Tema 19 Modelo de Weibull para predecir la fractura de los materiales frágiles. Los Materiales Cerámicos tienen las siguientes características:

• Son compuestos químicos o soluciones complejas que contienen elementos metálicos y no metálicos.

• El enlace de sus átomos es iónico. • Son materiales muy duros y frágiles. Poseen dislocaciones pero éstas no pueden

desplazarse debido a las largas eléctricas de sus átomos. • Su temperatura de fusión es elevada. El enlace iónico es un enlace muy fuerte

por lo que se requiere de mucha energía (temperatura) para separar sus átomos. Por esta razón las cerámicas pueden utilizarse como materiales refractarios (resistentes a las temperaturas elevadas)

• Su conductividad eléctrica y térmica es baja. • Son muy estables químicamente. Son estables (inertes) a la mayoría de

químicos. • Su resistencia en compresión es elevada, sin embargo su resistencia en tensión

es baja. Los materiales cerámicos son muy sensibles a la presencia de defectos. Los defectos reducen la resistencia en tensión del material. Griffith planteó una teoría que explica la fractura de los materiales frágiles.

r

a

R r

2a

σ

σ σ

σ

r

r = radio de curvatura del extremo de la grieta σ = esfuerzo nominal aplicado sobre el material

161

Griffith dedujo que el esfuerzo real en el extremo de la grieta se puede estimar así:

ra

real σσ 2≈

Para grietas finas (r pequeño) o largas (a grandes), la relación a/r aumenta, incrementando el esfuerzo real aplicado en la punta de la grieta. Si el esfuerzo real, amplificado por la grieta, excede la resistencia del material, la grieta puede crecer y causar fractura. Esto puede darse aún cuando el esfuerzo nominal aplicado sea pequeño. Se sabe que para que la grieta crezca espontáneamente, se requiere que la energía elástica liberada al romperse los enlaces químicos entre sus átomos sea igual o mayor que la energía requerida para formar la superficie de la grieta. Griffith desarrolló un criterio para la propagación de una grieta elíptica en un material elástico haciendo un balance de energía entre la energía elástica de los enlaces y la energía requerida para formar superficie nueva. El demostró que el esfuerzo crítico requerido para hacer que una grieta crezca espontáneamente en un material frágil se puede calcular por medio de la siguiente ecuación:

aE

c πγσ 2

=

Donde: σc = esfuerzo requerido para que la grieta cause la fractura del material. E = módulo de elasticidad del material. γ = energía de superficie específica o tensión superficial. a = mitad de la longitud de una grieta interna, o longitud total de una grieta superficial. A partir de este modelo se concluye que la resistencia en tensión de un material cerámico depende del tamaño (a y r) de los defectos que posea. En los cerámicos existe una dispersión considerable de defectos, es decir, existen muchos defectos de tamaño diferente. Estos defectos son generados durante la etapa de fabricación del material. Por esta razón, la resistencia a la fractura de estos materiales tiene valores dispersos. Esto significa que piezas fabricadas con el mismo material cerámico pueden fallar a valores diferentes fuerzas aplicadas. A manera de ejemplo, se tomaron 100 ladrillos de barro cocido (los ladrillos rojos que se utilizan para hacer paredes) y se sometieron a una prueba para determinar la fuerza que los fractura. Los resultados se resumen en el histograma siguiente:

162

0

2

4

6

8

10

12

[100,1

25)

[150,1

75)

[200,2

25)

[250,2

75)

[300,3

25)

[350,3

75)

[400,4

25)

[450,4

75)

[500,5

25)

[550,5

75)

[600,6

25)

[650,6

75)

[700,7

25)

[750,7

75)

[800,8

25)

[850,8

75)

El eje de las x describe los intervalos de fuerza, mientras que en el eje de las y se han colocado las frecuencias para cada intervalo. Las fuerzas de fractura variaron desde 129 hasta 855 kgf. Esta dispersión de valores no permite definir con exactitud la resistencia a la fractura de estos ladrillos. Para describir la fractura de una cerámica, se utiliza la distribución de probabilidad acumulada de Weibull. Dicha distribución responde a la siguiente ecuación: F = 1 – exp [ - VE (σ/σo)m] Donde: F = 0, no hay fractura F = probabilidad de fractura del material F = 1, hay fractura VE = Volumen efectivo. Es el volumen equivalente al que debería someterse una muestra del material en tensión, para que falle de manera similar a la muestra en flexión. σ = esfuerzo en tensión aplicado sobre el material.

163

σo = esfuerzo característico. Es una propiedad del material sin un significado físico concreto. Simplemente define que tan elevados o bajos son los valores de la distribución de esfuerzos. Se define como el esfuerzo uniforme para el cual la probabilidad de falla es 0.6321. Sus unidades son (esfuerzo) (volumen) 1/m m = módulo de Weibull. Define que tan dispersa es la distribución del esfuerzo. Para construir la distribución de Weibull de un material cerámico, se realiza lo siguiente:

1. Se fabrica una muestra estandarizada del material a probar. b = ancho d = altura o peralte

2. La mfractu

LT = longitud de la muestra

uestra se somete a una prueba en flexión y se mide la fuerza P que causa la ra del material. Existen dos tipos de pruebas:

P/2 P/2

Flexión en 4 puntos

+ +

+ +

L/2

L P/2 P/2

164

L/2 P Flexión en 3 puntos P/2 P/2

+

++

L Para que el modelo sea representativo, se recomienda probar al menos 30 muestras del material.

3. Se calcula el esfuerzo de fractura en tensión.

• Para flexión en 4 puntos: 243bdPL

=σ

• Para flexión en 3 puntos: 223bdPL

=σ

4. Se ajustan los esfuerzos de fractura obtenidos en la prueba de modo que cumplan con la ecuación de Weibull. Ajustar los esfuerzos significa encontrar los valores de VE, σ0 y m de modo que los datos experimentales satisfacen la ecuación.

165

Ejemplo: en una prueba de flexión en 3 puntos, se obtienen los siguientes valores:

Fuerza de fractura (N)

b (mm) d(mm)

97.4 13 13 81.9 13 14 150.4 10 15 148.5 16 13 86.9 15 13

Paso 1. Se calcula el esfuerzo de fractura

σ (MPa)

4.7 3.4 7.0 5.8 3.6

Paso 2. Se ordenan los esfuerzos comenzando del valor menor hacia el valor mayor y se asigna un número correlativo “i” a cada valor de esfuerzo. Si algún valor del esfuerzo está repetido, se descarta.

σ (MPa)

i

3.4 1 3.6 2 4.7 3 5.8 4 7.0 5

Paso 3. A partir del valor del número correlativo “i”, se asigna una probabilidad de fractura a cada muestra. La probabilidad de fractura se calcula así:

NiF 5.0−

=

Donde N es el número total de valores de esfuerzo de fractura.

166

σ (MPa)

i

F

3.4 1 0.10 3.6 2 0.30 4.7 3 0.50 5.8 4 0.70 7.0 5 0.90

Probabilidad de fractura asignada a las muestras Paso 4. Se ajusta la ecuación F = 1 – exp [ - VE (σ/σo)m] a los valores de σ y F de la tabla. Esto significa encontrar los valores de VE, σo y m que hacen que al sustituir σ en la ecuación, se obtenga el valor correspondiente F. El ajuste se hace así: F = 1 – exp [ - VE (σ/σo)m] exp [ - VE (σ/σo)m] = F – 1 - VE (σ/σo)m = ln (1 - F) (se aplicó logaritmo natural en ambos lados) VE (σ/σo)m = - ln (1 - F) ln [VE (σ/σo)m] = ln [- ln (1 - F)] (se aplicó logaritmo natural en ambos lados) ln VE + m ln (σ/σo) = ln [ - ln _1__ ]

1 - F ln VE + m ln σ - m ln σo = ln [ ln _1_

1 - F ln VE – m ln σo + m ln σ = ln [ ln _1__ ]

1 - F valor constante para todas las muestras.

