Nama : Aryati Puji Rahayu

NIM : D11111010

Deret FourierDalam interferensi, difraksi, terjadi superposisidua buah gelombang bahkan

lebih.Seringkali superposisi terjadi antara gelombang yang memiliki amplitudo, panjang

gelombang yang berbeda, sehingga sulit untukmendeskripsikan gelombang hasil superposisi.

Baron de Fourier (1768-1830) membuat Teorema untuk mengatasi masalah tersebut

(TEOREMA FOURIER).

Deret Fourier merupakan penguraian fungsi periodik menjadi jumlahan fungsi-fungsi

berosilasi, yaitu fungsi sinus dan kosinus, ataupun eksponensial kompleks. Studi deret

Fourier merupakan cabang analisis Fourier. Deret Fourier diperkenalkan oleh Joseph Fourier

(1768-1830) untuk memecahkan masalah persamaan panas di lempeng logam.

Persamaan panas merupakan persamaan diferensial parsial. Sebelum Fourier,

pemecahan persamaan panas ini tidak diketahui secara umum, meskipun solusi khusus

diketahui bila sumber panas berperi laku dalam cara sederhana, terutama bila sumber banas

merupakan gelombang sinus atau kosinus. Solusi sederhana ini saat ini kadang-kadang

disebut sebagai solusi eigen. Gagasan Fourier adalah memodelkan sumber panas ini sebagai

superposisi (atau kombinasi linear)gelombang sinus dan kosinus sederhana, dan menuliskan

pemecahannya sebagai superposisi solusi eigen terkait. Superposisi kombinasi linear ini

disebut sebagai deret Fourier.

Suatu fungsi periodik terhadap waktu, xp(t), dengan perioda dasar T0 , dapat

dinyatakan sebagai jumlah tak hingga dari gelombang-gelombang sinusoidal. Fungsi

periodik: xp(t) = xp(t + T0)dapat dinyatakan dalam bentuk Deret Fourier sebagai berikut:

Misalkan f(x) didefinisikan pada selang (-L,L) dan diluar selang ini oleh f(x+2L)=f(x) yaitu

diandaikan bahwa f(x) mempunyai periode 2L. Deret fourier atau uraian fourier yang

bersesuaian dengan f(x) ditentukan oleh Persamaan (1)

f ( x )=a0

2+∑n=1

∞

(ancos nπxL

+bn sin nπxL )

Dimana koefisien fourier an dan bn adalah Persamaan (2)

an=1L∫−L

L

f ( x ) cos nπxLdx

bn=1L∫−L

L

f ( x ) sin nπxLdx

n=0,1,2,......

jika f(x) mempunyai periode 2L, maka koefisien an dan bn dapat ditentukan ekivalen(setara)

dengan bentuk Persamaan (3)

an=1L ∫

c

c+2L

f ( x ) cos nπxLdx

bn=1L ∫

c

c+2L

f ( x ) sin nπxLdx

Dimana c suatu bilangan rill. Dalam kasus khusus, c=-L, (3) menjadi (2)

Untuk menentukan a0 pada (1),kita gunakan (2) atau (3) dengan n=0. Sebagai contoh dari (2)

kita lihat bahwa a0

2= 1L∫−L

L

f (x )dx. Perhatikan bahwa suku konstanta pada (1) sama dengan

a0

2= 1

2L∫−LL

f ( x )dx, yang merupakan rata-rata f(x) pada suatu periodenya.

Jika L =, deret (1) dan koefisien (2) atau (3) sangat sederhans. Fungsi dalam contoh ini 2.

Fungsi Ganjil dan GenapPerhitungan koefisien-koefisien Fourier sering kali dipermudah, jika fungsi f(x) yang

diuraikan memiliki sifat istimewa tertentu, yakni genap atau ganjil terhadap sumbu x = 0

(sumbu f(x)). Keduanya didefinisikan sebagai berikut:

Sebuah fungsi f(x) adalah:

1. Jika f(x) fungsi genap f(-x) = f(x), atausimetri di x = 0, maka hanya ada komponen cosinus

saja atau Bm = 0.

2. Jika f(x) fungsi ganjil f(-x) = - f(x), maka hanya ada fungsi sinus saja (Am = 0).

untuk semua x dalam daerah definisi f(x). Sebagai contoh, fungsi x2 dan cos x adalah

fungsi genap, karena (-x)2 = x2 dan cos (-x) = cos x. Sedangkan fungsi x dan sin x adalah

fungsi ganjil, karena (-x) = -(x) dan sin (-x) = - sin (x). Pada umumnya fungsi pangkat genap

dari x seperti (x2, x4, x6 , . . .) merupakan fungsi genap dan fungsi pangkat ganjil dari x

seperti (x, x3, x5, . . .) merupakan fungsi ganjil. Dengan definisi di atas dapat dicari contoh-

contoh lain dari kedua fungsi ini.Untuk menentukan koefisien-koefisien Fourier a0, an, dan

bn dari fungsi periodik genap dan ganjil ini dipergunakan perumusan berikut:

Dalam hal ini, f(x) dikatakan teruraikan dalam deret sinus (an = 0). Seperti biasa

L = ½ T = ½ periode.

Contoh :

Diketahui fungsi

f ( x )=x ;−π2

<x< π2

Periodik dengan periode , sehingga f(x±)=f(x). Nyatakan fungsi tersebut dalam deret

fourier.

Pemecahan :

Fungsi f(x) = x adalah fungsi ganjil dengan T =, sehingga L= /2, akan teruraikan dalam

deret sinus a0=0, an=0,bn dapat dicari sebagai berikut:

Dengan demikian uraian deret fourier untuk f(x) = x dengan selang dasar−π

2<x< π

2 adalah