Permutasi dan Kombinasi

Sudaryatno Sudirham

Permutasi

Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah terten tu komponenyang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dala m setiap

kelompok urutan komponen diperhatikan

Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan Bdan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya

terdiri dari 2 huruf

Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah

BA

AB

dan diperoleh 2 kelompok

Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempatiposisi pertama yaitu A atau B

Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satukemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B

Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satukemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu A

Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan CKelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf ada lah:

ACB

ABC B

CA

BAC C

BA

CAB

diperoleh 6 kelompok

Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertamatinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua

Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertamadan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua

maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempatiposisi terakhir yaitu posisi ketiga

Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah

6123 =××Jumlah kemungkinan

komponen yang menempati posisi pertama Jumlah kemungkinan

komponen yang menempati posisi kedua

Jumlah kemungkinankomponen yang

menempati posisi ketiga

Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf

ada24 kelompok

Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1

ABCD BACD CDAB DABC

ABDC BADC CDBA DACB

ACBD BCAD CABD DBCA

ACDB BCDA CADB DBAC

ADCB BDAC CBAD DCAB

ADBC BDCA CBDA DCBA

jumlah kelompok yang mungkin dibentuk

4×3×2×1=24 kelompokyaitu:

Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangundari n komponen

yang setiap kelompok terdiri dari n komponen adalah

!1.........)2()1( nnnn =××−×−×

Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n!dan kita tuliskan

!nPnn =Kita baca : n fakultet

Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkandengan setiap kelompok terdiri dari n komponen,

tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang masing-masing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n

kn P

Kita sebut permutasi k dari n komponen dan kita tuliskan

Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah

123424 =×=P

Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatanpada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3.

Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya.

Penghitungan 4P2 dalam contoh di atas dapat kita tuliskan

1212

123424 =

××××=P

Secara Umum:

)!(

!

kn

nPkn −

=

Contoh:

30561234

123456

)!26(

!626 =×=

××××××××=

−=P

Contoh:

360345612

123456

)!46(

!646 =×××=

××××××=

−=P

Kombinasi

Kombinasi merupakan pengelompokansejumlah komponen yang mungkin dilakukan

tanpa mempedulikan urutannya

Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu

ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA

namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu

ABC

karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan

ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA

Oleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n komponen haruslah sama dengan

jumlah permutasi nPkdibagi dengan permutasi k

Kombinasi k dari sejumlah n komponendituliskan sebagai nCk

Jadi! )!(

!

! kkn

n

k

PC kn

kn ×−==

Contoh:

Berapakah kombinasi dua-dua dari empat hurufA, B, C, dan D

61212

1234

!2)!24(

!4

!224

24 =××××××=

×−== P

C

yaitu:

Jawab:

AB

AC

AD

BC

BD

CD

Contoh AplikasiDistribusi Maxwell-Boltzman

Distribusi Fermi-Dirac

Distribusi Maxwell-Boltzman

Setiap tingkat energi dapat ditempati olehelektron mana saja

dan setiap elektron memiliki probabilitas yang sama untuk menempati suatu tingkat energi

Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkatenergi yang diskrit; kita sebut

dst. 321 EEE

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harusterdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada

dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah

dst.

elektron terdapat di

elektron terdapat di

elektron terdapat di

33

22

11

nE

nE

nE

maka jumlah cara penempatan elektron di E1merupakan permutasi n1 dari N yaitu

)!(

!

11 1 nN

NPP Nn −

==

Jumlah cara penempatan elektron di E2 merupakan permutasi n2 dari(N−n1) karena sejumlah n1 sudah menempati E1

)!(

)!(

21

1)(2 12 nnN

nNPP nNn −−

−== −

)!(

)!(

321

21)(3 213 nnnN

nnNPP nnNn −−−

−−== −− dst.

Jumlah cara penempatan elektron di E3 merupakan permutasi n3 dari(N−n1−n2) karena sejumlah (n1+n2) sudah menempati E1 dan E2

Setelah n1 menempati E1 maka urutan penempatan elektron di E1 inisudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara

satu elektron dengan elektron yang lain

Jadi jumlah cara penempatan elektron di E1 adalah kombinasi n1 dari Nyaitu

!)!(

!

!n

1111

1

nnN

NPC Nn

−==

Demikian pula penempatan elektron di E2, E3, dst.

!)!(

)!(

!)!(

221

1

21

)(2

12

nnnN

nN

nN-n

PC nNn

−−−== −

!)!(

)!(

!)!(

3321

21

3331

)(3

213

nnnnN

nnN

nnnnN

PC nnNn

−−−−−=

−−−= −−

dst.

Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati, yang disebut intrinksic probability

Misalkan intrinksic probability tingkat E1 adalah g1, E2 adalah g2, dst.maka probabilitas tingkat-tingkat energi

dst.

elektron ditempati

elektron ditempati

elektron ditempati

33

22

11

nE

nE

nE

adalah

dst.

333

222

111

3

2

1

CgF

CgF

CgF

n

n

n

=

=

=

Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektronseperti di atas adalah:

!.....!!

............... ....

321

321321321321

321

321

nnn

gggCCCgggFFFF

nnnnnn ===

Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Maxwell-B oltzmann

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi

Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contohini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian

permutasi dan kombinasi

Pembaca dapat melihat proses perhitungan lanjutan inidi buku-e

“Mengenal Sifat Material”

TkEii

BiegZ

Nn /−=

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kitapada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann

Jumlah elektron padatingkat energi Ei

temperatur

konstanta Boltzmann

tingkat energi ke-i

probabilitas intrinksiktingkat energi ke-i

fungsi partisi

∑β−=

i

Ei

iegZ

Distribusi Fermi-Dirac

Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energiyang diskrit, misalnya kita sebut

dst. 321 EEE

Setiap tingkat energi mengandungsejumlah tertentu status kuantum

dan tidak lebih dari dua elektron beradapada status yang sama.

Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkatenergi menjadi probabilitas intrinksik tingkat

energi yang bersangkutan

Yang berarti menunjukkan jumlahelektron yang mungkin berada di suatu

tingkat energi

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harusterdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada,

yaitu

dst.

elektron terdapat di

elektron terdapat di

elektron terdapat di

33

22

11

nE

nE

nE

Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektr on adalah:

Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dir ac namun kita tidakmembicarakan lebih lanjut karena proses selanjutnya tida k menyangkut

permutasi dan kombinasi

Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkatE1, E2, E3 dst. merupakan kombinasi C1, C2, C3 dst

!)!(

!

111 nnN

NC

−=

!)!(

)!(

221

12 nnnN

nNC

−−−=

!)!(

)!(

3321

213 nnnnN

nnNC

−−−−−= dst.

Dengan probabilitas intrinksik g1, g2, g3 maka jumlah cara untukmenempatkan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. menjadi

)!(!

!

111

11 ngn

gF

−=

!)!(

!

222

22 nng

gF

−=

!)!(

!

333

33 nng

gF

−= dst.

∏ −==

i iii

ii ngn

gFFFFF

)!(!

!...321

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi

Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contohini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian

permutasi dan kombinasi

Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutanini di buku-e

“Mengenal Sifat Material”, Bab-9 yang dapat diunduh di situs ini juga

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kitapada formulasi distribusi Fermi Dirac

1/)( +=

− TkEEi

iBFie

gn

Jika kita perhatikan persamaan ini untuk T →→→→ 0

0)(untuk

0)(untuk 0lim /)(

0

>−∞=

<−=−→

Fi

FiTkEE

T

EE

EEe BFi

Jadi jika T = 0 maka ni = gi yang berarti semua tingkatenergi sampai EF terisi penuh dan tidak terdapat

elektron di atas EF

EF inilah yang disebut tingkat energi Fermi.

Bahan Kuliah Terbuka

Permutasi dan KombinasiSudaryatno Sudirham