regularfalsi

OlehOlehOlehOleh ::::

AzisAzisAzisAzis KurniawanKurniawanKurniawanKurniawan

AkarAkar PersamaanPersamaan Non Linier Non Linier

f(xf(x) = 0) = 0

�Akar-akar yang menggambarkan nilai-nilai

x yang membuat suatu persamaan non linier

sama dengan nol.

�Akar suatu persamaan sebagai nilai x yang

memuat f(x) = 0 [1]. Kadangkala akar

disebut juga titik nol persamaan

PenyelesaianPenyelesaianPenyelesaianPenyelesaian AkarAkarAkarAkar PersamaanPersamaanPersamaanPersamaan Non Linier Non Linier Non Linier Non Linier dengandengandengandengan MetodeMetodeMetodeMetode Regular Regular Regular Regular FalsiFalsiFalsiFalsi AzisAzisAzisAzis KurniawanKurniawanKurniawanKurniawan

DefinisiDefinisi 1.1 1.1 AkarAkar SuatuSuatu PersamaanPersamaan, ,

PembuatPembuat NolNol FungsiFungsi

�Misalkan f(x) adalah fungsi kontinu. Setiap

bilangan r pada domain f yang memenuhi

f(r) = 0 disebut akar persamaan f(x) = 0,

atau juga disebut pembuat nol fungsi f(x).

Secara singkat, r sering disebut akar fungsi

f(x). [2]


MasalahMasalah PencarianPencarian AkarAkar

� Fungsi f(x) = ax2 + bx + c

�Dapat diselesaikan dengan rumus :

� Fungsi rumit, cth :

� (x+1)2ex2-2-1 = 0

a

acbbx

2

42

2,1

−±−=


Regular Regular FalsiFalsi

�Metode Posisi Palsu

�Metode pencarian akar perbaikan dari

metode pencarian akar berdasarkan

pendekatan grafis


AlgoritmaAlgoritma Regular Regular FalsiFalsi

�Tentukan 2 buah titik berlainan tanda pada

kurva

�Tarik garis yang melalui kedua titik

tersebut, catat posisi garis tersebut pada saat

malalui titik nol.

�Pada posisi x tersebut tarik garis pada

[x,f(x)] ke titik sebelumnya


AlgoritmaAlgoritma Regular Regular FalsiFalsi cont..cont..

�Ulangi langkah kedua diatas hingga

didapatkan selisih antara dua titik tersebut

mendekati nol (didefinisikan sebagai lebih

kecil dari sama dengan nilai toleransi)


AlgoritmaAlgoritma Regular Regular FalsiFalsi cont..cont..


KasusKasus ff((xx) = 1/) = 1/xx –– 77


Source CodeSource Code

� Dengan contoh kasus f(x) = 1/x – 7� Source code dengan MATLAB

� clear

� clc

� epsilon1 = 0.00001;

� epsilon2 = 0.000001;

�

� a=input('Nilai a : ');

� b=input('Nilai b : ');

� hit=0;

�

� d = ((a^-1)-7)*((b^-1)-7);

�

� if d > 0

� disp ('a dan b tidak berbeda tanda');

� break;

� else

� end


Source Code cont..Source Code cont..� while abs(a-b) > epsilon1;

� hit = hit+1;

� c = b-( ((b.^-1)-7) * (b-a) / ( ((b.^-1)-7) - ((a.^-1)-7) ) );

� if abs ((c.^-1)-7) < epsilon2

�

� a=c;

� b=c;

�

� elseif ((a^-1)-7)*((c^-1)-7) < 0

� b=c;

� else

� a=c;

� end

� if hit > 50

� disp ('Kemungkinan tidak mempunyai akar');

� break;

� else

� end

� end


Source Code cont..Source Code cont..

