ringkasan pencerminan1

14
RINGKASAN MATERI PENCERMINAN Definisi: Suatu pencerminan (reflexi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi M s yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut: a. jika P s maka M s (P) = P b. jika P s maka M s (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu ' PP . Pencerminan M pada garis s selanjutnya dilambangkan sebagai M s . garis s disebut sumbu refleksi / sumbu pencerminan / singkat cermin. Teorema Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi. Bukti: M s : V V I. Akan dibuktikan Ms surjektif. Ambil Sebarang ) ( ' ' X Ms X V X . Menurut definisi jika S X maka X X X Ms ' ) ( Jadi S X X Ms X X V X ), ( ' , ' ) ( ' , ' X Ms X X V X dengan S sumbu XX’ Jadi M s surjektif. II. Akan dibuktikan M s injektif. Kasus 1 Misalkan 2 1 A A Untuk S A 1 maka 1 1 1 ' ) ( A A A Ms . S A 2 maka 2 2 2 ' ) ( A A A Ms Jadi ' ' 2 1 A A Kasus 2 Ambil S A S A 2 1 , maka

Upload: taofikzikri

Post on 04-Aug-2015

78 views

Category:

Education


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Ringkasan pencerminan1

RINGKASAN MATERI

PENCERMINAN

Definisi:

Suatu pencerminan (reflexi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk

setiap titik pada bidang V sebagai berikut:

a. jika P s maka Ms (P) = P

b. jika P s maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu 'PP . Pencerminan M pada

garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. garis s disebut sumbu refleksi / sumbu

pencerminan / singkat cermin.

Teorema

Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi.

Bukti:

Ms: V → V

I. Akan dibuktikan Ms surjektif.

Ambil Sebarang )('' XMsXVX .

Menurut definisi jika SX maka XXXMs ')(

Jadi SXXMsXXVX ),(','

)(',' XMsXXVX dengan S sumbu XX’

Jadi Ms surjektif.

II. Akan dibuktikan Ms injektif.

Kasus 1

Misalkan 21 AA

Untuk SA 1 maka 111 ')( AAAMs .

SA 2 maka 222 ')( AAAMs

Jadi '' 21 AA

Kasus 2

Ambil SASA 21 , maka

Page 2: Ringkasan pencerminan1

S A = A’

i). 111 ')( AAAMs

ii). ,')( 222 AAMsA yakni S sumbu dari '22 AA .

Karena SA 1 dan SA 2 maka '' 21 AA

Kasus 3

Untuk '',, 212121 AAAASASA

Andaikan )()( 21 AMsAMs . Maka dipenuhi :

'11 AA adalah suatu garis dengan sumbu S, artinya SAA '11 .

'22 AA adalah suatu garis dengan sumbu S, artinya SAA '22 .

Andaikan 21 AA , maka menurut teorema tidak ada 2 buah garis yang tegak lurus

terhadap garis sumbu S yang melalui titik yang sama.

Artinya jika )()( 21 AMsAMs maka haruslah 21 AA . Padahal diketahui 21 AA .

Jadi haruslah )()( 2121 AMsAMsAA .

Karena Ms surjektif dan injektif maka berlaku bahwa setiap refleksi pada garis adalah suatu

transformasi.

Definisi:

Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q berlaku P’Q’ = PQ

dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q).

Teorema:

Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.

Jadi kalau A’ = Ms(A), B = Ms(B) maka AB = A’B’.

Bukti:

Ambil Semarang A, B, A’, B’ V dengan Ms(A) = A’ dan Ms(B) = B’.

Akan ditunjukkan A’B’ = AB.

Kasus I

Jika A, B S maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’ = B.

Jadi AB = A’B’ Ms(A)Ms(B) = AB.

Kasus II

Page 3: Ringkasan pencerminan1

Jika A S, B S dan Ms(A) = A’ = A dan Ms (B) = B’

Akan ditunjukkan AB = A’B’

Perhatikan CABABC '&

AC = AC (berimpit)

'ACBmABCm (karena siku-siku)

BC = B’C (karena S sumbu simetri)

Menurut teorema karena CABABC '& mempunyai sifat S Sd S yang sama, maka

CABABC ' .

Jadi AB = A’B’.

Kasus III

Jika A, B S dan Ms(A) = A’, Ms(B) = B’.

Akan ditunjukkan AB = A’B’

Perhatikan DCBBDC '& .

DC = DC (berimpit)

'DCBmDCBm (karena siku-siku)

BC = B’C (karena S sumbu simetri)

Menurut teorema karena DCBBDC '& mempunyai sifat S Sd S yang sama maka

DCBBDC ' .

Jadi BD = B’D dan DCBmBDCm ' .

