Radiasi Benda Hitam

Sunkar Eka Gautamahttp://paradoks77.blogspot.com2012Hukum Radiasi Planck

Radiasi yang dipancarkan suatu benda tidak lain adalah foton-foton dengan rapat energi tertentu. Untuk ruang tiga dimensi, kerapatan keadaan suatu sistem dalam “volume”kulit bola ialah

4 π n2dn. Namun karena semua foton bergerak dengan kelajuan cahaya, proses perhitungan ini

tidak berlaku bagi foton.

Untuk fungsi gelombang dalam tiga dimensi, terdapat bilangan-bilangan gelombang kx, ky, dan kz. Seperti dalam kasus partikel dalam kotak, dengan menerapkan syarat batas ψ=0 pada batas-

batas dinding kotak diperoleh nilai-nilai bilangan gelombang yang diperbolehkan ialah nx π /L,

n y π / L, dan nz π /L. Kuantisasi ketiga bilangan gelombang ini setara dengan kuantisasi ketiga

komponen momentum,

p=√ px2+ p y

2+ pz2=ℏ√k x

2+k y2+k z

2

p= πℏL √k x

2+k y2+k z

2

Energi untuk foton ialah E=pc sehingga

E=π cℏL √nx

2+ny2+nz

2

Untuk partikel dalam kotak, terdapat syarat batas ψ=0 pada batas-batas dinding kotak, sehingga panjang gelombang yang

diperkenankan hanyalah λ=2Ln

, dengan n =

1, 2, 3, … sehingga bilangan gelombang yang mungkin ialah

k=2πλ

=nπL

Ket:

biru, λ1=2L hijau, λ2=L

Pernyataan ini memberikan semua nilai diskret E yang diperkenankan. Untuk mencari kerapatan keadaan,kita perlu mengetahui berapa banyak nilai diskret yang terdapat antara E dan E + dE. Jumlah nilai yang diperkenankan hanyalah untuk n positif, yang mana hanya berada pada oktan pertama dalam koordinat kartesian tiga dimensi, atau seperdelapan dari nilai 4 π n2dn. Selain itu untuk setiap nilai n, terdapat dua gelombang yang berbeda, yang berkaitan dengan duaderajat polarisasi gelombang elektromagnet yang mungkin dalam R3. Dengan demikian, jumlah keadaan enegi foton yang diperkenankan ialah

g (n ) dn=2×18

×4π n2dn

Karena

E= cπℏL

n

diperoleh fungsi kerapatan keadaan foton menjadi

g ( E ) dE=π ( Lcπℏ )

3

E2dE

Pancaran “gas” foton itu memenuhi distribusi Bose-Einstein

p ( E ) dE=g ( E ) f BE dE

Dengan f BE fungsi partisi Bose-Einstein f BE=1

ehc / λkT−1, sehingga:

p ( E ) dE=π ( Lcπℏ )

3

E21

ehc / λkT−1dE

Dengan demikian, energi radian total yang diambil foton berenergi E adalah E p ( E ) dan kerapatan energi foton (per satuan volum) dalam rentang E hingga E + dE adalah

u ( E ) dE=E p ( E ) dE

L3

Dengan menyulihkan nilai p ( E ) dE diperoleh

u ( E ) dE=E p ( E ) dE

L3

u ( E ) dE=π ( 2πLhcπ )

3

( hcλ )

3 1ehc / λkT−1

1L3

dE

u ( E ) dE=8π

λ31

ehc / λkT−1dE

Dengan mengubah variabel energi ke dalam panjang gelombang, mengingat E=hcλ

u ( λ )dλ=8π

λ31

ehc / λkT−1 (−hc

λ2 )dλ

u ( λ )dλ=¿

Atau,

u ( λ )=8πhc

λ51

ehc / λkT−1

Tanda negatif dalam bentuk diferensial penting untuk menunjukkan panjang gelombang berbanding terbalik dengan u.

Bila dinyatakan dalam frekuensi, E=hν

u (ν ) dν= 8π

(c / ν )31

ehν / kT−1h dν

u (ν ) dν=8 πhν3

c31

ehν / kT−1dν

Kurva mulus intensitas spesifik benda hitam pada suhu 7.500 K (biru), 6.000 K (hijau), dan 4.500 K (merah) menurut hukum Planck.Kredit: MATLAB

Fungsi dari Planck ini sebenarnya adalah generalisasi dari fungsi radiasi benda hitam yang sudah terlebih diajukan oleh Wien serta Rayleigh dan Jeans. Model Wien hanya sesuai pada daerah panjang gelombang pendek sedangkan model Rayleigh-Jeans hanya sesuai pada panjang gelombang panjang.

Untuk λ≪, ehc / λkT menjadi sangat besar sehingga ehc / λkT−1≈ ehc / λkT . Dengan begitu dapat dilakukan pendekatan

u ( λ ,T )=8πhc λ−5

ehc / λkT

Yang merupakan hukum radiasi dari Wien.

