SISTEM BILANGAN RIIL

Sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya merupakan salah satu pilar utama dalam matematika, khususnya kalkulus. Dengan sistem bilangan ini beserta operasi-operasi yang berlaku di dalamnya permasalahan komputasi matematika menjadi jelas dan mudah dilakukan. Namun sebelum meninjau lebih jauh mengenai apakah bilangan riil itu dan apa sajakah sifat-sifatnya, akan ditinjau terlebih dahulu sistem bilangan yang lebih sederhana.

Beberapa Sistem Bilangan1. Sistem Bilangan Asli

Di antara bilangan yang sudah dikenal, bilangan asli merupakan bilangan yang paling sederhana. Dengan bilangan ini, kita dapat menghitung obyek atau benda-benda yang ada di sekitar kita. Notasi untuk himpunan semua bilangan asli adalah

N = {1, 2, 3, … }.Himpunan ini beserta operasi tambah (+) dan kali (x) yang bersifat tertutup di

dalamnya atau dinotasikan dengan (N, +, x) membentuk suatu sistem yang dinamakan sistem bilangan asli.

2. Sistem Bilangan BulatJika pada himpunan semua bilangan asli di atas ditambahkan negatifnya dan

bilangan 0 sebagai unsur netral terhadap operasi +, maka diperoleh himpunanZ = {0, 1, 2, 3, …}

yang dinamakan himpunan semua bilangan bulat.Terhadap operasi + dan x yang bersifat tertutup di dalamnya, himpunan semua

bilangan bulat Z ini atau (Z, +, x) membentuk suatu sistem yang dinamakan sistem bilangan bulat.

3. Sistem Bilangan RasionalPada beberapa pengukuran besaran seperti pengukuran panjang, suhu atau arus

listrik, bilangan-bilangan bulat boleh dikatakan tidak memadai lagi, karena kurang memberikan ketelitian yang cukup baik. Oleh karena itu, hasil bagi dari bilangan-bilangan

bulat seperti , , , , dan sangat diperlukan. Perlu diperhatikan bahwa,

kita tidak diperkenankan membagi suatu bilangan dengan nol.

Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk , dengan dan adalah

bilangan-bilangan bulat dan , disebut bilangan-bilangan rasional. Selanjutnya himpunan semua bilangan rasional ini dinotasikan dengan Q, sehingga

Q = .

Himpunan semua bilangan rasional Q bersama-sama dengan operasi + dan x yang bersifat tertutup di dalamnya atau (Q, +, x) membentuk suatu sistem yang dinamakan sistem bilangan rasional

4. Himpunan Bilangan Tak Rasional

Pada kenyataannya, bilangan-bilangan rasional masih mempunyai keterbatasan, karena bilangan ini tidak dapat mengukur semua besaran, salah satu contohnya besaran panjang. Fakta ini ditemukan oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi, yaitu meskipun merupakan panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku dengan sisi-sisi 1, bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dari dua bilangan bulat. Jadi merupakan bilangan tak rasional. Demikian juga dengan bilangan-bilangan , , , dan sebagainya, merupakan contoh-contoh lain bilangan yang tak rasional.

Jika semua bilangan tak rasional di atas kita kumpulkan, maka kita mempunyai sebuah himpunan yang disebut himpunan semua bilangan tak rasional.

5. Sistem Bilangan RiilJika kita kumpulkan semua bilangan rasional dan bilangan tak rasional bersama-sama

dengan negatifnya dan nol, maka diperoleh himpunan yang dinamakan himpunan semua bilangan riil dan biasanya dinotasikan dengan R. Sama halnya dengan sistem bilangan asli, sistem bilangan bulat maupun sistem bilangan rasional, himpunan semua bilangan riil R ini bersama-sama operasi + dan operasi x membentuk suatu sistem yang dinamakan sistem bilangan riil.

Sebagaimana kita ketahui, bilangan-bilangan riil dapat dipandang sebagai label untuk titik-titik sepanjang suatu garis lurus mendatar. Dalam garis mendatar ini, bilangan-bilangan riil tersebut mengukur jarak ke kanan atau ke kiri (jarak berarah) dari suatu titik tetap yang disebut titik asal dan dinotasikan dengan 0. Setiap titik pada garis mempunyai sebuah label bilngan riil yang tunggal dan selanjutnya bilangan ini disebut sebagai koordinat dari titik tersebut serta garis koordinat yang dihasilkan diacu sebagai garis bilangan riil atau disingkat garis riil saja.

Dalam prakteknya, seringkali bilangan riil dinyatakan atau dituliskan dalam bentuk

desimal, sebagai contoh bilangan-bilangan , dan berturut-turut dapat dituliskan

dalam bentuk desimal sebagai 0,2; 1,6666... dan 0,7272727... serta dapat diperlihatkan pula bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari dua tipe berikut ini :

1. desimal berhenti ( , , dan seterusnya) atau

2. desimal berulang beraturan ( , , dan seterusnya).

Sedangkan jika bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu dari kedua tipe di atas, maka bilangan tersebut merupakan bilangan tak rasional. Sebagai contoh = 1,414213..., = 2,7182..., = 3,14159... dan seterusnya.

Sifat-sifat Bilangan RiilSebagaimana telah dijelaskan di muka, himpunan semua bilangan riil R bersama-

sama operasi + dan operasi x atau dituliskan (R, +, x) membentuk suatu sistem yang dinamakan sistem bilangan riil.

Pada bagian ini pembaca diingatkan kembali kepada sifat-sifat yang berlaku pada himpunan semua bilangan riil R di atas. Jika , dan adalah sembarang bilangan riil, maka berlaku sifat-sifat berikut ini :

1. Sifat komutatif

a.b.

2. Sifat asosiatifa.b.

3. Sifat distributif

4. Eksistensi unsur-unsur identitasTerdapat dua bilangan riil, yaitu 0 dan 1, dengan 0 ≠ 1 yang memenuhi hubungan :

dan . Bilangan 0 dan 1 ini berturut-turut dinamakan unsur identitas terhadap operasi + dan unsur identitas terhadap operasi x

5. Eksistensi inversUntuk setiap bilangan riil mempunyai invers aditif (disebut juga negatif), , sehingga dan mempunyai invers perkalian sehingga .

6. Sifat pengurangan

7. Sifat pembagian

, asalkan

8. Hukum kanselasi (pembatalan)a. Jika dan , maka

b. Jika dan , maka

9. Sifat pembagi nolJika , maka atau

Sifat Urutan pada Bilangan RiilSeperti diketahui, himpunan semua bilangan riil dapat dibagi menjadi tiga himpunan

tidak kosong yang salin asing, yaitu : himpunan semua bilangan riil positif, himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya anggota dan himpunan semua bilangan riil negatif.

Kenyataan ini memungkinkan kita untuk memperkenalkan relasi urutan ”<” (dibaca kurang dari) sebagai berikut : untuk sembarang bilangan riil dan , dikatakan kurang dari , dinotasikan jika dan hanya jika positif atau . Sedangkan dikatakan lebih dari , dinotasikan jika .

Selanjutnya jika kurang dari atau sama dengan , maka dituliskan dan jika lebih dari atau sama dengan , maka dituliskan . Sedangkan notasi dimaksudkan sebagai dan , artinya terletak di antara dan .

Beberapa sifat penting yang perlu diketahui, terkait dengan relasi urutan di atas antara lain :

1. Sifat trikotomiUntuk sembarang bilangan riil dan , berlaku tepat satu : , atau

2. Sifat ketransitifan (menghantar)Jika dan maka

3. Sifat penambahan a. Jika maka , untuk sembarang bilangan riil b. Jika dan maka

4. Sifat perkalian

a. Jika dan maka b. Jika dan maka

5. Sifat kebalikan

a. Jika maka

b. Jika maka

6. Sifat akar dan kuadratJika dan maka

Desimal dan KerapatanSeperti telah dikemukan di depan, sembarang bilangan riil, khususnya bilangan

rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal, karena berdasarkan definisi, bilangan rasional ini senantiasa dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Jika pembilang dibagi dengan penyebut, maka diperoleh suatu bentuk desimal. Desimal tersebut

dapat berupa desimal yang berhenti (seperti : = 0,2, = 0,75 dan = 0,125) atau

desimal yang berulang dengan pola yang teratur (seperti : = 0,33333..., = 0,7272727...

dan = 1,166666...).

Bilangan-bilangan tak rasional dapat pula dituliskan dalam bentuk desimal, akan tetapi desimalnya berupa desimal yang tidak berakhir dan tidak berulang menurut suatu pola, sebagai contoh = 1,7320508075... Sebaliknya, jika suatu desimal tak berakhir dan tidak berulang pasti menyatakan suatu bilangan tak rasional, sebagai misal desimal yang berbentuk 0,102100210002100002... pastilah menyatakan suatu bilangan tak rasional.

Contoh : Perlihatkan bahwa bentuk-bentuk desimal berulang : 0,121212... dan 2,168168168... menyatakan bilangan-bilangan rasional.

Pembahasan : Misalkan x = 0,121212..., maka 100x = 12,121212... Selanjutnya jika kita kurangkan x dari 100x dan kemudian diselesaikan untuk x diperoleh 100x = 12,121212... x = 0,121212... _

99x = 12

x = = .

Demikian juga jika dimisalkan y = 2,168168168..., maka 1000y = 2168,168168168... dan dengan cara serupa dengan penyelesaian sebelumnya didapat

1000y = 2168,168168168... y = 2,168168168... _ 999y = 2166

y = = .

Karena kedua bentuk desimal berulang di atas dapat dinyatakan sebagai hasil bagi antara dua bilangan bulat, maka benar bahwa kedua bentuk desimal di atas merupakan bilangan rasional. ■

Catatan : secara umum untuk memperoleh bilangan rasional yang dicari, pertama kali yang harus dilakukan adalah mengalikan bentuk desimal berulang x yang diketahui dengan 10n, jika desimal tersebut berulang dalam suatu pola yang memuat n angka

Seperti diketahui, di antara dua bilangan riil sembarang yang berlainan dan ,

terdapat suatu bilangan riil yang lain. Pada khususnya, terdapat bilangan riil , yang

merupakan bilangan pertengahan antara dan . Selanjutnya karena terdapat juga suatu bilangan riil di antara dan , serta bilangan riil di antara dan dan karena argumen ini dapat diulang sampai tak berhingga kali, maka dapat disimpulkan bahwa di antara dua bilangan riil sembarang (betapapun dekatnya), terdapat tak berhingga banyak bilangan riil yang lain. Bilangan-bilangan riil ini dapat berupa bilangan rasional dan bilangan yang tak rasional, yang tak berhingga banyaknya dari tiap jenis.

Contoh : Carilah suatu bilangan rasional dan bilangan tak rasional yang terletak di antara dan , jika diketahui = 0,12345678... dan = 0,12345700...

Pembahasan : Misalkan = 0,123456800000... dan = 0,123456801001000100001..., maka adalah bilangan rasional (karena berakhir dengan pengulangan 0), sedangkan adalah bilangan tak rasional (karena pola penyisipan 0 yang semakin banyak di antara angka 1) dan terlihat bahwa . ■

Soal Latihan1. Jika diketahui , manakah di antara pernyataan berikut ini yang senantiasa

benar : a.b.c.d.

2. Nyatakanlah tiap bilangan rasional berikut dalam bentuk desimal :

a. d.

b. e.

c. f.

3. Ubahlah bentuk desimal berulang berikut menjadi bentuk pecahan (bilangan rasional) : a. 0,47474747... d. 5,699669966996...b. 0,258258258... e. 3,00167676767...c. 1,1098098098... f. – 0,0123123123...

4. Perlihatkan bahwa rata-rata antara dua buah bilangan riil terletak di antara kedua bilangan tersebut, dengan perkataan lain, perlihatkan bahwa jika maka

.

5. Tentukan suatu bilangan tak rasional dan bilangan rasional yang terletak di antara bilangan 3,1415926535... dan 3,141592654000...