PERTEMUAN XPERTEMUAN XPERKALIANPERKALIAN

JARAK DUA VEKTORJARAK DUA VEKTORSUDUT ANTARA DUASUDUT ANTARA DUA

VEKTORVEKTORPROJEKSI & KOMPONENPROJEKSI & KOMPONEN

DUA VEKTORDUA VEKTOR

PERKALIANPERKALIANJARAK DUA VEKTORJARAK DUA VEKTORSUDUT ANTARA DUASUDUT ANTARA DUA

VEKTORVEKTORPROJEKSI & KOMPONENPROJEKSI & KOMPONEN

DUA VEKTORDUA VEKTOR

PERKALIAN DUA VEKTORPERKALIAN DUA VEKTOR

2 jenis perkalian dua vektor :2 jenis perkalian dua vektor :a.a. Dot ProductDot Productb.b. Cross ProductCross Product

2 jenis perkalian dua vektor :2 jenis perkalian dua vektor :a.a. Dot ProductDot Productb.b. Cross ProductCross Product

DOT PRODUCTDOT PRODUCT Lambang :Lambang : uu .. vv Hasil : skalarHasil : skalar Definisi 1 (jika diketahui sudutDefinisi 1 (jika diketahui sudut

antara 2 vektor ):antara 2 vektor ):Jika u dan v adalah vektor di ruang 2 atauJika u dan v adalah vektor di ruang 2 atauruang 3, danruang 3, dan adalah sudut di antara uadalah sudut di antara udan v, maka hasil kali titik (dot product)dan v, maka hasil kali titik (dot product)atau hasil kali dalam Euclidis ( Euclideanatau hasil kali dalam Euclidis ( Euclideaninner product ) u.v didefinisikan oleh :inner product ) u.v didefinisikan oleh :

Lambang :Lambang : uu .. vv Hasil : skalarHasil : skalar Definisi 1 (jika diketahui sudutDefinisi 1 (jika diketahui sudut

antara 2 vektor ):antara 2 vektor ):Jika u dan v adalah vektor di ruang 2 atauJika u dan v adalah vektor di ruang 2 atauruang 3, danruang 3, dan adalah sudut di antara uadalah sudut di antara udan v, maka hasil kali titik (dot product)dan v, maka hasil kali titik (dot product)atau hasil kali dalam Euclidis ( Euclideanatau hasil kali dalam Euclidis ( Euclideaninner product ) u.v didefinisikan oleh :inner product ) u.v didefinisikan oleh :

0vu,jikaθ,cosvuu.v

0vu,jika,0u.v

Definisi 2 (Definisi 2 (Jika tidak diketahui sudutJika tidak diketahui sudutdiantaranyadiantaranya ))::Untuk u=(uUntuk u=(u11,u,u22) dan v=(v) dan v=(v11,v,v22) maka :) maka :u.v = uu.v = u11 vv11 + u+ u22 vv22

Untuk u=(uUntuk u=(u11,u,u2,2,uu33) dan v=(v) dan v=(v11,v,v22,v,v33) maka :) maka :u.v = uu.v = u11 vv11 + u+ u22 vv22+ u+ u33.v.v33

TEOREMATEOREMAJika v adalah vektor di RJika v adalah vektor di R22 atau Ratau R3,3, maka :maka :

Definisi 2 (Definisi 2 (Jika tidak diketahui sudutJika tidak diketahui sudutdiantaranyadiantaranya ))::Untuk u=(uUntuk u=(u11,u,u22) dan v=(v) dan v=(v11,v,v22) maka :) maka :u.v = uu.v = u11 vv11 + u+ u22 vv22

Untuk u=(uUntuk u=(u11,u,u2,2,uu33) dan v=(v) dan v=(v11,v,v22,v,v33) maka :) maka :u.v = uu.v = u11 vv11 + u+ u22 vv22+ u+ u33.v.v33

TEOREMATEOREMAJika v adalah vektor di RJika v adalah vektor di R22 atau Ratau R3,3, maka :maka :

v.vvatauvv.v2

TEOREMATEOREMA

Jika u,v dan w adalah vektor di RJika u,v dan w adalah vektor di R22atau Ratau R33 dan k adalah skalar, maka :dan k adalah skalar, maka :a.a. uu .. vv == vv.. uub.b. uu. (. (vv ++ ww) =) = uu..vv ++ uu..wwc. k (c. k (u.vu.v) = (k) = (k uu) .) .vv == uu . (k. (kvv))d.d. v .vv .v > 0 jika> 0 jika vv 0 dan0 dan v.vv.v = 0 jika= 0 jika

vv = 0= 0

Jika u,v dan w adalah vektor di RJika u,v dan w adalah vektor di R22atau Ratau R33 dan k adalah skalar, maka :dan k adalah skalar, maka :a.a. uu .. vv == vv.. uub.b. uu. (. (vv ++ ww) =) = uu..vv ++ uu..wwc. k (c. k (u.vu.v) = (k) = (k uu) .) .vv == uu . (k. (kvv))d.d. v .vv .v > 0 jika> 0 jika vv 0 dan0 dan v.vv.v = 0 jika= 0 jika

vv = 0= 0

CROSS PRODUCTCROSS PRODUCT

DigunakanDigunakan khususkhusus untuk vektor di Runtuk vektor di R33

Lambang :Lambang : uu xx vv Hasil : vektorHasil : vektor Definisi :Definisi :

DigunakanDigunakan khususkhusus untuk vektor di Runtuk vektor di R33

Lambang :Lambang : uu xx vv Hasil : vektorHasil : vektor Definisi :Definisi :

21

21

31

31

32

32

vv

uu,

vv

uu,

vv

uuu x v

TEOREMATEOREMA Jika u dan v adalah vektor di RJika u dan v adalah vektor di R33 maka :maka :

a.a. uu . (. (uu xx vv) =) = 00b.b. v.v. ((uu xx vv) =) = 00c.c. uu xx vv == -- ((vv xx uu ))d.d. uu x (x (vv ++ ww) = () = (uu xx vv) + () + ( uu xx ww))e.e. ((uu++vv) x) x ww=(=(uu xx ww) + () + ( vv xx ww))f.f. k (k (uu xx vv)=(k)=(k uu) x) x vv==uu x kx kvvg.g. uu xx 00==00 xx uu== 00h.h. uu xx uu==00i.i. u . (v x w) = w. (u x v ) = v. (w x u)u . (v x w) = w. (u x v ) = v. (w x u)

Jika u dan v adalah vektor di RJika u dan v adalah vektor di R33 maka :maka :

a.a. uu . (. (uu xx vv) =) = 00b.b. v.v. ((uu xx vv) =) = 00c.c. uu xx vv == -- ((vv xx uu ))d.d. uu x (x (vv ++ ww) = () = (uu xx vv) + () + ( uu xx ww))e.e. ((uu++vv) x) x ww=(=(uu xx ww) + () + ( vv xx ww))f.f. k (k (uu xx vv)=(k)=(k uu) x) x vv==uu x kx kvvg.g. uu xx 00==00 xx uu== 00h.h. uu xx uu==00i.i. u . (v x w) = w. (u x v ) = v. (w x u)u . (v x w) = w. (u x v ) = v. (w x u)

SUDUT ANTARA 2 VEKTORSUDUT ANTARA 2 VEKTOR

Jika u dan v adalah vektor tak nol,Jika u dan v adalah vektor tak nol,dandan adalah sudut antara vektor uadalah sudut antara vektor udan v, maka :dan v, maka :

Jika u dan v adalah vektor tak nol,Jika u dan v adalah vektor tak nol,dandan adalah sudut antara vektor uadalah sudut antara vektor udan v, maka :dan v, maka :

vuu.vθcos

TEOREMATEOREMAJika u dan v adalah vektor vektor takJika u dan v adalah vektor vektor taknol dannol dan adalah sudut di antaraadalah sudut di antarakedua vektor tersebut, maka :kedua vektor tersebut, maka : lancip, jika dan hanya jika u.vlancip, jika dan hanya jika u.v 00 tumpul, jika dan hanya jika u.vtumpul, jika dan hanya jika u.v 00 == /2 , jika dan hanya jika u.v = 0/2 , jika dan hanya jika u.v = 0

Jika u dan v adalah vektor vektor takJika u dan v adalah vektor vektor taknol dannol dan adalah sudut di antaraadalah sudut di antarakedua vektor tersebut, maka :kedua vektor tersebut, maka : lancip, jika dan hanya jika u.vlancip, jika dan hanya jika u.v 00 tumpul, jika dan hanya jika u.vtumpul, jika dan hanya jika u.v 00 == /2 , jika dan hanya jika u.v = 0/2 , jika dan hanya jika u.v = 0

PROJ (U,V) & KOMP (U,V)PROJ (U,V) & KOMP (U,V) Dot product, berguna bila diinginkanDot product, berguna bila diinginkan

untuk menguraikan vektor ke dalamuntuk menguraikan vektor ke dalampenjumlahan dua vektor yang salingpenjumlahan dua vektor yang salingtegak lurus.tegak lurus.

Perhatikan gambar di bawah ini :Perhatikan gambar di bawah ini :

Dot product, berguna bila diinginkanDot product, berguna bila diinginkanuntuk menguraikan vektor ke dalamuntuk menguraikan vektor ke dalampenjumlahan dua vektor yang salingpenjumlahan dua vektor yang salingtegak lurus.tegak lurus.

Perhatikan gambar di bawah ini :Perhatikan gambar di bawah ini :

w1 v

uw2

Jika u dan v adalah vektor vektor takJika u dan v adalah vektor vektor taknol dalam Rnol dalam R22 atau Ratau R33, maka u dapat, maka u dapatdituliskan :dituliskan : uu == ww11 ++ ww22

di manadi mana ww11 adalah kelipatan skalaradalah kelipatan skalardaridari vv, dan, dan ww22 tegak lurus kepadategak lurus kepada vv..

Dikatakan :Dikatakan :ww11 adalahadalah projeksi ortogonalprojeksi ortogonal daridari uupadapada vvww22 adalahadalah komponenkomponen daridari uu yangyangortogonal kepadaortogonal kepada vv

Jika u dan v adalah vektor vektor takJika u dan v adalah vektor vektor taknol dalam Rnol dalam R22 atau Ratau R33, maka u dapat, maka u dapatdituliskan :dituliskan : uu == ww11 ++ ww22

di manadi mana ww11 adalah kelipatan skalaradalah kelipatan skalardaridari vv, dan, dan ww22 tegak lurus kepadategak lurus kepada vv..

Dikatakan :Dikatakan :ww11 adalahadalah projeksi ortogonalprojeksi ortogonal daridari uupadapada vvww22 adalahadalah komponenkomponen daridari uu yangyangortogonal kepadaortogonal kepada vv

Menentukan vektorMenentukan vektor ww11 dandan ww22 ::KarenaKarena ww11 adalah kelipatan skalaradalah kelipatan skalardaridari vv, maka dapat ditulis dalam, maka dapat ditulis dalambentukbentuk ww11 = k= kvv . Jadi :. Jadi :u = wu = w11 + w+ w22 = kv + w= kv + w22

Dengan definisi dari dot productDengan definisi dari dot productmaka didapatkan :maka didapatkan :u.vu.v == ((kkv + wv + w22).v).v = k += k + ww22..vvKarenaKarena ww22 tegak lurus kepada v,tegak lurus kepada v,maka diperolehmaka diperoleh ww22.v.v == 00 sehinggasehinggapers menjadi :pers menjadi :

Menentukan vektorMenentukan vektor ww11 dandan ww22 ::KarenaKarena ww11 adalah kelipatan skalaradalah kelipatan skalardaridari vv, maka dapat ditulis dalam, maka dapat ditulis dalambentukbentuk ww11 = k= kvv . Jadi :. Jadi :u = wu = w11 + w+ w22 = kv + w= kv + w22

Dengan definisi dari dot productDengan definisi dari dot productmaka didapatkan :maka didapatkan :u.vu.v == ((kkv + wv + w22).v).v = k += k + ww22..vvKarenaKarena ww22 tegak lurus kepada v,tegak lurus kepada v,maka diperolehmaka diperoleh ww22.v.v == 00 sehinggasehinggapers menjadi :pers menjadi :

2

v

dan karena wdan karena w11 = kv, maka didapat := kv, maka didapat :

yaitu projeksi ortogonalyaitu projeksi ortogonal uu padapada vv

2

v

u.vk

vv

u.vv)(u,proj

vv

u.vw

2

21

dan karena wdan karena w11 = kv, maka didapat := kv, maka didapat :

yaitu projeksi ortogonalyaitu projeksi ortogonal uu padapada vv

vv

u.vv)(u,proj

vv

u.vw

2

21

Dengan substitusiDengan substitusi uu == ww11 ++ ww22 untukuntukmendapatkanmendapatkan ww22 maka didapatmaka didapatrumus berikut :rumus berikut :

yaitu komponen dariyaitu komponen dari uu yang tegakyang tegaklurus padalurus pada vv

vvu.v

uw 22

Dengan substitusiDengan substitusi uu == ww11 ++ ww22 untukuntukmendapatkanmendapatkan ww22 maka didapatmaka didapatrumus berikut :rumus berikut :

yaitu komponen dariyaitu komponen dari uu yang tegakyang tegaklurus padalurus pada vv

vvu.v

uw 22

Jadi :Jadi :

vv

u.v-uv)(u,Komp

vv

u.vv)Proj(u,

2

2

vv

u.v-uv)(u,Komp

vv

u.vv)Proj(u,

2

2