makalah kelompok 13 statistik fermi-dirac

7/15/2019 Makalah Kelompok 13 Statistik Fermi-Dirac

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kelompok-13-statistik-fermi-dirac 1/35

STATISTIK FERMI - DIRAC

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Fisika Statistik

DISUSUN OLEH :

KELOMPOK VII

DISUSUN OLEH :

KELOMPOK VII

1. 06101011006 MUHAMMAD FURQON

2. 06101011020 EVELINA ASTRA PATRIOT

3. 06101011037 RENY

DOSEN PENGAMPUH:

Drs. IMRON HUSAINI, M.Pd.

LENI MARLINA, S.Pd., M.Si.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2013



Fisika Statistik

STATISTIK FERMI-DIRAC

KATA PENGANTAR

Dengan menghaturkan puji dan syukur ke hadirat Allah Swt, penyusun

telah dapat menyelesaikan makalah Fisika Modern yang berjudul “ Statistik Fermi

- Dirac ” tepat waktu.

Tujuan utama penyusunan makalah ini adalah selain untuk memenuhi

salah satu tugas mata kuliah Fisika Statistik, juga untuk membantu para pembaca

khususnya mahasiswa yang nantinya akan menjadi calon pendidik agar lebih

mengetahui tentang statistik untuk fungsi distribusi fermi-dirac. Dengan demikian,

diharapkan para calon pendidik dapat melaksanakan tugasnya dengan sebaik

mungkin untuk menyongsong masa depan peserta didiknya sebagai generasi muda

yang akan menjadi motor pengerak pembangunan bangsa di masa yang akan

datang.

Dalam penyusunan makalah ini penyusun mengucapkan terima kasih

kepada Dosen Pengasuh Mata Kuliah Fisika Modern, Bapak Drs. Imron Husaini,

M.Pd., Ibu Leni Marlina, S.Pd., M.Si. dan kedua orangtua kami yang senantiasa

memberikan dukungan dan nasihatnya, serta teman-teman Pendidikan Fisika

Angkatan 2010 yang selalu memberikan dukungan serta semangatnya dalam

penyusunan makalah ini.

Meskipun telah berusaha dengan segenap kemampuan, namun penyusun

menyadari bahwa makalah ini masih belum sempurna. Oleh karena itu, segala

tegur sapa, kritik, serta saran yang diberikan pembaca akan penyusun terima

dengan kelapangan hati guna perbaikan pada masa yang akan datang.Akhir kata, penyusun berharap semoga makalah ini dapat memberikan

manfaat bagi para pembaca.

Palembang, Mei 2013

Penyusun



Fisika Statistik


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL................................................................................................1

KATA PENGANTAR.............................................................................................2

DAFTAR IS. ...........................................................................................................3

SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)..........................................................4

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang.............................................................................................5

1.2 Rumusan Masalah........................................................................................7

1.3 Tujuan Penulisan..........................................................................................8

1.4 Manfaat Penulisan........................................................................................8

BAB II ISI

2.1 Distribusi Fermi - Dirac...............................................................................9

2.2 Konfigurasi Fermion..................................................................................13

2.3 Energi Fermi...............................................................................................20

2.4 Temperatur Fermi dan Gas Fermi..............................................................23

2.5 Contoh Soal beserta Penyelesaiannya........................................................29

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan................................................................................................34

3.2 Saran...........................................................................................................34

DAFTAR PUSTAKA............................................................................................35



Fisika Statistik


SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)

1. Identitas Mata Kuliah

Mata Kuliah : Fisika Statistik

Kode Mata Kuliah/Sks : GFI 10349/3 SKS

Fakultas/Jurusan,Prodi : FKIP/PMIPA, Prodi Pendidikan Fisika

Semester : Genap 2012/2013

Tempat : Indralaya

Dosen Pengasuh : Drs. Imron Husaini, M.Pd./Leni Marlina, M.Si.

2. Tujuan Mata Kuliah : Memberikan wawasan kepada mahasiswa untuk

memahami tentang statistik fungsi fermi-dirac.

3. Standar Kompetensi : Memiliki wawasan dan pengetahuan tentang

statistik fungsi fermi-dirac

4.

Kompetensi Dasar : Memiliki wawasan dan pengetahuan tentangstatistik fungsi fermi-dirac

5. Indikator : 1. Menjelaskan distribusi energi fermi.

2. Menjelaskan konsep temperatur Fermi dan gas

elektron

6. Materi Pembelajaran : Statistik Fermi Dirac

7. Kegiatan Pembelajaran : Pertemuan Ke-7 (2 x 50 menit)

Kegiatan awal (10 menit)

1. Salam pembuka, mengecek kehadiran mahasiswa.

2. Dosen melakukan tanya jawab mengenai tugas yang diberikan, kelompok

yang presentasi harus duduk di depan.

3. Dosen menyampaikan indikator yang harus dicapai mahasiswa.



Fisika Statistik


4. Dosen memberikan arahan tentang tata tertib dalam bertanya dan disikusi

Kegiatan inti (75 menit)

5. Presentasi Kelompok 6

6. Penjelasan Ensambel Mikrokanonik

7. Penjelasan Ensambel Kanonik

8. Penjelasan Aplikasi Pada Suseptibilitas Bahan Magnet

9. Energi Rata Rata Gas Ideal

Penutup (15 menit)

10. Dosen menyampaikan intisari dari isi materi ajar yang dipresentasikan oleh

kelompok penyaji.