Untuk λ≫, ehc / λkT dapat didekati dari ekspansi Taylor

ehc / λkT=1+ hcλkT

+ 12 ! ( hc

λkT )2

+…

Karena λ tergolong besar, maka suku ke-tiga, ke-empat, dan seterusnya dapat diabaikan karena jauh lebih kecil dari suku pertama dan ke-dua. Dengan begitu diperoleh pendekatan

u ( λ ,T )= 8πhc λ−5

(1+ hcλkT )−1

=8 πkT λ−4

Yang tidak lain ialah hukum radiasi Raylegh-Jeans.

Hukum Stefan-Boltzmann

Fungsi intensitas spesifik yang dipancarkan dari permukaan benda hitam (untuk setiap panjang gelombang) oleh Planck ialah

I λ (T )=uλ (T )× c4

atau I ν (T )=uν (T ) × c4

Misalkan dipilih fungsi panjang gelombang,I λ (T ) dλ=¿

Intensitas total radiasi benda hitam dapat diperoleh dengan mengintegralkan fungsi intensitas spesifik terhadap semua panjang gelombang, I (T )=∫

0

∞

I λ (T ) dλ.I (T )=−∫

0

∞2πhc2

λ51

ehc / λkT−1dλ

Untuk memudahkan, lakukan substitusi hcλkT

=v, sehingga dv= −hc

λ2 kTdλ sehingga

I (T )=−∫0

∞2πhc2

λ51

ev−1 (− λ2 kThc )dv

I (T )=∫0

∞2πckT

λ31

ev−1dv

I (T )=2 πckT ( kThc )

3

∫0

∞v3

ev−1dv

Bentuk integrasi di ruas kanan dapat diselesaikan menggunakan integrasi bentuk khusus∫0

∞xn

ex−1dx=Γ (n+1 ) ζ (n+1)

Dengan memasukkan nilai Γ (4 )=3 ! dan ζ (4 )=∑i=1

∞14i =

π4

90 akhirnya diperoleh

I (T )=2π5 k 4T 4

15h3 c2

Dengan 2π k 4

15h3 c2=σ=5,67×10−8 J m−2 K−4 s−1.

Dan daya yang dipancarkan oleh permukaan benda hitam ke segala arah ialahP=I × A=4 π R2σ T 4

Hukum Wien

Adapun hukum pergeseran Wien menunjukkan panjang gelombang dengan intensitas spesifik maksimum (dikenal juga sebagai panjang gelombang efektif) dari suatu benda hitam bergeser ke arah memendek bila suhunya meningkat yakni dalam hubunganλmaks=

2,898×10−3m KT

Persamaan di atas dapat ditunjukkan dengan mencari titik balik fungsi I λ (T ), yakni saat gradiennya, d

dλI λ (T )=0.

Analisis turunan pertama fungsi intensitas spesifik radiasi benda hitam Planck menjelaskan hukum pergeseran Wien.Kredit: MATLAB

I λ (T )= a

λ51

eb / λ−1; dengan a=2πhc2 dan b= hc

kT

ddλ

I λ (T )= ddλ ( a λ−5

eb / λ−1 )=0Menggunakan turunan fungsi hasil-bagi diperoleh

(−5aλ−6 ) ( eb/ λ−1 )−(a λ−5 ) (−b λ−2eb / λ)(eb / λ−1 )2

=0

−5aλ−6 eb / λ+5aλ−6+ab λ−7 eb/ λ

( eb / λ−1 )2=0

a (eb / λ (b−5 λ )+5 λ )λ7 (eb / λ−1 )2

=0

Hilangkan saja suku-suku yang dapat dikalikan dengan nol.e

b / λ(b−5 λ+5 λ

eb / λ )=0

b−5 λ(1+ 1

eb / λ )=0

λ (1+ 1

eb / λ )=b5

Jika dilakukan substitusi balik nilai b, didapatkanλ (1+ 1

ehc / λkT )= hc5kT

Untuk suhu serendah 1 K saja, nilai hckT

=0,0144. mengingat nilai λ dari sinar γ hingga sinar IR masih cukup kecil, maka nilai 1+ 1

ehc / λkT dapat kita anggap 1, sehingga diperoleh rumus pendekatan

λmaks≈hc5kT

=2.879×10−3m KT

Bagaimanapun, kita dapat memperbaiki pendekatan ini dengan melakukan iterasi, sehingga nilai taksiran baru ini berada di antara nilai pendekatan lama

dengan nilai aslinya. Caranya ialah dengan memasukkan asumsi pendekatan pertama ke dalam persamaan semula (sebelum diestimasikan). Substitusikan λ= hc5kT

ke dalam eksponen menghasilkanλ (1+ 1e5 )= hc

5kT

Pendekatan baru ini menghasilkan rumusλmaks≈

hc

(1+1/e5 )5k×1T

Taksiran yang baru ini memberikan nilaiλmaks≈

2.898×10−3m KT