167

Si hacemos:

( )σln=x

−=

Fy

11lnln

( ) ( 0lnln )σmVb E −=

Entonces la ecuación de Weibull se puede escribir como: b + m x = y. Esta es la ecuación de una línea recta. m b

( )σln

− F11lnln

168

σ (MPa) F

ln [ ln _1__ ] 1 - F

ln σ

3.4 0.10 -2.25 1.22 3.6 0.30 -1.03 1.28 4.7 0.50 -0.37 1.55 5.8 0.70 0.19 1.76 7.0 0.90 0.83 1.95

Utilizando mínimos cuadrados, se ajustan los valores de x y y a la línea recta. Y = 3.62 x – 6.15 , r = 0.95 M = 3.62 Módulo de Weibull b = -6.15 = ln VE – m ln σo Se sabe que: ln [ ln _1__ ] = ln VE – m ln σo + m ln σ 1 - F ln [ ln _1__ ] = -6.15 + 3.62 ln σ 1 - F Cuando σ = σo, F = 0.6321 Al sustituir se tiene que

ln [ ln _1__ ] = 0 1 - F

Por tanto: 0 = -6.15 + 3.62 ln σo σo = 5.47 esfuerzo característico

169

Además: -6.15 = ln VE – m ln σo -6.15 = ln VE – (3.62) ln (5.47) VE = 1.01 Volumen efectivo La ecuación de Weibull es entonces:

3.62 F = 1 – exp [ - 1.01 ___ 5

σ (MPa

3.43.64.75.87.0

En este caso el ajuste nrecomiendan 30 o más d

σ

___ ] .47

) F (Experimental)

F (Weibull)

0.10 0.17 0.30 0.20 0.50 0.44 0.70 0.71 0.90 0.92

o es muy bueno porque hay pocos datos. Por esta razón se atos.

170

Al graficar la ecuación se obtiene lo siguiente: F 1 1 σ ∼1.5 ∼8.5 La probabilidad el material se de fractura es fractura pequeña Existe una probabilidad de fractura A mayor valor de m, menor es el intervalo de esfuerzos para los cuales existe definida una probabilidad de fractura.

171

PROBLEMAS (1) A continuación se presentan los resultados de las pruebas de flexión en tres puntos realizadas en el laboratorio de Ciencia de Materiales en piezas de barro. La longitud entre apoyos de las piezas es de 7 cm. Las dimensiones de la sección transversal de las piezas son las siguientes:

F

d b Encuentre la ecuación de Weibull que describe a este material. Deje constancia de los valores de σ y F para el valor ubicado en la 6º posición de la columna del esfuerzo ordenado. Fuerza de fractura

(N)

b (mm) d (mm) Fuerza de fractura

(N)

b (mm) d (mm)

183.8 15 10 221.1 17 13 171.7 14 10 115.2 17 13 183.8 12 13 186.3 17 14 155.6 16 13 200.3 15 15 185.5 17 12 183.7 17 15 178.7 15 13 162.9 15 13 165.9 17 13 166.3 17 17 124.6 16 13 182.3 17 15 168.7 15 14 166.9 14 14 193.2 16 13 186.4 12 13 199.9 16 12 186.0 12 13 196.6 16 12 189.4 14 16 179.2 15 13 203.5 12 12 176.2 15 13 204 17 14 (2) El barro del problema anterior será utilizado para fabricar ladrillos de barro con las siguientes dimensiones: 8 cm de ancho x 12 cm de alto x 20 cm de largo. Los ladrillos serán utilizados para fabricar paredes y serán sometidos a una fuerza en tensión sobre la cara de 8 cm x 12 cm. ¿Cuál es la máxima fuerza en tensión que puede aplicarse sobre la cara del ladrillo para que uno de cada 100,000 ladrillos se fracture?

172

(3) A continuación se presentan los datos de fractura para 100 ladrillos de barro quemado probados en el laboratorio. Para construir la ecuación de Weibull tome en cuenta lo siguiente:

• La fuerza de fractura se obtuvo por medio de una prueba de flexión en 4 puntos.

El esfuerzo para flexión en 4 puntos se calcula así: 243bdPL

=σ

• Calcule el esfuerzo en tensión en MPa. Utilice cuatro decimales para el valor del esfuerzo.

• La fuerza de fractura está en Kgf. Los datos de ancho (b) y peralte (d) están en centímetros.

• En el laboratorio se tomaron dos medidas del ancho y dos del peralte para cada ladrillo. En la tabla se han colocado los valores promedio de las dos mediciones.

• Para la prueba, la distancia entre apoyos (L) es de 20 cm. Encuentre la ecuación de Weibull para los ladrillos de barro quemado. Exprese el valor de VE con un decimal, y σ0 y m con cuatro decimales.

Fuerza de Fractura

Ancho Promedio

Peralte Promedio

Fuerza de Fractura

Ancho Promedio

Peralte Promedio

1 371 13.8 6.6 51 592 13.6 7.0 2 540 13.6 7.2 52 247 14.0 7.4 3 309 14.0 6.9 53 569 13.6 7.0 4 327 13.8 7.0 54 290 13.8 7.1 5 299 13.4 6.9 55 360 13.7 7.1 6 608 13.5 7.0 56 382 14.0 7.2 7 345 13.7 6.6 57 407 13.7 7.1 8 327 13.6 6.9 58 325 13.4 6.8 9 516 13.4 7.1 59 369 13.7 7.0 10 603 13.5 6.9 60 519 13.3 7.0 11 260 14.1 7.2 61 292 13.7 7.0 12 137 13.9 7.1 62 130 13.8 7.3 13 129 13.9 7.0 63 20 13.8 7.1 14 298 13.7 7.1 64 219 13.7 7.0 15 689 13.9 6.9 65 559 13.7 7.2 16 313 14.1 7.0 66 266 13.8 7.2 17 424 13.7 7.0 67 855 13.7 7.3 18 212 13.6 7.5 68 401 13.6 7.0 19 304 14.4 7.4 69 281 13.9 7.5 20 322 13.9 7.5 70 242 13.7 7.1 21 327 13.8 7.0 71 252 13.7 7.1 22 276 13.7 7.2 72 275 14.0 7.4 23 390 13.7 7.1 73 149 13.6 7.2 24 314 13.5 6.5 74 314 13.7 7.1 25 367 13.8 6.9 75 255 13.8 7.3 26 733 13.5 7.2 76 560 13.8 7.1 27 475 13.6 6.9 77 251 13.9 7.0 28 363 13.5 7.3 78 535 14.0 7.2

173

29 252 13.8 7.3 79 325 13.9 7.3 30 317 13.9 7.2 80 691 14.0 7.0 31 379 13.8 7.2 81 214 13.7 7.0 32 345 13.9 7.3 82 264 13.9 7.2 33 631 13.4 7.2 83 264 14.0 7.1 34 471 13.9 7.1 84 364 13.8 7.6 35 241 13.5 7.1 85 530 14.0 7.3 36 184 13.6 7.0 86 401 13.7 7.2 37 283 13.8 7.4 87 687 13.4 6.8 38 330 13.6 7.3 88 461 13.8 6.9 39 272 13.3 7.4 89 656 13.5 7.3 40 335 13.8 7.1 90 549 13.8 7.1 41 459 14.0 7.1 91 370 14.0 6.9 42 544 13.5 7.0 92 514 13.6 6.9 43 481 13.7 7.2 93 292 13.4 7.3 44 793 13.9 7.2 94 673 13.7 7.5 45 273 14.0 7.0 95 356 13.4 6.9 46 212 13.9 7.2 96 266 14.0 6.9 47 420 13.9 7.3 97 316 13.5 7.2 48 548 14.1 7.3 98 198 13.5 7.1 49 367 13.8 6.9 99 278 13.7 7.3 50 360 13.9 7.3 100 440 13.6 7.3

(4) Se tienen dos materiales cerámicos con las siguientes propiedades:

• El material A tiene un módulo de Weibull m=25 y un valor de σ0 = 35 MPa(m3)1/25 • El material B tiene un módulo de Weibull m = 40 y un valor de σ0 = 20

MPa(m3)1/40 ¿Cuál de los dos materiales posee una mayor resistencia a la fractura? Justifique

174

(5) A continuación se muestran los datos de fractura para 20 muestras de barro artesanal. Todas las muestras tienen una longitud L de 6 cm.

Recuerde que efractura, se calc

A partir de estosWeibull para est

Muestra b (mm) d (mm) Fuerza de

fractura (N) 1 13.30 13.25 272 2 12.90 13.30 100 3 13.85 14.30 223 4 13.00 13.30 166 5 13.20 13.70 188 6 13.40 13.50 192 7 14.50 13.50 188 8 12.80 13.20 201 9 14.00 12.40 117

10 13.50 13.80 166 11 13.40 13.50 201 12 13.00 13.50 210 13 13.40 13.20 143 14 13.80 13.20 135 15 13.50 12.20 170 16 14.00 12.60 175 17 13.70 13.70 117 18 13.60 13.90 206 19 13.30 13.70 130 20 13.00 13.80 197

l esfuerzo sobre estas muestras, cuando se someten a la prueba de ula por medio de la siguiente ecuación:

223dbLP

=σ

datos, encuentre los valores σo, m y VE, y escriba la ecuación de e material.

175

(6) Se construirá un comal utilizando el barro del problema anterior. Sobre el comal se colocará un perol con tamales y que pesa 80 lbs, tal como se muestra en la figura.

Se sabe que el esfuerzo máximo sobre el comal, está dado por la siguiente ecuación:

2máx 24.1tP

=σ

comal

perol

Para esta ecuación se tiene lo siguiente: σmáx : esfuerzo máximo en libras/pulgada cuadrada (psi). t : espesor del comal en pulgadas. P: fuerza aplicada sobre el comal en libras.

Recuerde que 1 libra/pulgada cuadrada = 6.8948 kPa, y 1 pulgada = 2.54 cm.

a) Si el espesor (t) del comal es de 1 cm, ¿Cuál es la probabilidad que el comal falle

cuando se coloque el perol con tamales? b) ¿Cuál debería ser el espesor del comal, para que la probabilidad de falla cuando

se coloque el perol sea 0.1%?

176

(7) En el laboratorio se determinó que la ecuación de Weibull que describe la resistencia a la fractura del vidrio es la siguiente:

−−=

17.3

7.97exp1 σF

Donde: F = probabilidad de fractura. σ = esfuerzo aplicado en MPa Suponga que para ayudarse a pagar las cuotas de la Universidad, usted inicia en su casa un negocio de fabricación de peceras de vidrio. Las paredes de la pecera estarán sometidas a la presión del agua dentro de ella, tal como se ilustra en el siguiente diagrama: En el diagrama, las flechas indican la presión que el agua dentro de la pecera ejerce sobre las paredes de vidrio. Esta presión genera una fuerza sobre las paredes verticales, la cual puede estimarse con la siguiente ecuación:

Vista lateral Vista en planta

bhgF 2

21 ρ=

donde: F = Fuerza que el agua ejerce sobre las paredes verticales de vidrio. ρ = Densidad del agua (1,000 kg/m3)

h = Altura de la pared (en metros) b = Ancho de la pared (en metros) g = gravedad (9.8 m/s2)

Pared vertical de la pecera

b

h

177

Esta fuerza produce un esfuerzo que puede estimarse con la siguiente ecuación:

223eF

=σ , donde e= espesor de la pared de vidrio (en metros)

Suponga que un cliente le pide que le fabrique una pecera que tenga 75 cm de largo por 50 cm de alto y 50 cm de ancho, tal como se ilustra:

Alto = 50 cm

Ancho = 50 cm

Largo = 75 cm

¿Cuál es la probabilidad de que esta pecera se quiebre debido a la presión del agua si usted la fabrica con vidrio de 4 mm de espesor? En función de su respuesta, ¿Es buena idea fabricar la pecera con ese vidrio? Si no es buena idea, ¿Qué espesor recomendaría usted para el vidrio de la pecera?

178