11. Dosen memberikan catatan perbaikan pada materi ajar dan untuk dijillid oleh

kelompok penyaji.

Penilaian

12. Penilaian Presentasi Kelompok 14.

13. Penulisan Tugas (Lembar Kriteria Tugas).

14. Penilaian Kognitif (Tanya Jawab Antar Kelompok dan Antar Individu)

15. Penilaian Afektif (Lembar Pengamatan)

16. Penilaian Psikomotorik ( Lembar Pengamatan)

17. Alat Yang Digunakan : Laptop, Projektor, Papan Tulis, Alat Tulis

18. Sumber belajar : Buku-Buku Fisika Universitas dan Fisika

Statistik, Mahasiswa, Internet

19. Media : Pemrograman Materi Ajar dengan Program

Microsoft Power Point dan Microsoft Word

20. Penilaian : Teknik Penyajian (Lembar Pengamatan)

Penguasaan Materi (Lembar Pengamatan)

Penilaian Kognitif (Tes Tertulis, Tes Lisan)

Penilaian Afektif (Lembar Pengamatan)

Penilaian Psikomotorik (Lembar Pengamatan)



Fisika Statistik


21. Sumber Pembelajaran :

Internet/E-Book

Inderalaya, Mei 2013

Mengetahui,

Kaprodi Pendidikan Fisika Dosen Pengasuh I Dosen Pengasuh II

Taufiq, S.Pd., M.Pd. Drs. Imron Husaini, M.Pd. Leni Marlina, M.Si.



Fisika Statistik


BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Fisika statistik adalah ilmu yang mempelajari tentang sifat atau perilaku

sistem yang terdiri dari banyak partikel. Generalisasi perilaku partikel merupakan

ciri pokok dari pendekatan statistik. Sampai saat ini pendekatan statistik cukup

memadai untuk merepresentasikan keadaan sistem dan perilaku partikel

penyusunnya. Oleh karena itu perlu disusun cara memahami keadaan suatu sistem

dan perilaku partikel pada sistem partikel yang memenuhi hukum-hukum fisika

klasik maupun fisika modern.

Pada bagian awal dalam kuliah ini menerangkan tentang dasar-dasar statistik

dan fungsi distribusi partikel sebagai pengetahuan dasar dalam memahami

penerapan statistik pada sistem partikel. Sistem yang tersusun oleh partikel-

partikel tidak identik (terbedakan) dan mematuhi hukum-hukum fisika klasik

dapat didekati dengan statistik klasik Maxwell-Boltzmann. Sedangkan pada

sistem yang tersusun oleh partikel-partikel identik (tidak terbedakan), hukum-

hukum fisika klasik tidak cukup memadai untuk merepresentasikan keadaan

sistem dan hanya dapat diterangkan dengan hukum-hukum fisika kuantum. Sistem

semacam ini dapat didekati dengan statistik modern, yaitu statistik Fermi-Dirac

dan Bose-Einstein. Statistik Fermi-Dirac sangat tepat untuk menerangkan perilaku

partikel-partikel identik yang memenuhi larangan Pauli, sedangkan statistik Bose-

Einstein sangat tepat untuk menerangkan perilaku partikel-partikel identik yang

tidak memenuhi larangan Pauli.

Fisika Statistik ini adalah mata kuliah wajib program studi pendidikan fisika.

Materi yang akan disajikan mengacu pada kurikulum dan pengalaman mengajar

fisika statistik. Topik-topik yang disajikan dalam pembelajaran disesuaikan

dengan kemampuan hamasiswa dan kurikulum. Materi fisika yang akan disajikanmenekankan pada pemahaman konsep dasar dan pengembangannya. Disamping

itu akan dibahas juga cara menyajikan materi disertai dengan terapannya dalam

kehidupan sehari-hari, terutama pada materi-materi yang dianggap sulit untuk

diajarkan kepada mahasiswa.

Mengingat begitu pentingnya Fisika Statistik bagi mahasiswa FKIP Fisika,

maka mahasiswa diharapkan dapat mengetahui dan memahami materi ajar Fisika

Statistik yang meliputi Pengantar Metode Statstik, Karakteristik Makroskopik dan

Kesetimbangan, Deskripsi Statistik Sistem Partikel, Entropi dan Temperatur,



Fisika Statistik


Ensambel dan Sistem Interaktif, Statistik Maxwell-Boltzmann, Aplikasi Statistik

Maxwell-Boltzmann, Statistik Bose-Einstein, Aplikasi Statistik Bose-Einstein,

Statistik Fermi-Dirac, serta Aplikasi Statistik Fermi-Dirac. Dalam hal ini akan

membahas mengenai Ensambel dan Sistem Interaktif yang terdiri dari Ensambel

Mikrokanonik, Ensambel Kanonik, Aplikasi pada Suseptibilitas Bahan Magnet

dan Energi Rata-Rata Gas Ideal.

1.2 Rumusan Masalah

Beberapa rumusan masalah dalam makalah ini diantaranya:

1) Apa definisi Statistik Fermi-Dirac?

2) Apa definisi tentang energi Fermi ?

3)

Bagaimanakah perumusan temperatur Fermi dan gas elektron?

1.3 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan dalam penyusunan makalah diantaranya:

1) Penulis dapat menjelaskan tentang statistik Fermi-Dirac

2) Penulis dapat menjelaskan tantang energi Fermi

3) Penulis dapat menjelaskan perumusan temperatur Fermi dan gas elektron

1.4 Manfaat Penulisan

Adapun manfaat penulisan makalah ini adalah sebagai berikut:

1) Manfaat untuk mahasiswa

Penulis melakukan penulisan makalah ini diharapkan dapat bermanfaat

bagi para mahasiswa, diantaranya dapat dijadikan sebagai salah satu solusi

yang bisa menjembatani permasalahan yang dialami mahasiswa mengenai

statistik distribusi Fermi - Dirac sehingga nantinya dapat mengurangi

kesalahpahaman dalam penafsiran materi Fisika Statistik.

2) Manfaat untuk penulis

Manfaat untuk penulis yaitu memperluas wawasan dan pengetahuan

tentang Fisika Statistik, terutama statistik distribusi fungsi Fermi-Dirac serta

sebagai bahan acuan dalam pembuatan makalah selanjutnya.

3) Manfaat untuk penulis selanjutnya

Manfaat penulisan makalah ini untuk penulis selanjutnya adalah dapat

digunakan sebagai contoh dalam pembuatan makalah yang akan datang.



Fisika Statistik


BAB II

ISI

2.1 DISTRIBUSI FERMI – DIRAC

Distribusi fermi-Dirac ini adalah distribusi yang mematuhi asas

larangan pauli seperti partikel-partikel berspin pecahan setengah (1/2, 3/2,

....) contohnya elektron atau nukleon, yang disebut dengan fermion, dan

fungsi distribusi yang berlaku bagi sistem fermion ini adalah distribusi

Fermi-Dirac :

1

1

/

kT E FD

Ae E f (1)

untuk distribusi Fermi-Dirac, A sangat bergantung pada T, dan

ketergantungannya ini biasanya menghampiri bentuk eksponensial

sehingga dapat ditulis sebagai berikut :

kT E F e A/

(2)

dengan demikian, fungsi distribusi Fermi-Dirac menjadi

1

1

/)(

kT E E FD

F e E f (3)

EF disebut energi Fermi. (Walaupun energi Fermi sendiri

bergantung pada suhu, ketergantungannya cukup lemah sehingga EF dapat

kita perlakukan sebagai sebuah tetapan).

Marilah kita lihat secara kualitatif perbedaan antara BE

f dan FD

f

pada suhu rendah. Untuk distribusi Bose-Einstein, pada limit T rendah,

dengan menganggap sementara A = 1, faktor eksponensial menjadi besar

untuk E yang besar; karena itu, 0 BE

f untuk keadaan dengan energi

yang besar. Satu-satunya tingkat energi yang memiliki peluang besar

untuk ditempati adalah keadaan yang memiliki 0 E ; karena faktor

eksponensial menghampiri 1, sehingga penyebut f menjadi sangat kecil,

dan dengan demikian BE

f . Jadi, bila T kecil, semua partikel dalam

sistem berebut menempati keadaan energi yang terendah. Efek ini dikenal



Fisika Statistik


0 1

EF

T = 0

f FD

sebagai “pengembunan” (condensation). Kelak akan kita lihat bagaimana

efek ini memberikan akibat-akibat tidak terduga yang cukup menarik

perhatian.

Efek “pengembunan” ini tidak mungkin terjadi pada sistem

fermion, seperti sistem elektron, karena sebagaimana telah kita ketahui,

elektron-elektron dalam sebuah atom, misalnya tidak semuanya

menempati keadaan energi terendah, berapapun rendahnya suhu. Marilah

kita lihat bagaimana distribusi Fermi-Dirac mencegah terjadinya hal ini.

Faktor eksponensial dalam penyebut FD

f adalah kT E E F e/)( . Untuk E > EF,

ceritanya sangat berbeda, karena E – EF negatif, sehingga untuk T yang

kecil, faktor kT E E F e/)( menuju nol, dan 1

FD f . Dengan demikian,

probabilitas populasi hanyalah satu fermion per satu keadaan kuantum,

sesuai dengan yang disyaratkan oleh asas Pauli. Jadi, pada suhu yang

rendah sekalipun, sistem fermion tidak “mengembun” ke tingkat energi

yang terendah. Pada

Gambar ... Pengisian berbagai tingkat energi elektron menurut distribusi Fermi-Dirac pada T = 0

Misalkan suatu assembly tertutup dan mengandung sejumlah N

fermion yang tak saling berinteraksi, dengan energi total E . Seperti pada

pembahasan statistik sebelumnya, konfigurasi assembly dapat dinyatakan

dalam bentuk distribusi sistem pada sejumlah pita energi. Tiap pita

E



Fisika Statistik


mengandung sejumlah s

g keadaan dengan energi yang berada dalam

interval s dan s sd . Konfigurasi assembly ditandai oleh nilai sn yang

menyatakan jumlah sistem yang dapat ditempatkan pada berbagai nilai s .

Karena assemblynya tertutup, maka jumlah total sistem dan energi total

haruslah memenuhi syarat

s

s

n N s s

s

n E

Seperti halnya dengan boson, pertukaran dua fermion tidak akan

menghasilkan susunan yang baru karena partikelnya identik (tak dapat

dibedakan). Selanjutnya jira terdapat s

w cara menyusun s

n sistem diantara

pita energi s yang memiliki s

g keadaan, maka jumlah total konfigurasi

adalah

s

s

W w

yang tentu saja W tak lain adalah robot konfigurasi.

Oleh karena fermion memenuhi larangan Pauli, maka jumlah yang

dapat ditempatkan pada suatu keadaan hanya dapat bernilai 0 atau 1. Jika

sejumlah s

n sistem telah ditempatkan dalam s

g keadaan, maka terdapat

s s g n dari

s g keadaan yang masih kosong. Maka banyaknya cara

mengisi adalah

s

s

s s s

g !w

n ! g n !

Untuk menggambarkan proses pengisian ini, gambar berikutmemperlihatkan 3 sistem (digambarkan dengan titik) pada 5 keadaan

(digambarkan dengan kotak). Hasil menunjukkan bahwa terdapat 10 cara,

nilai ini sesuai jika kita menggunakan rumus 5.3

Bobot konfigurasi secara keseluruhan diperoleh dengan

mengalikan masing-masing jumlah susunan yang mungkin, yakni

s

s s s s

g !W

n ! g n !



Fisika Statistik


Oleh karena s

g dan s

n cukup besar, maka kita dapat menggunakan pendekatan

Stirling

s

s s s s

g !lo g W lo g

n ! g n !

= s s s s s s s s g lo g g n lo g n g n lo g g n

Mengikuti metode sebelumnya, syarat yang harus dipenuhi adalah

s s

s s

log W d n 0

n

Nilai yang ada dalam tanda kurung haruslah bernilai nol untuk setiap harga s

manapun

s

s

lo g W 0

n

Dari persamaan 5.5

s s

s s

g nlog W lo g

n n

s s

s

s

g nlo g 0

n

s

s

s

g e x p 1n

Nilai s

n yang bersesuaian dengan konfigurasi yang memiliki peluang terbesar

s

s

s

g n

e x p 1

Persamaan di atas disebut distribusi Fermi-Dirac untuk assembly fermion.



Fisika Statistik


Bentuk s1 / exp secara umum dikenal dengan nama fungsi

Fermi dan umumnya ditulis dalam bentuk

F

1 f

exp / kT 1

Persamaan di atas diperoleh dengan melakukan substituís 1 / kT dan

F / k T .

F dalam persamaan di atas disebut energi Fermi. Jika rapat keadaan

dengan energi berada di antara dan d , maka jumlah sistem yang berada

dalam interval energi tersebut adalah

n d f g d

2.2 KONFIGURASI FERMION

Salah satu sifat yang dimiliki fermion adalah terpenuhinya prinsip

ekslusi Pauli. Tidak boleh lebih dari satu fermion memiliki keadaan

kuantum yang sama. Satu keadaan hanya boleh kosong atau hanya

ditempati oleh satu fermion.

Konsekuensi dari prinsip eksklusi Pauli adalah jumlah fermion

harus lebih sedikit atau sama dengan jumlah keadaan. Ini berbeda dengan

sistem klasik atau boson di mana tidak ada pembatasan jumlah partikel

yang menempati keadaan tertentu. Berapa pun jumlah keadaan yang

tersedia, maka keadaan tersebut dapat menampung partikel klasik maupun

boson yang jumlahnya berapa pun.

Untuk menurunkan fungsi distribusi Fermi-Dirac kita pun akan

memulai dengan membagi keadaan-keadaan atas kelompok-kelopok

sebagai berikut :

Kelopok-1 mengandung g 1 keadaan dengan energi rata-rata E 1

Kelopok-2 mengandung g 2 keadaan dengan energi rata-rata E 2.

.

.

Kelopok-s mengandung g s keadaan dengan energi rata-rata E s



Fisika Statistik


.

.

.

Kelopok-M mengandung g M keadaan dengan energi rata-rata Mg ME

Jumlah sistem yang menempati masing-masing keadaan misalkan

n1 sistem menempati keadaan-1

n2 sistem menempati keadaan-2

.

.

.

n s sistem menempati keadaan-s

.

.

.

n M sistem menempati keadaan-M

Karena satu keadaan maksimum menampung satu sistem maka harus

terpenuhi n1 g 1, n2 g 2, … , n s g s, n M g M .

Selanjutnya kita akan menentukan berapa cara menyusun n1 sistem pada g 1

keadaan, n2 sistem pada g 2 keadaan, …, n M sistem pada g M keadaan. Tinjau

kelompok-1. Di sini ada keadaan dan menampung sistem. Kembali kita

menganalogikan keadaan sebagai kursi dan sitem sebagai benda yang akan

ditempatkan pada kursi-kursi tersebut, seperti diilustrasikan pada Gbr. 6.1.



Fisika Statistik


Gambar : Contoh penyusunan fermion analog dengan penyusunan kursi. Sebagian kursi

ditempeli benda (keadaan yang diisi fermion) dan sebagian kursi kosong (keadaan yang tidak

ditempati fermion).

Untuk menentukan jumlah cara menempatkan benda pada kursi-kursi

tersebut, kita tempelkan benda pada kursi-kursi tesebut. Pada satu kursi hanya

boleh ditempelkan satu benda. Penempelan ini menjamin bahwa tidak boleh

lebih dari satu benda berada pada satu lursi. Akibatnya kita dapatkan :

Ada buah kursi yang ditempeli benda

Ada buah kursi yang kosong.

Kemudian kita melakukan permutasi semua kursi yang ada baik yang

kosong maupun yang ditempeli benda, karena benda sudah menempel pada kursi

maka permutasi tidak memungkinkan munculnya satu kursi yang menampung

lebih dari satu benda. Jumlah kursi yang dipermutasi adalah kursi sehingga

menghasilkan jumlah permutasi sebanyak cara. tetapi, karena buah

kursi kosong tidak terbedakan dan buah kursi yang ditempeli benda juga tidak

dapat dibedakan maka jumlah permutasi buah kursi harus dibagi dengan



Fisika Statistik


permutasi buah kursi kosong, tidak terbedakan dan buah kursi yang

ditempeli benda untuk mendapatkan penyusunan yang berbeda. Jadi, jumlah

penyusunan yang berbeda hanyalah

(6.1)

Dengan cara yang sama kita dapatkan jumlah cara penyusunan sistem

pada keadaan adalah

(6.2)

Begitu seterusnya. Akhirnya, jumlah total cara penyusunan secara bersama

– sama sistem pada keadaan, sistem pada keadaan,…, sistem pada

keadaan adalah

x

x … x

Selanjutnya kita perlu menentukan berapa cara membawa sistem dari

luar untuk didistribusikan ke dalam keadaan – keadaan di dalam assembli. Seperti

yang kit bahas pada assembli boson, untuk partikel tak terbedakan jumlah cara

tersebut adalah . Akhirnya, jumlah cara penyusunan fermion untuk

konfigurasi di atas adalah

atau dalam notasi logaritma

(

umlah total sistem dalam assembli dan energi total assembli masing – masing adalah



Fisika Statistik


dan

ntuk sistem terisolasi di mana tidak terjadi pertukaran partikel

maupun energi antara assembli dan lingkungan maka jumlah partikel selalu

konstan dan energi total juga konstan. Dengan demikian bentuk diferensial dari N

dan U adalah

(

(

Konfigurasi Maksimum

Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan

memaksimalkan atau dengan memperhatikan konstrain pada persamaan

(6.5) dan (6.6). Sebelum ke arah itu kita coba sederhanakan pada persamaan

(6.4)

Selanjutnya kita gunakan pendekatan Stirling untuk menyederhanakan faktorial,

yaitu

Dengan demikian bentuk dapat diaproksimasi sebagai berikut.

(

Selanjutnya, ambil diferensial ke dua ruas persamaan (6.7)



Fisika Statistik


(

Mari kita hitung satu per satu suku dalam persamaan (6.8)

i.

ii.

iii.

Dari hasil di atas maka bentuk dapat ditulis dalam bentuk lebih sederhana

sebagai berikut.

(

Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan mencari

solusi untuk persamaan , atau

(

Agar persamaan (6.10) selalu nol untuk variasi yang sembarang maka harus

terpenuhi



Fisika Statistik


yang memberikan ungkapan untuk sebagai

(

Berlaku juga pada fungsi distribusi fermion bahwa parameter memenuhi

. Dengan parameter ini maka kita dapat menulis persamaan (6.11)

secara lebih eksplisit sebagai

(

Persamaan (6.12) merupakan bentuk umum fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk

fermion.

Tabel 1 Fungsi Distribusi Statistik

Tipe Distribusi Sifat-sifat Fungsi contoh

Maxwell-

Boltzmann

Partikel identik

yang dapat

dibedakan

kT E

MBA E F

Semua Gas

Bose-Einstein Partikel identik

yang tak dapat

dibedakan

berspin bulat

1

1)(

kT

E BE

e

E F He cair (spin 0)

Foton (spin 1)

Fermi-Dirac Partikel identik

yang tak dapat

dibedakan

berspin

tengahan.

1

1

kT

E E FD F

e

F Elektron (spin ½)

Proton

nertron



Fisika Statistik


2.3 ENERGI FERMI

Energi Fermi adalah tingkat energi tertinggi yang ditempati

elektron pada suhu T = 0 K (pada keadaan dasar). Energi Fermi merupakan

suatu kuantitas yang sangat penting dalam sistem fermion (elektron adalah

fermion). Fermion adalah sistem partikel dengan fungsi gelombang yang

saling bertumpangan, yang memiliki spin setengah bilangan bulat-ganjil

(

..........). Fermion memenuhi prinsip ekslusi Pauli, dan fungsi

gelombang sistem fermion berubah tanda terhadap pertukaran setiap

pasangan partikel. Fungsi gelombang semacam ini disebut antisimetrik.Hanya satu fermion yang diperbolehkan terdapat pada keadaan kuantum

tertentu dari sistem tersebut.

a. Sistem dua partikel yang terbedakan

Terdapat dua partikel, partikel 1 dan 2, yang berada dalam keadaan a

dan keadaan b. Jika kedua partikel tersebut terbedakan, maka terdapat

dua kemungkinan terisinya keadaan yang diperoleh oleh fungsi

gelombang :

Untuk fermion, kemungkinan untuk mendapatkan kedua partikel

tersebut dalam keadaan yang sama (misal pada keadaan a) adalah:

Jadi, dalam sistem fermion, kehadiran partikel dalam keadaan

kuantum tertentu dapat mencegah partikel lain untuk berada dalam

keadaan itu ( hal ini terjadi karena untuk fermion berlaku prinsip

ekslusi Pauli).

b. Sistem dua partikel tak terbedakan

Jika terdapat partikel yang tidak dapat dibedakan, maka posisi masing-



Fisika Statistik


masing partikel tidak dapat ditentukan, dan fungsi gelombangnya

harus merupakan kombinasi dari

dan

, untuk mencerminkan peluang yang sama.

Untuk fermion, fungsi gelombang anti simetriknya adalah :

Faktor

diperlukan untuk menormalisasi fungsi gelombang tersebut.

Penentuan Besarnya Energi Fermi

Bayangkan sebuah elektron bebas bergerak dalam sebuah sumur

potensial (daerah yang membatasi gerak elektron, dimana daerah

tersebut memiliki energi potensial tak hingga ), yang lebarnya L dan

kedalamannya . Asumsikan bahwa pada daerah 0 – L energi

potensialnya sama dengan 0. Jika partikel tidak memiliki energi

potensial, maka persamaan eigen valuenya ( P.S ) adalah:

Untuk 1 dimensi

Besarnya harga adalah

P.S :

=

dimana pada elektron bebas: V ( x) = 0

= ...................................(1)

Dan solusinya adalah : Asin kx + Bcos kx



Fisika Statistik


Agar = = 0 maka besarnya x haruslah sama

dengan 0. Untuk x = 0, maka :

= Asin k0 + Bcos k0

s dan

cos 0 = 1, agar = 0 maka B = 0

...............................................(2)

Jika persamaan (2) disubtitusikan ke dalam persamaan (1), maka didapat:

=

bila k = bila k =

..............k(1)

Karena = = 0, maka :

→ A sin kL

sin kL → kL n

k = ..........................................................k(2)

Bila persamaan k(1) disubtitusikan ke dalam persamaan k(2), maka:

=

→ L

a. Untuk harga n terkecil

n = 1→ L =

Panjang gelombang yang diperoleh kecil (minimum)

b. Untuk harga n terbesar

n = 3→ L =

panjang gelombang yang diperoleh besar (maksimum)



Fisika Statistik


Bila

maka jumlah tingkat energi yang terisi ”penuh” oleh elektron

pada n = dimana N adalah jumlah elektron dan angka 2 menunjukan spin

elektron (spin up dan spin down), sebesar :

Energi tersebut dinamakan energi Fermi, yaitu tingkat energi tertinggi yang

ditempati elektron pada suhu T = 0 K (pada keadaan dasar, yang elektronnya terisi

penuh). Jika suhu T = 0 K , maka:

1. Elektron akan mampu bertransisi (loncat) ke tingkat energi yang lebih tinggi.

2. Sedangkan elektron yang lainnya, pada waktu yang bersamaan, tidak dapat

bertransisi ke tingkat energi yang lebih tinggi, hal ini terjadi dikarenakan

berlakunya prinsip ekslusi Pauli.

Dari persamaan-persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwa

semakin banyak gelombang yang terbentuk, maka akan semakin tinggi

tingkat energinya.

2.4 TEMPERATUR FERMI DAN GAS FERMI-DIRAC

Sebelum membahas lebih jauh perilaku gas yang dibentuk oleh

fermion, kita akan menéela fungís Fermi dengan fokus pada energi Fermi

F . Fungsi Fermi pada temperatur mutlak nol ditunjukkan pada gambar

berikut. Ketika temperatur mutlak T 0, suku F 0 / kT memiliki

dua nilai yang mungkin.

(i) Untuk F 0 , F

0 / kT dan

(ii) Untuk F 0 , F

0 / kT

Maka fungsi Fermi dapat memiliki dua harga yakni

untuk F 0 ,

1 f 0

e 1

dan



Fisika Statistik


untuk F 0 ,

1 f 1

e 1

Hal ini menunjukkan bahwa pada temperatur mutlak nol, peluang

bahwa keadaan dengan energi F 0 terisi sama dengan satu, dengan

kata lain semua keadaan terisi. Sebaliknya bahwa semua keadaan dengan

energi F 0 kosong. Bentuk fungsi Fermi untuk temperatur mutlak

nol ditunjukkan pada gambar berikut.

Sifat fungsi f dapat dijelaskan secara sederhana sebagai berikut. Pada

temperatur mutlak nol, fermion menduduki keadaan dengan energi yang paling

rendah. Oleh karena hanya satu fermion yang dapat menduduki satu keadaan,

maka keadaan dengan energi paling rendah semuanya terisi sampai semua

fermion berada dalam tingkatan energi tersebut. Singkatnya dapat dikatakan

bahwa tingkatan energi Fermi adalah tingkatan energi tertinggi yang didudukioleh fermion pada temperatur mutlak nol, keadaan dengan tingkatan energi di

atasnya tidak terisi.

Nilai F 0 dapat dicari dari persamaan 5.11 dengan menggunakan syarat

bahwa

s

s 0

n n d N

F

0

1

f

0



Fisika Statistik


Oleh karena bentuk fungsi Fermi pada T 0 K, n g untuk F

( 0 ) ,

ketika n 0 untuk F ( 0 ) syarat di atas dapat ditulis menjadi

F E ( 0 )

0

n d N

Karena fermion merupakan sistem kuantum maka bentuk fungsi rapat keadaan

g dapat diambil dari persamaan 4.12 oleh karena momentum sudut spin

fermion memungkinkan lebih dari satu keadaan untuk setiap tingkatan energi.

Dengan penerapan yang lebih luas ini, misalnya dalam kasus elektron, kita dapat

memandang bahwa bilangan kuantum spin magnetiknya dapat berharga 1

2dan

1

2 . Jadi memungkinkan dua keadaan untuk tiap tingkatan energi

3

21

2

2

2 m g V 4

h

dalam sebuah ruang V . Persamaan 5.13b menjadi

3

F 21

2

( 0 )

2

0

2 mV 4 d N

h

2 / 32

F

h 3 N 0

2 m 8 V

Secara sederhana kita dapat menghubungkan besaran di atas dengan energi termal

kT dengan mendefenisikan temperatur Fermi F

T melalui hubungan

F F kT 0

Dalam tabel berikut disajikan nilai F 0 dan

F T untuk berbagai gas Fermi-Dirac

; gas fermion yang dibentuk oleh atom isotop Helium 3

2H pada tekanan standar

dan juga gas elektron dalam logam alkali lithium dan natrium



Fisika Statistik


Tabel 1. Energi dan temperatur Fermi

Gas F 0 eV T ( K )

Helium 0,94 x 10- 10

Gas elektron dlm lithium 4,7 54.000

Gas elektron dalam natrium 2.1 24.000

Untuk gas molekuler yang mengandung fermion, temperatur Ferminya

relatif rendah dibandingkan temperatur kamar normal.

GAS ELEKTRON

Dari tabel 1 nampak bahwa untuk gas elektron temperatur Ferminya relatif tinggi,

diperkirakan bahwa kenaikan temperatur T dari temperatur mutlak ke nilai di

sekitar temperatur kamar hanya akan berpengaruh pada elektron-elektron dengan

energi yang dekat dengan energi Fermi. Hal ini ditunjukkan pada gambar berikut

dengan asumís bahwa F

kT dan nilai fungsi Fermi diberikan untuk berbagai

harga khusus (yang lebih mudah dihitung).

F kT

1

1 f

e 1

0,73

F

0

1 f

e 1

0,5

F kT

1 f

e 1

0,27



Fisika Statistik


Distribusi jumlah elektron ke seluruh tingkatan energi merupakan perkalian antara

fungsi distribusi dengan rapat keadaan

n d f g d

Bentuk grafik n dapat dilihat pada gambar berikut.

Sifat-sifat gas elektron pada temperatur mutlak nol dapat dihitung daridistribusi integral dengan mengambil batas integral dari 0 sampai F

0 . Contoh

energi rata-rata elektron pada T 0 adalah :

0

0

n d

n d

sehingga f 1 untuk F

dan f 0 untuk F

,

ε F ε F + kT ε F - kT

ε

f (ε)

T > 0

T = 0

n

g(ε ~ ε1/2



Fisika Statistik


F ( 0 )

0 F

0

g d 3

0 05

g d

nilai g diambil dari persamaan 5.14

Untuk mencari bagaimana perilaku gas elektron apabila temperatur mutlak

dinaikkan (di atas nol), maka pertama perlu dicari energi Fermi sebagai fungsi

temperatur. Dengan menggunakan persamaan 5.11 serta syarat kekekalan

0

n d N

Maka 0

f g d N

Oleh karena itu kita hanya perlu mencari nilai energi Fermi sebagai batas atas

integral. Pendekatan yang dapat diambil adalah F

T T .

Tingkatan energi Fermi sebagai fungsi temperatur dapat dinyatakan

dengan

22

F F

F

T 0 1

1 2 T

Untuk F

T 3 0 .0 0 0 K , nilai

22

F

T

1 2 T

pada temperatur kamar kira-kira sama

dengan 8 x 10-5.

Energi rata-rata elektron pada temperatur T diperoleh dengan menghitung

nilai integral 0

f g d

untuk memperoleh

22

F

F

3 T 0

5 T 4

Panas jenis pada volume constan satu mol gas elektron diperoleh dari



Fisika Statistik


2

A

v

F

N R T C

T 2 T

Dengan temperatur Fermi F

T 3 0 .0 0 0 K pada temperatur kamar nilai panas jenis

Kira-kira 0,05 R.

2.5 CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANNYA

1. Hitunglah energi Fermi EF dari logam Natrium

Pemecahan :

Karena setiap atom natrium menyumbangkan satu elektron valensi, maka

jumlah elektron per satuan volume, N/V, sama dengan jumlah atom natrium

per volume. Nilai ini dapat ditentukan dari kerapatan atom natrium dan massa

atom natrium :

V

N Jumlah atom per volume

M

N A

eV

nm

mm

eV

nmeV

mmc

hc

V

N

m

h E

m

cm

mol g

mol atomcm g

F

15,3

101009,2

10511,02

.1240

1054,28

3

2

8

3

2

1054,2

1054,2

/0,23

/1002,6/971,0

29

218

6

2

328

2

2

2

328

322

23

3

32

32



Fisika Statistik


1

2

1

/

/

2/1

21

kT E E

F F

kT E E

F

F

e

E n E

E

E n

e

CE dE dE E n

2. Suatu metal mempunyai energi Fermi EF = 4,0 eV dan suhu T = 400 K.

Hitung cacah elektron bebas persatuan energi n(E) untuk (a) E = EF + kT (b) E

= EF – kT

Pemecahan :

Untuk 2/12/12

2

F F F F F E E nC E

C E n E E

Dari persamaan

a) sehingga untuk E = EF + kT

1

/2

/

21

kT E kT E

F F F

F F F e

E n E kT E kT E n

dengan T = 400 K

eV E

eV eV J K K J kT

F 0,4

034,0/106,1400/1038,111923

eV neV n

e

E n E kT E eV n

F F F

0,454,0034,4

1

/2034,4

21

b) untuk E = EF – kT

eV neV n

eV neV n

e

E n E kT E kT E n

F F F

F

0,45,1966,3

0,40,4/966,32966,3

1

/)(2

21

21

1

3. 15 molekul helium masing-masing menpunyai spin total dan berada

pada bidang potensial L x L. Tentukan

a. energi Fermi

b. energi total system

Penyelesaian :



Fisika Statistik


a. merupakan contoh fermion karena menmpunyai spin tengahan,

atau . Tingkat energi diberikan oleh pers.(2.14) untuk Lz = Ly = L

Setiap titik (m,n) ditempati dua molekul yaknin dengan spin up dan spin-down. 15 berturut menempati dan berenergi sebagai berikut :

N0 m n E/E0

1 1 1 2

2 1 2 5

3 2 1 5

4 2 2 85 1 3 10

6 3 1 10

7 2 3 13

8 3 2 13

Dengan demikian energi Fermi yakni energi tertinggi adalah 13E0

Salah satu dari keadaan no.7 dan no.8 ditempati satu molekul danlainnya dua.

b. Energi total system 15

E = 2(2+5+5+8+10+10+13+13)E0 + 3 x 13 E0

= 119 E0

4. 4,2 x 1021

elektron berada di dalam kotak bervolume 1 cm3. Hitung :

a. Besar vector gelombang Fermi b. Energi Fermi system

c. Energi dan vector gelombang Fermi jika electron diganti proton.

Penyelesaian :

a. Dari pers.(6.52) diperoleh

Maka



Fisika Statistik


PF =

Dan panjang vector gelombang Fermi

b. Energi Fermi

c. Bila electron diganti proton massa proton kira-kira 1836 massa electron

m p = 1836 me

5. System gas electron bebas di dalam logam pad atemperatur nol

mempunyai kerapatan N = 1022 elektron/cm3. Tentukan potensial kimia

dari electron konduksi di dalam logam tersebut.

Penyelesain :

Dari rapat keadaan

Maka

6. Bintang neutron Reaksi di dalam bintang neutron adalah p + e + , MeV→n

Hitung :



Fisika Statistik


a. Kerapatan minimum electron bebas

b. Kerapatan minimum bintang neutron agar reaksi di atas dapat

berlangsung

Penyelesaian :

a. Menggunakan per.(6.7)

Reaksi berlangsung jika

b. Rapat massa minimum bintang neutron



Fisika Statistik


BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Berdasarkan uraian-uraian yang telah dijabarkan oleh penulis di atas dapat

disimpulkan bahwa:

1. Elektron atau fermion dalam sebuah atom memiliki tingkatantingkatan

energi yang dapat diserap atau dipancarkan. Elektron ini memenuhi

prinsip eksklusi Pauli, yang menyebutkan bahwa tidak ada elektron yang

memiliki bilangan kuantum yang sama, kehadiran partikel dalam keadaan

kuantum tertentu dapat mencegah partikel lain untuk berada dalam

keadaan itu. Peluang elektron untuk menempati tingkat energi tertentu

(loncat ke tingkat energi tertentu) dapat dinyatakan melalu distribusi

Fermi-Diract, yang memiliki persamaan :

2. Temperatur Fermi pada T = 0 K adalah :

3. Energi Fermi adalah tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron pada

suhu T = 0 K (pada keadaan dasar). Energi Fermi merupakan suatu

kuantitas yang sangat penting dalam sistem fermion (elektron adalah

fermion).

3.2 Saran

Setelah membahas dan mengkaji tentang statistik Fermi-Dirac ini

adapun beberapa saran yang ingin disampaikan penulis dari pembahasan

materi ini yaitu dengan untuk bisa memahami perkembangan statistik Fermi-

Dirac maka kita harus menggunakan banyak referensi. Sehingga, semakin

banyak referensi yang kita baca, maka pemahaman mengenai materi tersebut

akan semakin bertambah.




DAFTAR PUSTAKA

Abdullah, Mikrajuddin.2009. Pengantar Fisika Statistik . Bandung : InstitutTeknologi Bandung.

Purwanto, Agus. 2007. Fisika Statistik . Yogyakarta: Gaya Media.

Sudiarta, I Wayan. 2012. Diktat Kuliah Fisika Statistik . Mataram: Universitas

Mataram.

makalah kelompok 13 statistik fermi-dirac

Documents