TRANSFORMASI LAPLACE

SISTEM KENDALI KLASIK

Pemodelan Matematika

Analisis Diagram Bode, Nyquist, Nichols

Step & Impulse Response

Gain / Phase Margins

Root Locus

Disain

Simulasi

SISTEM KONTROL LOOP TERTUTUP

PLANT PEMBANGKIT DAYA UAP

SISTEM KENDALI GENERATOR

KOMPONEN DISAIN SISTEM KENDALI

MODEL MATEMATIKA

Bagaimana membuat model matematika ?

MODEL MATEMATIKA

Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus model matematika dari sistem.

Mengapa harus dengan model matematika ?Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem kendali.

Misalnya:o Bagaimana hubungan antara input dan output.o Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku dinamik

dari sistem kendali tersebut.

Dua metoda untuk mengembangkan model matematikadari sistem kendali:

1. Fungsi Pindah (Transfer Function) dalam domain frekuensi (menggunakan Transformasi Laplace).

2. Persamaan-persamaan Ruang Keadaan (State Space Equations) dalam domain waktu.

RANGKAIAN RLC

V(t)

L

R

Ci(t) ( ) ( ) ( ) ( )R L Cv t v t v t v t

Persamaan Diferensial Biasa dapat menggambarkan perilaku dinamiksistem fisik (hubungan input dan output) seperti sistem mekanikmenggunakan Hukum Newton dan sistem kelistrikan menggunakanHukum Kirchoff.

Contoh: Rangkaian RLC, jika V(t) adalah Input; i(t) adalah Output

Menggunakan KVL (Kirchoff Voltage Law):

0

( ) 1( ) ( ) ( )

t

R

di tv t v t L i d

dt C

Menggunakan persamaan diferensial :• Apakah dapat menjadi persamaan aljabar sederhana ?• Apakah mudah menggambarkan hubungan antara Input dan Ouput

dari sistem ?• Dapatkah dibuat menjadi satuan-satuan terpisah ?

Jika jawabannya adalah tidak untuk ketiga pertanyaan di atas, maka kita membutuhkan transformasi Laplace.

Transformasi Laplace memberikan:

Representasi dari Input, Ouput dan Sistem sebagai satuan-satuan terpisah.

Hubungan aljabar sederhana antara Input, Output danSistem.

Keterbatasan dari Transformasi Laplace :

Bekerja dalam domain frekuensi.

Berlaku hanya apabila sistem adalah linier..

TRANSFORMASI LAPLACE

Time Domain

Circuit

Time Domain

Circuit

s-Domain

Circuit

L 1L

x(t) y(t)

X(s) Y(s)s j Complex Frequency

2 Types of s-Domain Circuits

With and Without Initial Conditions

Laplace

Transform

Inverse

Laplace

Transform

TRANSFORMASI LAPLACE

Transformasi Laplace adalah metoda operasional yang dapat digunakanuntuk menyelesaikan persamaan diferensial linier.

Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida teredam, fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks.

Operasi diferensiasi dan integrasi dapat diganti dengan operasi aljabarpada bidang kompleks.

Solusi persamaan diferensial dapat diperoleh dengan mengguna-kantabel transformasi Laplace atau uraian pecahan parsial.

Metoda transformasi Laplace memungkinkan penggunaan grafik untukmeramalkan kinerja sistem tanpa harus menyelesaikan persamaandiferensial sistem.

Diperoleh secara serentak baik komponen transient maupun komponenkeadaan tunak (steady state).

VARIABEL KOMPLEKS

Variabel kompleks: s = + j

dengan : adalah komponen nyata

j adalah komponen maya

Bidang s

o

j

j1

1

s1

FUNGSI KOMPLEKS

Suatu fungsi kompleks: G(s) = Gx + jGy

dengan : Gx dan Gy adalah besaran-besaran nyata

Bidang G(s)

O Re

Im

Gy

Gx

G

q

Besar dari besaran kompleks:

Sudut :

22yx GG)s(G

x

y

G

Gtan 1q

TURUNAN FUNGSI ANALITIK

Turunan fungsi analitik G(s) diberikan oleh:

s

Glim

s

)s(G)ss(Glim)s(G

ds

d

ss

00

Harga turunan tidak tergantung pada pemilihan lintasan s.

Karena s = + j , maka s dapat mendekati nol dengantak-terhingga lintasan yang berbeda

Untuk lintasan s = (lintasan sejajar dengan sumbu nyata)

yxyx

s

Gj

GGj

Glim)s(G

ds

d

0

Untuk lintasan s = j (lintasan sejajar sumbu maya), maka

yxyx

s

GGj

j

Gj

j

Glim)s(G

ds

d

0

Jika dua harga turunan ini sama

xyyx Gj

GGj

G

Syarat Cauchy-Riemann

yxGG

xy GG

Contoh Soal

Tinjau G(s) berikut, apa analitik ?

1

1

s)s(G

Jawab:

yx jGGj

)j(G

1

1

Di mana

221

1

xG

221

yGdan

Dapat dilihat bahwa, kecuali s=-1 (yaitu =-1, =0), G(s) memenuhi syarat Cauchy-Riemann:

222

22

1

1

yxGG

222

1

12

xy GG

Dengan demikian G(s)=1/(s+1) adalah analitik di seluruh bidang s kecuali pada s=-1.

Turunan dG(s)/ds pada s=-1 adalah

Gxj

GyGj

G)s(G

ds

d yx

21

1

j 2

1

1

s

Perhatikan bahwa turunan fungsi analitik dapat diperoleh hanyadengan mendiferensiasikan G(s) terhadap s

21

1

1

1

ssds

d

Titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) analitik disebut titik ordiner, sedangkan titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) tidak analitik disebut titik singuler.

Titik-titik singuler yang menyebabkan fungsi G(s) atau turunan-turunannya mendekati tak terhingga disebut pole

KUTUB-KUTUB dan NOL-NOL

• Zeros dari G(s) roots numerator

• Poles dari G(s) roots denominator

• Persamaan karakterisk denominator dari G(s)=0

Im

Re

Pola pole-zeropoles

zeros

Contoh Soal

Tentukan jumlah pole dan zero dari fungsi G(s) berikut:

Jawab:Mempunyai pole di s=-1 dan s=-2Mempunyai sebuah zero di s=-3.Jika titik-titik di tak terhingga di masukkan:

221

3

)s()s(

)s(K)s(G

02

s

Klim)s(Glimss

Fungsi G(s) mempunyai 2 buah zero di tak terhingga. Jadi G(s) mempunyai jumlah pole dan zero yang sama, yaitu 3

buah pole dan 3 buah zero (satu zero terhingga dan dua zero takterhingga).

Pemetaan Konformal

Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuranmaupun pengertian sudut.

Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas diagram tempatkedudukan akar (root locus) dan kriteria kestabilan Nyquist.

Hubungan fungsional: z=F(s) dapat diinterpretasikan sebagai pemetaantitik-titik pada bidang s ke titik-titik pada bidang z / bidang F(s).

Untuk setiap titik P pada bidang s terdapat suatu titik P’ pasangannyapada bidang F(s). P’ adalah bayangan dari P.

Untuk membuktikan bahwa pemetaan yang dinyatakan dengan suatufungsi analitik z=F(s) adalah konformal, tinjau suatu kurva halus s=s(), yang melalui suatu titik ordiner.

Jika kita tulis zo=F(so), maka:

)ss(ss

)s(F)s(Fzz o

o

oo

Dengan demikian,

oo

oo ss

ss

)s(F)s(Fzz

o s - so adalah sudut antara sumbu nyata positif dan vektor dari so kes.

o Jika s mendekati so sepanjang kurva halus s(), maka s - so adalahsudut q1 antara sumbu nyata positif dan garis singgung kurva tersebutpada so.

o Dengan cara sama, jika z mendekati zo, maka z - zo mendekati sudut1 yang merupakan sudut antara sumbu nyata positif dan garissinggung dari F(s) pada z0. Dengan demikian diperoleh

o 1 - q1 = F’(so)

o Dengan kurva halus yang lain s=s2(), yang melalui titik so, kita dapat melakukan analisis serupa sehingga diperoleh

2 - q2 = F’(so)Oleh karena itu

1 - q1 = 2 - q2

atau2 - 1 = q2 - q1

o Jadi ukuran dan pengertian sudut pada pemetaan tetapdijaga.

o Pemetaan yang dinyatakan dengan suatu fungsi analitikz=F(s) adalah konformal di setiap titik yang menyebabkan F(s) reguler dan F’(s) 0.

Definisi Transformasi Laplace

Transformasi Laplace dari f(t) didefinisikan sebagai

0

dte )t(f)s(F)]t(f[L st

dengan:f(t) = fungsi waktu t, dengan f(t)=0 untuk t<0

s = variabel kompleks

26

0

stdte)t(f)s(F)]t(f[L

1dte)t()]t([L0

st

0st

0

st0 edte)tt()]t(f[L

f(t)

t)t(

t

f(t)

)tt( 0

0t

Contoh fungsi Dirac

Contoh

Transformasi Laplace dari fungsi tangga berikut:

f(t) = 0 untuk t < 0= A untuk t > 0

s

A

s

eAdtAe)}t(f{

stst

0

0L

f(t)

t

A

Jawab:

28

2

0

st

0

st

0

st

s

adte

s

a

s

atedtate)]t(r[L

0 t untuk at)t(ff(t)

t

Transformasi Laplace dari fungsi Ramp

Transformasi Laplace dari fungsi eksponensial berikut:

f(t) = 0 untuk t < 0= Ae-at untuk t > 0

Jawab:

00

dteAdteAe}Ae{ t)as(statatL

)as(

A

)as(

eA

t)as(

0

e-at

t

A

Contoh

Transformasi Laplace dari fungsi sinusoida berikut:

f(t) = 0 untuk t < 0= A sint untuk t > 0

Jawab:

0

dte tsinA}tsinA{ stL

02

dte)ee(j

A)}t(f{ sttjtjL

ejt = cos t + j sin te-jwt = cos t - j sin t

)ee(j

tsin tjtj 2

1

22

1

2

1

2

s

A

jsj

A

jsj

A

Contoh

f(t) F(s)

Step function, u(t)

e-at

te-at

sin(t )

cos(t )

t n

1/s

1/(s+a)

1/(s+a)2

/ ( s2 + 2)

/ ( s2 + 2)

n!/sn+1

)ee(ab

btat

1

)bs)(as(

1

Contoh

f(t) F(s)=L[f(t)]

ntate

)t( 1

)t(u

t

)sin(at

)cos(at

)(atsh

)at(ch

)1n(s/!n

2s/1

)as/(1

)as/(a 22

)as/(s 22

)as/(a 22

)as/(s 22

s/1

)atsin(ebt]a)bs/[(a 22

)bs)(as/(1

]a)bs/[()bs( 22 )atcos(ebt

ba )ab/()ee( atbt

ba )bs)(as/(s )ab/()aebe( atbt

SIFAT LINIERITAS

)]t(f[L)s(F 11

)]t(f[L)s(F 22

)s(F.c)s(F.c

)]t(f[L.c)]t(f[L.c

)]t(f.c)t(f.c[L

2211

2211

2211

c1, c2 konstanta

SIFAT TRANSLASI

)as(F)]t(fe[L at a) Jika F(s)=L[f(t)]

)as(Fdte)t(fdte])t(fe[)]t(fe[L t)as(

0

st

0

atat

Contoh

4s

s)]t2(Cos[L

2

5s2s

1s

4)1s(

1s)]t2(Cose[L

22

t

35

Translasi [time]

b) g(t) = f(t-a) untuk t>a

= 0 untuk t<a

)s(Fe)]t(g[L as

due)u(fedue)u(fdte])at(f)]t(g[L su

0

as)au(s

0

st

0

a

t

f(t) g(t)

Contoh44

3

s

6

s

!3]t[L

2t,0)t(g

2t,)2t()t(g 3

4

s2

s

e6)]t(g[L

36

Perubahan skala waktu )a

s(F

a

1)]t.a(f[L

)a

s(F

a

1

a

due)u(fdte])t.a(f)]t.a(f[L a

su

0

st

0

Contoh

1s

1)]t(Sin[L

2

9s

3

13

s

1

3

1)]t3(Sin[L

2

2

TEOREMA DIFERENSIASI

Transformasi Laplace dari turunan fungsi f(t) diberikan sebagai

0

)()(dte

dt

tdf

dt

tdf stL

Integrasi bagian demi bagian memberikan

00 )()(

)(dtetfsetf

dt

tdf ststL

)t(fs)0(fdt

)t(dfLL

Transformasi Laplace sangat berguna karena mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar sederhana.

