penyelesaian simetri spin persamaan dirac dengan … · simetri yaitu kondisi dimana potensial...

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

PENYELESAIAN SIMETRI SPIN PERSAMAAN DIRAC

DENGAN POTENSIAL P ̈SCHL-TELLER TERMODIFIKASI

DAN POTENSIAL NON-SENTRAL SCARF II

TRIGONOMETRIK MENGGUNAKAN ASYMPTOTIC

ITERATION METHOD (AIM)

Disusun oleh:

BETA NUR PRATIWI

M0211012

SKRIPSI

Diajukan untuk memenuhi sebagian

persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

Mei, 2015


commit to user ii

HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi dengan judul : Penyelesaian Simetri Spin Persamaan Dirac dengan

Potensial P ̈schl-Teller Termodifikasi dan Potensial

Non-Sentral Scarf II Trigonometrik Menggunakan

Asymptotic Iteration Method (AIM)

Yang ditulis oleh:

Nama : Beta Nur Pratiwi

NIM : M0211012

Telah diuji dan dinyatakan lulus oleh dewan penguji pada

Hari : Rabu

Tanggal : 22 April 2015

Anggota Tim Penguji:

1. Drs. Darmanto, M.Si. ........................................

NIP 19610614 198803 1 002

2. Dra. Riyatun, M.Si. ........................................

NIP 19680226 199402 2 001

3. Prof. Dra. Suparmi, M.A., Ph.D. .........................................

NIP 19520915 197603 2 001

4. Prof. Drs. Cari, M.A., Ph.D. .........................................

NIP 19610306 198503 1 002

Disahkan oleh

Ketua Jurusan Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sebelas Maret Surakarta


commit to user iii

NIP 19680508 199702 1 001


commit to user iv

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa isi intelektual Skripsi saya yang

berjudul “Penyelesaian Simetri Spin Persamaan Dirac dengan Potensial P ̈schl-

Teller Termodifikasi dan Potensial Non-Sentral Scarf II Trigonometrik

Menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM)” adalah hasil kerja saya dan

sepengetahuan saya hingga saat ini. Skripsi tidak berisi materi yang telah

dipublikasikan atau ditulis oleh orang lain atau materi yang telah diajukan untuk

mendapatkan gelar kesarjanaan di Universitas Sebelas Maret atau di Perguruan

Tinggi lainnya kecuali telah dituliskan di daftar pustaka. Skripsi ini dan segala

bentuk bantuan dari semua pihak telah ditulis di bagian ucapan terimakasih. Isi

Skripsi ini boleh dirujuk atau difotokopi secara bebas tanpa harus memberitahu

penulis.

Surakarta, Mei 2015

Beta Nur Pratiwi


commit to user v

MOTTO

Bermimpilah yang hebat, jangan mau mimpi yang biasa-biasa saja,

karena Kuasa Tuhan kita luar biasa (Ahmad Rifa’i Rif’an).

We have got to understand that the poor are all around us and we are

ignoring them. We have got to understand that these deaths are

preventable. We have got understand that they are us. We are them

(Rachel Corrie).


commit to user vi

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan kepada:

ALLAH SWT Tuhan Seluruh Alam,

Rasululloh Muhammad SAW,

Keluarga kecilku: Mamak, Bapak, mas bro

Segenap keluarga besarku,

Teman-teman FISIKA 2011,

dan

aku, yang berawal dari rasa penasaran (ingin tahu) akhirnya setelah cukup lama

bisa menemukan sedikit jawaban atas rasa penasaran itu, walaupun belum

sepenuhnya terjawab

serta teruntuk,

makhluk hidup ciptaan Tuhan yang se-spesies denganku yang mungkin tertarik

dengan keindahan Fisika Kuantum.


commit to user vii

Penyelesaian Simetri Spin Persamaan Dirac dengan Potensial P ̈schl-Teller

Termodifikasi dan Potensial Non-Sentral Scarf II Trigonometrik

Menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM)

BETA NUR PRATIWI

Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Sebelas Maret

ABSTRAK

Penyelesaian dari persamaan Dirac kombinasi potensial P ̈schl-Teller

termodifikasi dan potensial non-sentral Scarf II trigonometrik untuk kondisi spin

simetri yaitu kondisi dimana potensial skalar sama dengan potensial vektor

dipelajari dan diselesaikan menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM).

Kombinasi dari kedua potensial disubtitusikan ke dalam persamaan Dirac tak

bergantung waktu, kemudian dilakukan pemisahan variabel menjadi bagian radial

dan anguler. Persamaan bagian radial dan anguler diselesaikan dengan mereduksi

menjadi persamaan perantara hipergeometri, untuk selanjutnya diselesaikan

mengikuti AIM. Dengan AIM, persamaan spektrum energi relativistik dan

persamaan bilangan kuantum orbital dapat diperoleh, dimana keduanya saling

berkaitan antar bilangan kuantum. Spektrum energi diselesaikan pula secara

numerik menggunakan sofware Matlab 7.1, dimana kenaikan bilangan kuantum

radial menyebabkan penurunan spektrum energi. Fungsi gelombang bagian

radial dan bagian anguler ditentukan dalam bentuk fungsi hipergeometri dan

divisualisasikan dengan software Matlab 7.1. Hasilnya menunjukkan bahwa

gangguan yang dilakukan potensial non-sentral Scarf II trigonometrik

mengakibatkan perubahan pada fungsi gelombang bagian radial dan fungsi

gelombang bagian anguler.

Kata kunci: persamaan Dirac, potensial Pöschl-Teller termodifikasi, potensial

Scarf II trigonometrik, Asymptotic Iteration Method (AIM).


commit to user viii

Solution Spin Symmetry of the Dirac Equation with Modified Pöschl-Teller

Potential and Trigonometric Scarf II Non-Central Potential Using

Asymptotic Iteration Method (AIM)

BETA NUR PRATIWI

Physics Department, Faculty of Mathematics and Natural Sciences,

Sebelas Maret University

ABSTRACT

Solution of the Dirac equation for modified Poschl-Teller potential and

trigonometric Scarf II non-central potential for spin symmetry which scalar

potential is same with vector potential studied and solved using Asymptotic

Iteration Method (AIM). The combination of the two potential is substituted into

the Dirac equation is independent of time, then the separation of variables into

radial and angular parts. Radial and angular part equation solved by reducing

them to the hipergeometri intermediaries equation, to further resolved to follow

the asymptotic iteration method. With the asymptotic iteration method, the energy

spectrum of the relativistic equations and equations of orbital quantum number can be obtained, where both are interrelated between quantum numbers. Energy

spectrum also numerically solved using Matlab software, where the increase in the

radial quantum number causes a decrease in the energy spectrum. The wave

function of radial part and the angular are defined as hipergeometri functions and

visualized with Matlab 7.1. The results show that the disturbance of trigonometric

Scarf II non-central potential change in the wave function of the radial part and

the angular part.

Keywords: Dirac equation, modified Pöschl-Teller potential, trigonometric Scarf

II non-central potential , Asymptotic Iteration Method (AIM).


commit to user ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Alloh SWT atas segalaNya sehingga penulis dapat

menyelesaikan penulisan skripsi ini.

Skripsi yang penulis susun sebagai bagian dari syarat untuk mendapatkan gelar

Sarjana Sains ini penulis beri judul “Penyelesaian Simetri Spin Persamaan Dirac

dengan Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-Sentral Scarf II

Trigonometrik Menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM) “. Dapat

menyelesaikan skripsi ini adalah suatu kebanggaan bagi saya setelah sekitar satu

semester penulis berjuang untuk menyelesaikan skripsi ini tepat waktu. Dengan

segala suka dan duka yang dialami, pada akhirnya skripsi ini dapat diselesaikan. Oleh

karena itu, penulis ingin menyampaikan terimakasih kepada:

1. Prof. Dra. Suparmi, M.A., Ph.D. selaku pembimbing I dan pembimbing

akademik yang senantiasa membimbing dari awal semester hingga skripsi

ini dapat selesai.

2. Prof. Drs. Cari, M.A., Ph.D. selaku pembimbing II yang senantiasa

membimbing hingga skripsi ini dapat selesai.

3. Segenap dosen dan staf Jurusan Fisika yang telah banyak membantu dan

memberikan bimbingan selama perkuliahan.

4. Kedua orang tua dan keluarga besar, atas doa dan segala bantuannya sejak

penulis menjadi mahasiswa hingga akhirnya bisa menyelesaikan skripsi ini.

5. Kakak-kakak seperguruan Fisika Kuantum.

6. Teman-teman Fisika 2011.

Semoga Tuhan membalas jerih payah dan pengorbanan yang telah diberikan

dengan balasan yang lebih baik. Penulis menyadari akan banyaknya kekurangan

dalam penulisan skripsi ini.

Namun demikian, penulis berharap semoga karya kecil ini bermanfaat.

Surakarta, Mei 2015

Beta Nur Pratiwi


commit to user x

HALAMAN PUBLIKASI

Sebagian skripsi saya yang berjudul “Penyelesaian Simetri Spin Persamaan Dirac

dengan Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-Sentral Scarf II

Trigonometrik Menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM)” dipublikasikan

di Repositori Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Sebelas Maret.


commit to user xi

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ......................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN ......................................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iii

HALAMAN PERNYATAAN .......................................................................... iv

HALAMAN MOTTO ....................................................................................... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... vi

HALAMAN ABSTRAK ................................................................................. vii

HALAMAN ABSTRACT .............................................................................. viii

KATA PENGANTAR ...................................................................................... ix

HALAMAN PUBLIKASI ................................................................................. x

DAFTAR ISI ..................................................................................................... xi

DAFTAR TABEL .......................................................................................... xiii

DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xv

DAFTAR SIMBOL ....................................................................................... xvii

DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................ xviii

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1

1.1. Latar Belakang ................................................................................. 1

1.2. Batasan Masalah ............................................................................... 4

1.3. Perumusan Masalah .......................................................................... 4

1.4. Tujuan Penelitian .............................................................................. 5

1.5. Manfaat Penelitian ............................................................................ 6

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ....................................................................... 7

2.1. Persamaan Dirac ............................................................................... 7

2.2. Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial Non-

sentral Scarf II Trigonometri .......................................................... 13

2.3. Persamaan Dirac dalam Kombinasi Potensial Pöschl-Teller

Termodifikasi dan Potensial Non-sentral Scarf II

Trigonometri................................................................................... 14

2.4. Asymptotic Iteration Method (AIM) .............................................. 16

2.5. Penyelesaian Analitik Simetri Spin Persamaan Dirac dengan

Potensial Hiperbolik Pöschl-Teller Termodifikasi-q dan

potensial Non-Sentral Scarf II Trigonometrik dengan metode

Nikivorof-Uvarof ........................................................................... 19

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ..................................................... 21

3.1. Tempat dan Waktu Penelitian ........................................................ 21

3.2. Alat dan Bahan Penelitian .............................................................. 21

3.3. Metode Penelitian ........................................................................... 21

3.3.1. Studi Literatur ...................................................................... 22

3.3.2. Penulisan Persamaan Kombinasi Potensial Pöschl-

Teller Termodifikasi dan Potensial Non-sentral Scarf

II Trigonometri ................................................................... 23


commit to user xii

3.3.3. Penulisan persamaan Dirac bagian radial, anguler dan

azimuth untuk Kombinasi Potensial Pöschl-Teller

Termodifikasi dan Potensial Non-sentral Scarf II

Trigonometri Simetri Spin dengan Koordinat Bola ........... 23

3.3.4. Penentuan Fungsi Energi dan Fungsi Gelombang

Radial dan Anguler Persamaan Dirac Kondisi Simetri

Spin dengan Koordinat Bola untuk Kombinasi

Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan Potensial

Non-sentral Scarf II Trigonometri ...................................... 23

3.3.4.1. Penentuan Fungsi Gelombang Bagian Radial ....... 23

3.3.4.2. Penentuan Fungsi Gelombang Bagian Anguler .... 24

3.3.5. Visualisasi Tingkat Energi dan Fungsi

Gelombang dengan Software Matlab 7.1 ............. 26

3.3.6. Analisis Energi dan Fungsi Gelombang ............................... 26

3.3.7. Kesimpulan........................................................................... 26

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ........................................................ 27

4.1. Pendahuluan ................................................................................... 27

4.2. Penyelesaian Bagian Radial Kondisi Simetri Spin untuk

Kombinasi Potensial Pöschl-Teller Termodifikasi dan

Potensial Non-sentral Scarf II Trigonometri .................................. 27

4.3. Penyelesaian Bagian Anguler Kondisi Simetri Spin untuk



4.4. Penyelesaian Bagian Azimut Kondisi Simetri Spin untuk



4.5. Visualisasi Tingkat Energi Relativistik Persamaan Dirac

Kombinasi Potensial Non-sentral Pöschl-Teller

Termodifikasi dan Potensial Scarf II Trigonometri ....................... 45

4.6. Visualisasi Gelombang Radial dan Anguler Persamaan Dirac



4.6.1. Analisa Fungsi Gelombang Radial Kombinasi


Non-sentral Scarf II Trigonometri ................................... 51

4.6.2. Analisa Fungsi Gelombang Anguler Kombinasi


Non-sentral Scarf II Trigonometri ................................... 59

BAB V PENUTUP ........................................................................................... 71

5.1. Kesimpulan ..................................................................................... 71

5.2. Saran ............................................................................................... 72

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 73

LAMPIRAN ..................................................................................................... 77


commit to user xiii

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 4.1. Energi relativistik (1/fm) dari partikel yang dipengaruhi

oleh potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial

Scarf II Trigonometrik variasi μ dengan M=5, k=1,5 ,η=1

,a= 0,25 dan b= 0,75 ................................................................. 47

Tabel 4.2. Energi relativistik dalam fm-1

dari partikel yang

dipengaruhi oleh potensial Pöschl-Teller termodifikasi

dan potensial Scarf II Trigonometrik variasi nilai

dengan dan ............ 48

Tabel 4.3. Energi relativistik dari partikel yang dipengaruhi oleh

potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial Scarf

II Trigonometrik variasi konstanta a dan b dengan dan ............................................. 50

Tabel 4.4. Fungsi Gelombang bagian radial tak ternormalisasi

( ) ( ( ) ( ( )) kombinasi

potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial non-

sentral Scarf II Trigonometri dengan variasi nr (M=5, m=2,

nl=2, k =2, 2, a =0,25, b =0,75 dan ) ............ 53


( ) ( ( ) ( ( )) kombinasi


sentral Scarf II Trigonometri dengan variasi k, η (M=5,

m=2, nl=2, a =0,25 , b= 0,75, μ=0,2 1/fm ................................ 56


( ) ( ( ) ( ( )) kombinasi


sentral Scarf II Trigonometri dengan variasi a, ( ,nl=2,m=2, ) ................................................ 57

Tabel 4.7. Fungsi Gelombang bagian radial tak ternormalisai

( ) ( ( ) ( ( )) kombinasi


sentral Scarf II Trigonometri dengan variasi ( ,nl=2,m=2, ) ...................................................... 58

Tabel 4.8. Fungsi Gelombang bagian anguler kombinasi potensial

Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial non-sentral

Scarf II Trigonometri dengan variasi nl (M=5,nr=0,k =1,5

, 1, a=0,25,b=0,75 dan ) ............................... 60


Pöschl-Teller termodifikasi dan potensial non-sentral

Scarf II Trigonometri dengan variasi m (M=5,nr=0,k =1,5

, 1, a=0,25,b=0,75 dan ) ............................... 64


commit to user xiv


P ̈schl-Teller termodifikasi dan potensial non-sentral

Scarf II Trigonometri dengan variasi a atau b (M=10,

nr=0, nl=1, =2 , 1,5, ) ................................. 67


commit to user xv

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1. Sistem Koordinat Bola .............................................................. 12

Gambar 3.1. Diagram Alir Metode Penelitian ............................................... 22

Gambar 4.1. Grafik energi relativistik persamaan Dirac kombinasi

potensial Pöschl-Teller dan potensial Scarf II

trigonometrik variasi dan .................................................. 48

Gambar 4.2. Spektrum energi relativistik variasi k, ..................................... 49

Gambar 4.3. Grafik energi relativistik persamaan Dirac kombinasi


trigonometrik variasi a dan b ..................................................... 50

Gambar 4.4. Spektrum energi relativistik variasi a,b ..................................... 51

Gambar 4.5. Fungsi gelombang bagian radial tak ternormalisasi untuk


Trigonometri dengan variasi nr (M=5, m=2, nl=2, k =2,

2, a =0,25, b =0,75 dan ............................... 54

Gambar 4.6. Fungsi gelombang bagian radial potensial non-sentral

Pöschl-Teller hiperbolik terdeformasi-q (q=1) dan

potensial Manning-Rosen variasi n (Aysiah, D, 2014) ............. 55

Gambar 4.7. Fungsi gelombang bagian radial ( ) potensial Pöschl-

Teller dan potensial Scarf II Trigonometri dengan variasi

k, .............................................................................................. 56

Gambar 4.8. Fungsi gelombang bagian radial potensial Pöschl-Teller

dan potensial Scarf II Trigonometri dengan variasi a,b ............ 57

Gambar 4.9. Fungsi gelombang bagian radial potensial Pöschl-Teller

dan potensial Scarf II Trigonometri dengan variasi μ ............... 59

Gambar 4.10. Fungsi gelombang anguler 3D koordinat bola ( (θ))

persamaan Dirac kombinasi potensial Pöschl-Teller

termodifikasi dan potensial non-sentral Scarf II

Trigonometri 3D koordinat bola variasi bilangan kuantum

angular nl (a) H001 ,(b) H011 ,(c) H021 ,(d) H031 ........................... 61

Gambar 4.11. Fungsi gelombang anguler 2D koordinat polar (

( )) persamaan Dirac kombinasi potensial Pöschl-Teller

termodifikasi dan potensial non-sentral Scarf II

Trigonometri variasi bilangan kuantum angular nl (a) H001

,(b) H011 ,(c) H021 ,(d) H031 ......................................................... 62

Gambar 4.12. Fungsi gelombang anguler ( ( )) persamaan Dirac

kombinasi potensial Pöschl-Teller termodifikasi dan

potensial non-sentral Scarf II Trigonometri 3D koordinat

bola variasi bilangan kuantum magnetik m (a) H110 ,(b)

H111 ,(c) H112, (d) H114 ............................................................... 63


commit to user xvi

Gambar 4.13. Fungsi gelombang anguler 2D koordinat polar

( ( )) persamaan Dirac kombinasi potensial Pöschl-

Teller termodifikasi dan potensial non-sentral Scarf II

Trigonometri variasi bilangan kuantum magnetik m (a)

H110 ,(b) H111 ,(c) H112, (d) H114 ................................................ 66

Gambar 4.14. Fungsi gelombang anguler (H011 ( )) persamaan Dirac

kombinasi potensial P ̈schl-Teller termodifikasi dan


bola variasi konstanta a dan b (a) a = 0,25 ,(b) a = 0,85,(c)

b = 0,25, (d) b = 0,85 ................................................................. 68

Gambar 4.15. Fungsi gelombang anguler (H011 ( )) persamaan Dirac

kombinasi potensial P ̈schl-Teller termodifikasi dan


polar variasi konstanta a dan b (a) a = 0,25 ,(b) a =

0,85,(c) b = 0,25, (d) b = 0,85 ................................................... 70


commit to user xvii

DAFTAR SIMBOL

Simbol Keterangan Nilai/Satuan

Tetapan Planck

⁄

Massa diam elektron

Muatan elektron

Kecepatan cahaya

Permitivitas ruang hampa

Jarak elektron ke inti m

Massa dalam medan

relativistik

Bilangan kuantum utama -

Bilangan kuantum radial -

Bilangan kuantum

anguler -

Bilangan kuantum

magnetik -

Bilangan kuantum orbital -


commit to user xviii

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1. Listing Program Iterasi konstanta dan dan eigen nilai

bagian radial .............................................................................. 77

Lampiran 2. Listing Program Iterasi konstanta dan dan eigen nilai

bagian angular ........................................................................... 78

Lampiran 3. Listing Program spektrum energi dan bilangan kuantum

orbital l....................................................................................... 79

Lampiran 4. Hasil penelitian yang dilakukan oleh Kurniawan dkk.

(2014) tentang penyelesaian analitik simetri spin

persamaan Dirac dengan potensial hiperbolik P ̈schl-

Teller termodifikasi-q dan potensial non-sentral Scarf II

trigonometrik dengan metode Nikivorof-Uvarof ...................... 80

Lampiran 5. Hasil penelitian oleh Aysiah (2014) terkait penyelesaian

persamaan Dirac untuk potensial non-sentral P ̈schl-Teller

hiperbolik termodifikasi-q plus Manning-Rosen untuk

simetri spin dengan metode Nikivorof-Uvarof .......................... 81

Lampiran 6. Listing Program visualisasi fungsi gelombang radial (r vs

U(r)) ........................................................................................... 82

Lampiran 7. Listing Program visualisasi fungsi gelombang anguler 3D

koordinat bola ............................................................................ 84

Lampiran 8. Listing program visualisasi gelombang anguler 2d

koordinat polar........................................................................... 86

penyelesaian simetri spin persamaan dirac dengan … · simetri yaitu kondisi dimana potensial...

Documents