Karena DCBmBDCm ' dan DCAmADCm ' (900)

Maka ''

'9090

0

0

DBAmABDmDCBmADBm

BDCmADBm

Perhatikan ADBBAD '&

AD = A’D (berimpit)

DBAmADBm ' (dari pernyataan 1)

DB = DB’ (diketahui)

Menurut teorema karena ADBBAD '& mempunyai sifat S Sd S yang sama maka

ADBBAD ' .

Jadi AB = A’B’.

C

A’

S A

B’ B

Page 4: Ringkasan pencerminan1

SOAL LATIHAN

1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan pula Mg(B).

● ●

A B

Mg(A) = B dan Mg(B) = A

2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan

B (-2,-1). Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B!

Diket : A (1,3), B (-2,-1)

Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B

Jawab :

Persamaan garis AB

05344493

)1(4)3(312

1313

12

1

12

1

yxxy

xy

xyxxxx

yyyy

Gradien m = 34

Gradien yang tegak lurus garis AB, m2 = -43

Titik tengah AB = )1,21(

2)2,1(

2)1,2()3,1(

Persamaan garis yang melalui )1,21( dengan m = 3 adalah

y – y1 = m (x – x1)

y – 1 = - 43 (x +

21 )

X 1 -1

-1 -2 1

2 3

Y

Page 5: Ringkasan pencerminan1

y = - 43 x -

83 + 1

y = - 43 x +

85

8y + 6x – 5 = 0

6x - 8y – 5 = 0

Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y – 5 = 0

3. Diketahui: g = -3x, yx

Ditanya:

a. Mg(A), bila A(2,1).

b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . .

c. P(x,y), maka Mg(P) = . . .

Jawab:

a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1.

B (-3,1) adalah titik tengah 'AA ,

Maka (-3,1) =

21

,2

22

,2

''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )2,2(2,6 '' AA yx

1,8, '' AA yx

Jadi A’ = (-8,1)

b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah y = 7.

D(-3,7) adalah titik tengah 'AA ,

Maka (-3,7) =

2

7,

21

2,

2'' CCCCCC yxyyxx

Jelas )7,1(14,6 CC yx

7,5, CC yx

Jadi C = (-5,7)

c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp.

Page 6: Ringkasan pencerminan1

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .

Jelas Q = (-3, yp) =

2,

2'' pppp yyxx

pppp

ppppp

yxyxyyxxy

,6,),(2,6

'

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-6 – x,y).

4. Diketahui g = 2y, yx

Ditanya:

a. Jika A = 2,3 , tentukan A’ = Mg(A).

b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta D’ oleh Mg.

c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P)

Jawab:

a. Persamaan garis yang melalui A 2,3 dan tegak lurus g adalah x = 3.

Misal B (3,2) adalah titik tengah 'AA ,

Maka (3,2) =

22,

23

2,

2''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )2,3(4,6 '' AA yx

24,3, '' AA yx

Jadi A’ = (3, 24 )

b. Persamaan garis yang melalui D’ = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2.

Misal C(2,2) adalah titik tengah 'DD ,

Maka (2,2) =

2)4(

,2

22

,2

'' DDDDDD yxyyxx

Jelas )4,2(4,4 DD yx

8,2, DD yx

Jadi Prapeta D oleh Mg = (2,8)

c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp.

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .

Page 7: Ringkasan pencerminan1

Jelas Q = (xQ, 2) =

2,

2'' pppp yyxx

pppp

ppppp

ppppp

yxyxyyxxx

yyxxx

4,,

,4,2

)2

,2

(2,

''

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-x, 4 - y).

5. Diketahui h = xy, yx

Ditanya:

a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mh(A).

b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mh.

c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P)

Jawab:

a. Dicari gradien garis y = x, yaitu m = 1

Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah

132

)2(13)( 11

xyxy

xyxxmyy

Mencari perpotongan y = x dan y = -x – 1 dengan mensubstitusikannya.

y = y

x = -x – 1

2x = -1

x = -21

substitusikan x = -21 ke persamaan y = x

diperoleh y = -21 .

Jadi titik tengah 'AA (-21 ,-

21 ).

Page 8: Ringkasan pencerminan1

Jelas (-21 ,-

21 ) titik tengah 'AA , maka

23

,2

22

,22

1,21 ''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )3,2(1,1 '' AA yx

2,3, '' AA yx

Jadi A’ = (-3,2)

b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1

Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah

253

)3(15)( 11

xyxy

xyxxmyy

Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara substitusi.

y = y x = -x + 2 2x = 2 x = 1 substitusikan x = 1 ke persamaan y = x

diperoleh y = 1.

Jadi titik tengah 'BB (1,1).

Jelas (1,1) titik tengah 'BB , maka

2

5,

2)3(

2,

21,1 '' BBBBBB yxyyxx

Jelas )5,3(2,2 BB yx

3,5, '' AA yx

Jadi A’ = (5,-3)

c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah

pp

pp

yxxyxxmyy

)(

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .

Page 9: Ringkasan pencerminan1

Jelas Q = (xQ, yQ) =

2,

2'' pppp yyxx

QpQppp

ppppQQ

yyxxyxyyxxyx

2,2,),(2,2

''

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).

6. Diketahui k = 0yx, yx Ditanya:

a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mk(A).

b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mk.

c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P)

Jawab:

a. Dicari gradien garis k xyyx 0

Jadi mk = -1

Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah

532

)2(13)( 11

xyxy

xyxxmyy

Mencari perpotongan y = -x dengan y = x - 5 dengan cara substitusi.

y = y

-x = x – 5

2x = 5

x = 25

substitusikan x = 25 ke persamaan y = -x

diperoleh y = -25 .

Jadi titik potongnya (25 , -

25 )

Karena (25 , -

25 ) titik tengah 'AA , maka

Page 10: Ringkasan pencerminan1

23

,2

22

,22

5,25 '''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )3,2(5,5 '' AA yx

2,3, '' AA yx

Jadi A’ = (3,-2)

b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1

Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah

853

)3(15)( 11

xyxy

xyxxmyy

Mencari perpotongan y = -x dengan y = x +8 dengan cara substitusi.

y = y

-x = x + 8

2x = -8

x = -4

substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x

diperoleh y = 4.

Jadi titik potongnya (-4,4).

Karena (-4,4) titik tengah 'BB , maka

2

5,

2)3(

2,

24,4 '' BBBBBB yxyyxx

Jelas )5,3(8,8 BB yx

3,5, '' AA yx

Jadi A’ = (-5, 3)

c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah

pp

pp

yxxyxxmyy

)(

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .

Page 11: Ringkasan pencerminan1

Jelas Q = (xQ, yQ) =

2,

2'' pppp yyxx

QpQppp

ppppQQ

yyxxyxyyxxyx

2,2,

),(2,2

''

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).

7. Diketahui g = 1y x, yx

Ditanya:

a. Mg(0)

b. Mg(A) dengan A(1,2).

c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P.

Jawab:

a. Dipunyai g = 1y x, yx , dari x + y = 1 y = 1 – x.

Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g adalah m = 1

Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah

xyxy

xxmyy

)0(10

)( 11

Jadi xyh

Titik potong antara g dan h adalah titik O, yaitu

y = y

1 – x = x

2x = 1

x = 21

substitusikan x = 21 ke persamaan y = x

diperoleh y = 21 .

Jadi titik potongnya (21 ,

21 )

Page 12: Ringkasan pencerminan1

Karena (21 ,

21 ) titik tengah 'OO , maka

20

,2

02

,22

1,21 '0'0'00'00 yxyyxx

Jelas ),(1,1 '0'0 yx

1,1, '0'0 yx

Jadi Mg(O) = (1,1)

b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah

112

)1(12)( 11

xyxy

xyxxmyy

Jadi xyh +1

Mencari perpotongan g dengan h.

y = y

1 - x = x + 1

2x = 0

x = 0

substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x

diperoleh y = 1.

Jadi titik potongnya (0,1).

Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka

22

,2

12

,2

1,0 '''' BBoooo yxyyxx

Jelas )2,1(2.0 '' oo yx

0,1, ' oo yx

Jadi A’ = (-1,0)

c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g = 1y x, yx

Karena Mg(P) = P, maka P )1,( xxP

Diperoleh x + y = 1 01)1(1 xxxyx

Page 13: Ringkasan pencerminan1

Dan y = 0 + 1 = 1

Jadi Mg(P) = (0,1).

8. Diketahui g = 013y-x, yx , dan A (2,k).

Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A

Jawab : Dipunyai x – 3y +1 = 0,

Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g.

Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g.

Untuk x = 2 maka x – 3y +1 = 0 2 - 3y = -1 3y = 3 y = 1

Jadi nilai k = 1.

9. Diketahui k = 013-ax, yyx , B = (3,-1)

Tentukan a apabila Mk(B) = B!

Karena Mk(B) = B, maka

B = (3,-1) terletak pada garis k.

Diperoleh a.3 – 3(-1) + 1 = 0 3a +3 +1 = 0 3a = - 4

a = - 34

Jadi nilai a = - 34 .

10. Dipunyai T(P) = (x-5, y+3)

P = (x, y) V

Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri?

Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri. Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2 V maka P1‘P2’ = P1P2 Ambil sebarang titik P1, P2 V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2) T(P1) = P1’ = (x1-5, y1+3) T(P2) = P2’ = (x2-5, y2+3)

212

21221P yyxxP

2

122

1221

212

21221

212

21221

212

21221

''P

)3355''P

)3()3()5()5(''P

''''''P

yyxxP

yyxxP

yyxxP

yyxxP

Page 14: Ringkasan pencerminan1

Maka P1‘P2’ = P1P2.

karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri.