Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 117

2. 15. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen atau fungsi logaritma.

Fungsi Eksponen atau Logaritma

Fungsi Eksponen Fungsi Logaritma

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 saling invers 𝑔(𝑥) = 𝑎 log 𝑥

Syarat Fungsi Eksponen Syarat Fungsi Logaritma 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 𝑥 bebas berapapun boleh 𝑥 > 0

Perhatikan syarat fungsi

Sifat Fungsi Eksponen Sifat Fungsi Logaritma Definit positif, untuk berapapun nilai 𝑥 Logaritma terdefinisi apabila 𝑥 > 0 𝑓(𝑥) selalu positif (grafik di atas sumbu X) (grafik selalu di sebelah kanan sumbu Y)

𝒂𝟎 = 𝟏 ⇒ memotong sumbu Y di titik (0, 1) 𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝟏 = 𝟎 ⇒ memotong sumbu X di titik (1, 0)

Tidak pernah memotong sumbu X, Tidak pernah memotong sumbu Y, memiliki asimtot datar sumbu X (𝑦 = 0) memiliki asimtot tegak sumbu Y (𝑥 = 0)

Grafik Fungsi Logaritma Grafik Fungsi Eksponen 𝒂 > 0 𝟎 < 𝒂 < 1 𝒂 > 0 𝟎 < 𝒂 < 1 “monoton naik” “monoton turun” “monoton naik” “monoton turun”

(0, 1)

X

Y

O

(0, 1) X

Y

O (0, 1)

X

Y

O

(0, 1) X

Y

O

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

𝑔(𝑥) = 𝑎 log 𝑥

𝑔(𝑥) = 𝑎 log 𝑥

Halaman 118 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT menentukan persamaan fungsi jika diketahui grafik fungsinya. Lihat Grafik Cek Jenis Grafik Fungsi Fungsi Logaritma Fungsi Eksponen Perhatikan transformasi apa yang terjadi pada fungsi Logaritma atau Eksponen Selesai Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang grafik fungsi eksponen atau logaritma, mutlak kita harus paham tentang sifat dan aturan eksponen atau logaritma. Hal lain yang tidak kalah pentingnya adalah mengingat bagaimana transformasi yang terjadi pada sebuah fungsi. Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah fungsi logaritma atau fungsi eksponen, maka transformasi yang terjadi pada grafik antara lain sebagai berikut:

𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑘), grafik digeser 𝑘 satuan ke arah kanan. 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑘), grafik digeser 𝑘 satuan ke arah kiri. Transformasi sumbu X sifatnya berlawanan.

𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥), grafik didilatasi dengan faktor 1

𝑘.

𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑘, grafik digeser 𝑘 satuan ke arah atas. 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑘, grafik digeser 𝑘 satuan ke arah bawah. Transformasi sumbu Y sifatnya bersesuaian. 𝑦 = 𝑘 𝑓(𝑥), grafik didilatasi sebesar faktor 𝑘.

𝑦 = 𝑓(−𝑥), grafik dicerminkan terhadap sumbu X. 𝑦 = −𝑓(𝑥), grafik dicerminkan terhadap sumbu X.

LOGIKA PRAKTIS mengingat transformasi yang terjadi pada grafik fungsi. Apabila variabel 𝑥 yang diubah-ubah, maka sifatnya berlawanan dengan yang seharusnya. Contoh:

𝑦 = 2𝑥+3, artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 digeser ke kiri sebesar 3 satuan. 𝑦 = 23𝑥, artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 diciutkan 3 kali lipat dari semula.

Apabila variabel 𝑦 atau fungsinya 𝑓(𝑥) yang diubah-ubah, maka sifatnya bersesuaian dengan yang seharusnya. Contoh:

𝑦 = 2𝑥 + 3, artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 digeser ke atas sebesar 3 satuan. 𝑦 = 3(2𝑥), artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 direnggangkan 3 kali lipat dari semula.

Apabila variabel 𝑥 maupun 𝑦 atau 𝑓(𝑥) dikalikan dengan negatif. Maka harus dicerminkan.

𝑦 = 2−𝑥, artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 dicerminkan terhadap sumbu X 𝑦 = −(2𝑥), artinya grafik 𝑦 = 2𝑥 dicerminkan terhadap sumbu Y.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 119

Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan persamaan dari grafik fungsi eksponen. Contoh Soal 1: Fungsi eksponen yang sesuai dengan grafik di samping adalah ….

a. 𝑦 = 3−𝑥 − 1

b. 𝑦 =13

𝑥−1

c. 𝑦 =13

𝑥+1

d. 𝑦 =13

𝑥

+ 1

e. 𝑦 =13

𝑥

− 1

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep grafik fungsi eksponen diperoleh persamaan umum grafik fungsi eksponen:

𝑦 = 𝑎𝑥

Grafik melalui titik (0, 0), sehingga diperoleh: 0 = 𝑎0

Dengan memandang sifat logaritma 𝑎0 ≠ 0, jelas bahwa grafik tersebut mengalami transformasi pada sumbu Y, sehingga persamaan umum grafik fungsi eksponen menjadi:

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝐵 Grafik melalui titik (0, 0), sehingga diperoleh:

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝐵 ⇒ 0 = 𝑎0 + 𝐵⇔ 0 = 1 + 𝐵⇔ 𝐵 = −1

Sehingga, persamaan grafiknya sekarang adalah 𝑦 = 𝑎𝑥 − 1. Uji titik yang lain untuk menemukan nilai 𝑎.

Grafik melalui titik (−1, 2), sehingga diperoleh:

𝑦 = 𝑎𝑥 − 1 ⇒ 2 = 𝑎−1 − 1

⇔ 2 =1

𝑎− 1

⇔ 2 + 1 =1

𝑎

⇔ 3 =1

𝑎

⇔ 𝑎 =1

3

Jadi, persamaan grafiknya adalah 𝑦 =13

𝑥

− 1.

2

−1 X

Y

O

Halaman 120 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Perhatikan grafik eksponen monoton turun berarti 0 < 𝑎 < 1.

Coba perhatikan jawaban pada soal, pilih jawaban yang menggunakan bilangan pokok 1

3.

Artinya 1

3 pangkat berapa gitu…

Jadi jawaban A jelas tidak tepat.

Nah, sekarang ingat grafik dari 𝑦 =1

3

𝑥 adalah sebagai berikut:

Jadi, grafik pada soal tersebut adalah hasil pergeseran dari grafik 𝑦 =1

3

𝑥 ke bawah

sejauh 1 satuan di sumbu Y, artinya variabel 𝑦 atau 𝑓(𝑥) harus dikurangi 1.

Jadi, persamaan grafik pada soal adalah 𝑦 =1

3

𝑥− 1.

Selesai!!

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS:

Grafik melewati titik (−1, 2), cek 𝑓(−1) = 2 pada semua opsi jawaban:

A. 𝑦 = 3−𝑥 − 1 ⇒ 𝑓(−1) = 3−1 − 1 ≠ 2

B. 𝑦 =13

𝑥−1

⇒ 𝑓(−1) =13

(−1)−1

= 9 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 2

C. 𝑦 =13

𝑥+1

⇒ 𝑓(−1) =13

(−1)+1

= 1 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 2

D. 𝑦 =13

𝑥

+ 1 ⇒ 𝑓(−1) =13

(−1)

+ 1 = 4 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 2

E. 𝑦 =13

𝑥

− 1 ⇒ 𝑓(−1) =13

−1

− 1 = 3 − 1 = 2 (Jadi inilah jawaban yang benar!)

3

−1 X

Y

O

(1, 0)

𝑦 =1

3

𝑥

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 121

Menentukan persamaan dari grafik fungsi logaritma. Contoh Soal 1: Fungsi logaritma yang sesuai dengan grafik di samping adalah …. a. 𝑦 = 3 log 2𝑥 b. 𝑦 = 3 log(𝑥 − 2) c. 𝑦 = 3 log(𝑥 + 2) d. 𝑦 = 3 log 𝑥 − 2 e. 𝑦 = 3 log 𝑥 + 2

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep grafik fungsi logaritma diperoleh persamaan umum grafik fungsi logaritma:

𝑦 = 𝑎 log 𝑥

Grafik melalui titik (−1, 0), sehingga diperoleh: 0 = 𝑎 log(−1)

Dengan memandang sifat logaritma 𝑎 log 1 = 0, jelas bahwa grafik tersebut mengalami transformasi pada sumbu X, sehingga persamaan umum grafik fungsi logaritma menjadi:

𝑦 = 𝑎 log(𝑥 + 𝐴) Grafik melalui titik (−1, 0), sehingga diperoleh:

0 = 𝑎 log(−1 + 𝐴) ⇒ 𝑎0 = −1 + 𝐴⇔ 1 = −1 + 𝐴⇔ 1 + 1 = 𝐴⇔ 2 = 𝐴⇔ 𝐴 = 2

Sehingga persamaan grafiknya sekarang adalah 𝑦 = 𝑎 log(𝑥 + 2). Uji titik yang lain untuk menemukan nilai 𝑎. Grafik melalui titik (1, 1), sehingga diperoleh:

1 = 𝑎 log(1 + 2) ⇒ 𝑎 log 3 = 1

⇔ 𝑎1 = 3⇔ 𝑎 = 3

Jadi, persamaan grafiknya adalah 𝑦 = 3 log(𝑥 + 2). Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Grafik logaritma monoton naik, berarti 𝑎 > 1. Dan ternyata tepat, nilai 𝑎 lebih dari 1. Coba perhatikan jawaban pada soal, semua menggunakan bilangan pokok 3. Artinya semuanya 3 log(𝑏𝑒𝑟𝑎𝑝𝑎 𝑔𝑖𝑡𝑢) Nah, sekarang ingat grafik dari 𝑦 = 3 log 𝑥 adalah sebagai berikut:

Jadi, grafik pada soal di atas adalah hasil pergeseran dari grafik 𝑦 = 3 log 𝑥 ke kiri sejauh 2 satuan di sumbu X, artinya variabel 𝑥 harus ditambah 2.

Jadi, persamaan grafik pada soal adalah 𝑦 = 3 log(𝑥 + 2). Selesai!!

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS:

Grafik melewati titik (1, 1), cek 𝑓(1) = 1 pada semua opsi jawaban:

A. 𝑓(𝑥) = 3 log 2𝑥 ⇒ 𝑓(1) = 3 log 2 ≠ 1 B. 𝑓(𝑥) = 3 log(𝑥 − 2) ⇒ 𝑓(1) =3 log(−1) ≠ 1 C. 𝑓(𝑥) = 3 log(𝑥 + 2) ⇒ 𝑓(1) =3 log 3 = 1 (Jadi inilah jawaban yang benar!) D. 𝑓(𝑥) = 3 log 𝑥 − 2 ⇒ 𝑓(1) =3 log 1 − 2 ≠ 1 E. 𝑓(𝑥) = 3 log 𝑥 + 2 ⇒ 𝑓(1) =3 log 1 + 2 ≠ 1

(−1, 0) 1

1 7

2

X O

1

3 9

2

X

Y

O 1

Y

𝑦 = 3 log 𝑥

Halaman 122 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah ....

A. 12)( xxf

B. 12)( xxf

C. xxf log)( 2

D. )1log()( 2 xxf

E. 22)( xxf

2. Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah ....

A. xxf 3)(

B. 13)( xxf

C. 13)( xxf

D. 13)( xxf

E. 13)( xxf

3. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah ....

A. xxf 2)(

B. 12)( xxf

C. 223)( xxf

D. 13)( xxf

E. 23)( xxf

4. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah ....

A. xxf 2)(

B. 12)( xxf

C. 12)( xxf

D. 13)( xxf

E. xxf 3)(

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu Y untuk grafik 𝑦 = 2𝑥 Jadi grafik tersebut adalah 𝑦 =2𝑥 − 1

TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu Y untuk grafik 𝑦 = 3𝑥 Jadi grafik tersebut adalah 𝑦 = 3𝑥 + 1

TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu X untuk grafik 𝑦 = 3𝑥 Jadi grafik tersebut adalah 𝑦 = 3𝑥−2

TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu Y untuk grafik 𝑦 = 2𝑥 Jadi grafik tersebut adalah 𝑦 = 2𝑥 + 1

Y

X -1 0 1 2 3

3

2

1

(0, 2)

(1, 3)

y

Y

xX 2 3

3

1

Y

X -3 -2 -1 0 1 2 3

4

2

10

Y

X 1 2 3

3

2

1

-3

-2

-1

(2, 3)

(1, 1)

(-1, -2

1)

2

1