38

Turunan Pertama [Derivative first order]

)0(f)s(F.s)]t(f[L]dt

df[L)]t('f[L

0

0

0

dt)t(fse)t(fedt)t(fe)]t('f[L ststst

)0(f)s(F.s)]t('f[L t

)0(f

f(t)

)(f)s(sF 0

39

Turunan orde tinggi

)0(f)s(F.s)]t(f[L]dt

df[L)]t('f[L

)0('f)0(f.s)s(F.s])t(f[L)]t("f[L 2

)1n()1(2n1nn

)n(

)0(f.....)0(fs)0(fs)s(Fs)]t(f[L

)1i(n

1i

inn)n(

)0(f.s)s(Fs])t(f[L

•Jika discontinuity pada a

)]a(f)a(f[e)0(f)s(F.s)]t('f[L as

)a(f)a(f

40

Contoh Turunan

22s)]t(Sin[L

22s

s)]t(Cos[L

dt

)]t(Sin[d1)t(Cos

2222 s

s

)s(

s)0(Sin)]t(Sin[L

s)]t(Cos[L

)t(Cosdt

)]t[sin(d

)t(Sindt

)]t(Cos[d

dt

)]t(Cos[d1)t(Sin

)s(

)0(Cos)]t(Cos[L

s)]t(Sin[L

22

Aplikasi Rangkaian RC

C

R

e(t) v(t)0)0(v

)t(vdt

dvRC)t(e

Persamaan rangkaian

Transformasi Laplace: ]RCs1)[s(V)s(V)s(RCsV)s(E

RCs1

)s(E)s(V

INTEGRASI

t

0s

)s(F]du)u(f[L

)s(F)0(g)]t(g[sL)]t(g[L

)t(f)t(g

t

0

]du)u(f)t(g )]t(f[L)s(F

Perkalian dengan faktor t

dt)t(fe[ds

d)s(F

ds

)s(dF

0

st'

Leibnitz’s rule

)]t(tf[Ldt])t(tf[e]dt)t(fe[sds

)s(dF

0

stst

0

)s(F)]t(tf[L '

