Efek Faktor Bentuk Elektromagnetik NeutrinoPada Interaksi Neutrino Dengan Materi Mampat

Diajukan Untuk Melengkapi Tugas-tugas dan

Syarat-syarat Memperoleh Ijazah Magister Fisika

Caroline6301020448

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Indonesia

Depok2004

Lembar Persetujuan

Judul Tesis : Efek Faktor Bentuk Elektromagnetik Neutrino

Pada Interaksi Neutrino Dengan Materi Mampat

Nama : Caroline

NPM : 6301020448

Tesis ini telah diperiksa dan disetujui

Depok, 11 Mei 2004

Mengesahkan

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Anto Sulaksono Dr. Terry Mart

Penguji I Penguji II Penguji III

Dr. L.T. Handoko Dr. Rachmat W. Adi Dr. M. Hikam

Ketua Program Studi Fisika

Pasca Sarjana FMIPA Universitas Indonesia

Dr. Dedi Suyanto

NIP: 130 935 271

Kata Pengantar

Bismillahirrohmanirrohiim

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberi per-

tolongan, pengetahuan dan kekuatan kepada penulis untuk dapat menyelesaikan

tugas akhir berjudul Efek Faktor Bentuk Elektromagnetik Neutrino Pada

Interaksi Neutrino dengan Materi Mampat ini. Tidak lupa ucapan terima

kasih dan penghargaan setinggi-tingginya penulis sampaikan kepada:

1. Dr Anto Sulaksono sebagai pembimbing I yang telah dengan sabar membim-

bing penulis dalam menyusun tesis ini. Dr Terry Mart sebagai pembimbing

II yang telah membekali penulis dengan pengetahuan dasar yang diperluk-

an dalam penyusunan tesis. Juga kepada para dosen penguji yang telah

mengevaluasi karya ini.

2. Bapak Prof. Yohanes Surya dari Yayasan Tim Olimpiade Fisika Indonesia

yang telah memberi dukungan material dan motivasi kepada penulis untuk

melanjutkan pendidikan ke jenjang yang lebih tinggi.

3. Kedua orang tua, M. Said Hendrik Kalempouw dan Yusni, kakak dan adik-

adik (Yuke, Harry, Andre, Jimi, Gunther), serta suami tercinta, Fred R

Williams yang selalu ada dan memberi dorongan semangat dan doa untuk

kesuksesan penulis.

4. Rekan seperjuangan, Parada TP Hutauruk, serta rekan-rekan di laborato-

rium Fisika Teori UI Depok (Julio, Freddy, Nita, Novirwan, Nowo, Ardi,

dll) yang Te-O-Pe Be-Ge-Te atas segala pertolongan dan bantuannya.

Jakarta, Mei 2004

Penulis

iii

Abstrak

Telah dilakukan perhitungan tampang lintang differensial hamburan quasi-

elastik neutrino dengan medium mampat. Diperoleh kesimpulan bahwa tampang

lintang differensialnya baik dari kontribusi interaksi lemah, elektromagnetik, dan

interferensi sangat sensitif terhadap perubahan momentum transfer q1, energi

neutrino Eν dan momentum Fermi elektron kF . Tampang lintang differensial

sensitif terhadap perubahan momen magnetik neutrino µν tapi tidak terhadap

perubahan jari-jari muatan R. Efek elektromagnetik menjadi lebih signifikan

untuk q1, Eν dan µν kecil dan untuk kF besar (medium semakin mampat).

Kata kunci : tampang lintang differensial, faktor bentuk

viii+55 hlm. : lamp.

Daftar Acuan : 32 (1971-2002)

Abstract

The differential cross section of quasi-elastic scattering of neutrino with dense

matter has been calculated. It can be concluded that the differential cross se-

ction of weak interaction, electromagnetic and interference are sensitive to the

momentum transfer q1, neutrino energy Eν adn electron Fermi momentum kf .

The differential cross section are sensitive to neutrino magnetic moment µν but

not sensitive to charge radius R. The electromagnetic effect is significant for low

q1, Eν dan µν and for large kF (high density).

iv

Daftar Isi

Kata Pengantar iii

Abstrak iv

Daftar Isi v

Daftar Gambar viii

1 Pendahuluan 1

2 Interaksi Neutrino Dengan Gas Elektron Termampatkan 3

2.1 Hamburan Neutrino Dengan Elektron

di Vakum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Hamburan Neutrino Dengan Elektron

di Medium Termampatkan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Polarisasi Vektor, Vektor-Aksial dan Aksial . . . . . . . . . 11

2.2.2 Kontraksi Lµνν ΠIm

µν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Hasil dan Pembahasan 17

3.1 Pengaruh Efek Elektromagnetik Untuk

Jangkauan Energi Tertentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Perbandingan Antara Tampang Lintang Total Untuk Berbagai Va-

riasi µν dan R Dengan Tampang Lintang Interaksi Lemah . . . . 19

3.3 Perbandingan Antara Tampang Lintang Total dan Tampang Lin-

tang Interaksi Lemah Untuk Berbagai Variasi kF . . . . . . . . . 21

4 Kesimpulan 24

v

Lampiran 25

A Pembuktian Fµν(p, p + q) = Fµν(p, p − q) 25

B Penentuan Bentuk Umum ΠImµν 27

C Perhitungan F Vµν , F V −A

µν , dan F Aµν 32

C.1 Bagian Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

C.2 Bagian Vektor-Aksial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

C.3 Bagian Aksial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

D Penentuan Polarisasi Vektor Longitudinal dan Transversal 34

D.1 Polarisasi Longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

D.2 Polarisasi Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

E Penentuan Polarisasi Vektor-Aksial 37

F Penentuan Polarisasi Aksial 38

G Perhitungan Tensor Neutrino Interaksi Lemah, Elektromagnetik

dan Interferensi 40

G.1 Interaksi Lemah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

G.2 Interaksi Elektromagnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

G.3 Interferensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

H Perhitungan Kontraksi Bagian Vektor, Vektor-Aksial dan Aksial 42

H.1 Bagian Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

H.2 Bagian Vektor-Aksial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

H.3 Bagian Aksial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

I Perhitungan Kontraksi Interaksi Lemah 44

I.1 Bagian Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

I.2 Bagian Vektor-Aksial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

I.3 Bagian Aksial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

I.4 Total Kontraksi Interaksi Lemah . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

vi

J Perhitungan Kontraksi Interaksi Elektromagnetik 48

K Penghitungan Kontraksi Interferensi 51

K.1 Bagian Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

K.2 Bagian Vektor-Aksial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

K.3 Total Kontraksi Interferensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Daftar Acuan 54

vii

Daftar Gambar

3.1 Perbandingan tampang lintang total, elektromagnetik, interferensi

dan lemah (q1 = 5 MeV, Eν = 10 MeV) . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Perbandingan tampang lintang total, elektromagnetik, interferensi

dan lemah (q1 = 20 MeV, Eν = 40 MeV) . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Perbandingan tampang lintang total, elektromagnetik, interferensi

dan lemah (q1 = 100 MeV, Eν = 200 MeV) . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Perbandingan tampang lintang total untuk variasi µν dengan tam-

pang lintang interaksi lemah (q1 = 5 MeV, Eν = 10 MeV, kF = 100

MeV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 Perbandingan tampang lintang total untuk variasi R dengan tam-

pang lintang interaksi lemah (q1 = 5 MeV, Eν = 10 MeV, kF = 100

MeV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.6 Perbandingan tampang lintang interaksi lemah untuk berbagai va-

riasi kF (q1 = 5 MeV, Eν = 10 MeV) . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.7 Perbandingan tampang lintang total untuk berbagai variasi kF

(q1 = 5 MeV, Eν = 10 MeV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

viii

Bab 1

Pendahuluan

Eksistensi neutrino dihipotesakan pertama kali oleh Wolfgang Pauli pada tahun

1930. Hingga saat ini, neutrino merupakan salah satu partikel dasar di alam

semesta yang paling banyak menimbulkan perdebatan di kalangan fisikawan. Ne-

utrino bersama elektron (e), muon (µ), dan tau (τ) disebut lepton. Lepton ber-

sama enam jenis partikel quark adalah pembentuk dasar semua benda di alam

semesta. Neutrino pertama kali dideteksi secara eksperimental pada tahun 1956

dalam bentuk anti-partikel dan kemudian diketahui ada tiga rasa (flavor) neutri-

no, yakni neutrino elektron (νe), neutrino muon (νµ), neutrino tau (ντ )[1].

Saat ini diketahui bahwa neutrino muncul pertama kali sekitar 15 milyar tahun

yang lalu, segera setelah kelahiran alam semesta. Sejak saat itu, alam semesta

terus mengembang, mendingin dan neutrino telah mengembara ke mana-mana.

Secara teoritis, neutrino sekarang banyak terdapat pada radiasi latar belakang

kosmis[1]. Jadi usaha untuk menyingkap misteri tentang sifat-sifat neutrino pen-

ting untuk lebih mengenal perilaku alam semesta.

Dalam bidang astrofisika, interaksi neutrino dengan materi termampatkan

(dense matter) berperan cukup penting misalnya pada teori pembentukan super-

nova dan bintang neutron muda yang mendingin[2, 3, 4]. Karena penampang lin-

tang hamburan neutrino-elektron sangat kecil, maka di medium neutrino-neutrino

tersebut dapat lewat dengan mudah. Ini menyebabkan tetap terjadinya kejutan-

kejutan dalam pembentukan supernova[2, 5, 6].

Hamburan neutrino dengan nukleon juga penting dalam bidang astrofisika.

Tetapi di laboratorium, elektron jelas merupakan partikel target yang paling ba-

1

nyak digunakan[2, 8, 18, 26] karena hamburan neutrino-elektron adalah salah satu

dari sedikit kasus yang interaksinya telah diketahui dari model standar dengan

meyakinkan dan perhitungan hamburannya tidak melibatkan banyak paramater

bebas[2].

Model sederhana yang dapat digunakan untuk mendeskripsikan efek banyak

benda adalah gas elektron dan jika kerapatannya tinggi disebut gas elektron ter-

mampatkan. Karena bintang neutron atau supernova merupakan materi termam-

patkan, maka studi mengenai interaksi neutrino dengan gas elektron termampatk-

an menjadi relevan.

Sejauh ini studi mengenai interaksi neutrino dengan materi termampatkan ha-

nya terfokus pada reaksi arus netral[2],[7]-[11]. Akan tetapi beberapa fenomena

seperti masalah neutrino matahari, neutrino atmosfer dan berbagai argumentasi

astrofisika dan kosmologi menghendaki penjelasan dengan mengasumsikan neu-

trino mempunyai sifat di luar model standar seperti neutrino mempunyai massa

dan momen magnetik[13]-[15],[25],[28]-[32].

Hasil-hasil eksperimen memberikan batas bawah momen magnetik neutrino

µν < 1, 8 × 10−10µβ [12]-[14]. Di samping itu, ada indikasi neutrino mempu-

nyai jari-jari muatan rata-rata kuadrat sebesar 〈R2〉 = 10−32 cm−2[14, 15, 18].

Fakta-fakta tersebut menunjukkan relevansi pengkajian efek elektromagnetik pa-

da interaksi neutrino dengan medium mampat.

Sistematika penulisan dalam tesis ini adalah sebagai berikut. Bab kedua me-

maparkan dasar teori hamburan neutrino dengan elektron baik di vakum maupun

di medium mampat. Bab ketiga, berisi tentang analisa hasil yang diperoleh dari

perhitungan. Bab keempat memuat kesimpulan.

2

Bab 2

Interaksi Neutrino Dengan GasElektron Termampatkan

Interaksi antara dua partikel dapat dipelajari melalui proses hamburan. Informasi

tentang interaksi tersebut dapat dilihat pada matriks transisi hamburan, M. M2

merupakan probabilitas untuk mendapatkan suatu keadaan akhir tertentu setelah

berlalunya proses interaksi. Probabilitas interaksi ini berbanding lurus dengan

tampang lintang. Tampang lintang merupakan besaran yang dapat langsung

diukur secara eksperimen.

Model standar minimal yang digunakan untuk menjelaskan tingkah laku neu-

trino adalah model standar elektro-lemah. Dari model ini diketahui bahwa untuk

interaksi νe dengan gas elektron terjadi melalui arus netral dan arus bermuatan.

Sedangkan interaksi neutrino flavor lain, νµ dan ντ hanya melalui arus netral.

Karena pada model standar neutrino tidak bermassa, hanya neutrino jenis left

handed yang diijinkan berinteraksi dengan elektron (gas elektron)[19].

Menurut model standar, neutrino tidak memiliki sifat elektromagnetik pada

pendekatan orde rendah. Sifat elektromagnetik neutrino muncul melalui korek-

si radiasi yang memberikan ”besaran-besaran elektromagnetik” yang merupak-

an fungsi massa neutrino. Jika besaran-besaran ini dibandingkan dengan be-

berapa prediksi dari astrofisika, kosmologi dan model matahari tampak terlalu

kecil[12]. Oleh karena itu pendekatan paling sederhana adalah dengan menam-

bahkan suku-suku elektromagnetik pada formulasi hamburan neutrino-elektron

secara fenomenologis[12, 14, 18, 27].

Berikut ini akan dilakukan perhitungan tampang lintang differensial interaksi

3

neutrino dengan elektron termampatkan dengan memperhitungkan faktor bentuk

elektromagnetik dari neutrino.

2.1 Hamburan Neutrino Dengan Elektron

di Vakum

Dalam model standar, untuk momentum transfer yang jauh lebih kecil dari massa

W , kontribusi arus netral Z0 dan arus bermuatan W± pada matriks transisi Muntuk νe left handed dapat ditulis sebagai berikut[18, 26]

MW =GF√

2[U(k′)γµ(1 + γ5)U(k)][U(p′)JµU(p)], (2.1)

U(k) dan U(p) masing-masing adalah spinor neutrino dan elektron dengan arus

Jµ = γµ(CV + CAγ5). GF adalah konstanta kopling interaksi lemah. CV dan

CA adalah konstanta kopling vektor dan aksial yang bergantung pada sudut We-

inberg, θW (sin2 θW ≈ 0, 223), diberikan oleh[2, 11] CV = 2 sin2 θW ± 1/2 dan

CA = ±1/2 (tanda + untuk νe, tanda - untuk νµ atau ντ ).

Untuk menghitung tampang lintang hamburan neutrino dengan distribusi mu-

atan, kita harus menentukan distribusi sudut dari neutrino yang terhambur dan

membandingkannya dengan tampang lintang neutrino dengan partikel titik yang

sudah diketahui. Dengan demikian, tampang lintang hamburan partikel dengan

distribusi muatan dapat ditulis dalam bentuk[19]

dσ

dΩ′=

(

dσ

dΩ′

)

point

|F (q)|2, (2.2)

dimana F (q) adalah faktor bentuk yang menggambarkan struktur internal dari

materi (dalam hal ini adalah neutrino) dan q adalah momentum transfer antara

partikel datang dan target.

Sifat elektromagnetik dari neutrino Dirac dapat dideskripsikan dalam bentuk

empat faktor bentuk. Matrik elemen untuk arus elektromagnetik antara neutrino

untuk keadaan awal U(k) dan akhir U(k′)[18]

〈νDj (pj)|JEM

µ |νDi (pi)〉 = −eU(k′)ΓD

µ (q2)U(k), (2.3)

4

dimana

ΓDµ (q2) = f1ν(q

2)γα − i

2mef2ν(q

2)σαβqβ

+ g1ν(q2)

(

gαβ − qαqβ

q2

)

γβγ5 − i

2meg2ν(q

2)σαβqβγ5. (2.4)

Di sini f1ν , g1ν , f2ν , g2ν masing-masing adalah faktor bentuk Dirac, anapol, mag-

netik, dan listrik dari neutrino, dan q = k − k′.

Faktor bentuk f1ν dan g1ν berhubungan dengan distribusi muatan neutrino

yakni

ρV (r) =∫

d3q

(2π)3q2V (q2)eiq·r. (2.5)

Secara intuitif, distribusi muatan ini dapat digambarkan sebagai muatan positif

yang dikelilingi oleh awan negatif dan membentuk quasi partikel[24].

Dalam batasan statis, faktor bentuk Dirac f1ν dan anapol g1ν berhubungan

dengan jari-jari muatan vektor and axial vektor 〈R2V 〉 dan 〈R2

A〉 melalui[18]

f1ν(q2) =

1

6a2q2 and g1ν(q

2) =1

6b2q2, (2.6)

dimana a dan b masing-masing adalah fungsi dari R.

Untuk q2 → 0, f2ν dan g2ν mendefinisikan momen magnetik neutrino µν =

f2ν(0)µβ dan dan momen dipol listrik µe = g2ν(0)µβ (suku ini melanggar simetri

muatan dan paritas atau CP violation), dengan µβ = e/2me adalah magneton

Bohr[24, 18].

Selanjutnya persamaan (2.4) dapat ditulis dalam bentuk[18]

ΓDµ (q2) = fmνγ

µ + g1νγµγ5 − (f2ν + ig2νγ

5)P µ

2me

, (2.7)

dimana fmν = f1ν + (mν/me)f2ν dan P µ = kµ + k′µ = 2kµ − qµ. Sehingga matrik

elemen untuk interaksi elektromagnetik menjadi

MEM =4πα

q2[U(p′)γµU(p)]

×

U(k′)[

fmνγµ + g1νγ

µγ5 − (f2ν + ig2νγ5)

P µ

2me

]

U(k)

. (2.8)

5

Matrik transisi total interaksi neutrino dengan elektron adalah

MTOTAL = MW + MEM

=GF√

2[U(p′)γµ(CV + CAγ5)U(p)][U(k′)γµ(1 + γ5)U(k)]

+4πα

q2[U(p′)γµU(p)]

×

U(k′)[

fmνγµ + g1νγ

µγ5 − (f2ν + ig2νγ5)

P µ

2me

]

U(k)

. (2.9)

Probabilitas interaksi

M2TOTAL = M2

W + M2EM + M∗

WMEM + M∗

EMMW. (2.10)

Suku pertama adalah kontribusi dari interaksi lemah, yaitu

M2W =

(

GF√2

)2

LeµνL

µν(W)ν . (2.11)

Suku kedua merupakan kontribusi dari interaksi elektromagnet,

M2EM =

(

4πα

q2

)2

LeµνL

µν(EM)ν . (2.12)

Suku ketiga dan empat berasal dari kontribusi interferensi,

M∗

WMEM + M∗

EMMW =8GFπα

q2√

2Le

µνLµν(INT)ν , (2.13)

dengan Leµν dan Lµν

ν adalah tensor neutrino dan elektron.

Seperti telah disebutkan sebelumnya, tampang lintang berbanding lurus de-

ngan probabilitas interaksi atau dapat ditulis

dσ ∝ M2. (2.14)

Substitusi persamaan (2.11), (2.12), dan (2.13) pada persamaan (2.14) mengha-

silkan

dσ ∝ M2 =

(

GF√2

)2

LeµνL

µνν

(W) +

(

4πα

q2

)2

LeµνL

µνν

(EM)

+8GFπα

q2√

2Le

µνLµνν

(INT). (2.15)

Tensor neutrino dan elektron pada persamaan (2.11), (2.12), dan (2.13) juga

dapat ditulis dalam bentuk Trace sebagai berikut.

6

Untuk interaksi lemah,

Leµν

(W) = C2V Tr[(p/′ + me)γµ + (p/ + me)γν ]

+ 2CV CA Tr[(p/′ + me)γµ + (p/ + me)γνγ5]

+ C2A Tr[(p/′ + me)γµγ

5 + (p/ + me)γνγ5]. (2.16)

Lµνν

(W) = Tr[(k/ + mν)γµ(1 + γ5)(k/′ + mν)γ

ν(1 + γ5)]. (2.17)

Untuk interaksi elektromagnetik,

Leµν

(EM) = Tr[(p/′ + me)γµ + (p/ + me)γν ], (2.18)

Lµνν

(EM) = Tr

(k/ + mν)[

fmνγµ + g1νγ

µγ5 − (f2ν + ig2νγ5)

P µ

2me

]

× (k/′ + mν)[

fmνγν + g1νγ

νγ5 − (f2ν + ig2νγ5)

P ν

2me

]

. (2.19)

Untuk interferensi,

Leµν

(INT) = CV Tr[(p/′ + me)γµ + (p/ + me)γν ]

+ CA Tr[(p/′ + me)γµγ5 + (p/ + me)γν ], (2.20)

Lµνν

(INT) = Tr

(k/ + mν)γµ(1 + γ5)(k/′ + mν)

×[

fmνγν + g1νγ

νγ5 − (f2ν + ig2νγ5)

P ν

2me

]

. (2.21)

Sehingga secara kompak persamaan tensor elektron dan neutrino dapat ditulis

sebagai

Leµν = Tr[(p/′ + me)J

eµ(p/ + me)J

eν ] dan Lν

µν = Tr[(k/ + mν)Jµν (k/′ + mν)J

νν ].

Dimana verteks elektron Jeµ adalah,

untuk interaksi lemah : Jeµ = γµ(CV + CAγ5),

untuk interaksi elektromagnetik : Jeµ = γµ,

untuk suku interferensi : Jeµ = γµ(CV + CAγ5) dan Je

ν = γν .

7

Sedangkan verteks neutrino Jµν adalah,

untuk interaksi lemah : Jµν = γµ(1 + γ5),

untuk interaksi elektromagnetik : Jµν = fmνγ

µ + g1νγµγ5 − (f2ν + ig2νγ

5) P µ

2me,

untuk suku interferensi : Jµν = γµ(1 + γ5) dan

Jνν = fmνγ

ν + g1νγνγ5 − (f2ν + ig2νγ

5) P ν

2me.

2.2 Hamburan Neutrino Dengan Elektron

di Medium Termampatkan

Efek korelasi dari gas elektron ada pada tensor polarisasi Πµν , sehingga perbeda-

an hamburan neutrino-elektron di vakum dengan di materi mampat adalah[23]

Leµν → ΠIm

µν . Dengan demikian, tampang lintang differensial per volume untuk

hamburan neutrino dengan energi mula-mula Eν dan energi akhir E ′

ν memenuhi

persamaan[8]

1

V

d3σ

d2Ω′dE ′ν

= − 1

16π2

E ′

ν

Eν

(

GF√2

)2

Lµνν ΠIm(W)

µν +

(

4πα

q2

)2

Lµνν ΠIm(EM)

µν

+8GFπα

q2√

2Lµν

ν ΠIm(INT)µν

]

. (2.22)

Tensor polarisasi dapat ditulis sebagai[2]

Πµν(q) = −i∫

d4p

(2π)4Tr[

G(p)JeµG(p + q)Je

ν

]

. (2.23)

Dimana Jeµ dan Je

ν adalah verteks elektron dan G(p) adalah propagator partikel

target yang bentuk eksplisitnya adalah

G(p) = gD(p)(p/ + me) + gF (p)(p/ + me), (2.24)

dengan

gD(p)(p/ + me) =iπ

Epδ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)(p/ + me), (2.25)

merupakan propagator yang bergantung pada kerapatan, yang mengakomodasi

efek korelasi gas elektron[20], dan

gF (p)(p/ + me) =1

p2 − m2e + iε

(p/ + me) (2.26)

8

yang merupakan propagator fermion standar[20].

Substitusi persamaan (2.24) pada persamaan (2.23) menyebabkan Πµν dapat

ditulis dalam dua bagian sebagai berikut,

Π1µν =

π

(2π)4

∫ d4p

Ep

[

P

(p + q)2 − m2e

− iπ

2Ep+qδ(p0 + q0 − Ep+q)

]

× δ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)Fµν(p, p + q) + (q → −q), (2.27)

Π2µν =

iπ2

(2π)4

∫d4p

2EpEp+qδ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)δ(p0 + q0 − Ep+q)

× θ(kF − |p + q|)Fµν(p, p + q) + (q → −q), (2.28)

dengan Fµν(p, p ± q) = Tr[(p/ + me)Jeµ(p/ ± q/ + me)J

eν ].

Persamaan (2.27) dapat diuraikan menjadi

Π1µν =

π

(2π)4

∫d4p

Ep

P

(p + q)2 − m2e

δ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)

× Fµν(p, p + q) + (q → −q)

− iπ2

(2π)4

∫d4p

2EpEp+qδ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)δ(p0 + q0 − Ep+q)

× Fµν(p, p + q) + (q → −q). (2.29)

Dengan demikian bagian imajiner dari Πµν menjadi

ΠImµν = − iπ2

(2π)4

∫d4p

2EpEp+qδ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)δ(p0 + q0 − Ep+q)

× [θ(kF − |p + q|) − 1]Fµν(p, p + q) + (q → −q). (2.30)

Dari prinsip konservasi arus qµFµν = 0 dapat dibuktikan bahwa

Fµν(p, p + q) = Fµν(p, p − q)

(pembuktian lebih lengkapnya dapat dilihat pada lampiran A), sehingga bentuk

umum dari ΠImµν adalah

ΠImµν = − iπ2

(2π)4

∫d4p

2EpEp+qδ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)

× δ(p0 + q0 − Ep+q)θ(|p + q| − kF )Fµν(p, p + q). (2.31)

Perhitungan lengkap hingga ke persamaan (2.31) dapat dilihat pada lampiran B.

9

Dari verteks Jeµ dan Je

ν di atas dan juga persamaan (2.16), (2.18), (2.20), dapat

diketahui bahwa Fµν(p, p+q) untuk interaksi lemah merupakan penjumlahan dari

bagian vektor F Vµν , bagian vektor-aksial F V −A

µν , dan bagian aksial F Aµν . Bentuk

lengkapnya adalah sebagai berikut,

Fµν(p, p + q)(W) = C2V F V

µν(p, p + q) + 2CV CA F V −Aµν (p, p + q)

+ C2A F A

µν(p, p + q), (2.32)

dimana

F Vµν(p, p + q) = Tr[(p/ + me)γµ(p/ + q/ + me)γν ], (2.33)

F V −Aµν (p, p + q) = Tr

1

2[(p/ + me)γµγ

5(p/ + q/ + me)γν ]

+ Tr1

2[(p/ + me)γµ(p/ + q/ + me)γνγ

5], (2.34)

F Aµν(p, p + q) = Tr[(p/ + me)γµγ

5(p/ + q/ + me)γνγ5]. (2.35)

Sedangkan untuk interaksi elektromagnetik, Fµν(p, p + q) hanya terdiri dari F Vµν ,

yaitu

Fµν(p, p + q)(EM) = F Vµν(p, p + q)(EM) = Tr[(p/ + me)γµ(p/ + q/ + me)γν ]. (2.36)

Untuk interferensi, Fµν(p, p + q) terdiri dari bagian vektor dan bagian vektor-

aksial, yaitu

Fµν(p, p + q)(INT) = CV F Vµν(p, p + q) + CA F V −A

µν (p, p + q). (2.37)

Penyelesaian Trace dari persamaan (2.33), (2.34), (2.35), memberikan

F Vµν(p, p + q) = 4(2pµpν + pµqν + pνqµ − p · qgµν), (2.38)

F V −Aµν (p, p + q) = −4iεµναβpαqβ , (2.39)

F Aµν(p, p + q) = 4(2pµpν + pµqν + pνqµ − p · qgµν − 2m2

egµν). (2.40)

Perhitungan lebih lengkap dari Trace di atas dapat dilihat pada lampiran C.

10

2.2.1 Polarisasi Vektor, Vektor-Aksial dan Aksial

Jika persamaan (2.32), (2.36), dan (2.37) disubstitusi ke persamaan (2.31) maka

akan tampak bahwa untuk masing-masing interaksi, polarisasinya adalah sebagai

berikut,

untuk interaksi lemah : ΠIm(W)µν = C2

V ΠImVµν + 2CV CAΠIm(V−A)

µν

+ C2AΠImA

µν ,

untuk interaksi elektromagnetik : ΠIm(EM)µν = ΠImV

µν ,

untuk suku interferensi : ΠIm(INT)µν = CV ΠImV

µν + CAΠIm(V−A)µν .

Langkah berikutnya adalah menghitung polarisasi secara eksplisit untuk ba-

gian vektor, vektor-aksial dan aksial. Untuk memudahkan perhitungan tanpa

mengurangi keumuman, dipilih kerangka sebagai berikut,

q ≡ (q0, q1, q2, q3) ≡ (q0, |q|, 0, 0) dan p ≡ (p0, p1, p2, p3) ≡ (E, px, py, pz)

dengan px = |p| cos θ, py = |p| sin θ cos ϕ, pz = |p| sin θ sin ϕ[19]. Maka dari

persamaan (2.38) akan memberikan

F V00 = 4(2p0p0 + p0q0 + p0q0 − p · qg00) = 4(2E2 + Eq0 + |p||q|cosθ),

F V11 = 4(2|p|2cos2θ + Eq0 + |p||q|cosθ),

F V22 = F V

33 = 4(2|p|2 sin2 θ cos2 ϕ + Eq0 + |p||q| cos θ),

F V10 = F V

01 = 4(2|p| cos θ + E|q| + |p|q0 cos θ).

Sedangkan

F V02 = F V

03 = F V12 = F V

13 = F V20 = F V

21 = F V23 = F V

30 = F V31 = F V

32 = 0. (2.41)

Dengan demikian, polarisasi vektor dapat ditulis dalam bentuk matrik sebagai

berikut,

ΠImVµν =

Π00 Π01 0 0Π10 Π11 0 00 0 Π22 00 0 0 Π33

.(2.42)

Polarisasi vektor terdiri dari dua komponen yang tidak bergantungan, yai-

tu polarisasi arah longitudinal dan transversal[20] dimana secara umum berlaku

11

qµΠµν = 0. Konsekuensinya polarisasi longitudinal dapat ditulis sebagai

ΠL = − q2µ

|q|2Π00

=q2µ

2π|q|3[1

4(EF − E∗) +

q0

2(E2

F − E∗2) +1

3(E3

F − E∗3)]

, (2.43)

dan polarisasi transversal dapat ditulis sebagai

ΠT = Π22 = Π33

=1

4π|q|

[(

m2e +

q2µ

4|q|2 +q2µ

2

)

(EF − E∗) +q0q

2µ

2|q| (E2F − E∗2)

+q2µ

3|q|(E3F − E∗3)

]

. (2.44)

Perhitungan lebih lengkap dari ΠL dan ΠT dapat dilihat pada lampiran D.

Setelah diketahui polarisasi longitudinal dan transversal dari bagian vektor,

selanjutnya akan dihitung bagian vektor-aksial. Dengan cara yang serupa, dari

persamaan (2.39) dapat diperoleh

F V −Aµν (p, p + q) = 4iε1µ0ν(E|q| − q0|p| cos θ). (2.45)

Dari substitusi persamaan (2.45) ke persamaan (2.31) akan memberikan

ΠIm(V−A)µν = iεαµ0νqαΠV A (2.46)

dengan

ΠV A =iq2

µ

8π|q|3 [(E2F − E∗2) + q0(EF − E∗)]. (2.47)

Perhitungan lebih detil dari ΠV A dapat dilihat pada lampiran E.

Langkah berikutnya adalah menghitung polarisasi aksial. Caranya serupa

dengan sebelumnya, yaitu dengan menuliskan persamaan (2.40) sebagai berikut,

F Aµν(p, p + q) = F V

µν(p, p + q) + gµνFA dengan FA = −8m2e. (2.48)

Jika persamaan (2.48) disubstitusi ke persamaan (2.31), maka akan diperoleh

hubungan

ΠImAµν (q) = ΠImV

µν (q) + gµνΠA dengan ΠA =i

2π|q|m2e(EF − E∗). (2.49)

12

Dengan demikian polarisasi aksial juga dapat ditulis dalam bentuk polarisasi

longitudinal dan transversal,

ΠImAL (q) = ΠImV

L (q) + gµνΠA = ΠImVL (q) + ΠA, (2.50)

ΠImAT (q) = ΠImV

T (q) + gµνΠA = ΠImVT (q) − ΠA. (2.51)

Sekali lagi perhitungan lebih detilnya diberikan di lampiran F.

2.2.2 Kontraksi Lµν

νΠIm

µν

Setelah seluruh polarisasi bagian vektor, vektor-aksial dan aksial diketahui selan-

jutnya akan dihitung kontraksi Lµνν ΠIm

µν dengan terlebih dulu menyelesaikan Trace

tensor neutrino pada persamaan (2.17), (2.19), (2.21) untuk masing-masing in-

teraksi yaitu,

untuk interaksi lemah

Lµνν

(W) = 8[2kµkν − (kµqν + kνqµ) + gµν(k · q) − iεαµβνkαk′

β], (2.52)

untuk interaksi elektromagnetik

Lµνν

(EM) = 4(f 2mν + g2

1ν)[2kµkν − (kµqν + kνqµ) + gµνk · q]

− 8ifmνg1νεαµβνkαk′

β

− f 22ν + g2

2ν

m2e

(k · q)[4kµkν − 2(kµqν + qµkν) + qµqν ], (2.53)

untuk interferensi

Lµνν

(INT) = 4(fmν + g1ν)

× [2kµkν − (kµqν + kνqµ) + gµν(k · q) − iεαµβνkαk′

β]. (2.54)

dengan k adalah vektor empat momentum dari neutrino awal dan q adalah vektor

empat dari momentum transfer, penurunan lengkap perhitungan Trace di atas

diberikan pada lampiran G.

Selanjutnya dihitung kontraksi Lµνν ΠIm

µν untuk bagian vektor, vektor-aksial dan

aksial, yang hasilnya adalah

untuk bagian vektor

Lµνν ΠImV

µν = − q2µ

|q|L00ΠL + 2LT ΠT dengan LT =

L22 + L33

2, (2.55)

13

untuk bagian vektor-aksial

Lµνν ΠIm(V−A)

µν = −8q2µ[2E − q0]ΠV A, (2.56)

untuk bagian aksial

Lµνν ΠImA

µν = Lµνν ΠImV

µν + 8q2µΠA. (2.57)

Dimana perhitungan lengkap untuk sampai ke persamaan (2.55), (2.56), (2.57)

ada pada lampiran H.

Akhirnya total kontraksi diperoleh dengan menjumlahkan kontribusi dari masing-

masing interaksi. Sebelumnya akan ditampilkan bentuk kompak dari masing-

masing kontribusi, yaitu

(a) Kontraksi Lµνν ΠIm

µν Interaksi Lemah

Dengan menggunakan tensor neutrino untuk interaksi lemah [persamaan (2.52)]

dan karena polarisasi untuk interaksi lemah dapat ditulis dalam bentuk penjum-

lahan dari bagian vektor, vektor-aksial dan aksial, maka total kontraksi Lµνν ΠIm

µν

dari interaksi lemah adalah

Lµνν ΠIm(W)

µν = C2V Lµν

ν ΠImVµν + 2CV CA Lµν

ν ΠIm(V−A)µν + C2

A Lµνν ΠImA

µν . (2.58)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (2.55), (2.56), (2.57) bentuk di atas

dapat ditulis sebagai

Lµνν ΠIm(W)

µν = −8q2µ(AWR1 + R2 + BW R3), (2.59)

dengan

RW1 = (C2V + C2

A)(ΠL + ΠT ),

RW2 = C2V ΠT + C2

A(ΠT − ΠA),

RW3 = 2CV CAΠV A,

AW =2E(E − q0) + 1

2q2µ

|q|2 ,

BW = 2E − q0.

14

Lampiran I memuat penurunan lengkapnya.

(b) Kontraksi Lµνν ΠIm

µν Interaksi Elektromagnetik

Telah diketahui bahwa kontraksi untuk interaksi elektromagnetik hanya terdiri

dari bagian vektor. Dengan menggunakan persamaan tensor neutrino [persamaan

(2.53)] dan polarisasi elektronnya untuk bagian vektor [persamaan (2.55)], maka

akan diperoleh total kontraksi Lµνν ΠIm

µν elektromagnetik, yaitu

Lµνν ΠIm(EM)

µν = AEMR1 − BEMR2, (2.60)

dengan

REM1 = ΠL + ΠT ,

REM2 = ΠT ,

AEM =[

AW (bq2µ − a) +

1

2bq2

µ

]

q2µ,

BEM =(

1

2bq2

µ + a)

q2µ,

a = 4(f 2mν + g2

1ν),

b =f 2

2ν + g22ν

m2e

.

Penurunan lengkap ada pada lampiran J.

(c) Kontraksi Lµνν ΠIm

µν Interferensi

Selanjutnya dengan menggunakan tensor neutrino untuk interferensi [persa-

maan (2.54)] dan berdasarkan polarisasi elektronnya dapat diperoleh total kon-

traksi, sebagai

Lµνν ΠIm(INT)

µν = CV Lµνν ΠImV

µν + CALµνν ΠIm(V−A)

µν . (2.61)

Dengan menggunakan persamaan (2.55) dan persamaan (2.56) kontraksi Lµνν ΠIm

µν

interferensi dapat ditulis sebagai

Lµνν ΠIm(INT)

µν = −4q2µa (AINT R1 + R2 + BINT R3) , (2.62)

15

dengan

RINT1 = CV (ΠL + ΠT ),

RINT2 = CV ΠT ,

RINT3 = CAΠV A,

AINT = AW =2E(E − q0) + 1

2q2µ

|q|2 ,

BINT = BW = 2E − q0,

a = fmν + g1ν .

Penurunan lengkap dapat dilihat pada lampiran K.

16

Bab 3

Hasil dan Pembahasan

Dengan diketahui kontraksi LµνΠImµν dari interaksi lemah, interaksi elektromag-

netik dan interferensi maka dapat diperoleh total tampang lintang differensial

per volume untuk hamburan quasi-elastik neutrino-elektron dengan gas elektron

termampatkan, yaitu

1

V

d3σ

d2Ω′dE ′ν

= − 1

16π2

E ′

ν

Eν

×

(

GF√2

)2

Lµνν ΠIm(W)

µν +

(

4πα

q2

)2

Lµνν ΠIm(EM)

µν

+8GFπα

q2√

2Lµν

ν ΠIm(INT)µν

]

. (3.1)

Parameter yang digunakan adalah sebagai berikut:

• Konstanta kopling interaksi lemah, GF = 1, 166 × 10−11 (MeV)−2.

• Konstanta kopling vektor neutrino-elektron, CV = 0, 946.

• Konstanta kopling aksial untuk neutrino-elektron, CA = 0, 5.

• Konstanta struktur halus α = e2/4π ' 1/137.

Berikut ini diperlihatkan hasil perhitungan tampang lintang differensial neu-

trino sebagai fungsi dari energi transfer q0 dalam orde 10−9 (MeV-cm)−1.

3.1 Pengaruh Efek Elektromagnetik Untuk

Jangkauan Energi Tertentu

Pada Gambar 3.1, 3.2, dan 3.3 diperlihatkan perbandingan tampang lintang un-

tuk interaksi lemah, elektromagnetik, interferensi dan total dengan variasi mo-

17

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5

d3 σ/V

d2 ΩdE

’ ν(1

0-9/M

eV-c

m)

q0(MeV)

TotalWeak

EMInt

Gambar 3.1: Perbandingan tampang lintang total, elektromagnetik, interferensidan lemah (q1 = 5 MeV, Eν = 10 MeV)

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20

d3 σ/V

d2 ΩdE

’ ν(1

0-9/M

eV-c

m)

q0(MeV)

TotalWeak

EMInt

Gambar 3.2: Perbandingan tampang lin-tang total, elektromagnetik, interferensidan lemah (q1 = 20 MeV, Eν = 40 MeV)

0

500

1000

1500

2000

2500

0 20 40 60 80 100

d3 σ/V

d2 ΩdE

’ ν(1

0-9/M

eV-c

m)

q0(MeV)

TotalWeak

EMInt

Gambar 3.3: Perbandingan tampang lin-tang total, elektromagnetik, interferensidan lemah (q1 = 100 MeV, Eν = 200MeV)

18

mentum transfer q1 = 5, 20, 200 MeV dan energi neutrino Eν = 10, 40, 200 MeV.

Tampang lintang total merupakan penjumlahan kontribusi interaksi lemah, elek-

tromagnetik dan interferensi.

Di sini digunakan konstanta momen magnetik neutrino-elektron µν = 10−10

dalam satuan magneton Bohr, µβ = e/2me. Angka ini dipilih karena konsisten

dengan eksperimen[12]-[14].

Sedangkan besar jari-jari muatan 〈R2〉 = 10−32 cm−2 dipilih karena berda-

sarkan ekstraksi hasil eksperimen Homestake dan Kamiokande prediksinya dalam

jangkauan tersebut[14, 15, 18], jika dikonversi ke dalam satuan MeV−1 dimana 1

cm = 5, 07 × 1010 MeV−1, maka diperoleh R ≈ 5 × 10−6 MeV−1.

Dari ketiga gambar tersebut tampak bahwa tampang lintang sangat sensitif

terhadap perubahan q1 dan Eν . Tabel berikut ini memuat nilai tampang lintang

maksimum untuk tiap nilai q1 dan Eν yang dipilih.

q1 Eν1V

d3σd2Ω′dE′

ν[10−9 (MeV-cm)−1]

(MeV) (MeV) Int. Lemah Int. EM Interferensi Total

5 10 5,4 0,11 0,73 6,3220 40 89,40 0,19 11,63 101,22100 200 2389,68 2,08 249,66 2641,31

Pada Gambar 3.1 dengan q1 = 5 MeV dan Eν = 10 MeV, tampak bahwa

kontribusi efek elektromagnetik cukup signifikan. Sedangkan pada Gambar 3.2

dengan q1 = 20 MeV dan Eν = 40 MeV, kontribusi efek elektromagnetik tidak

begitu dominan. Pada Gambar 3.3 dimana q1 = 100 MeV dan Eν = 200 MeV

kontribusi interaksi elektromagnetik sangat kecil dibandingkan interaksi lemah.

Dapat disimpulkan bahwa interaksi elektromagnetik penting diperhitungkan un-

tuk q1 dan Eν rendah.

3.2 Perbandingan Antara Tampang Lintang To-

tal Untuk Berbagai Variasi µν dan R Dengan

Tampang Lintang Interaksi Lemah

Pada Gambar 3.4 dan 3.5 diperlihatkan hasil perhitungan tampang lintang to-

tal untuk variasi nilai momen magnetik neutrino µν dan jari-jari muatan, R.

19

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5

d3 σ/V

d2 ΩdE

’ ν(1

0-9/M

eV-c

m)

q0(MeV)

WeakTotal µ=10-9

Total µ=10-10

Total µ=10-11

Total µ=10-12

Gambar 3.4: Perbandingan tampang lin-tang total untuk variasi µν dengan tam-pang lintang interaksi lemah (q1 = 5MeV, Eν = 10 MeV, kF = 100 MeV)

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

d3 σ/V

d2 ΩdE

’ ν(1

0-9/M

eV-c

m)

q0(MeV)

WeakTotal R=10-9

Total R=10-10

Total R=10-11

Total R=10-12

Gambar 3.5: Perbandingan tampang lin-tang total untuk variasi R dengan tam-pang lintang interaksi lemah (q1 = 5MeV, Eν = 10 MeV, kF = 100 MeV)

20

Tampang lintang total ini dibandingkan dengan tampang lintang untuk interaksi

lemah. Di sini digunakan q1 = 5 MeV, Eν = 10 MeV dan kF = 100 MeV.

Pada Gambar 3.4 tampang lintang dihitung dengan menggunakan µν = 10−9,

10−10, 10−11 dan 10−12. Untuk µν = 10−9, tampak bahwa tampang lintang total

sangat jauh berbeda dengan tampang lintang interaksi lemah. Sedangkan untuk

µν = 10−10, 10−11 dan 10−12 tampang lintang total memiliki nilai yang mendekati

tampang lintang interaksi lemah. Dapat disimpulkan bahwa kontribusi efek elek-

tromagnetik pada perhitungan tampang lintang hamburan quasi-elastik neutrino

dengan materi mampat perlu diperhitungkan jika µν ≥ 10−9.

Pada Gambar 3.5 tampang lintang total dihitung dengan menggunakan R =

10−9, 10−10, 10−11 dan 10−12. Di sini ditunjukkan bahwa tampang lintang total

tidak memiliki selisih yang besar untuk tiap R yang dipilih. Dengan kata lain,

perhitungan tampang lintang total tidak terlalu sensitif terhadap perubahan R.

Dari gambar juga tampak bahwa untuk tiap R yang dipilih, dimana R akan

memberikan efek pada nilai jauh dari jangkauan prediksi eksperimen (hasil perhi-

tungan tampang lintang total mendekati nilai tampang lintang interaksi lemah).

Dapat disimpulkan, efek jari-jari muatan neutrino tidak memberikan kontribusi

yang signifikan terhadap tampang lintang total. Hal ini bisa dibandingkan de-

ngan Gambar 3.2 yang memperlihatkan adanya perbedaan yang signifikan antara

tampang lintang total dan lemah baru muncul jika R ≥ 10−6.

3.3 Perbandingan Antara Tampang Lintang To-

tal dan Tampang Lintang Interaksi Lemah

Untuk Berbagai Variasi kF

Pada gambar 3.6 dan 3.7 diperlihatkan tampang lintang interaksi lemah dan total

untuk momentum Fermi elektron kF = 25, 50, 75, 100 MeV, dengan q1 = 5 MeV,

Eν = 10 MeV, µν = 10−10 dan R = 5×10−6 MeV−1. Untuk tiap kF yang dipilih,

terdapat hasil yang sangat berbeda satu dengan yang lain. Dapat disimpulkan

bahwa tampang lintang total dan interaksi lemah sensitif terhadap perubahan

kF .

Untuk kF kecil, selisih antara tampang lintang total dengan tampang lintang

21

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5

d3 σ/V

d2 ΩdE

’ ν(1

0-9/M

eV-c

m)

q0(MeV)

kF=100kF=75kF=50kF=25

Gambar 3.6: Perbandingan tampang lin-tang interaksi lemah untuk berbagai va-riasi kF (q1 = 5 MeV, Eν = 10 MeV)

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5

d3 σ/V

d2 ΩdE

’ ν(1

0-9/M

eV-c

m)

q0(Mev)

kF=100kF=75kF=50kF=25

Gambar 3.7: Perbandingan tampang lin-tang total untuk berbagai variasi kF

(q1 = 5 MeV, Eν = 10 MeV)

22

interaksi lemah tidak terlalu besar. Sebaliknya untuk kF besar, selisih tampang

lintang total dengan tampang lintang interaksi lemah cukup besar. Dengan demi-

kian, semakin besar kF maka faktor kontribusi elektromagnetik semakin penting

diperhitungkan. Dengan kata lain, semakin mampat medium maka interaksi elek-

tromagnetik menjadi semakin signifikan kontribusinya.

23

Bab 4

Kesimpulan

Dari hasil perhitungan dan analisa yang telah dilakukan, maka diperoleh kesim-

pulan sebagai berikut:

1. Tampang lintang hamburan quasi-elastik neutrino dalam medium mampat

dengan atau tanpa memperhitungkan faktor bentuk elektromagnetik neu-

trino sangat sensitif terhadap perubahan energi transfer q1, energi neutrino

Eν dan momentum Fermi elektron kF .

2. Tampang lintang hamburan quasi-elastik neutrino dengan memperhitungk-

an faktor bentuk elektromagnetik neutrino dalam medium mampat sensitif

terhadap perubahan momen magnetik neutrino µν tapi tidak terhadap per-

ubahan jari-jari muatan R.

3. Efek elektromagnetik perlu diperhitungkan untuk q1, Eν dan µν kecil dan

untuk kF besar (medium semakin mampat).

24

Lampiran A

PembuktianFµν(p, p + q) = Fµν(p, p − q)

Dari konservasi arus diperoleh qµFµν = 0. Misal, diambil Fµν hanya bagian

vektor,

F Vµν(p, p + q) = Tr[(p/ + me)γµ(p/ + q/ + me)γν ]

= 4(2pµpν + pµqν + pνqµ − p · qgµν), (A.1)

maka

qµF Vµν(p, p + q) = 0,

4qµ(2pµpν + pµqν + pνqµ − p · qgµν) = 0,

8p · qpν + 4p · qqν + 4q2pν − 4qνp · q = 0,

8p · qpν + 4q2pν = 0,

(A.2)

2p · q = −q2 → p · q = −q2

2dan − 2

p · qq2

= 1. (A.3)

Jika persamaan (A.3) disubstitusi ke persamaan (A.1), akan diperoleh

F Vµν(p, p + q) = 4

[

2pµpν − 2p · qq2

(pµqν + pνqµ) +q2

2gµν

]

. (A.4)

Sekarang perhatikan

F Vµν(p, p − q) = Tr[(p/ + me)γµ(p/ − q/ + me)γν]

= 4(2pµpν − pµqν − pνqµ + p · qgµν). (A.5)

25

Dengan menggunakan cara yang sama akan diperoleh

qµF Vµν(p, p − q) = 0,

4qµ(2pµpν − pµqν − pνqµ + p · qgµν) = 0,

8p · qpν − 4p · qqν − 4q2pν + 4qνp · q = 0,

8p · qpν − 4q2pν = 0,

(A.6)

2p · q = q2 → p · q =q2

2dan 2

p · qq2

= 1. (A.7)

Jika persamaan (A.7) juga disubstitusikan ke persamaan (A.5), maka diperoleh

F Vµν(p, p − q) = 4

[

2pµpν − 2p · qq2

(pµqν + pνqµ) +q2

2gµν

]

. (A.8)

Tampak bahwa persamaan (A.4) identik dengan persamaan (A.8), sehingga dapat

disimpulkan bahwa

F Vµν(p, p + q) = F V

µν(p, p − q).

Untuk kontribusi yang lain dengan cara yang serupa akan diperoleh hasil yang

sama.

26

Lampiran B

Penentuan Bentuk Umum ΠImµν

Diketahui polarisasi adalah

Πµν(q) = −i∫

d4p

(2π)4Tr[

G(p)JeµG(p + q)Je

ν

]

. (B.1)

dengan

G(p) = GF (p) + GD(p). (B.2)

Jika persamaan (B.2) disubstitusi ke persamaan (B.1) maka akan menghasilkan

Πµν(q) = −i∫ d4p

(2π)4Tr

[

GF (p)JeµGF (p + q)Je

ν

]

+[

GF (p)JeµGD(p + q)Je

ν

]

+[

GD(p)JeµGF (p + q)Je

ν

]

+[

GD(p)JeµGD(p + q)Je

ν

]

. (B.3)

Karena pada perhitungan kami digunakan mean-field (medan rata-rata), maka

suku GF (p)JeµGF (p + q)Je

ν diabaikan, sehingga

Πµν(q) = −i∫

d4p

(2π)4Tr

[

GF (p)JeµGD(p + q)Je

ν

]

+[

GD(p)JeµGF (p + q)Je

ν

]

+[

GD(p)JeµGD(p + q)Je

ν

]

= −i∫

d4p

(2π)4Tr

[

GF (p)JeµGD(p + q)Je

ν

]

+[

GD(p)JeµGF (p + q)Je

ν

]

+1

2

[

GD(p)JeµGD(p + q)Je

ν

]

+1

2

[

GD(p)JeµGD(p + q)Je

ν

]

= −i∫

d4p

(2π)4Tr

1

2

[

GD(p)JeµGD(p + q)Je

ν

]

+[

GF (p)JeµGD(p + q)Je

ν

]

+[

GD(p)JeµGD(p + q)Je

ν

]

+[

GD(p)JeµGF (p + q)Je

ν

]

. (B.4)

27

Perhatikan suku pertama dari persamaan (B.4), yaitu

= −i∫

d4p

(2π)4Tr

1

2

[

GD(p)JeµGD(p + q)Je

ν

]

+[

GF (p)JeµGD(p + q)Je

ν

]

. (B.5)

Jika p → p − q, maka akan menjadi

= −i∫

d4p

(2π)4Tr

1

2

[

GD(p − q)JeµGD(p)Je

ν

]

+[

GF (p − q)JeµGD(p)Je

ν

]

. (B.6)

Dengan menggunakan teorema Trace,

Tr(γµγνγργσ) = Tr(γσγργµγν),

maka persamaan (B.6) dapat ditulis sebagai

= −i∫

d4p

(2π)4Tr

1

2

[

GD(p)JeµGD(p − q)Je

ν

]

+[

GD(p)JeµGD(p − q)Je

ν

]

. (B.7)

Sehingga persamaan (B.4) menjadi

Πµν(q) = − i∫

d4p

(2π)4Tr

1

2

[

GD(p)JeµGD(p − q)Je

ν

]

+[

GD(p)JeµGF (p − q)Je

ν

]

− i∫ d4p

(2π)4Tr

1

2

[

GD(p)JeµGD(p + q)Je

ν

]

+[

GD(p)JeµGF (p + q)Je

ν

]

. (B.8)

atau dapat juga ditulis sebagai

Πµν(q) = − i∫

d4p

(2π)4Tr

1

2

[

GD(p)JeµGD(p + q)Je

ν

]

+[

GD(p)JeµGF (p + q)Je

ν

]

+ [q → −q]. (B.9)

Jika bentuk eksplisit dari propagator GD(p) = gD(p)(p/ + me) dan GF (p) =

gF (p)(p/ + me) dimasukkan ke persamaan (B.9), maka diperoleh

Πµν(q) = − i∫

d4p

(2π)4Tr

1

2

[

gD(p)(p/ + me)JeµgD(p + q)(p/ + q/me)J

eν

]

+[

gD(p)(p/ + me)JeµgF (p + q)(p/ + q/me)J

eν

]

+ [q → −q], (B.10)

28

atau

Πµν(q) = − i∫

d4p

(2π)4

1

2[gD(p)gD(p + q) + gD(p)gF (p + q)]

× Tr[

(p/ + me)Jeµ(p/ + q/me)J

eν

]

+ [q → −q]. (B.11)

Sehingga kita dapat menuliskannya sebagai berikut

Πµν(q) = −i∫

d4p

(2π)4[I(p, p + q)Fµν(p, p + q)] + [q → −q], (B.12)

dengan

I(p, p ± q) =1

2gD(p)gD(p ± q) + gD(p)gF (p ± q), (B.13)

dan

Fµν(p, p ± q) = Tr[

(p/ + me)Jeµ(p/ ± q/ + me)J

eν

]

. (B.14)

Karena propagator partikel target

gD(p) =iπ

Ep

δ(p0 − Ep)θ(kF − |p|), dan gF (p) =1

p2 − m2e + iε

,

dengan kF = momentum-4 elektron pada level Fermi, maka persamaan (B.13)

dapat disederhanakan sebagai

I(p, p ± q) = − π2

2EpEp±qδ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)δ(p0 ± q0Ep±q)θ(kF − |p ± q|)

+iπ

Ep

δ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)(p ± q)2 − m2

e + iε, (B.15)

dengan

1

(p ± q)2 − m2e + iε

=P

(p ± q)2 − m2e

− iπ

2Ep±q

δ(p0 − Ep±q). (B.16)

Hal ini mengakibatkan persamaan (B.15) menjadi

I(p, p ± q) = − π2

2EpEp±q

δ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)δ(p00Ep±q)θ(kF − |p ± q|)

+iπ

Epδ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)

×[

P

(p ± q)2 − m2e

− iπ

2Ep±q

δ(p0 ± q0 − Ep±q)

]

. (B.17)

29

Kemudian jika persamaan (B.17) disubstitusikan ke persamaan (B.12), meng-

akibatkan Πµν dapat ditulis dalam dua bagian yaitu Πµν = Π1µν + Π2

µν , dimana

Π1µν =

π

(2π)4

∫d4p

Ep

[

P

(p + q)2 − m2e

− iπ

2Ep+q

δ(p0 + q0 − Ep+q)

]

× δ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)Fµν(p, p + q) + (q → −q), (B.18)

Π2µν =

iπ2

(2π)4

∫d4p

2EpEp+q

δ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)δ(p0 + q0 − Ep+q)

× θ(kF − |p + q|)Fµν(p, p + q) + (q → −q), (B.19)

Persamaan (B.18) masih dapat dipecah menjadi bagian real dan imajiner,

yaitu Π1µν = ΠRe

µν + ΠImµν , dimana

ΠReµν =

π2

(2π)4

∫d4p

Ep

p

(p + q) − m2e

δ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)Fµν(p, p + q)

+ (q → −q), (B.20)

ΠImµν = − iπ2

(2π)4

∫d4p

2EpEp+q

δ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)δ(p0 + q0 − Ep+q)

× Fµν(p, p + q) + (q → −q). (B.21)

Dengan demikian bagian imajiner total dari vektor polarisasi didapat dengan

menjumlahkan persamaan (B.19) dan persamaan (B.21),

ΠImµν =

iπ2

(2π)4

∫ d4p

2EpEp+qδ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)δ(p0 + q0 − Ep+q)θ(kF − |p + q|)

× Fµν(p, p + q) + (q → −q)

− iπ2

(2π)4

∫d4p

2EpEp+q

δ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)δ(p0 + q0 − Ep+q)

× Fµν(p, p + q) + (q → −q)

=iπ2

(2π)4

∫d4p

2EpEp+qδ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)δ(p0 + q0 − Ep+q)[θ(kF − |p + q|) − 1]

× Fµν(p, p + q) + (q → −q),

=iπ2

(2π)4

∫d4p

2EpEp+qδ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)δ(p0 + q0 − Ep+q)[θ(kF − |p + q|) − 1]

× Fµν(p, p + q)

+iπ2

(2π)4

∫d4p

2EpEp+qδ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)δ(p0 + q0 − Ep−q)[θ(kF − |p − q|) − 1]

× Fµν(p, p − q) (B.22)

30

Karena dari prinsip konservasi arus qµFµν = 0, mengakibatkan Fµν(p, p+q) =

Fµν(p, p − q) dan dengan mengganti p → p + 2q, maka pada akhirnya diperoleh

ΠImµν (q) = − iπ2

(2π)4

∫d4p

2EpEp+qδ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)

× δ(p0 + q0 − Ep+q)θ(|p + q| − kF )Fµν(p, p + q). (B.23)

Persamaan (F.5) adalah bentuk umum dari Im Πµν atau ΠImµν .

31

Lampiran C

Perhitungan FVµν, FV −A

µν , dan FAµν

C.1 Bagian Vektor

Diketahui persamaan

F Vµν(p, p + q) = Tr[(p/ + me)γµ(p/ + q/ + me)γν ]. (C.1)

Jika diuraikan menjadi

F Vµν(p, p + q) = Tr[γαγµγβγν ]p

αpβ + Tr[γαγµγβγν ]pαqβ + meTr[γαγµγν ]p

α

+ meTr[γµγαγν ]pα + meTr[γµγαγν ]q

α + m2eTr[γµγν ]. (C.2)

Dengan menggunakan teorema Trace

Tr[γµγν ] = Tr[γνγµ] = 4gµν ,

Tr[γαγµγβγν ] = 4(gαµgβν + gανgµβ − gαβgµν).

Tr

γµ · · · γν︸ ︷︷ ︸

ganjil

= 0.

maka diperoleh

F Vµν(p, p + q) = 4(2pµpν + pµqν + pνqµ − p · qgµν). (C.3)

C.2 Bagian Vektor-Aksial

Diketahui persamaan

F V −Aµν (p, p + q) = Tr

1

2[(p/ + me)γµγ5(p/ + q/ + me)γν ]

32

+ Tr

1

2[(p/ + me)γµ(p/ + q/ + me)γνγ

5]

. (C.4)

Dengan menggunakan teorema Trace,

Tr

γ5 γµ · · ·

︸ ︷︷ ︸

kurang dari 4γ

= 0,

γµγ5 = −γ5γµ,

Tr[γ5γµγνγαγβ] = 4iεµναβ ,

maka akan diperoleh

F V −Aµν (p, p + q) = −4iεµναβpαqβ . (C.5)

C.3 Bagian Aksial

Diketahui persamaan

F Aµν(p, p + q) = Tr[(p/ + me)γµγ

5(p/ + q/ + me)γνγ5]. (C.6)

Karena

γµγ5(p/ + q/ + me)γνγ5 = γµγ

5γ5(p/ + q/ − me)γνγ5 = γµ(p/ + q/ − me)γν,

maka

F Aµν(p, p + q) = Tr[(p/ + me)γµ(p/ + q/ − me)γν ]. (C.7)

Dengan menggunakan teorema Trace seperti sebelumnya, maka akan diperoleh

F Aµν(p, p + q) = 4(2pµpν + pµqν + pνqµ − p · qgµν − 2m2

egµν). (C.8)

33

Lampiran D

Penentuan Polarisasi VektorLongitudinal dan Transversal

D.1 Polarisasi Longitudinal

Untuk memperoleh persamaan polarisasi longitudinal, maka dilakukan cara ber-

ikut. Dengan konservasi arus qµΠµν = 0,

q0Π00 + |q|Π01 = 0 → Π01 = − q0

|q|Π00.

q0Π10 + |q|Π11 = 0 → Π11 = − q0

|q|Π10.

Karena Π01 = Π10, maka

Π11 = − q20

|q|2 Π00. (D.1)

Dengan menggunakan hubungan ΠL = Π00 − Π11, maka diperoleh

ΠL = − q2µ

|q|2Π00. (D.2)

Dengan menggunakan bentuk umum dari ΠImµν , maka untuk Π00 diperoleh

ΠIm00 = − i

(2π)2

∫dp0d

3p

8EpEp+q

δ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)δ(p0 + q0 − Ep+q)θ(|p + q| − kF )

× F00(p, p + q)

= − i

(2π)2

∫d3p

8EpEp+qF00(p, p + q)θ(kF − |p|)δ(p0 + q0 − Ep+q)

× θ(|p + q| − kF ) (D.3)

34

ΠIm00 = − i

2π

∫ |p|EdE

2EpEp+q

(

2E2 + Eq0 + |p| · |q|)

θ(kF − |p|)θ(|p + q| − kF )

×∫ δ(x − xj)

|g′(x)|xjdx (D.4)

dengan |p| · |q| = |p||q| cos θ. Selanjutnya,

E2p+q = (|p| + |q|)2 + m2

ν = |p|2 + 2|p| · |q| + |q|2 + m2ν , (D.5)

karena g(x) = p0 + q0 − Ep+q = 0, maka Ep+q = E + q0. Sehingga,

2|p| · |q| = E2p+q − |p|2 − |q|2 − m2

ν

= (E + q0)2 − |p|2 − |q|2 − m2

ν

= E2 + 2Eq0 + q20 − |p|2 − |q|2 − m2

ν

= 2Eq0 + q20 − |q|2 = 2Eq0 + q2

µ,

|p| · |q| = Eq0 +1

2q2µ. (D.6)

Selain itu,

g(x) = p0 + q0 − Ep+q = p0 + q0 − (|p|2 + 2|p| · |q| + |q|2 + m2e)

1/2

= p0 + q0 − (|p|2 + 2|p||q|x + |q|2 + m2e)

1/2, dengan x = cos θ,

g′(x) = −1

2(|p|2 + 2|p||q|x + |q|2 + m2

e)1/22|p||q| = −|p||q|

Ep+q

. (D.7)

Jika persamaan (D.6) dan (D.7) disubstitusikan ke persamaan (D.4), maka

diperoleh

ΠIm00 = − i

2π

∫ |p|EdE

2EpEp+q

(

2E2 + Eq0 +q2µ

2

)

θ(kF − |p|)θ(|p + q| − kF )

(

−Ep+q

|p||q|

)

,

=i

4π|q|∫ EF

E∗

dE

(

2E2 + Eq0 +q2µ

2

)

,

= − i

4π|q|

[

2

3(E3

F − E∗3) + q0(E2F − E∗2) +

q2µ

2(EF − E∗)

]

,

= − i

2π|q|

[

1

3(E3

F − E∗3) +q0

2(E2

F − E∗2) +q2µ

4(EF − E∗)

]

. (D.8)

Kemudian jika persamaan (D.8) disubstitusi ke persamaan (D.2), maka diperoleh

polarisasi longitudinal,

ΠL =q2µ

2π|q|3[1

4(EF − E∗) +

q0

2(E2

F − E∗2) +1

3(E3

F − E∗3)]

. (D.9)

35

D.2 Polarisasi Transversal

Sedangkan untuk polarisasi transversal, penyelesaiannya adalah sebagai berikut,

ΠT = ΠIm22

= − i

(2π)2

∫d3p

8EpEp+q

F22(p, p + q)θ(kF − |p|)δ(p0 + q0 − Ep+q)θ(|p + q| − kF )

= − i

(2π)2

∫ |p|EdE

2EpEp+q

(

2|p|2 sin2 θ cos2 ϕ + Eq0 + |p| · |q|)

θ(kF − |p|)

× δ(p0 + q0 − Ep+q)θ(|p + q| − kF ). (D.10)

Oleh karena

|p|2 − |p|2 cos2 θ + p · q = |p|2 −(

4E2 + 4Eq0q2µ + q4

µ

4|q|2)

− q2µ

2,

= E2 − m2e −

E2q20

|q|2 − Eq0q2µ

|q|2 − q4µ

4|q|2 − q2µ

2,

= E2 (|q|2 − q20)

|q|2 − Eq0q2µ

|q|2 +

(

m2e +

q4µ

4|q|2 +q2µ

2

)

,

= −[

E2q2µ

|q|2 +Eq0q

2µ

|q|2 +

(

m2e +

q4µ

4|q|2 +q2µ

2

)]

, (D.11)

maka ΠT dapat ditulis sebagai

ΠT =1

4π|q|

[(

m2e +

q2µ

4|q|2 +q2µ

2

)

(EF − E∗) +q0q

2µ

2|q| (E2F − E∗2)

+q2µ

3|q|(E3F − E∗3)

]

. (D.12)

36

Lampiran E

Penentuan PolarisasiVektor-Aksial

Dari persamaan

F V −Aµν (p, p + q) = 4iεαµβνpαqβ, (E.1)

maka dapat diperoleh

F V −Aµν (p, p + q) = 4iε1µ0ν(E|q| − q0|p| cos θ). (E.2)

Jika persamaan di atas disubstitusi ke persamaan umum polarisasi maka dapat

diperoleh

ΠIm(V−A)µν (q) = − iπ2

(2π)4

∫d4p

2EpEp+q

[4iε1µ0ν(E|q| − q0|p| cos θ)]δ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)

× δ(p0 + q0 − Ep+q)θ(|p + q| − kF )

= − i

(2π)2

∫ d3p

8EpEp+q[4iε1µ0ν(E|q| − q0|p| cos θ)]θ(kF − |p|)

× δ(p0 + q0 − Ep+q)θ(|p + q| − kF )

= iε1µ0ν

[

− i

2π

∫ EF

E∗

|p|EdE

2EpEp+q

(E|q| − q0|p| cos θ)θ(kF − |p|)Ep+q

|p||q|

]

= iε1µ0ν |q|[

iq2µ

8π|q|3 (E2F − E∗2) + q0(EF − E∗).

]

(E.3)

Secara umum, persamaan ΠIm(V−A)µν dapat ditulis sebagai

ΠIm(V−A)µν (q) = iεαµ0νqαΠV A, (E.4)

dimana

ΠV A =iq2

µ

8π|q|3 [(E2F − E∗2) + q0(EF − E∗)]. (E.5)

37

Lampiran F

Penentuan Polarisasi Aksial

Persamaan

F Aµν(p, p + q) = 4(2pµpν + pµqν + pνqµ − p · qgµν − 2m2

egµν). (F.1)

dapat juga ditulis sebagai

F Aµν(p, p + q) = F V

µν(p, p + q) + gµνFA, dengan FA = −8m2e. (F.2)

dengan

Jika disubstitusi ke persamaan umum polarisasi maka dapat diperoleh

ΠImµν =

iπ2

(2π)4

∫ d4p

2EpEp+qδ(p0 − Ep)θ(kF − |p|)δ(p0 + q0 − Ep+q)

× θ(|p + q| − kF )[F Vµν(p, p + q) + gµνFA], (F.3)

yang secara umum dapat ditulis sebagai,

ΠImAµν (q) = ΠImV

µν (q) + gµνΠA, (F.4)

dengan

ΠA = − i

(2π)2

∫ d3p

8EpEp+qF A

µν θ(kF − |p|)θ(|p + q| − kF )δ(p0 + q0 − Ep+q),

=i

2π

∫d3p

EpEp+qm2

e δ(p0 + q0 − Ep+q)θ(kF − |p|)θ(|p + q| − kF ),

=i

2π

∫ |p|dE

Ep+q

m2e θ(kF − |p|)θ(|p + q| − kF )

Ep+q

|p||q| (F.5)

atau

ΠA =i

2π|q|m2e(EF − E∗).

38

Dengan demikian polarisasi aksial dapat ditulis dalam bentuk dari polarisasi lo-

ngitudinal dan transversal:

ΠImAL (q) = ΠImV

L (q) + gµνΠA = ΠImVL (q) + ΠA, (F.6)

ΠImAT (q) = ΠImV

T (q) + gµνΠA = ΠImVT (q) − ΠA. (F.7)

39

Lampiran G

Perhitungan Tensor NeutrinoInteraksi Lemah,Elektromagnetik dan Interferensi

G.1 Interaksi Lemah

Lµνν

(W) = Tr[(k/ + mν)γµ(1 + γ5)(k/′ + mν)γ

ν(1 + γ5)],

= Tr[(k/ + mν)γµ(k/′ + mν)γ

ν ] + Tr[(k/ + mν)γµγ5(k/′ + mν)γ

ν ]

+ Tr[(k/ + mν)γµ(k/′ + mν)γ

νγ5]

+ Tr[(k/ + mν)γµγ5(k/′ + mν)γ

νγ5]. (G.1)

dengan

γµ(k/′ + mν)γνγ5 = γµγ5(k/′ − mν)γ

ν ,

γµγ5(k/′ + mν)γνγ5 = γµγ5γ5(k/′ − mν)γ

ν = γµ(k/′ − mν)γν , (G.2)

maka

Lµνν

(W) = Tr[(k/ + mν)γµ(k/′ + mν)γ

ν ]

+ Tr[(k/ + mν)γµγ5(k/′ + mν)γ

ν ]

+ Tr[(k/ + mν)γµγ5(k/′ − mν)γ

ν ]

+ Tr[(k/ + mν)γµ(k/′ − mν)γ

ν ],

= 2Tr(γαγµγβγν)kα(kβ − qβ)

+ 2Tr(γαγµγβγνγ5)kα(kβ − qβ),

= 8[gαµgβν + gανgβν − gαβgµν + iεαµβν ](kαkβ − kαqβ). (G.3)

40

Sehingga diperoleh

Lµνν

(W) = 8[2kµkν − (kµqν + kνqµ) + gµν(k · q) − iεαµβνkαk′

β], (G.4)

G.2 Interaksi Elektromagnetik

Lµνν

(EM) = Tr

(k/ + mν)[

fmνγµ + g1νγ

µγ5 − (f2ν + ig2νγ5)

P µ

2me

]

× (k/′ + mν)[

fmνγν + g1νγ

νγ5 − (f2ν + ig2νγ5)

P ν

2me

]

, (G.5)

dengan cara yang sama akan diperoleh

Lµνν

(EM) = 4(f 2mν + g2

1ν)[2kµkν − (kµqν + kνqµ) + gµν(k · q)]

− 8ifmνg1νεαµβνkαk′

β

− f 22ν + g2

2ν

m2e

(k · q)[4kµkν − 2(kµqν + qµkν) + qµqν ]. (G.6)

G.3 Interferensi

Lµνν

(INT) = Tr

(k/ + mν)γµ(1 + γ5)(k/′ + mν)

×[

fmνγν + g1νγ

νγ5 − (f2ν + ig2νγ5)

P ν

2me

]

. (G.7)

dengan cara yang sama penyelesaian Tracenya adalah

Lµνν

(INT) = 4(fmν + g1ν)[2kµkν − (kµqν + kνqµ) + gµν(k · q) − iεαµβνkαk′

β]. (G.8)

41

Lampiran H

Perhitungan Kontraksi BagianVektor, Vektor-Aksial dan Aksial

H.1 Bagian Vektor

Telah diketahui suku-suku yang memberi kontribusi pada polarisasi yaitu

Π00, Π01, Π10, Π11, Π22, Π33,

dengan demikian kontraksinya adalah

Lµνν ΠImV

µν = L00Π00 + L01Π01 + L10Π10 + L11Π11 + L22Π22 + L33Π33

= L00Π00 + L11q20Π00 + 2L10Π10 + 2L22Π22,

= L00Π00 +q20

|q|2q20

|q|2 L00Π00 + 2q20

|q|2L00Π00 + 2L22Π22,

=

[

1 +q40

|q|4 + 2q20

|q|2]

L00Π00 + 2L22Π22,

= LLΠL + 2LT ΠT = − q2µ

|q|2L00ΠL + 2LT ΠT . (H.1)

Atau dapat ditulis juga sebagai

Lµνν ΠImV

µν = − q2µ

|q|2L00ΠL + 2LT ΠT dengan LT =L22 + L33

2. (H.2)

H.2 Bagian Vektor-Aksial

Untuk mencari bagian vektor-aksial dari polarisasi interaksi lemah, lihat kembali

persamaan ΠIm(V−A)µν = iεαµ0νqαΠV A pada lampiran E. Oleh karena

ΠIm(V−A)23 = iε23α0q

αΠV A (H.3)

42

ΠIm(V−A)32 = iε32α0q

αΠV A (H.4)

maka dapat dilihat bahwa ΠIm(V−A)23 = −Π

Im(V−A)32 . Sehingga kontraksinya

Lµνν ΠIm(V−A)

µν = L23ΠV−A23 + L32ΠV−A

32 = (L23 − L32)ΠV−A. (H.5)

H.3 Bagian Aksial

Selanjutnya, untuk menghitung Lµνν ΠImA

µν , harus dicari dulu bagian yang memberi

kontribusi:

Lµνν ΠImA

µν = L00Π00 + L01Π01 + L10Π10 + L11Π11 + L22Π22 + L33Π33 (H.6)

Dari persamaan

ΠImAµν (q) = ΠImV

µν (q) + gµνΠA (H.7)

dapat diperoleh

ΠImA00 = ΠImV

00 + g00ΠA = ΠV00 + ΠA,

ΠImA01 = ΠImV

01 + g01ΠA = ΠV01 − ΠA,

ΠImA10 = ΠImV

10 + g10ΠA = ΠV10,

ΠImA22 = ΠImV

22 + g22ΠA = ΠV22 − ΠA,

ΠImA33 = ΠImV

33 + g33ΠA = ΠV33 − ΠA.

Jika disubstitusi ke persamaan (H.6) akan diperoleh

Lµνν ΠImA

µν = Lµνν ΠImV

µν + 8q2µΠA. (H.8)

43

Lampiran I

Perhitungan Kontraksi InteraksiLemah

Total kontraksi untuk interaksi lemah, sebagai berikut

Lµνν ΠIm(W)

µν = C2V Lµν

ν ΠImVµν + 2CV CA Lµν

ν ΠIm(V−A)µν + C2

A Lµνν ΠImA

µν . (I.1)

I.1 Bagian Vektor

Telah diketahui persamaan

Lµνν ΠImV

µν = − q2µ

|q|2L00ΠL + 2LT ΠT , dengan LT =L22 + L33

2. (I.2)

Dengan menggunakan persamaan tensor neutrino interaksi lemah, yaitu

Lµν(W)ν = 8[2kµkν − (kµqν + kνqµ) + gµν(k · q) − iεαµβνkαk′

β], (I.3)

maka untuk L00 diketahui sebagai

L00 = 8[2E(E − q0) + k · q] = 8

[

2E(E − q0) +q2µ

2

]

. (I.4)

Selanjutnya,

LT = 4[2(k2)2 − (k · q)] + 4[2(k3)2 − (k · q)],

= 8[(k2)2 + (k3)2 − (k · q)] = 8[|k|2 sin2 θ(cos2 ϕ + sin2 θ) − k · q],

= 8[|k|2 sin2 θ − k · q] = 8[|k|2(1 − cos2 θ) − k · q],

= 8

k2µ − k2

0 −(

2Eq0 − q2µ

2|q|

)2

− q2µ

2

= 8

0 − E2 −(

2Eq0 − q2µ

2|q|

)2

− q2µ

2

,

44

= −8

[

E2 +4E2q2

0

4|q|2 +q4µ

4|q|2 − 4Eq0q2µ

4|q|2 +q2µ

2

]

,

= −8q2µ

|q|2[

E2|q|2q2µ

+E2q2

0

q2µ

+q2µ

4− Eq0 +

|q|22

]

,

= −8q2µ

|q|2[

E2(q2µ − q2

0)

q2µ

+E2q2

0

q2µ

+(q2

0 + |q|2)4

− Eq0 +|q|22

]

,

= −8q2µ

|q|2[

E2 − Eq0 +q20

4+

|q|24

+|q|22

]

,

= −8q2µ

|q|2[

E2 − Eq0 +(q2

µ − |q|2)4

+|q|24

+|q|22

]

,

= −4q2µ

|q|2[

2E(E − q0) +q2µ

2+ |q|2

]

,

sehingga

2LT = −8q2µ

|q|2[

2E(E − q0) +q2µ

2+ |q|2

]

. (I.5)

Dengan demikian, kontraksi bagian vektor untuk interaksi lemah,

Lµνν ΠImV

µν = −8q2µ

|q|2[

2E(E − q0) +1

2q2µ

]

ΠL − 8q2µ

|q|2[

2E(E − q0) +1

2q2µ + |q|2

]

ΠT ,

= −8q2µ

[

2E(E − q0) + 12q2µ

]

|q|2 ΠL − 8q2µ

[

2E(E − q0) + 12q2µ

|q|2 +|q|2|q|2

]

ΠT ,

= −8q2µ

[

2E(E − q0) + 12q2µ

]

|q|2 (ΠL + ΠT ) − 8q2µΠT .

Sehingga diperoleh

Lµνν ΠImV

µν = −8q2µAW(ΠL + ΠT ) − 8q2

µΠT . (I.6)

I.2 Bagian Vektor-Aksial

Telah diketahui persamaan

Lµνν ΠIm(V−A)

µν = L23ΠV−A23 + L32ΠV−A

32 =(

L23 − L32)

ΠV−A23 . (I.7)

Dengan menggunakan persamaan tensor neutrino untuk interaksi lemah akan

didapat

L23 = 8[2k2k3 − (k2q3 + k3q2) + g23(k · q) − iεα2β3kαk′

β],

= 8[2k2k3 − iεα2β3kαk′

β],

L32 = 8[2k3k2 − iεα3β2kαk′

β],

45

sehingga

Lµνν ΠIm(V−A)

µν = 8[

2k2k3 − iεα2β3kαk′

β − (2k3q2 − iεα3β2kαk′

β)]

ΠV−A23 ,

= 8[

−iεα2β3kαk′

β + iεα3β2kαk′

β

]

iεµνα0qαΠV A,

= 8εα2β3ε23α0kαk′

βqαΠV A − 8εα3β2ε23α0kαk′

βqαΠV A,

= −16ε23αβε23σρkαk′

βqσΠρV A

= −16(

gασgβ

ρ − gαρ gβ

σ

)

kαk′

βqσΠρV A,

= −16(

gασgβ

ρ kαk′

βqσΠρV A − gα

ρ gβσkαk′

βqσΠρV A

)

,

= −16(

kσqσk′

ρΠρV A − kρk

′

σqσΠρV A

)

,

= −16 [k · q (k0 − q0) − k0 (kσ − qσ) qσ] ΠV A

= 16[

q0k · q − Eq2µ

]

ΠV A,

= 16

[

q0

(

q2µ

2

)

− Eq2µ

]

ΠV A

= 8q2µ (q0 − 2E) ΠV A,

atau

Lµνν ΠIm(V−A)

µν = −8q2µ (2E − q0)ΠV A (I.8)

I.3 Bagian Aksial

Telah diketahui

Lµνν ΠImA

µν = Lµνν ΠImV

µν + 8q2µΠA. (I.9)

I.4 Total Kontraksi Interaksi Lemah

Subsitusi semua persamaan (I.6), (I.8), (I.9) ke persamaan (I.1) akan mengha-

silkan

Lµνν ΠIm

µν = C2V Lµν

ν ΠImVµν + 2CV CA

[

−8q2µ (2E − q0)ΠV A

]

+ C2A

(

Lµνν ΠImV

µν + 8q2µΠA

)

,

= (C2V + C2

A) Lµνν ΠImV

µν − 16q2µCV CA(2E − q0)ΠV A + 8q2

µC2AΠA,

=(

C2V + C2

A

) [

−8q2µAW(ΠL + ΠT ) − 8q2

µΠT

]

− 16q2µCV CA(2E − q0)ΠV A

46

+ 8q2µC2

AΠA,

= −8q2µAW

(

C2V + C2

A

)

(ΠL + ΠT ) − 8q2µ(C

2V + C2

A)ΠT

− 16q2µCV CA(2E − q0)ΠV A + 8q2

µC2AΠA,

= −8q2µAW(C2

V + C2A)(ΠL + ΠT ) − 8q2

µC2V ΠT − 8q2

µC2A(ΠT − ΠA)

− 16q2µCV CA(2E − q0)ΠV A

= −8q2µ[AW(C2

V + C2A)(ΠL + ΠT ) + C2

V ΠT + C2A(ΠT − ΠA)

+ 2CV CA(2E − q0)ΠV A].

Akhirnya diperoleh

Lµνν ΠIm(W)

µν = −8q2µ(AWR1 + R2 + BW R3), (I.10)

dengan

RW1 = (C2V + C2

A)(ΠL + ΠT ),

RW2 = C2V ΠT + C2

A(ΠT − ΠA),

RW3 = 2CV CAΠV A,

AW =2E(E − q0) + 1

2q2µ

|q|2 ,

BW = 2E − q0.

47

Lampiran J

Perhitungan Kontraksi InteraksiElektromagnetik

Telah diketahui bahwa kontraksi untuk interaksi elektromagnetik hanya terdiri

dari kontraksi bagian vektor, yaitu

Lµνν ΠImV

µν = − q2µ

|q|L00ΠL + 2LT ΠT dengan LT =

L22 + L33

2. (J.1)

Dengan menggunakan persamaan tensor neutrino interaksi elektromagnetik,

maka akan diperoleh

L00 = 2aE2 − 2aEq0 +1

2aq2

µ − 2bE2q2µ + 2bEq0q

2µ − 1

2bq2

0q2µ, (J.2)

L22 = a

[

2|k|2 sin2 θ cos2 ϕ − q2µ

2

]

− bq2µ

2

(

4|k|2 sin2 θ cos2 ϕ)

, (J.3)

L33 = a

[

2|k|2 sin2 θ sin2 ϕ − q2µ

2

]

− bq2µ

2

(

4|k|2 sin2 θ sin2 ϕ)

. (J.4)

Jika persamaan (J.2), (J.3) dan (J.4) disubsitusi ke persamaan (K.2), maka

akan diperoleh

Lµνν ΠImV

µν =

(

−2aE2 q2µ

|q|2 + 2aEq0

q2µ

|q|2 − 1

2aq2

µ

q2µ

|q|2 + 2bE2q2µ

q2µ

|q|2

− 2bEq0q2µ

q2µ

|q|2 +1

2bq2

0q2µ

q2µ

|q|2)

ΠL,

=

(

2aE2 − 2aE2 q20

|q|2 + 2aEq0

q2µ

|q|2 − 1

2a

q4µ

|q|2 − aq2µ − 2bE2q2

µ

+ 2bE2q20

q2µ

|q|2 − 2bEq0q2µ

q2µ

|q|2 +1

2bq2

µ

q4µ

|q|2)

ΠT , (J.5)

48

atau

Lµνν ΠImV

µν =(

2aEq0 −1

2aq2

µ − 2bEq0q2µ

) q2µ

|q|2 (ΠL + ΠT )

+

(

2bE2 q2µ

|q|2 − 2aE2

|q|2)(

q2µΠL + q2

0ΠT

)

+1

2b

q4µ

|q|2(

q20ΠL + q2

µΠT

)

+(

2aE2 − aq2µ − 2bE2q2

µ

)

ΠT ,

= α (ΠL + ΠT ) + β[

q2µΠL +

(

q2µ + |q|2

)

ΠT

]

+ γ[

q20ΠL +

(

q20 − |q|2

)

ΠT

]

+ θΠT ,

= α(ΠL + ΠT ) + βq2µ(ΠL + ΠT ) + β|q|2ΠT + γq2

0(ΠL + ΠT )

− γ|q|2ΠT + θΠT ,

sehingga

Lµνν ΠImV

µν =(

α + βq2µ + γq2

0

)

(ΠL + ΠT ) +[

(β − γ)|q|2 + θ]

ΠT . (J.6)

dengan

α + βq2µ + γq2

0 =(

2aEq0 −1

2aq2

µ − 2bEq0q2µ

) q2µ

|q|2 +

+

(

2bE2 q2µ

|q|2 − 2aE2

|q|2)

q2µ +

1

2b

q4µ

|q|2 q20,

=(

2aEq0 −1

2aq2

µ − 2bEq0q2µ + 2bE2q2

µ − 2aE2 +1

2bq2

0q2µ

) q2µ

|q|2 ,

=[

2Eq0(a − bq2µ) + 2E2(bq2

µ − a) − 1

2q2µ(a − bq2

0)] q2

µ

|q|2 ,

=

2E(E − q0)(bq

2µ − a) − 1

2aq2

µ

[

a − b(q2µ + |q|2)

]

|q|2

q2µ,

=

[

2E(E − q0) + 12aq2

µ

|q|2]

(bq2µ − a) +

12q2µb|q|2|q|2

q2µ,

= AW(bq2µ − a)q2

µ +1

2bq4

µ. (J.7)

Sedangkan

(β − γ)|q|2 + θ =

[(

2bE2 q2µ

|q|2 − 2aE2

|q|2)

− 1

2b

q4µ

|q|2]

|q|2 +(

2aE2 − aq2µ − 2bE2q2

µ

)

,

49

= 2bE2q2µ − 2aE2 − 1

2bq4

µ + 2aE2 − aq2µ − 2bE2q2

µ,

= −1

2bq4

µ − aq2µ. (J.8)

Maka diperoleh

Lµνν ΠIm(EM)

µν = AEMR1 − BEMR2, (J.9)

dengan

REM1 = ΠL + ΠT ,

REM2 = ΠT ,

AEM =[

AW (bq2µ − a) +

1

2bq2

µ

]

q2µ,

BEM =[1

2bq2

µ + a]

q2µ,

a = 4(f 2mν + g2

1ν),

b =f 2

2ν + g22ν

m2e

.

50

Lampiran K

Penghitungan KontraksiInterferensi

Telah diketahui bahwa kontraksi untuk interferensi terdiri dari kontraksi bagian

vektor dan bagian vektor-aksial, yaitu

Lµνν ΠIm(INT)

µν = CV Lµνν ΠImV

µν + CA Lµνν ΠIm(V−A)

µν . (K.1)

K.1 Bagian Vektor

Untuk bagian vektor

Lµνν ΠImV

µν = − q2µ

|q|2L00ΠL + 2LT ΠT dengan LT =L22 + L33

2. (K.2)

Dengan menggunakan persamaan tensor neutrino untuk interferensi didapat

L00 = 4(fmν + g1ν)[2k0k0 − (k0q0 + k0q0) + g00(k · q)],

= 4a

[

2E2 − 2Eq0 +q2µ

2

]

. (K.3)

L22 = 4a[2k2k2 − 2k2q2 − (−1)(k · q)],

= 4a

[

2|k|2 sin2 θ cos2 ϕ +q2µ

2

]

,

= 4a

[

|k|2 − |k|2 cos2 θ +q2µ

2

]

,

= 4a

[

E2 − E2 q20

|q|2 + Eq0

q2µ

|q|2 − 1

4

q4µ

|q|2 +q2µ

2

]

. (K.4)

51

Dengan demikian

Lµνν ΠImV

µν = −4aq2µ

|q|2[

2E(E − q0) +q2µ

2

]

(ΠL + ΠT )

− 4aq2µΠT . (K.5)

K.2 Bagian Vektor-Aksial

Untuk bagian vektor-aksial

Lµνν ΠIm(V−A)

µν =(

L23 − L32)

ΠV−A23 , (K.6)

dengan menggunakan tensor neutrino untuk interferensi akan diperoleh

L23 = 4a[2k2k3 − (k2q3 + k3q2) + g23(k · q) − iεα2β3kαk′

β],

= 4a[2k2k3 − iεα2β3kαk′

β],

L32 = 4a[2k3k2 − iεα3β2kαk′

β],

sehingga

Lµνν ΠIm(V−A)

µν = 4a[

2k2k3 − iεα2β3kαk′

β − (2k3k2 − iεα3β2kαk′

β)]

ΠV −A23 ,

= 4a[

−iεα2β3kαk′

β + iεα3β2kαk′

β

]

iεµνα0qαΠV A

= −8aε23αβε23σρkαk′

βqσΠσV A,

= −8a(

gασgβ

ρ − gαρ gβ

σ

)

k′

βqσΠσV A,

= −8a(

kσqσk′

ρΠσV A − kρk

′

σqσΠρ

V A

)

,

= −8a(

q0k · q − Eq2µ

)

ΠV A,

= 8a

[

q0

(

q2µ

2

)

− Eq2µ

]

ΠV A. (K.7)

Sehingga

Lµνν ΠIm(V−A)

µν = −4aq2µ(2E − q0)ΠV A. (K.8)

K.3 Total Kontraksi Interferensi

Dengan mensubstitusikan persamaan (K.5) dan (K.8) ke persamaan (K.1) dipe-

roleh

Lµνν ΠIm(INT)

µν = −4q2µa (AINT R1 + R2 + BINT R3) , (K.9)

52

dengan

RINT1 = CV (ΠL + ΠT ),

RINT2 = CV ΠT ,

RINT3 = CAΠV A,

AINT = AW =2E(E − q0) + 1

2q2µ

|q|2 ,

BINT = BW = 2E − q0,

a = fmν + g1ν .

53

Daftar Acuan

[1] http://wwwlapp.in2p3.fr/neutrinos/anhistory.html (1999).

[2] C.J. Horowitz and K. Wehrberger, Phys. Rev. Lett. 66, 272 (1991).

[3] D.Z. Freedman, D.N. Schramm, and D.L Tubbs, Ann. rev. Nucl. Sci. 2 7,

167 (1997).

[4] A. Burrows and J.M. Latimer. Astrophys. J307, 178 (1986).

[5] S.W. Bruenn, Astrophys. J. Suppl. Ser. 58, 771 (1985).

[6] E.S. Myra and S.A. Bludman, Astrophysics. J340, 384 (1989).

[7] C.J Horowitz and K. Wehrberger, Phys. Lett. B226, 236 (1992).

[8] C.J Horowitz and K. Wehrberger, Nucl. Phys. A531, 665 (1991).

[9] S. Reddy, M. Prakash, J.M. Lattimer, Phys. Rev. D58, 13009 (1998).

[10] S. Reddy, M. Prakash, J.M. Lattimer, J.A. Pons, Phys. Rev. C59, 2888

(1999).

[11] R. Niembro, P. Bernados, M. Lopez-Quele, S. Marcos, Phys. Rev. C64,

055802 (2001).

[12] P. Vogel and J. Engel, Phys. Rev. D39, 3378 (1989).

[13] W.J. Marciano and Z. Parsa, Annu. Rev. Nucl. Part. Sci. 36, 171 (1986).

[14] A.M. Mourao, J. Pulido, J.P. Ralston, Phys. Lett. B 285, 364 (1992).

[15] R.C. Allen, et. Al. Phys. Rev. D43, 1 (1991).

54

[16] J.N. Bahcall and H. Bethe, Phys. Rev. Lett. 65, 2233 (1990).

[17] L. Wolfenstein, Phys. Rev. D17, 2369 (1978); L. Wolfstein, Phys. Rev. D20,

2365 (1979).

[18] B.K. Kerimov, M. Ya Safin and H. Nazih, Izvestiya Akademi Nauk USSR.

Fiz. 52, 136 (1998).

[19] F. Halzen, A.D. Martin, Quarks and Leptons; an Introductory Course in

Modern Particle Physics (John Wiley, New York, 1984).

[20] S.A. Chin, Ann. Phys. (N.Y.) 108, 301 (1977).

[21] K. Lim and C.J. Horowitz, Nucl. Phys. A501, 729 (1989).

[22] M. Prakash, J.M. Lattimer, R.F. Sawyer and R.R. Volkas, Astro-ph/0103095

v1 (2001).

[23] H. Kim, J. Piekarewicz, C.J. Horowitz, nucl-th/9412017 v1 (1994).

[24] Enrico Nardi,in Particles and Field hep-ph/0212266 v1, (2002).

[25] M.B. Voloshin, M.I. Vysotskii, and L.B. Okun, Zh, Eksp. Teor. Fiz. 91, 754

(1986) [Sov. Phys. JETP 64, 446 (1986)].

[26] G.’t Hooft, Physics Letter, Vol. 37B, No.2 (1971).

[27] H.P. Simanjuntak and A. Sulaksono, Mod. Phys. Lett. 9A, 2179 (1994); A.

Sulaksono and H.P. Simanjuntak, Solar Physics, 151, 205 (1994).

[28] J. Morgan, Phys. Lett. B102, 247 (1981); M. Fukugita and S. Yazaki, Phys.

Re. D36, 3817 (1987).

[29] J. Bernstein et al. Phys. Rev. 132, 1227 (1963); P. Sutherland et al. Phys.

Rev. D37, 3817 (1987).

[30] J.M. Lattimer and J. Cooperstein, Phys. Rev. Lett. 61, 23 (1988).

[31] R. Barbieri and R.N. Mohapatra, Phys. Rev. Lett. 61, 27 (1988).

[32] D. Notzold, Phys. Rev. D38, 1658 (1988).

55