skripsi estimasi parameter distribusi weibull 2 …eprints.unram.ac.id/8454/1/skripsi julistria...

SKRIPSI

ESTIMASI PARAMETER

DISTRIBUSI WEIBULL 2 PARAMETER MENGGUNAKAN

METODE LINEARISASI (METODE DERET TAYLOR)

JULISTRIA PUTRI

G1D011014

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS MATARAM

2015

i

SKRIPSI

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL 2 PARAMETER MENGGUNAKAN


THE ESTIMATION OF 2 PARAMETER WEIBULL DISTRIBUTION PARAMETER

USING LINEARIZATION METHOD (TAYLOR SERIES METHOD)

Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh

gelar Sarjana Sains dalam Ilmu Matematika

JULISTRIA PUTRI

G1D011014

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS MATARAM

2015

ii

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa didalam skripsi ini tidak terdapat

karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu

perguruan tinggi dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau

pendapat yang pernah dituliskan atau dipublikasikan oleh orang lain, kecuali yang

secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.

Mataram, Maret 2015

Julistria Putri

iii

HALAMAN PENGESAHAN

SKRIPSI

ESTIMASI PARAMETER

DISTRIBUSI WEIBULL 2 PARAMETER MENGGUNAKAN


Julistria Putri

G1D011014

Telah dipertahankan di depan Tim Komisi Penguji

pada tanggal 7 April 2015

Susunan

KOMISI PENGUJI

1. Mustika Hadijati, M.Si.

(Pembimbing I)

2. Desy Komalasari, M.Si.

(Pembimbing II)

3. Lailia Awalushaumi, M.Si.

(Penguji)

Mengesahkan,

Dekan FMIPA Universitas Mataram,

Prof. Ir. I Made Sudarma, M. Sc., Ph. D. NIP. 19600606 198503 1 032

a.n Ketua Program Studi Matematika,

Sekretaris

Mamika Ujianita Romdhini, M.Si. NIP. 19820710 200501 2 001

iv

PRAKATA

Segala puja dan puji bagi Allah SWT yang telah memberikan limpahan

rahmat, hidayah, dan kasih sayang-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi dengan judul Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter

Menggunakan Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor). Dalam kesempatan

ini, penulis juga banyak mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang

telah membantu dalam pengerjaan skripsi ini, yaitu kepada :

1. Kedua orang tua tercinta, atas kegigihan, perjuangan, air mata dalam doa, dan

kasih sayangnya selama ini.

2. Prof. Ir. I Made Sudarma, M.Sc., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas

Mataram yang telah memberikan kesempatan untuk melaksanakan skripsi ini.

3. Mamika Ujianita Romdhini, M.Si., selaku Sekretaris Program Studi

Matematika FMIPA Universitas Mataram.

4. Mustika Hadijati, M.Si, selaku Dosen Pembimbing I, yang telah meluangkan

banyak waktunya untuk memberikan bimbingan, arahan, dan bantuan tak

terhingga kepada penulis, sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

5. Desy Komalasari, M.Si., selaku Dosen Pembimbing II, atas keikhlasan

mengarahkan dan membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini dari awal

hingga akhir.

6. Lailia Awalushaumi, M.Si., selaku Dosen Penguji atas kesediaannya menguji

tugas akhir ini dan selaku Dosen Pembimbing Akademik, atas motivasi dan

dukungan untuk melaksanakan skripsi ini.

7. Para dosen dan staf tata usaha di Program Studi Matematika, atas ilmu dan

bantuannya. Semoga jasa bapak dan ibu tercatat sebagai amal dan pahala di

sisi-Nya

8. Keluarga tercinta, Ibu Sudirah, Sulung Fahrial, Fariz Ragil Ananda, Devi, atas

canda tawa, doa serta dukungan dan kasih sayang tak terhingga selama

penyelesaian skripsi ini.

v

9. Sahabat pejuang skripsi My Cebong (Jannah, Asmita, Fauziah, Indi, Aya’,

Uyung, Qori’, Puji) dan seluruh teman-teman math’11 unyu’ yang telah

banyak membantu dan selalu mendukung serta memberikan nasehat.

10. Buat Dinda Family dan Rajib Maulana, atas bantuan dan dukungannya.

11. Buat seluruh GAMATIKA FMIPA Universitas Mataram yang selalu memberi

semangat dan motivasi.

12. Semua pihak yang membantu dan memberikan dukungan dalam proses

penyelesaian tugas akhir ini.

Penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi

kesempurnaan skripsi ini. Semoga bantuan dan bimbingan yang telah diberikan

kepada penulis selama penyelesaian skripsi ini mendapat balasan setimpal dari

Allah SWT dan dapat memberi manfaat bagi pembacanya. Amin.

Mataram, Maret 2015

Penulis

Julistria Putri

vi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................... i

PERNYATAAN .......................................................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ..................................................................... iii

PRAKATA .................................................................................................. iv

DAFTAR ISI ............................................................................................... vi

DAFTAR GAMBAR ................................................................................... viii

DAFTAR TABEL ....................................................................................... ix

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................... x

INTI SARI ................................................................................................... xi

ABSTRACT ................................................................................................ xii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ...................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah .................................................................. 2

1.3 Tujuan Penelitian ................................................................... 2

1.4 Manfaat Penelitian ................................................................. 3

1.5 Batasan Masalah .................................................................... 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Analisis Regresi ..................................................................... 4

2.2 Regresi Nonlinear .................................................................. 4

2.3 Metode Kuadrat Terkecil dalam Kasus Nonliear .................... 5

2.4 Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor) ............................. 6

2.5 Asumsi Regresi Nonlinear ..................................................... 8

2.6 Distribusi Weibull .................................................................. 10

2.6.1 Uji Mann untuk Distribusi Weibull ............................... 10

2.7 Matriks .................................................................................. 11

vii

BAB III METODE PENELITIAN

3.1 Alat ........................................................................................ 13

3.2 Sumber Data dan Variabel Penelitian ..................................... 13

3.3 Langkah-Langkah Penelitian .................................................. 13 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Metode Kuadrat Terkecil Nonlinear ....................................... 17

4.2 Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor) ............................. 20

4.3 Aplikasi pada Data ................................................................. 21

4.3.1 Uji Distribusi Data ........................................................ 22

4.3.2 Penentuan Nilai Dugaan Parameter Awal ..................... 22

4.3.3 Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter dengan

Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor) ................... 24

4.3.4 Perhitungan Mean dan Variansi .................................... 40

4.4 Interpretasi Model Regresi Nonlinear ..................................... 41 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan ............................................................................ 43

5.2 Saran ...................................................................................... 44

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................. 45 LAMPIRAN-LAMPIRAN

viii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 3.1 Bagan langkah-langkah penelitian. 14

Gambar 3.2 Bagan aplikasi data pada proses estimasi dengan metode

linearisasi (metode deret Taylor). 15

Gambar 4.1 Plot ACF error. 37

Gambar 4.2 Plot kenormalan error. 38

Gambar 4.3 Plot pencaran titik nilai variabel independen dengan

nilai error. 39

Gambar 4.4 Grafik data kecepatan angin terbesar terhadap peluang

Weibull. 42

ix

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 4.1 Ringkasan hasil iterasi. 34

Tabel 4.2 Ringkasan hasil iterasi menggunakan SAS 9. 35

Tabel 4.3 Analisis Varian (ANOVA). 35

Tabel 4.4 Uji t. 39

x

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 : Data kecepatan angin terbesar perbulan di wilayah Nusa Tenggara

Barat tahun 2009-2014.

Lampiran 2 : Perhitungan uji Mann untuk kecepatan angin.

Lampiran 3 : Perhitungan pendugaan nilai awal parameter.

Lampiran 4 : Hasil estimasi parameter menggunakan program SAS 9.

Lampiran 5 : Pemeriksaan asumsi regresi nonlinear.

Lampiran 6 : Perhitungan peluang kumulatif data kecepatan angin.

xi

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL 2 PARAMETER MENGGUNAKAN METODE LINEARISASI

(METODE DERET TAYLOR)

JULISTRIA PUTRI

INTISARI

Estimasi parameter adalah sebuah prosedur untuk mencari parameter dari sebuah model yang paling cocok pada suatu data pengamatan yang ada. Dalam mengestimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter, probability density function (pdf) dapat dilihat sebagai suatu model persamaan regresi dengan bentuk persamaan nonlinear, sehingga estimasi parameter distribusi sama artinya dengan estimasi parameter regresi nonlinear. Metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter model regresi nonlinear adalah metode linearisasi (metode deret Taylor). Tujuan penelitian ini adalah melakukan estimasi dan menerapkannya dalam memodelkan data kecepatan angin terbesar per bulan di wilayah NTB. Berdasarkan hasil analisis yang telah dilakukan, estimasi parameter regresi nonlinear menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor) diperoleh nilai

parameter �� = 4.4779 dan �� = 17.7524 dengan nilai MSE = 0.00269 dan �� = 0.99216 . Didapatkan model dengan persamaan regresi nonlinear sebagai berikut

�� =4.4779

17.7524�.��

�.�� −��

17.7524��.��

�

Kata Kunci : Estimasi parameter, distribusi Weibull 2 parameter, regresi

nonlinear, metode linearisasi (detode deret Taylor).

xii

THE ESTIMATION OF 2 PARAMETER WEIBULL DISTRIBUTION PARAMETER

USING LINEARIZATION METHOD (TAYLOR SERIES METHOD)

JULISTRIA PUTRI

ABSTRACT

Parameter estimation is a procedure to find the parameters of a model that is best suited to an existing observational data. In estimating parameters the Weibull distribution 2 parameters, probability density function (pdf) an be seen as a regression model with the form of nonlinear equations, so the distribution parameter estimation synonymous with nonlinear regression parameter estimates. The method used to estimate the parameters of nonlinear regression model is a method of linearization (Taylor series method). The purpose of this study was to estimate and implement them in modeling largest wind speed data per month in NTB. Based on analysis result that have been done, a nonlinear regression parameter estimation using linearization method (Taylor series method) obtained

value of the parameter �� = 4.4779 and �� = 17.7524 with MSE = 0.00269 and �� = 0.99216. Obtained models with nonlinear regression equation as follows

�� =4.4779

17.7524�.��

�.�� −��

17.7524��.��

�

Keywords: Parameter estimation, 2 parameter Weibull distribution, nonlinear

regression, linearization method (Taylor series method).

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Estimasi parameter adalah sebuah prosedur untuk mencari parameter dari

sebuah model yang paling cocok pada suatu data pengamatan yang ada. Masalah

estimasi menjadi hal yang penting yang dikaji dalam suatu distribusi tertentu.

Dalam statistika, distribusi probabilitas dapat dibagi dalam dua jenis

distribusi, yaitu distribusi variabel acak kontinu dan distribusi variabel acak

diskrit. Salah satu distribusi variabel acak kontinu adalah distribusi Weibull 2

parameter yang merupakan pengembangan dari dua distribusi yaitu distribusi

Rayleigh dan distribusi Eksponensial. Distribusi Weibull 2 parameter ini banyak

digunakan dalam merepresentasikan kecepatan dan distribusi angin, dimana angin

sebagai sumber energi yang tidak dapat dikendalikan keberadaannya dan memiliki

fluktuasi yang dapat didekati dengan pendekatan probabilistik. Selain itu juga

karena cakupannya yang begitu luas dalam keserbagunaan, fleksibilitas dan

kemanfaatannya dalam menggambarkan variasi kecepatan angin (Olaofe, 2012).

Distribusi lain yang mempunyai aplikasi yang sama dalam merepresentasikan data

kecepatan angin adalah distribusi Rayleigh, distribusi Eksponensial, distribusi

Gamma, distribusi Lognormal dan distribusi Gaussian.

Penggunaannya yang sangat luas dalam studi energi angin dan

pendekatannya yang dianggap cocok untuk memodelkan kecepatan angin menjadi

hal yang penting dalam mengkaji distribusi Weibull 2 parameter ini, yaitu dalam

mengkaji masalah estimasi parameternya. Probability density function (pdf) yang

merupakan suatu fungsi yang menyatakan nilai kemungkinan terjadinya kejadian

tertentu, dapat dilihat sebagai suatu model regresi sehingga estimasi parameter

distribusi sama artinya dengan estimasi parameter regresi. Probability density

function (pdf) distribusi Weibull 2 parameter merupakan persamaan nonlinear,

maka model regresinya adalah model regresi nonlinear.

2

Dalam mengestimasi parameter model regresi nonlinear, salah satu metode

yang biasa digunakan adalah kuadrat terkecil nonlinear. Metode kuadrat terkecil

nonlinear merupakan metode kuadrat terkecil dalam kasus (intrinsik) nonlinear,

yang digunakan untuk menduga parameter model dengan cara meminimumkan

jumlah kuadrat sisaan. Secara konseptual metode kuadrat terkecil nonlinear sama

dengan metode kuadrat terkecil pada model regresi linear, namun pada

kenyataannya metode kuadrat terkecil nonlinear tidak mudah untuk dapat

dikerjakan secara analitik, maka diperlukan metode untuk mengestimasi

parameter model regresi nonlinear yaitu salah satunya adalah metode linearisasi

(metode deret Taylor).

Berdasarkan uraian di atas, maka dalam penelitian ini dilakukan suatu

kajian mengenai estimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter dengan

metode linearisasi (metode deret Taylor) dan memodelkan data kecepatan angin

terbesar per bulan di Nusa Tenggara Barat.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang penelitian maka dapat dirumuskan

masalah sebagai berikut:

1. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter

dengan menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor)?

2. Bagaimana penerapannya dalam memodelkan data kecepatan angin

terbesar per bulan di Nusa Tenggara Barat yang berdistribusi Weibull 2

parameter?

1.3 Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, penelitian ini memiliki tujuan

sebagai berikut:

1. Mengestimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter dengan

menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor).

3

2. Menerapkannya dalam memodelkan data kecepatan angin terbesar per

bulan di Nusa Tenggara Barat yang berdistribusi Weibull 2 parameter.

1.4 Manfaat

Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat untuk menambah

wawasan tentang regresi nonlinear khususnya dalam mengestimasi parameter

distribusi Weibull 2 parameter dengan menggunakan metode linearisasi (metode

deret Taylor) dan menambah referensi apabila ingin mengembangkan ilmu

regresi.

1.5 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah dalam penelitian ini adalah estimasi parameter

menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor) yang dibatasi sampai

turunan pertama.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Analisis Regresi

Analisis regresi adalah teknik analisis yang mencoba menjelaskan bentuk

hubungan antara variabel-variabel yang mendukung sebab akibat. Prosedur

analisisnya didasarkan atas distribusi probabilitas bersama variabel-variabelnya.

Secara umum, dapat dikatakan bahwa analisis regresi berkenaan dengan

mempelajari ketergantungan suatu variabel, yaitu variabel tak bebas (dependent

variable) pada satu atau lebih variabel yang lain, yaitu variabel bebas

(independent variable) dengan maksud menduga dan atau meramalkan nilai rata-

rata hitung (mean) atau rata-rata (populasi) dari variabel tak bebas (Firdaus,

2004).

Tujuan utama dari analisis regresi adalah mendapatkan dugaan

(estimation) dari suatu variabel dengan menggunakan variabel lain yang

diketahui. Analisis regresi dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu regresi linear

dan regresi nonlinear. Namun yang dibahas dalam penelitian ini adalah regresi

nonlinear.

2.2 Regresi Nonlinear

Regresi nonlinear mengandung parameter yang bersifat nonlinear, dimana

turunan persamaan terhadap salah satu parameter adalah fungsi dari parameter

lain (masih mengandung parameter itu sendiri). Model regresi nonlinear

merupakan bentuk hubungan antara variabel tak bebas (dependent variable)

dengan variabel bebas (independent variable) yang tidak linear dalam parameter.

Secara umum model nonlinear ditulis sebagai berikut:

� = �(�; �) + � (2.1)

dengan � adalah fungsi ekspektasi, � adalah variabel bebas dan � adalah

parameter (Bates dan Watts, 1988).

5

2.3 Metode Kuadrat Terkecil dalam Kasus Nonlinear

Model nonlinear yang dipostulat dengan bentuk:

� = �(�; �) + � (2.2)

dengan asumsi �(�) = 0, ��(�) = �� dan �~� (0, ��) maka jumlah kuadrat sisa

untuk model nonlinear di atas didefinisikan sebagai berikut:

�(�) = ∑ {� − �(�; �)}�� (2.3)

(Gallant, 1987).

Bila terdapat sebanyak n amatan data, maka persamaan (2.2) menjadi

�� = ��, ��, … , ��; ��, ��, … , �� + �� (2.4)

untuk � = 1,2, … , � dapat dituliskan dalam bentuk alternatifnya

�� = �(��; �) + �� (2.5)

dengan �� adalah galat ke � = 1,2, … , � dengan asumsi kenormalan galat dapat

dituliskan sebagai � ∼ � (�, ��).

� = �

��⋮��

� ∼ � (�, ��)

(Karim, 2009).

Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi � akan dilambangkan dengan ��. Nilai

dugaan ini adalah nilai � yang meminimumkan �(�). Untuk mendapatkan nilai

dugaan kuadrat terkecil �� yaitu dengan mendiferensialkan persaman (2.3)

terhadap �, sehingga mempunyai bentuk

��(�)

��= ∑ (−2){�� − �(��; �)}�−

��(��;�)

��

�� (2.6)

6

∑ {�� − �(��; �)}��

��(��;�)

��

= 0 (2.7)

Persamaan (2.7) disebut persamaan normal untuk model nonlinear yang

merupakan hasil estimasi parameter (Draper dan Smith, 1992).

Model nonlinear seringkali tidak dapat diselesaikan secara analitik, maka

perlu dilakukan metode iterasi untuk menduga parameter di dalam suatu sistem

nonlinear.

Pada sebagian masalah nonlinear, cara yang sering dilakukan dan ternyata

berhasil adalah menuliskan persamaan normal secara terperinci dan

mengembangkan suatu teknik iteratif untuk memecahkannya bergantung pada

persamaan normalnya dan metode iterasi yang digunakan dalam memperoleh

taksiran parameter, diantaranya adalah metode linearisasi (metode deret Taylor),

metode turunan terjal (Stepest descent) dan metode jalan tengah Marquadrt

(Marquadrt’s compromise).

2.4 Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor)

Metode linearisasi menggunakan hasil dari kuadrat terkecil dalam

beberapa tahap. Misalkan model yang ditentukan berbentuk:

�� = �(��; �) + �� (2.8)

Dan ��, ��, … , �� adalah nilai-nilai awal bagi parameter-parameter ��, ��, … �� .

Nilai-nilai awal itu merupakan taksiran kasar atau mungkin pula nilai-nilai dugaan

awal berdasarkan informasi yang tersedia, misalnya perkiraan berdasarkan

informasi yang diperoleh dari perhitungan lain yang serupa atau yang

diperkirakan benar oleh peneliti berdasarkan pengalaman dan pengetahuannya.

Nilai-nilai awal itu diharapkan akan diperbaiki dalam proses iterasi (Draper dan

Smith, 1992).

7

Bentuk deret Taylor adalah sebagai berikut:

�(��) = �(��) + ��(��)(�� − ��) +��(��)

�!(�� − ��)

� + ⋯

+ �(�)(��)

�!(�� − ��)

� (2.9)

Bila dilakukan penguraian deret Taylor bagi �(�; �) disekitar titik �� =

(��, ��, … , ��) dan penguraian sampai turunan pertama, maka dapat dikatakan

bahwa bila � dekat pada �� maka :

�(��; �) = �(��; ��) + ∑ ��(��;�)

��

�� (��− ��) (2.10)

Bila ditetapkan

�� = �(��; �)

�� = �� − ��

�� = �

��(��;�)

��

Maka persamaan (2.10) dapat dituliskan sebagai berikut

�� − �� = ∑ ��

�� + ��

�� (2.11)

Persamaan (2.11) merupakan persamaan regresi linear. Oleh karena itu dapat

ditaksir parameter-parameter �� , � = 1,2, … � dengan cara menerapkan teori

kuadrat terkecil sebagai berikut

�� = ⟨�� ⟩=

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡��

� �� …

��

� …⋮��

⋮��

⋮��

⋮��

⋮⋯⋮⋯

��

��

⋮��

⋮�� ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(��)

(2.12)

8

�� = �� =

⎣⎢⎢⎡��

��

⋮��⎦⎥⎥⎤

=

⎣⎢⎢⎢⎡��

��

⋮��⎦⎥⎥⎥⎤

��

(2.13)

�� = ⟨� − ��⟩=

⎣⎢⎢⎢⎢⎡�� − ��

�

�� − ��

⋮�� − ��

�

⋮�� − ��

�⎦⎥⎥⎥⎥⎤

��

(2.14)

Maka taksiran bagi �� diberikan oleh �� = (��)

��(� − ��) dengan

demikian vektor �� akan meminimumkan jumlah kuadrat galat.

�(�) = ∑ �� − �(��, ��) − ∑ ��

��

�� (2.15)

(Karim, 2009).

Proses iteratif ini dilanjutkan terus sampai solusi yang diperoleh

konvergen, dengan kata lain sampai langkah iterasi � dan (� + 1) berlaku

��(��) − ��/��< �, � = 1,2, … , � (2.16)

Dimana � adalah suatu bilangan positif yang telah ditetapkan sebelumnya

(misalnya 0.000001). Pada setiap tahap prosedur iterasi, sebaiknya �(��) dihitung

untuk melihat apakah terjadi penurunan nilainya (Draper dan Smith, 1992).

2.5 Asumsi Regresi Nonlinear

Untuk melakukan analisis regresi linear maupun nonlinear yang benar

berdasarkan metode kuadrat terkecil, maka diperlukan asumsi-asumsi dasar yang

sering disebut dengan asumsi klasik yang harus dipenuhi diantaranya adalah:

9

1. Asumsi independen

Untuk menguji error independen yaitu dengan melihat plot ACF nya. Jika

nilai autokorelasi berada dalam batas selang kepercayaan dari korelasi

yang telah ditentukan yaitu �−�

√�,�

√��, maka korelasi bernilai 0 atau dapat

dikatakan tidak ada korelasi, jadi error independen (Bates dan Watts,

1988).

2. Asumsi kenormalan

Uji normalitas bertujuan untuk menguji apakah variabel error berdistribusi

normal atau tidak dalam model regresi tersebut. Pengujian normalitas data

dilakukan dengan menggunakan metode chart (normal P-Plot). Jika pada

grafik normal P-Plot data mengikuti garis lurus maka dapat dikatakan

berdistribusi normal (Gujarati, 1999).

3. Asumsi identik

Uji asumsi identik bertujuan untuk menguji adanya gejala

homoskedastisitas yaitu varian variabel error homogen, yang dilakukan

dengan cara mengamati scatter plot di mana sumbu horizontal

menggambarkan nilai variabel independen sedangkan sumbu vertikal

menggambarkan nilai error. Jika pada scatter plot membentuk pola

tertentu maka terjadi heteroskedastisitas pada model regresi yang

terbentuk. Sebaliknya jika pada scatter plot menyebar secara acak maka

tidak terjadi heteroskedastisitas atau memenuhi homoskedastisitas. Uji

heteroskedastisitas dapat juga dilakukan dengan uji Glejser yaitu dengan

meregresikan semua variabel independen terhadap nilai mutlak errornya.

Jika terdapat pengaruh variabel independen yang signifikan terhadap nilai

mutlak errornya maka dalam model terdapat masalah heterokedastisitas

(Suliyanto, 2011).

10

2.6 Distribusi Weibull

Distribusi Weibull telah secara luas digunakan untuk beberapa kejadian

acak. Prinsip utilitas distribusi Weibull adalah menghasilkan sebuah pendekatan

yang baik untuk hukum probabilitas dari beberapa variabel random (Hines dan

Montgomery, 1989).

Probability density function (pdf) yang merupakan suatu fungsi yang menyatakan

nilai kemungkinan terjadinya kejadian tertentu dari distribusi Weibull diberikan

sebagai:

�(�|�, �) =�

��− �

�

��

�; � ≥ 0, �, � > 0 (2.17)

Cumulative density function (cdf) yang menyatakan probabilitas terjadinya

kejadian sampai kejadian tertentu dari distribusi Weibull diberikan sebagai

berikut:

�(�|�, �) = ∫ �(�|�, �)��

�= 1 − ��− �

�

��

� (2.18)

(Rinne, 2009).

Misalkan X variabel acak berdistribusi Weibull dengan parameter � dan �, maka

�(�) = �Γ�1+�

�� (2.19)

�(�) = �� Γ�1 +�

�� − �Γ�1+

�

��

�

� (2.20)

(Hines dan Montgomery, 1989).

2.6.1 Uji Mann untuk Distribusi Weibull

Untuk menguji data berdistribusi Weibull, hipotesa dalam uji Mann

adalah: (Ebeling, 1997)

11

�� : Data berdistribusi Weibull.

�� : Data tidak berdistribusi Weibull.

Wilayah kritis untuk uji ini adalah terima �� apabila � < ��(�,��,��). Nilai F

ini diperoleh dari tabel distribusi F.

Uji statistik untuk uji Mann adalah

� =�� ∑ �

��

� ��

��

�� ∑ ��

� ��

��

(2.21)

Dimana �� =�

� dan �� =

��

�

�� = �� − ��

�� = ��− ��1 −��.�

��.��

Dengan keterangan sebagai berikut:

�� = Nilai pendekatan Mann untuk data ke-�

� = Banyaknya data

�� = Data ke-� (data kecepatan angin yang telah diurutkan dari yang

terkecil sampai dengan yang terbesar)

2.7 Matriks

Berikut adalah beberapa definisi terkait dengan matriks.

Definisi 2.1 (Anton dan Rorres, 2004). Sebuah matriks adalah susunan

segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan

tersebut dinamakan entri matriks. Matriks � berukuran � × � dituliskan sebagai

12

� = ��×�= �

�� ⋯ �� ⋯ ��⋮

��

⋮��

⋮ ⋮⋯ ��

� (2.22)

Entri �� disebut elemen matriks pada baris ke-� dan kolom ke- �. Jika � = �,

maka matriks tersebut dinamakan matriks bujur sangkar.

Definisi 2.2 (Anton, 2000). Jika � adalah sebarang matriks � × � , maka

transpos � , dinyatakan dengan �� , didefinisikan sebagai matriks � × � yang

didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari � yaitu, kolom pertama

dari �� adalah baris pertama dari �, kolom kedua dari �� adalah baris kedua

dari �, dan seterusnya.

Definisi 2.3 (Anton dan Rores, 2004). Diberikan � adalah matriks bujur

sangkar. Jika terdapat matriks � yang ukurannya sama sedemikian rupa sehingga

�� = �� = � , maka � disebut dapat dibalik (invertible or nonsingular) dan �

disebut sebagai invers (inverse) dari �.

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Alat

Alat yang digunakan dalam proses pengolahan data adalah software SAS 9

dan Minitab 16.

3.2 Sumber Data dan Variabel Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder, yaitu

data kecepatan angin terbesar per bulan di Nusa Tenggara Barat pada tahun 2009

sampai tahun 2014 yang didapatkan dari Badan Meteorologi Klimatologi dan

Geofisika (BMKG) Stasiun Klas I Kediri Nusa Tenggara Barat.

Adapun variabel yang digunakan dalam penelitian ini sebagai berikut t

adalah waktu (bulan) dan s adalah kecepatan angin terbesar per bulan (knot).

3.3 Langkah-Langkah Penelitian

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah

sebagai berikut:

14

Dari bagan yang tertera di atas, berikut diberikan penjelasan dari masing-masing

tahapan.

1. Persiapan

Pada tahap persiapan ini, dilakukan studi literatur yang memberikan informasi-

informasi yang dibutuhkan oleh peneliti sesuai dengan permasalahan yang

diangkat.

2. Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter dengan Metode Kuadrat

Terkecil Nonlinear

Pada tahap ini, dilakukan estimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter

dengan metode kuadrat terkecil nonlinear.

Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter

dengan Metode Kuadrat Terkecil Nonlinear

Kesimpulan

Persiapan

Gambar 3.1 Bagan Langkah-Langkah Penelitian

Interpretasi Model

Aplikasi pada Data

Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter

dengan Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor)

15

3. Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter dengan Metode Linearisasi

(metode Deret Taylor)

Pada tahap ini, dilakukan estimasi secara iterasi dengan penguraian deret

Taylor, sehingga didapatkan suatu model regresi nonlinear.

4. Aplikasi Pada Data

Berikut diberikan bagan dari aplikasi data pada proses estimasi parameter

dengan metode linearisasi (metode deret Taylor).

Gambar 3.2 Bagan Aplikasi Data pada Proses Estimasi dengan Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor).

Selesai

Penentuan Nilai Dugaan Parameter Awal

Mulai

Data

Iterasi dengan Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor)

Perhitungan Mean dan Varian

Uji Distribusi Data

Ya

Tidak

16

Berikut ini diberikan penjelasan pada bagan di atas:

a. Data yang digunakan adalah data kecepatan angin terbesar per bulan yaitu

pada Januari 2009 sampai September 2014 dengan jumlah � = 69.

b. Uji Distribusi Data

Pada tahap ini, data kecepatan angin terbesar yang diperoleh akan diuji

apakah mengikuti distribusi Weibull 2 parameter atau tidak. Uji yang

digunakan adalah uji Mann.

c. Penentuan Nilai Dugaan Parameter Awal

Prosedur pendugaan nonlinear membutuhkan nilai dugaan parameter awal.

d. Melakukan iterasi dengan metode linearisasi (metode deret Taylor) sampai

hasilnya konvergen. Apabila proses konvergensinya tercapai, estimasi

parameter dapat dimasukkan ke dalam model regresi nonlinear.

e. Perhitungan Mean dan Varian

Pada tahap ini dilakukan proses perhitungan mean dan varian dari model

yang didapat.

5. Interpretasi Model Regresi Nonlinear

Menginterpretasikan hasil analisis (model regresi nonlinear yag diperoleh).

6. Menarik Kesimpulan.

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Persamaan regresi nonlinear dengan bentuk

� = �(�; �) + �

memiliki nilai parameter yaitu � yang akan diestimasi. Pada bab ini dibahas

mengenai estimasi parameter regresi nonlinear menggunakan metode linearisasi

(metode deret Taylor) dengan menggunakan data kecepatan angin terbesar dan

diolah menggunakan software SAS 9.

4.1 Metode Kuadrat Terkecil Nonlinear

Estimasi parameter distribusi Weibull dapat diketahui dengan metode

kuadrat terkecil nonlinear. Untuk mencari nilai estimasi parameter, perlu diketahui

cumulative density function (cdf) Weibull.

Cumulative density function (cdf) dapat diketahui dari probability density

function (pdf) Weibull seperti pada persamaan (2.18)

�(�|�, �) =�

��− �

�

��

� (4.1)

�(�) =�

��− �

�

��

�

sehingga

�(�) = ∫ �(�)��

�

�(�) = ∫�

��− �

�

��

��

�

Misalkan � = ��

��

maka ��

��=

�(� �� )�

�� , jadi ��= ��

��

� sehingga

diperoleh

18

�(�) = ∫�

��

�exp(�) ��

�

�

�(�) = ∫ ��− ��

��

��

��

��

�

�(�) = ∫ exp(−�) ��

�

�(�) = 1 − ��

��

� (4.2)

Cumulative density function (cdf) Weibull yang merupakan fungsi

nonlinear dengan bentuk �(�) = 1 − ��− ��

��

� yang terdiri dari dua

parameter. Digunakan metode kuadrat terkecil untuk meminimumkan jumlah

kuadrat sisa dengan terlebih dahulu menaksir parameter pada model tersebut dan

selanjutnya menyelesaikan persamaan normalnya dengan metode linearisasi

(metode deret Taylor).

Model cumulative density function (cdf) tersebut akan dibentuk kedalam

model probability density function (pdf) sehingga menghasilkan persamaan

regresi nonlinear yaitu sebagai berikut:

�� =�

��

��− ��

��

� + ��

Prosedur estimasi parameter regresi nonlinear menggunakan metode kuadrat

terkecil dalam kasus nonlinear adalah sebagai berikut:

1. Membentuk sebuah fungsi �� dan ��

�� = �� ; ��, ��= ∑ ��

��

= ∑ �� − ��

��

= ∑ �� − �(�� ; ��, ��)��

�� (4.3)

2. Menentukan turunan dari �� terhadap �� dan ��, kemudian hasil turunannya

disamakan dengan nol

��

��= ∑ (−2)�� − �� ; ��, ��

�� ;��,��

��

��

19

∑ �� − �� ; ��, �� ;��,��

��

�� = 0 (4.4)

��

��= ∑ (−2)�� − �� ; ��, ��

�� ;��,��

��

��

∑ �� − �� ; ��, �� ;��,��

��

�� = 0 (4.5)

3. Menentukan turunan terhadap parameter �� dan ��

�� ;��,��

��= ��− �

��

��

��

��

��

�� (4.6)

�� ;��,��

��= − �

��

��

�� (4.7)

Dari persamaan (4.4) dan (4.5) didapat persamaan normal dari turunan di atas

yaitu sebagai berikut:

∑ �� − �

��

��

��

��

��

�� −

∑ �1 − ��

��

��− ��

��

��

��

��

�� = 0�

�� (4.8)

∑ ��

⎝

⎛ − ��

��

��

��

⎠

⎞ −

∑ �1 − ��

��

�

⎝

⎛ − ��

��

��

��

⎠

⎞ = 0�� (4.9)

Karena persamaan normal di atas tidak linear di dalam parameter �� dan ��

maka cara yang tepat untuk menyelesaikan persamaan normal di atas adalah

dengan menggunakan metode numerik untuk melakukan penaksiran secara iterasi.

Metode numerik yang sering dipakai untuk menyelesaikan permasalahan di dalam

penaksiran parameter model nonlinear adalah metode linearisasi (metode deret

Taylor).

20

4.2 Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor)

Estimasi parameter menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor)

mengharuskan untuk menentukan nilai awal bagi parameter karena berpengaruh

terhadap proses iterasi mencapai konvergen atau tidaknya, dan diharapkan akan

diperbaiki dalam proses iterasi.

Dilakukan penguraian deret Taylor bagi �� ; ��, �� disekitar nilai awal

�� dan ��. Penguraian deret Taylor dilakukan sampai turunan pertama fungsi

terhadap parameter-parameternya karena akan dihasilkan grafik berbentuk garis

lurus yang merupakan hasil dari penguraian deret Taylor turunan pertama suatu

persamaan regresi linear yang dihasilkan.

�� ;��, ��= �� ;��,��+ ∑ �� ;��,��

��(��− ��)�

�� ;��,��

��(��− ��)

�� (4.10)

Bila disederhanakan notasi menjadi

�� = �� ; ��, ��

= 1 − ��

��

�� = �

�� ;��,��

��

�� ;��,��

��

= ��− ��

��

��

��

��

��− �

��

��

��

�� = (��− ��)(��− ��)

Dari persamaan (4.10) maka bentuknya menjadi

�� − �� = ∑ ��

�� + ��

�� (4.11)

Persamaan (4.11) sudah terbentuk menjadi model regresi linear. Oleh karena itu

dapat ditaksir parameter-parameter dengan menerapkan metode kuadrat terkecil.

21

�� = ⟨� − ��⟩=

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡�� − �1 − ��

��

��

�� − �1 − ��

��

⋮

�� − �1 − ��

��⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

��

(4.12)

�� = ⟨�� ⟩=

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡��− �

��

��

��

��

��

�� − �

��

��

��

��− ��

��

��

��

��

�� − �

��

��

��

⋮

��− ��

��

��

��

��

��

⎝

⎛

⋮

− ��

��

��

��

⎠

⎞

⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

��

(4.13)

�� = �� =

⎣⎢⎢⎡��

��

⋮��⎦⎥⎥⎤

=

⎣⎢⎢⎢⎡��

��

⋮��⎦⎥⎥⎥⎤

��

(4.14)

Maka taksiran bagi �� diberikan oleh

�� = (��)

��(� − ��) (4.15)

dengan demikian vektor �� akan meminimumkan jumlah kuadrat galat.

�(�) = ∑ �� − �(�� , ��) − ∑ ��

��

�� (4.16)

4.3 Aplikasi Pada Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder yang

diperoleh dari Badan Meteorologi dan Geofisika (BMKG) Stasiun Klas I Kediri

Nusa Tenggara Barat tahun 2009 sampai tahun 2014. Penggunaan data kecepatan

angin terbesar per bulan yang digunakan yaitu pada Januari 2009 sampai

September 2014, dengan jumlah sampel � = 69. Variabel yang digunakan dalam

penelitian ini adalah waktu (t) dalam bulan dan kecepatan angin (s) dalam knot.

22

4.3.1 Uji Distribusi Data

Data kecepatan angin terbesar per bulan diuji apakah mengikuti distribusi

Weibull atau tidak. Uji yang digunakan adalah uji Mann. Berikut adalah

perhitungan dalam melakukan uji Mann untuk kecepatan angin.

a. Hipotesis

�� : Data kecepatan angin berdistribusi Weibull.

�� : Data kecepatan angin tidak berdistribusi Weibull.

b. Statistik uji

Statistik uji yang digunakan adalah uji Mann yang mengikuti persamaan

(2.21).

� =�� ∑ �

��

� ��

��

�� ∑ ��

� ��

��

� =��.� (��.��)

�� (��.��)

� = 1.203010611

c. Kriteria keputusan dan kesimpulan

Jika nilai � < � �� = � �.��,��.�� maka �� diterima dan �� ditolak.

Berdasarkan perhitungan di atas diperoleh � < � �� = 1.203010611<

1.7721 maka �� diterima dan dapat disimpulkan bahwa data berdistribusi

Weibull.

4.3.2 Penentuan Nilai Dugaan Parameter Awal

Prosedur pendugaan nonlinear membutuhkan nilai dugaan parameter awal.

Nilai-nilai awal itu diharapkan akan diperbaiki dalam proses iterasi sampai

menghasilkan solusi yang konvergen. Pada penelitian ini menggunakan garis

resisten untuk penentuan nilai dugaan parameter awal. Dibandingkan dengan

menggunakan kuadrat terkecil, garis resisten tidak terpengaruh terhadap outlier

dan menghasilkan jumlah harga mutlak error lebih kecil daripada metode kuadrat

terkecil, sehingga penggunaan garis resisten baik untuk penentuan nilai dugaan

parameter awal karena semakin baik nilai dugaan awal maka semakin cepat proses

23

konvergensinya. Jadi dari persamaan (4.2) dapat ditentukan nilai dugaan

parameter awalnya.

�(�) = 1 − ��

��

�

�

��(�) = ��

�

��

�

��

��(�)= �

�

��

��

��(�)� = ��− ��

Misalkan

� = ��

��(��)� = ln (− ln(1 − �(��)))

dengan �(��) =(��.�)

� yang merupakan peluang kumulatif

� = ��

� = b

a = - � �� b

Maka dengan menggunakan persamaan garis resisten didapatkan nilai median

(pada Lampiran 3). Median digunakan karena resisten terhadap pencilan, sehingga

diperoleh

b =��

��

=�.��

�.��

= 4.76502755

a =(�� )��(�� )

�

=��.��.��(�.��)

�

= −13.80869704

Karena � = b dan a = - � �� b maka

� = 4.76502755 dan � = 18.13643312

24

Dari nilai � dan � yang diperoleh dapat digunakan sebagai nilai dugaan parameter

awal.

4.3.3 Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter dengan Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor)

Dengan bentuk persamaan �� =�

��

��− ��

��

� + �� dapat

mengestimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter dengan metode linearisasi

(metode deret Taylor), sehingga dari persamaan (4.11), (4.12), (4.13) dan (4.14)

didapat iterasinya adalah sebagai berikut

Iterasi 0

Substitusi fungsi kumulatif Weibull dengan � adalah kecepatan angin dan nilai

�� = 4.76502755, �� = 18.13643312 maka diperoleh yaitu

�� = �� ; ��, ��= 1 − ��

��

=

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡0.1850380.796830.3327850.1850380.185038

⋮0.618887⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎤

��

Substitusi � peluang distribusi Weibull sehingga diperoleh

�� = ⟨� − ��⟩=

⎣⎢⎢⎢⎢⎡−0.0763426−0.03596020.0367799−0.0618499−0.0473571

⋮0.112997 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

��

25

Dihitung turunan masing-masing parameter �� dan �� sehingga diperoleh

�� =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡− 0.055524216 −0.0438113720.031670184 −0.085071416− 0.051262566− 0.055524216− 0.055524216

⋮− 0.002776095

0.070933611−0.0438113720.043811372

⋮−0.096592131⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎤

��

Dilakukan perhitungan untuk memperoleh penduga bagi �� menggunakan

persamaan (4.15) yaitu sebagai berikut

�� = �0.109035 0.0874322

0.0874322 0.302567��

(��)

�� = �11.9375 −3.449555− 3.44955 4.301871

��

��(� − ��) = �

− 0.0736243− 0.139734

��

��=�−0.396869237−0.347144613

��

Maka akan diperoleh nilai dugaan untuk �� dan �� sebagai berikut

��= �

4.3681617.7893

�

Nilai SSE untuk iterasi 0 sebagai berikut

��(�) = ∑ �� − �� ; ��, ��

��

= 0.255267494

26

Untuk melihat kekonvergenannya, maka dengan menggunakan persamaan (2.16)

diperoleh yaitu

��

�� < � = �

�.��.��

�.�� > 0.0001

= |0.08328783| > 0.0001

��

�� < � = �

��.��.��

��.�� > 0.0001

= |0.01940732| > 0.0001

Karena nilai error parameter �� dan �� lebih dari 0.0001 solusi konvergen belum

diperoleh maka proses iterasi dilanjutkan.

Iterasi 1


��= 4.36816 dan �� = 17.7893 maka diperoleh yaitu

�� = �� ; ��, ��= 1 − ��

��

=

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡0.2243789350.8113895540.377957320.2243789350.224378935

⋮0.651034439⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎤

��


�� = ⟨� − ��⟩ =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡−0.115683283−0.050519989−0.008392103−0.101190529−0.086697776

⋮−0.080849619⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

��

27


�� =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡− 0.061813105 −0.0483926630.036852753 −0.077253954− 0.050364478− 0.061813105− 0.061813105

⋮0.004326047

−0.072514078−0.048392663−0.048392663

⋮−0.090211384⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎤

��



�� = �0.12500331 0.086530683

0.086530683 0.288648246��

(��)

�� = �10.09456297 −3.026138011−3.026138011 4.371596936

��

��(� − ��) = �

0.009986210.000553515

��

��=�−0.099131414−0.027799905

��


��= �

4.46729493217.7614886

�


��(�) = ∑ �� − �� ; ��, ��

��

= 0.181342626

28


diperoleh yaitu

��

�� < � = �

�.��.��

�.�� > 0.0001

= |0.022694017| > 0.0001

��

�� < � = �

��.��.��

��.�� > 0.0001

= |0.001562733| > 0.0001



Iterasi 2



�� = �� ; ��, ��= 1 − ��

��

=

⎣⎢⎢⎢⎢⎡0.2196708030.8172041670.3750355050.2196708030.219670803

⋮0.654029394⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

��


�� = ⟨� − ��⟩=

⎣⎢⎢⎢⎢⎡−0.110975151−0.056334602−0.005470288−0.096482397−0.081989643

⋮0.077854664 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

��

29


�� =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡− 0.060404447 −0.0486814820.03687295 −0.078131011

− 0.049642128− 0.060404447− 0.060404447

⋮0.004898339

−0.073888068−0.048681482−0.048681482

⋮−0.092360048⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

��



�� = �0.119613526 0.085406444

0.085406444 0.298585561��

(��)

�� = �10.50595147 −3.005088234− 3.005088234 4.208689447

��

��(� − ��) = �0.000366045

− 0.001581328��

��=�0.008597687−0.007755319

��


��= �4.47589262

17.75373328�


��(�) = ∑ �� − �� ; ��, ��

��

= 0.180297886

30


diperoleh yaitu

��

�� < � = �

�.��.��

�.�� > 0.0001

= |0.0085976867| > 0.0001

��

�� < � = �

��.��.��

��.�� > 0.0001

= |0.000436637| > 0.0001



Iterasi 3



�� = �� ; ��, ��= 1 − ��

��

=

⎣⎢⎢⎢⎢⎡0.2194840610.8182777590.3751838530.2194840610.219484061

⋮0.654902523⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

��


�� = ⟨� − ��⟩=

⎣⎢⎢⎢⎢⎡−0.110788409−0.057408194−0.005618635−0.096295656−0.081802902

⋮0.076981535 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

��

31


�� =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡−0.060263821 −0.0487824320.036938535 −0.078159704−0.049508349−0.060263821−0.060263821

⋮0.005081359

0.074114877−0.0487824320.048782432

⋮−0.092604979⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

��



�� = �0.119002391 0.085202055

0.085202055 0.299936891��

(��)

�� = � 10.5416075 −2.997567538− 2.997567538 4.188678382

��

��(� − ��) = �

0.000103089− 0.000196341

��

��=�0.001675272−0.001131426

��


��= �4.477567891

17.75260186�


��(�) = ∑ �� − �� ; ��, ��

��

= 0.180280053

32


diperoleh yaitu

��

�� < � = �

�.��.��

�.�� > 0.0001

= |0.000374288| > 0.0001

��

�� < � = �

��.��.��

��.�� < 0.0001

= |0.0000637289| < 0.0001



Iterasi 4



�� = �� ; ��, ��= 1 − ��

��

=

⎣⎢⎢⎢⎢⎡0.2194840610.8182777590.3751838530.2194840610.219484061

⋮0.654902523⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

��


�� = ⟨� − ��⟩ =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡− 0.110788409− 0.057408194− 0.005618635− 0.096295656− 0.081802902

⋮0.076981535 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

��

33


�� =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡− 0.060263821 −0.0487824320.036938535 −0.078159704− 0.049508349− 0.060263821− 0.060263821

⋮0.005081359

0.074114877−0.0487824320.048782432

⋮−0.092604979⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

��



�� = �0.119002391 0.085202055

0.085202055 0.299936891��

(��)

�� = [10.54859751]��

��(� − ��) = [−1.2140858005953805]��

��=[0.000146916]��


��= �

4.47771480817.75260186

�

Diperoleh nilai untuk ��= 4.477714808 dan �� = 17.75260186 dengan nilai

SSE untuk iterasi 4 sebagai berikut

��(�) = ∑ �� − �� ; ��, ��

��

= 0.180279595

34


diperoleh yaitu

��

�� < � = �

�.��.��

�.�� < 0.0001

= |0.0000328116| < 0.0001

��

�� < � = �

��.��.��

��.�� < 0.0001

= |0.0000637289| < 0.0001

Karena nilai error parameter �� dan �� kurang dari 0.0001 solusi konvergen sudah

tercapai maka proses iterasi berhenti.

Tabel 4.1 Ringkasan Hasil Iterasi

Iterasi �� SSE

0 4.765032755 18.13643312 0.255267494

1 4.36816 17.7893 0.181342626

2 4.467294932 17.7614886 0.180297886

3 4.47589262 17.75373328 0.180280053

4 4.477567891 17.75260186 0.180279595

Dari hasil iterasi yang ke empat telah diperoleh iterasi yang konvergen,

sehingga iterasi dapat berhenti. Didapat untuk nilai parameter ��= 4.477714808

dan nilai parameter ��= 17.75260186, dengan nilai MSE sebagai berikut

�� =��

��

=�.��

��

= 0.00269074

35

Tabel 4.2 Ringkasan Hasil Iterasi Menggunakan SAS 9

Iterasi �� SSE

0 4.7650 18.1364 0.2553

1 4.4856 17.7426 0.1803

2 4.4779 17.7523 0.1803

3 4.4779 17.7524 0.1803

Dapat dilihat pada Tabel 4.2 iterasi menunjukan hasil yang hampir sama

dengan tabel 4.1. Jadi diperoleh nilai taksiran parameternya adalah ��= 4.4779

dan nilai parameter ��= 17.7524 dengan nilai MSE = 0.00269. Didapatkan

model cumulative density function (cdf) sebagai berikut

�(��) = 1 − ��− ��

��.��.��

� (4.17)

Tabel 4.3 Tabel Analisis Varian (ANOVA)

Sumber

Derajat

Bebas

(db)

Sum Square

(SS)

Mean Square

(MS)

F

hitung Pr > F

Model 2 22.8185 11.4093 4240.19 < 0.0001

Error 67 0.1803 0.00269

Total 69 22.9988

Dari tabel di atas, untuk uji ketepatan model dapat dihitung nilai dari

koefisien determinasi (��) dan uji serentak (uji F).

1. Koefisien determinasi (��)

�� =��

��=

��.��

��.��= 0.99216

36

Nilai dari koefisien determinasi (��) = 0.99216 menunjukan besarnya

keragaman yang mampu dijelaskan oleh model dan dapat dikatakan model

yang diperoleh tepat karena keragamannya cukup besar yaitu 99.216%.

2. Uji serentak (uji F)

��: Model dikatakan tidak tepat

��: Model dikatakan tepat

Dari uji F dapat dilihat ��= 0.0001< � = 0.05 yang berarti �� ditolak,

maka model yang diperoleh tepat.

Dalam pemeriksaan asumsi model regresi nonlinier, sama halnya dengan

melakukan pemeriksaan asumsi model regresi linier sederhana yaitu pemeriksaan

mengenai asumsi error. Asumsi tersebut antara lain asumsi independen, asumsi

kenormalan dan asumsi identik dari error.

1. Asumsi independen

Untuk menguji asumsi autokorelasi dengan nilai error tidak saling

mempengaruhi atau independen, maka digunakan hipotesis berikut

�� ∶ �� = 0, � = 1,2, … , �

(Korelasi antar error bernilai nol atau tidak terdapat korelasi antar error

yang satu dengan error yang lainnya)

�� ∶ �� ≠ 0, � = 1,2, … , �

(Korelasi antar error bernilai tidak sama dengan nol atau terdapat

korelasi antar error yang satu dengan error yang lainnya).

37

161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Au

toco

rre

lati

on

Gambar 4.1 Plot ACF Error

Dari nilai autokorelasi yang diperoleh (pada Lampiran 4), terlihat bahwa

semua nilai autokorelasi berada dalam batas yang telah ditentukan yaitu

�−�

√�,�

√�� dimana batas menunjukan selang kepercayaan dari korelasi, maka

korelasi bernilai 0 jadi hipotesis awal akan diterima.

Selain itu, dapat dilihat pada plot autokorelasi dari error, apabila terdapat

nilai autokorelasi pada tiap lag yang berada di luar batas kepercayaan 95%,

maka hipotesis awal akan ditolak. Dari Gambar 4.1 di atas, terlihat bahwa

tidak ada lag yang berada di luar batas garis kepercayaan, sehingga hipotesis

awal diterima. Hal ini menunjukkan bahwa tidak terdapat korelasi antara nilai

error yang satu dengan yang lainnya, sehingga dapat dikatakan bahwa asumsi

autokorelasi error terpenuhi dan error independen.

2. Asumsi normal

Untuk menguji asumsi kenormalan dapat digunakan statistik uji Kolmogorov

-Smirnov dengan hipotesis berikut.

�� ∶ error menyebar mengikuti distribusi normal

�� ∶ error tidak menyebar mengikuti distribusi normal

38

0.150.100.050.00-0.05-0.10-0.15-0.20

99.9

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

0.1

RESI

Pe

rce

nt

Mean -0.01219

StDev 0.05005

N 69

KS 0.070

P-Value >0.150

Gambar 4.2 Plot Kenormalan Error

Pengujian asumsi kenormalan dari error, dilakukan dengan membandingkan

nilai Kolmogorov-Smirnov yang diperoleh dengan nilai tabel Kolmogorov-

Smirnov. Karena diperoleh nilai �� = 0.07 yang lebih kecil dibandingkan

nilai �� = 0.164 yang artinya �� diterima, sehingga dapat dikatakan

bahwa error menyebar mengikuti distribusi normal. Dapat dilihat juga pada

hasil plot kenormalan pada Gambar 4.2, bahwa plot data cenderung dapat

didekati dengan garis lurus dengan nilai p-value 0.150 > 0.05 yang artinya

�� diterima.

3. Asumsi identik

Untuk menguji asumsi identik dari error, dapat digunakan statistik uji Glejser

dengan hipotesis sebagai berikut:

�� ∶ tidak terjadi gejala heteroskedastisitas

�� ∶ terjadi gejala heteroskedastisitas

39

Tabel 4.4 Tabel Uji t

Parameter Estimasi Nilai t Pr > |t|

a 0.018245 0.05 0.9590

b 4.808E36 0.00 0.9995

Pendeteksian pada uji Glejser ini dilakukan dengan meregresikan nilai mutlak

residual terhadap variabel independen. Dari hasil perhitungan tidak terjadi

gejala heteroskedastisitas, dimana tidak ada nilai t hitung yang signifikan atau

nilai signifikan lebih dari 0.05 (p > 0.05). Jadi secara keseluruhan dapat

disimpulkan bahwa tidak ada masalah heterokedastisitas.

Pengujian asumsi identik juga dapat dilihat dari plot pencaran titik antara nilai

variabel independen dengan nilai error berikut.

0.1460.1450.1440.1430.142

-0.050

-0.075

-0.100

-0.125

-0.150

Fitted Value

Re

sid

ua

l

Versus Fits(response is C4)

Gambar 4.3 Plot Pencaran Titik Nilai Variabel Independen dengan Nilai Error

Dari gambar plot di atas terlihat bahwa error tidak membentuk suatu pola

tertentu, sehingga dapat dikatakan error konstan tidak dipengaruhi oleh

perubahan nilai prediksi yang dihasilkan dari model. Hal ini menunjukan

varian error konstan atau terjadi homokedastisitas, sehingga asumsi identik

terpenuhi.

40

Berdasarkan pengujian asumsi error yang telah dilakukan, dapat dilihat

bahwa semua asumsi terpenuhi sehingga dapat dikatakan bahwa model memenuhi

asumsi error regresi.

4.3.4 Perhitungan Mean dan Variansi

Mean dari distribusi Weibull yaitu

�(�) = � = ∫ ��(�)��

�

= ∫ ��

��− �

�

��

��

�

Misal � = ��

��

maka �� =�

�� dan � = �

�

��

� = ∫ ��

�� [−�]��

�

= ∫ ��

� ��[−�]��

�

= �Γ�1+�

�� (4.18)

Varian dari distribusiWeibull

�� = ∫ (� − �)��(�)��

�

= ∫ (�� − 2��+ ��)�(�)��

�

= ∫ ��(�)�� −�

�2�(�) + ��

= ∫ ��(�)�� −�

��

= ��Γ�1+�

�� − �βΓ�1 +

�

��

�

= �� Γ�1 +�

�� − �Γ�1 +

�

��

�

� (4.19)

41

Nilai mean dari kecepatan angin dapat diperoleh dengan menggunakan

persamaan (4.18) yaitu

�(�) = �Γ�1 +�

��

= 17.7524Γ�1+�

�.��

= 17.7524Γ(1.223318966)

= 16.19574

Variansi dari kecepatan angin dapat diperoleh dengan menggunakan

persamaan (4.19) yaitu

��(�) = �� Γ�1+�

�� − �Γ�1+

�

��

�

�

= 17.7524� �Γ�1+�

�.�� − �Γ�1+

�

�.��

�

�

= 17.7524�[Γ(1.446637933) − [Γ(1.223318966)]�]

= 16.82444214

4.4 Interpretasi Model

Berdasarkan cumulative density function (cdf) yang diperoleh pada

persamaan (4.17) dapat ditentukan probability density function (pdf) distribusi

Weibull 2 parameter adalah

�� =�.��

��.��.��

�.��− ��

��.��.��

� (4.20)

Sehingga akan menghasilkan kurva probability density function (pdf) distribusi

Weibull 2 parameter pada gambar 4.4 berikut

42

302520151050

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

X

De

nsit

y

Gambar 4.4 Grafik Data Kecepatan Angin Terbesar terhadap Peluang Weibull

Dari gambar 4.4 dihasilkan kurva yang simetrik dengan mean, median dan

modus dari distribusi tersebut berhimpitan, sehingga diperoleh nilai kecepatan

angin terbesar berdasarkan hasil analisis pada persamaan (4.18) yaitu 16.2 knot

dengan peluang terbesarnya adalah antara kecepatan angin 16 knot sampai 17 knot

yaitu 0.095.

BAB V

PENUTUP

Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan di atas, dapat ditarik beberapa

kesimpulan sebagai berikut:

5.1 Kesimpulan

1. Hasil estimasi parameter dengan menggunakan metode linearisasi

(metode deret Taylor) diperoleh

�� = �� + (�� )��

� (� − ��)

�� = �� + (�� )��

� (� − ��)

dimana

�� = ��; ��, �� = 1 − ��

��

��

�� = ⟨� − ��⟩ =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡�� − �1 − ��

��

��

��

�

�� − �1 − ��

��

��

�

⋮

�� − �1 − ��

��

��

�⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

44

�� =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

�� − ��

��

��

� ��

��

��

��

��

⎝

⎛− ��

��

��

��

��

��

⎠

⎞

�� − ��

��

��

� ��

��

��

��

��

⎝

⎛− ��

��

��

��

��

��

⎠

⎞

⋮

�� − ��

��

��

� ��

��

��

��

��

⎝

⎛

⋮

− ��

��

��

��

��

��

⎠

⎞

⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

�� = (�� )��

� (� − ��)

2. Hasil estimasi pada data kecepatan angin terbesar per bulan di Nusa

Tenggara Barat diperoleh sebuah model yaitu

�� =�.��

��.��.�� .�� − �

��

��.��

�.��

�

Dari model tersebut diperoleh nilai keragaman yang cukup besar yaitu

99.216%, dapat dikatakan model yang diperoleh tepat.

5.2 Saran

Adapun saran dalam penelitian ini adalah, untuk penelitian selanjutnya

dapat dilakukan suatu kajian untuk lebih dari 2 parameter dalam mengestimasi

distribusi Weibull.

45

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H dan Rorres, C. 2004. Dasar-dasar Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Edisi 8 Jilid 1, diterjemahkan oleh: Refina I dan Irzam H, Erlangga, Jakarta.

Anton, H. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear Edisi 7 Jilid 1. Erlangga, Jakarta.

Bates, D.M dan Watts, D.G, 1988, Nonlinear Regression Analysis and Its Applications, Jhon Wiley and Son, Canada.

Draper, N. dan Smith H., 1992, Analisis Regresi Terapan Ed. 2, diterjemahkan oleh: Bambang Sumantri, Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.

Ebeling, C.E., 1997, Realibility and Maintainability Engineering, McGraw Hill, Singapore.

Firdaus, M., 2004, Ekonometrika Suatu Pendekatan Aplikatif, PT. Bumi Aksara, Jakarta.

Gallant, R.A, 1987, Nonlinear Statistical Models, Jhon Wiley and Son, NewYork.

Gujarati, D., 1999, Basic Econommetrics Fourth Edition, McGraw Hill, New York.

Hines, W.W dan Montgomery, D.C., 1989, Probabilitas dan Statistika dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen Ed.2, diterjemahkan oleh: Rudiansyah, UI Press, Jakarta.

Karim, M.E., 2009, Non-Linier Models, University of Dhaka, Bangladesh.

Olaofe, Z.O dan Folly, K.A., 2012, Statistical Analysis of the Wind Resources at Darling for Energy Production, International Journal of Renewable Energy Research, Vol.2 No.2, hal 1.

Rinne, H, 2009, The Weibull Distribution, CRC Press, United States of America.

Suliyanto, 2011, Ekonometrika Terapan: Teori dan aplikasi dengan SPSS, Andi Yogyakarta, Purwokerto.

Lampiran 1. Data Kecepatan Angin Terbesar Per Bulan di Wilayah Nusa

Tenggara Barat Tahun 2009- 2014

Tahun 2009 2010 2011 2012 2013 2014

Januari

Februari

Maret

April

Mei

Juni

Juli

Agustus

September

Oktober

November

Desember

13

20

15

13

13

9

15

10

13

15

15

18

17

14

12

13

16

40

16

13

12

13

16

14

30

20

13

14

24

12

24

17

18

16

18

15

26

18

29

22

18

20

18

20

18

17

15

15

24

45

20

13

14

9

16

14

14

13

22

18

18

38

16

11

14

14

19

21

18

Keterangan: Kecepatan angin dalam knot

Sumber: BMKG Stasiun Klimatologi Klas I Kediri-NTB

Lampiran 2. Perhitungan Uji Mann untuk Kecepatan Angin

�� (��) �� (��) ��(��)

− �� (��)

��(��) − �� (��)

��

-0.35615 0.061536 2.833213 2.772589 0.060625 0.985183

-0.29461 0.040484 2.833213 2.772589 0.060625 1.497509

-0.25413 0.040119 2.833213 2.772589 0.060625 1.511112

-0.21401 0.039812 2.890372 2.833213 0.057158 1.435724

-0.1742 0.03956 2.890372 2.833213 0.057158 1.444859

-0.13464 0.039364 2.890372 2.833213 0.057158 1.452055

-0.09528 0.039224 2.944439 2.890372 0.054067 1.378435

-0.05605 0.03914 2.944439 2.890372 0.054067 1.381377

-0.01691 0.039115 2.944439 2.890372 0.054067 1.382277

0.022203 0.039149 2.944439 2.890372 0.054067 1.381056

0.061352 0.039247 2.944439 2.890372 0.054067 1.377626

0.100598 0.039411 2.944439 2.890372 0.054067 1.371894

0.140009 0.039646 2.944439 2.890372 0.054067 1.363756

0.179655 0.039958 2.944439 2.890372 0.054067 1.353102

0.219613 0.040354 2.944439 2.890372 0.054067 1.339808

0.259967 0.040844 2.944439 2.890372 0.054067 1.323737

0.300812 0.041439 2.995732 2.944439 0.051293 1.237801

0.342251 0.042153 3.044522 2.995732 0.04879 1.157461

0.384404 0.043003 3.044522 2.995732 0.04879 1.134564

0.427407 0.044014 3.044522 2.995732 0.04879 1.108514

0.471421 0.045214 3.044522 2.995732 0.04879 1.079091

0.516635 0.046643 3.044522 2.995732 0.04879 1.046044

0.563278 0.048351 3.091042 3.044522 0.04652 0.96213

0.611629 0.05041 3.135494 3.091042 0.044452 0.881798

0.662039 0.05292 3.135494 3.091042 0.044452 0.839988

0.714959 0.056022 3.218876 3.178054 0.040822 0.728678

Lampiran 2: Lanjutan

�� (��) �� (��) ��(��)

− �� (��)

��(��) − �� (��)

��

0.770981 0.059934 3.218876 3.178054 0.040822 0.681119

0.830914 0.064997 3.218876 3.178054 0.040822 0.628059

0.895911 0.07179 3.295837 3.258097 0.03774 0.525702

0.967702 0.081381 3.401197 3.367296 0.033902 0.416576

1.049083 0.096004 3.433987 3.401197 0.03279 0.341547

1.145087 0.121348 3.663562 3.637586 0.025975 0.214058

1.266435 -1.26643 3.713572 3.688879 0.024693 -0.0195

� �ln(��) − ln (��)

��

��

��

34.94314348

�� ln(��) − ln (��)

��

��

��

1205.53845

�� (��) �� (��) ��(��)

− �� (��)

��(��) − �� (��)

��

-4.92725 1.105921 2.302585 2.197225 0.105361 0.09527

-3.82133 0.518224 2.302585 2.197225 0.105361 0.203311

-3.3031 0.343964 2.397895 2.302585 0.09531 0.277094

-2.95914 0.258901 2.484907 2.397895 0.087011 0.336079

-2.70024 0.208356 2.564949 2.484907 0.080043 0.384164

-2.49188 0.17484 2.564949 2.484907 0.080043 0.457806

-2.31704 0.15099 2.564949 2.484907 0.080043 0.530118

-2.16605 0.13316 2.639057 2.564949 0.074108 0.556535

-2.03289 0.119332 2.639057 2.564949 0.074108 0.621023

-1.91356 0.108303 2.639057 2.564949 0.074108 0.684264

-1.80526 0.099308 2.639057 2.564949 0.074108 0.746242

-1.70595 0.091839 2.639057 2.564949 0.074108 0.806937

-1.61411 0.085542 2.639057 2.564949 0.074108 0.866331


�� (��) �� (��) ��(��)

− �� (��)

��(��) − �� (��)

��

-1.52857 0.080169 2.639057 2.564949 0.074108 0.924402

-1.4484 0.075534 2.639057 2.564949 0.074108 0.981127

-1.37287 0.0715 2.639057 2.564949 0.074108 1.036482

-1.30137 0.067961 2.639057 2.564949 0.074108 1.090442

-1.23341 0.064837 2.70805 2.639057 0.068993 1.06409

-1.16857 0.062063 2.70805 2.639057 0.068993 1.111654

-1.10651 0.059587 2.70805 2.639057 0.068993 1.157844

-1.04692 0.057368 2.70805 2.639057 0.068993 1.202631

-0.98955 0.055372 2.70805 2.639057 0.068993 1.245986

-0.93418 0.053571 2.70805 2.639057 0.068993 1.287881

-0.88061 0.051941 2.70805 2.639057 0.068993 1.328282

-0.82867 0.050464 2.70805 2.639057 0.068993 1.367158

-0.7782 0.049124 2.772589 2.70805 0.064539 1.313797

-0.72908 0.047905 2.772589 2.70805 0.064539 1.34721

-0.68117 0.046798 2.772589 2.70805 0.064539 1.379095

-0.63437 0.045791 2.772589 2.70805 0.064539 1.409415

-0.58858 0.044877 2.772589 2.70805 0.064539 1.43813

-0.54371 0.044048 2.772589 2.70805 0.064539 1.4652

-0.49966 0.106998 2.772589 2.70805 0.064539 0.603176

-0.39266 0.392661 2.833213 2.772589 0.060625 0.154394

� �ln(��) − ln (��)

��

��

��

29.47357

�� ln(��) − ln (��)

��

��

��

1002.101

Lampiran 3. Perhitungan Pendugaan Nilai Awal Parameter

Urutan �(�) −�� (� − �(��)) �� (�) �� (− ��(� − �(��)))

1 9 0.007273 2.197225 -4.92362

2 9 0.021979 2.197225 -3.81767

3 10 0.036905 2.302585 -3.29942

4 11 0.052056 2.397895 -2.95543

5 12 0.067441 2.484907 -2.6965

6 12 0.083067 2.484907 -2.48811

7 12 0.09894 2.484907 -2.31324

8 13 0.115069 2.564949 -2.16222

9 13 0.131463 2.564949 -2.02903

10 13 0.14813 2.564949 -1.90966

11 13 0.16508 2.564949 -1.80133

12 13 0.182322 2.564949 -1.70198

13 13 0.199866 2.564949 -1.61011

14 13 0.217723 2.564949 -1.52453

15 13 0.235906 2.564949 -1.44432

16 13 0.254425 2.564949 -1.36875

17 13 0.273293 2.564949 -1.29721

18 14 0.292525 2.639057 -1.22921

19 14 0.312133 2.639057 -1.16433

20 14 0.332134 2.639057 -1.10222

21 14 0.352543 2.639057 -1.04258

22 14 0.373377 2.639057 -0.98517

23 14 0.394654 2.639057 -0.92975

24 14 0.416394 2.639057 -0.87612

25 14 0.438617 2.639057 -0.82413

26 15 0.461346 2.70805 -0.77361

27 15 0.484602 2.70805 -0.72443


Urutan �(�) −�� (� − �(��)) �� (�) �� (− ��(� − �(��)))

28 15 0.508413 2.70805 -0.67646

29 15 0.532805 2.70805 -0.6296

30 15 0.557806 2.70805 -0.58374

31 15 0.583448 2.70805 -0.5388

32 15 0.609766 2.70805 -0.49468

33 16 0.636794 2.772589 -0.45131

34 16 0.664574 2.772589 -0.40861

35 16 0.693147 2.772589 -0.36651

36 16 0.722561 2.772589 -0.32495

37 16 0.752866 2.772589 -0.28387

38 16 0.784119 2.772589 -0.24319

39 17 0.81638 2.833213 -0.20288

40 17 0.849716 2.833213 -0.16285

41 17 0.884202 2.833213 -0.12307

42 18 0.91992 2.890372 -0.08347

43 18 0.956962 2.890372 -0.04399

44 18 0.995428 2.890372 -0.00458

45 18 1.035433 2.890372 0.03482

46 18 1.077106 2.890372 0.074278

47 18 1.120591 2.890372 0.113856

48 18 1.166054 2.890372 0.153625

49 18 1.213682 2.890372 0.193658

50 18 1.263692 2.890372 0.234038

51 18 1.316336 2.890372 0.274852

52 19 1.371906 2.944439 0.316201

53 20 1.430746 2.995732 0.358196

54 20 1.493266 2.995732 0.400966


Urutan �(�) −�� (� − �(��)) �� (�) �� (− ��(� − �(��)))

55 20 1.559958 2.995732 0.444659

56 20 1.631417 2.995732 0.489449

57 20 1.708378 2.995732 0.535544

58 21 1.791759 3.044522 0.583198

59 22 1.882731 3.091042 0.632724

60 22 1.982815 3.091042 0.684517

61 24 2.09404 3.178054 0.739095

62 24 2.219203 3.178054 0.797148

63 24 2.362304 3.178054 0.859638

64 26 2.529358 3.258097 0.927966

65 29 2.730029 3.367296 1.004312

66 30 2.981344 3.401197 1.092374

67 38 3.317816 3.637586 1.199307

68 40 3.828641 3.688879 1.34251

69 45 4.927254 3.806662 1.594782

Scatter Plot antara �� (�) dan �� (− ��(� − �(��)))

4.03.53.02.52.0

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

Pengelompokan �� (�) dan �� (− ��(� − �(��)))

Kelompok Bawah Tengah Atas

� � � � � �

2.197225 -4.92362 2.639057 -0.87612 2.890372 0.113856

2.197225 -3.81767 2.639057 -0.82413 2.890372 0.153625

2.302585 -3.29942 2.70805 -0.77361 2.890372 0.193658

2.397895 -2.95543 2.70805 -0.72443 2.890372 0.234038

2.484907 -2.6965 2.70805 -0.67646 2.890372 0.274852

2.484907 -2.48811 2.70805 -0.6296 2.944439 0.316201

2.484907 -2.31324 2.70805 -0.58374 2.995732 0.358196

2.564949 -2.16222 2.70805 -0.5388 2.995732 0.400966

2.564949 -2.02903 2.70805 -0.49468 2.995732 0.444659

2.564949 -1.90966 2.772589 -0.45131 2.995732 0.489449

2.564949 -1.80133 2.772589 -0.40861 2.995732 0.535544

2.564949 -1.70198 2.772589 -0.36651 3.044522 0.583198

2.564949 -1.61011 2.772589 -0.32495 3.091042 0.632724

2.564949 -1.52453 2.772589 -0.28387 3.091042 0.684517

2.564949 -1.44432 2.772589 -0.24319 3.178054 0.739095

2.564949 -1.36875 2.833213 -0.20288 3.178054 0.797148

2.564949 -1.29721 2.833213 -0.16285 3.178054 0.859638

2.639057 -1.22921 2.833213 -0.12307 3.258097 0.927966

2.639057 -1.16433 2.890372 -0.08347 3.367296 1.004312

2.639057 -1.10222 2.890372 -0.04399 3.401197 1.092374

2.639057 -1.04258 2.890372 -0.00458 3.637586 1.199307

2.639057 -0.98517 2.890372 0.03482 3.688879 1.34251

2.639057 -0.92975 2.890372 0.074278 3.806662 1.594782

Median 2.564949 -1.70198 2.772589 -0.36651 3.044522 0.583198

Lampiran 4. Hasil Estimasi Parameter Menggunakan Program SAS 9

data kecepatan; input t y; datalines; 13 0.108696 20 0.760870 15 0.369565 13 0.123188 13 0.137681 9 0.007246 15 0.384058 10 0.036232 13 0.152174 15 0.398551 15 0.413043 18 0.601449 17 0.557971 14 0.253623 12 0.065217 13 0.166667 16 0.471014 40 0.978261 16 0.485507 13 0.181159 12 0.079710 13 0.195652 16 0.500000 14 0.268116 30 0.949275 20 0.775362 13 0.210145 14 0.282609 24 0.876812 12 0.094203 24 0.891304 17 0.572464 18 0.615942 16 0.514493 18 0.630435 15 0.427536 26 0.920290 18 0.644928 29 0.934783 22 0.847826 18 0.659420 20 0.789855 18 0.673913 20 0.804348 18 0.688406 17 0.586957 15 0.442029 15 0.456522 24 0.905797 45 0.992754 20 0.818841 13 0.224638 14 0.297101 9 0.021739 16 0.528986 14 0.311594 14 0.326087


13 0.239130 22 0.862319 18 0.702899 18 0.717391 38 0.963768 16 0.543478 11 0.050725 14 0.340580 14 0.355072 19 0.746377 21 0.833333 18 0.731884 ; proc nlin data=kecepatan method=newton; parameters a=4.765032755 b=18.13643312; model y=1-exp(-(t/b)**a); proc print data=nlinout; run;

Sum of Iter a b Squares 0 4.7650 18.1364 0.2553 1 4.4856 17.7426 0.1803 2 4.4779 17.7523 0.1803 3 4.4779 17.7524 0.1803

Sum of Mean Approx

Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 2 22.8185 11.4093 4240.19 <.0001 Error 67 0.1803 0.00269 Uncorrected Total 69 22.9988

Approx

Parameter Estimate Std Error Approximate 95% Confidence Limits a 4.4779 0.1765 4.1255 4.8302 b 17.7524 0.1138 17.5251 17.9796 Approximate Correlation Matrix a b a 1.0000000 -0.5355807 b -0.5355807 1.0000000

Lampiran 5. Pemeriksaan Asumsi Regresi Nonlinear

Asumsi autokorelasi error

161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Au

toco

rre

lati

on

Lag ACF T LBQ

1 0.105273 0.87 0.80 2 0.140807 1.16 2.25 3 0.159296 1.28 4.13 4 0.145273 1.14 5.72 5 0.097050 0.75 6.44 6 0.065185 0.50 6.77 7 0.003553 0.03 6.77 8 0.129062 0.99 8.11 9 0.198436 1.50 11.33 10 0.193743 1.41 14.44 11 0.142559 1.01 16.16 12 0.125611 0.88 17.52 13 0.155651 1.08 19.64 14 0.113911 0.78 20.79 15 0.092165 0.62 21.56 16 0.006688 0.04 21.57 17 -0.004882 -0.03 21.57

Asumsi normal error

0.150.100.050.00-0.05-0.10-0.15-0.20

99.9

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

0.1

RESI

Pe

rce

nt

Mean -0.01219

StDev 0.05005

N 69

KS 0.070

P-Value >0.150

Asumsi identik error

0.1460.1450.1440.1430.142

-0.050

-0.075

-0.100

-0.125

-0.150

Fitted Value

Re

sid

ua

l

Versus Fits(response is C4)

Pengujian asumsi identik error dengan menggunakan SAS 9

data kecepatan; input t y; datalines; 13 0.110778 20 0.057436 15 0.005617 13 0.096285 13 0.081793 9 0.039380 15 0.008876 10 0.037446 13 0.067300 15 0.023368

15 0.037861 18 0.053474 17 0.003232 14 0.038370 12 0.093769 13 0.052807 16 0.004734 40 0.021739 16 0.019226 13 0.038314 12 0.079277 13 0.023822 16 0.033719 14 0.023877 30 0.050697 20 0.042943 13 0.009329 14 0.009384 24 0.102085 12 0.064784 24 0.087592 17 0.011261 18 0.038981 16 0.048212 18 0.024488 15 0.052354 26 0.075710 18 0.009995 29 0.065094 22 0.078880 18 0.004497 20 0.028451 18 0.018990 20 0.013958 18 0.033483 17 0.025753 15 0.066847 15 0.081339 24 0.073100 45 0.007246 20 0.000535 13 0.005164 14 0.005108 9 0.024887 16 0.062705 14 0.019601 14 0.034094 13 0.019657 22 0.064388 18 0.047976 18 0.062468 38 0.036232 16 0.077197 11 0.059934 14 0.048587 14 0.063079 19 0.004209 21 0.046859 18 0.076961 ; proc model data=kecepatan; parms a=4.4779 b=17.7524; y=1-exp(-(t/b)**a); fit y; run;

Nonlinear OLS Summary of Residual Errors DF DF

Adj Equation Model Error SSE MSE Root MSE R-Square R-Sq y 2 67 1.7283 0.0258 0.1606 -30.302 -30.769 Nonlinear OLS Parameter Estimates (Not Converged) Approx Approx Parameter Estimate Std Err t Value Pr > |t| a 0.015475 0.3517 0.04 0.9650 b 3.864E43 8.565E46 0.00 0.9996

Lampiran 6. Perhitungan Peluang Kumulatif Data Kecepatan Angin

Bulan-Tahun Kecepatan

(knot) Peluang

Januari 2009 13

0.219474

Februari 2009 20

0.818306

Maret 2009 15

0.375182

April 2009 13

0.219474

Mei 2009 13

0.219474

Juni 2009 9

0.046626

Juli 2009 15

0.375182

Agustus 2009 10

0.073678

September 2009 13

0.219474

Oktober 2009 15

0.375182

November 2009 15

0.375182

Desember 2009 18

0.654923

Januari 2010 17

0.561203

Februari 2010 14

0.291993

Maret 2010 12

0.158987

April 2010 13

0.219474

Mei 2010 16

0.466281

Juni 2010 40

1

Juli 2010 16

0.466281

Agustus 2010 13

0.219474

September 2010 12

0.158987

Oktober 2010 13

0.219474



(knot) Peluang

November 2010 16 0.466281

Desember 2010 14 0.291993

Januari 2011 30 0.999972

Februari 2011 20 0.818306

Maret 2011 13 0.219474

April 2011 14 0.291993

Mei 2011 24 0.978897

Juni 2011 12 0.158987

Juli 2011 24 0.978897

Agustus 2011 17 0.561203

September 2011 18 0.654923

Oktober 2011 16 0.466281

November 2011 18 0.654923

Desember 2011 15 0.375182

Januari 2012 26 0.996

Februari 2012 18 0.654923

Maret 2012 29 0.999877

April 2012 22 0.926706

Mei 2012 18 0.654923

Juni 2012 20 0.818306

Juli 2012 18 0.654923

Agustus 2012 20 0.818306



(knot) Peluang

September 2012 18 0.654923

Oktober 2012 17 0.561203

November 2012 15 0.375182

Desember 2012 15 0.375182

Januari 2013 24 0.978897

Februari 2013 45 1

Maret 2013 20 0.818306

April 2013 13 0.219474

Mei 2013 14 0.291993

Juni 2013 9 0.046626

Juli 2013 16 0.466281

Agustus 2013 14 0.291993

September 2013 14 0.291993

Oktober 2013 13 0.219474

November 2013 22 0.926706

Desember 2013 18 0.654923

Januari 2014 18 0.654923

Februari 2014 38 1

Maret 2014 16 0.466281

April 2014 11 0.110659

Mei 2014 14 0.291993

Juni 2014 14 0.291993



(knot) Peluang

Juli 2014 19 0.742168

Agustus 2014 21 0.880192

September 2014 18 0.654923

Grafik data kecepatan angin terbesar terhadap peluang kumulatif Weibull

5040302010

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

x

y

skripsi estimasi parameter distribusi weibull 2 …eprints.unram.ac.id/8454/1/skripsi julistria...

Documents