�disp('inilah hasilnya');

�c

�x = -3:0.05:3;

�y = (x.^-1)-7;

�plot(x,y)


HasilHasil

Tidak adaTidak ada0,14290,1429Hasil

Akar

-2-121Input b

0,10,10,10,1Input a


Hasil dengan fungsi fzero = 0,1429

KasusKasus f(xf(x) = x) = x3 3 -- 5x5x2 2 + 7x + 7x –– 33


Source CodeSource Code� Kasus fungsi f(x) = x3 - 5x2 + 7x – 3

� clear

� clc

� epsilon1 = 0.00001;

� epsilon2 = 0.000001;

�

� a=input('Nilai a : ');

� b=input('Nilai b : ');

� hit=0;

�

� d = (a^3-5*a^2+7*a-3)*(b^3-5*b^2+7*b-3);

�

� if d > 0

� disp ('a dan b tidak berbeda tanda');

� break;

� else

� end


Source Code cont..Source Code cont..� while abs(a-b) > epsilon1;

� hit = hit+1;

� c = b-( (b^3-5*b^2+7*b-3) * (b-a) / ( (b^3-5*b^2+7*b-3) - (a^3-5*a^2+7*a-3) ) );

� if abs (c^3-5*c^2+7*c-3) < epsilon2

�

� a=c;

� b=c;

�

� elseif (a^3-5*a^2+7*a-3)*(c^3-5*c^2+7*c-3) < 0

� b=c;

� else

� a=c;

� end

� if hit > 50

� disp ('Kemungkinan tidak mempunyai akar');

� break;

� else

� end

� end


Source code cont..Source code cont..

�disp('inilah hasilnya');

�c

�x = -30:0.05:30;

�y = (x.^3-5*x.^2+(7*x)-3);

�plot(x,y)

�grid


HasilHasil

331311Hasil

332211Input

b

-12140,1-1Input

a

Dengan fungsi fzero pada input = 2 hasil = 1

pada input = 0.1 hasil = 3


ANALISISANALISISANALISISANALISISANALISISANALISISANALISISANALISIS

� Pada kasus pertama f(x) = 1/x – 7 dengan metode

regular falsi seharusnya dengan input yang

menghasilkan fungsi berlainan tanda akan

didapatkan hasil akarnya, tetapi pada kasus ini

tidak didapatkan hasil akar, karena pada metode

ini mencari akar dengan bantuan dua buah titik

yang akan membentuk garis yang melewati sumbu

x, kemudian proses pencarian akan berhenti

setelah ditemukan jarak dua titik tersebut kurang

dari nilai toleransi,


ANALISISANALISISANALISISANALISISANALISISANALISISANALISISANALISIS CONT..CONT..CONT..CONT..CONT..CONT..CONT..CONT..

Tetapi pada kasus tersebut, walaupun kita

ambil dua buah titik yang hasil fungsinya

berbeda tanda, (misal 0,1 dan -1) maka

tidak akan pernah mendapatkan jarak antara

kedua titik tersebut dibawah nilai toleransi.


ANALISISANALISISANALISISANALISISANALISISANALISISANALISISANALISIS CONT..CONT..CONT..CONT..CONT..CONT..CONT..CONT..

Sedangkan pada kasus kedua f(x) = x3 - 5x2 + 7x –

3 didapatkan dua hasil yaitu 1 dan 3 untuk

bermacam input, seharusnya terdapat 3 buah akar,

akan tetapi hanya ditemukan 2 buah akar saja, hal

ini disebabkan oleh fungsi tersebut. Dapat dilihat

di gambar fungsi bahwa fungsi tersebut hampir

berhimpit dengan sumbu x. sedangkan seluruh

metode pencarian akar memiliki keterbatasan

penghitungan sehingga sulit mencari akar tersebut


�Kekonvergenan iterasi

�Metode pengapitan akar disebut konvergen

secara global [2].

�Tidak mudah mendapatkan interval yang

lebih kecil dimana f(x) berganti tanda

�Adanya interval ketidakpastian.


�Metode Regular Falsi dapat digunakan untukmencari akar dengan beberapa syarat, terutamahanya dapat digunakan mencari akar pada fungsiyang tidak memiliki karakteristik khusus, sepertimemiliki nilai infinite, atau hampir berhimpitdengan sumbu x. karena bagaimanapun jugapenghitungan numerik ini memiliki keterbatasanpenghitungan, sehingga perhitungan hanyamendekati nilai yang sebenarnya (tidak didapatkannilai pastinya).


� [1] Chapra, Steven C., Raymond P. Canale,

Metode Numerik Jilid 1 Edisi Kedua,

Penerbit Erlangga, 1991.

� [2] Sahid, M.Sc., Drs., Pengantar

Komputasi Numerik dengan MATLAB,

Penerbit Andi, Yogyakarta : 2005.


regularfalsi

Documents