Rumus umum

n

nnn

ds

)s(Fd)1()]t(ft[L

Pembagian dengan faktor t

t

)t(f)t(g )t(tg)t(f

)s(Fds

)s(dG

ds

)]t(g[dL)]t(f[L

s

s

du)u(Fdu)u(F)s(G

s

du)u(F]t

)t(f[L

s

0)s(LimG

FUNGSI PERIODIK

)t(f)kTt(f k,t

sT

T

0

st

e1

dte)t(f

)s(F)]t(f[L

.......dt)t(fedt)t(fedt)t(fe)s(F)]t(f[LT3

T2

st

T2

T

st

T

0

st

.......du)T2u(fedu)Tu(fedt)t(fe)s(F)]t(f[LT

0

)T2u(s

T

0

)Tu(s

T

0

st

.......du)u(feedu)u(feedt)t(fe)s(F)]t(f[LT

0

susT2

T

0

susT

T

0

st

]dt)t(fe[e)s(F)]t(f[LT

0

st

0n

nsT

sT0n

nsT

e1

1e

Fungsi periodik Sinus & Cosinus

)t(jSin)t(Cose tj

dtedtee)]t(Sin[jL)]t(Cos[L]e[L0

t)sj(

0

sttjtj

sT

T

0

t)sj(

tj

e1

dte

]e[L

]1e[sj

1]1ee[

sj

1e

sj

1dte sTsTTjT

0

t)sj(

T

0

t)sj(

22

tj

s

js

)js)(js(

js

js

1]e[L

Perilaku Batas Limit : Nilai Inisial

)0(f)s(sF)]t(f[L

s

0]dt)t(fe[Lim0

stExponential order

}s}.......{0t{

)]s(sFlim[)]t(f[Lim

0t

)0(f)]t(f[Lim

s

)0(f)]s(sF[Lim

FUNGSI IMPULSIONAL

)t(e)t(e 0 0e)s(E RCs1

e)s(V 0

RC

t

Impulse response

CR

t

0 eRC

e)t(v

RC

e0

CR

t

e

RC

e

)RC

1s(

1)s(V 0

)1RCs(

se)s(sV 0

s

0s

FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL NOL

)t(ue)t(e 0s

e)s(E 0

)RCs1(s

e)s(V 0

)RC

1s(

e

s

e)s(V 00

]e1[eeee)t(v CR

t

0CR

t

00

e0

RC

0e63,0

]e1[e)t(v cr

t

0

FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL

Step function dan initial conditions v(0) 0

RCs1

)0(RCv

)RCs1(s

e)s(V 0

)RC

1s(

e)0(v

s

e)s(V 00

CR

t

00 e]e)0(v[e)t(v

)0(RCv]RCs1)[s(V)s(V)]0(v)s(sV[RC)s(E

cr

t

00 e]e)0(v[e)t(v

0e

)0(v

1RCs

]e)0(v[RCse)s(sV 0

0

FUNGSI RAMP

t)t(r)t(e 2s

1)s(E

)RCs1(s

1)s(V

2

)RC

1s(

RC

s

RC

s

1)s(V

2

CR

t

RCeRCt)t(v

RC

CRt

)t(v

CR

t

e1dt

dv

)1RCs(

s)RC(RC

s

1)s(sV

2

ANALISIS HARMONIK

)tsin(e)t(e 0 220s

e)s(E

)22

0

s)(as(

ae)s(V

)s

CBs

as

A(ae)s(V

220

22

22

22

a

aC

a

1B

a

1A

)s

s

s

a

as

1(

a

ae)s(V

222222

0

RC

1a

)s

s

s

a

as

1(

a

ae)s(V

222222

0

)]tcos()tsin(RC

1e[

a

ae)t(v CR

t

22

0

RC)(tg2)RC(1

1)(Cos

]e)sin()t)[sin((Cose)t(v CR

t

0

Forced Transient

TRANSFORMASI LAPLACE INVERSE

Diketahui: F(s)=L[f(t)] Bagaiman mencari f(t) dari F(s) ?

)]s(F[L)t(f 1

ds).s(Fei..2

1)t(f)]s(F[L

.i

.i

st1

Pada kontour Bromwich

a) Method Analitik

b) Metoda Tabelate)t(f

as

1)s(F

n

i

tpi

n

n ieaps

a...

ps

a

ps

a

)s(A

)s(B)s(F

12

2

1

1

n

i

tpi

tpn

tptp in eaea......eaea)t(f1

2121

c) Ekspansi fraksi dengan akar-akar berbeda

Harga ak (residu pada pole s=-pk) dapat diperoleh dengan:

kk ps

kn

nk

k

kk

ps

kk )ps(ps

a...)ps(

ps

a...)ps(

ps

a)ps(

)s(A

)s(Ba

1

1

Semua suku uraian menjadi nol, kecuali ak. Jadi residu ak diperoleh:

kps

kk )ps()s(A

)s(Ba

Contoh Soal

Carilah transformasi Laplace balik dari

)s)(s(

s)s(F

21

3

Jawab:Transformasi Laplace balik dari:

pt-e aps

aL

1

)s(

a

)s(

a

)s)(s(

s)s(F

2121

3 21

2121

3

1

1

s

)s()s)(s(

sa

)s(L

)s(L)s(FL

2

1

1

2 111

0t untuk ee)s(FL tt 21 2

1221

3

2

2

s

)s()s)(s(

sa

Contoh Soal

)3s)(2s)(1s(

4s2)s(F

2

)3s(2

7

)2s(4

3

)1s(6

1)s(F

2

7

4

3

6

32 ttt eee)t(f

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE