar nilai panas jenis Kira-kira 0,05 R.

164


165

statistik fermi dirac

Documents