MAKALAH

MEKANIKA STATISTIK

Tentang

MENGUNGKAP ENERGI RADIASI PADA BENDA HITAM MENGGUNAKAN

STATISTIK BOSE-EINSTEIN

Oleh :

Sri refni yenti/52037

N. Wistuti /52029

Rusyda.J/ 52034

Dosen Pembimbing: Dr. Ahmad Fauzi,M.Si

Konsentrasi Pendidikan Fisika

Program Pasca Sarjana

UNP

2010

MENGUNGKAP ENERGI RADIASI PADA BENDA HITAM MENGGUNAKAN

STATISTIK BOSE-EINSTEIN

A. Pendahuluan

Fungsi distribusi bagi sistem partikel tidak terbedahkan dalam ranah fisika

kuantum berbeda dari yang dalam ranah fisika klasik. Mengigat sistem kuatum berprilaku

tidak lazim,fungsi distribusi bagi sistem partikel yang mematuhi azas larangan pauli

(elektron misalnya) haruslah kita bedakan dari sistem partikel yang tidak mematuhi azas

ini.

Partikel-partikel iyabg tidak mematuhi asas larangan pauli adalah yang memiliki spin

bulat (0,1,2, … dalam satuan ħ) yang secara kolektif disebut boson. Fungsi distribusi bagi

sistem boson disebut distribusi Bose-Einstein. Bentuknya adalah sebagai berikut :

Partikel-partikel berspin pecahan setengah (1/2,3/2, … ) yang mematuhi asas

larangan pauli,seperti elektron,atau nukleon disebut fermion, dan fungsi distribusi yang

berlaku bagi sistem fermion ini adalah distribusi Fermi-Dirac .

Untuk distribusi Bose-Einstein, bagi sebagian besar kasus yang menarik

perhatian, A tidak bergantung pada T atau ketergantungannya pada T adalah sedemukian

lemahnya sehingga suku eksponensialnya eE/kT yang dominan. Sebaliknya untuk

distribusi Fermi-Dirac, A sangat tergantung pada T, dan ketergantungan biasanya

menghampiri bentuk eksponensial sehingga dapat ditulis sebagai berikut :

A = e-E/kT

Dengan demikian,fungsi distribusi Fermi-Dirac menjadi :

EF disebut energi Fermi

Marilah kita lihat secara kualitatif perbedaan antara fBD dan fFD pada suhu

rendah. Untuk distribusi Bose-Einstein, pada limit T rendah, dengan menganggap

sementara A =1, faktor eksponensial menjadi besar untuk energi yang besar,karena itu,

fBD 0 untuk keadaan energi besar. Satu-satunya tingkat energi yang memiliki pe;uang

besar untuk ditempati adalah keadaan yang memiliki E = 0; karena faktor eksponensial

menghampiri 1, sehingga penyebut f menjadi sangat kecil dengan demikian fBD ~. Efek

ini dikenal sebagai “pengembunan”.

B. Isi

STATISTIK BOSE – EINSTEIN

Statistik Bose-Einstein merupakan statistik kuantum juga. Statistik ini tidak tunduk pada asas Pauli: artinya tiidak ada pembatasan jumlah partikel yang dapat menduduki status, status itu dapat berisi partikel berapa saja.Partikel yang memenuhi statistik Bose-Einstein dinamai bosonSemua partikel yang bulat spinnya ( ialah fungsi gelombangnya fungsi simetrik ; foton, fonon, 4 He,...) memenuhi statistik Bose-Einstein.

Penghitungan jumlah keadaan mikro dalam suatu keadaan makroCara mengisikan Ni buah boson ke dalam gi buah status , pada suatu tingkat energi :Pada suatu tingkat energi tertentu terdapat tiga buah status dan empat buah boson, cara yang mungkin mengisikan boson kedalam status tersebut adalah :Jumlah cara yang mungkin adalah 15 cara

Jika tingkat energinya banyak maka

Contoh:

Suatu sistim terdiri dari 2 tingkat energi ( E1dan E2)E1 dengan 3 buah status dan berisi 2 buah bosonE2 dengan 2 buah status dan berisi 4 buah bosonMaka keadaan mikro yang mungkin adalah = 6 X 5 = 30 caraFungsi BE dapat diperoleh pada saat peluang termodinamika berharga max dengan syarat jumlah boson tetap , karena sistim terisolasi , artinya ;

dan

Sehingga fungsi dalam sistim (U) juga tetap sehingga :

dan

Peluang termodinamik akan berharga maksimum jika harga ln W maksimum yaitu:

atau

Dengan pendekatan Stirling diperoleh:

Harga Ln W maksimum diperoleh jika turunan I dari Ln W terhadap Ni sama dengan nol:

atau

Kesimpulan :

1.

2.

3.

Dengan metoda lagrange,dapat ditulis:

atau

Sesuai dengan statistik MB , dan sukar diungkapkan secara umum , jika

maka distribusi Bose Einstein dapa ditulis

Harga A dapat ditentukan dengan syarat

Jumlah keadaan dalam ruang fasa adalah ,maka jumlah keadaan dalam sistim tersebut dapat ditulis

Jumlah keadaan yang mempunyai energi antara dan adalah

Harga B dapat ditentukan dengan menggunakan prinsip normalisasi dan ketidak pastian Heisenberg

Diperoleh

dan

Jadi jumlah keadaan antara dan

atau

Dengan menggunakan kooordinat bola dan memakai akhirnya didapatkan

Jumlah status dalam selang energi antara dan

pada umumnya maka digunakan pendekatan

didapatkan

Atom mempunyai spin bulat jika

T=300K maka

T=4K maka

RADIASI BENDA HITAM

Teori tentang radiasi benda hitam menandai awal lahirnya mekanika kuantum dan

fisika modern. Benda hitam merupakan penyarap sekaligus pemancar kalor terbaik.

Benda hitam dapat dianalogikan dengan kotak yang berisi gas foton. Jumlah foton dalam

kotak tidak selalu konstan. Ada kalanya foton diserap oleh atom- atom yang berada

didinding kotak dan sebaliknya atom-atom didinding kotak dapat memancarkan foton

kedalam ruag kotak. Karena jumlah foton yang tidak konstan ini maka factor Bose-

Einstein untuk gas foton adalah

yang diperoleh dengan menggunakan α=0.

Bayangkan sebuah kotak tertutup rapat , tetapi salah dindingnya berlubang kecil

Dalam kotak itu foton tak tetap jumlahnya sebab ada saatnya foton diserap oleh dinding ,dan

pada saat lain ada foton yang dipancarkan oleh dinding . sehingga syarat tidak berlaku

lagi dan harga sehingga atau A = 1

maka

Fungsi itu tidak mengandung variabel x,y,z dan

Mengingat adanya dua arah polarisasi foton :

dengan menggunakan diperoleh

Lewat lubang ini sebuah sinar cahaya masuk ke dalam kotak itu, dipantulkan berulangkali oleh dinding : kecillah kemungkinan sinar itu keluar lagi. Lubang itulah benda hitam , karena cahaya yang tiba padanya tidak dipantulkan kembali.

Jumlah keadaan yang mempunyai panjang gelombang antara adalah

Jumlah foton yang mempunyai keadaan panjang gelombang adalah

Energi foton yang mempunyai panjang gelombang adalah;

atau

Foton adalah kuantum gelombang elektromagnetik. Eksistensi foton

dipresentasikan oleh keberadaan gelombang berdiri dalam kotak. Kerapatan keadaan

gelombang berdiri dalam kotak yaitu pada persamaan 4πdλ/λ4. Karena gelombang

elektromagnetik memiliki dua kemungkinan arah osilasi (polarisasi) yang saling bebas,

maka kerapatan keadaan foton dalam kotak merupakan dua kali kerapatan gelombang

stasioner yaitu:

(1)

Dengan demikian, jumlah foton dengan panjang gelombang antara λ sampai λ+dλ

adalah

(2)

Karena energy satu foton adalah E= hc/λ maka energy foton yang memiliki panjang

gelombang antara λ sampai λ + dλ adalah

(3)

Hukum Pergeseran Wien

Gambar 10.1 adalah plot E(λ) sebagai fungsi λ pada berbagai suhu. Tampak

bahwa E(λ) mula-mula naik, kemudian turun setelah mencapai nilai maksimum pada

panjang gelombang λm. λm dapat ditentukan dengan mendiferensialkan E(λ) terhadap λ

dan menyamankan λ dengan λm, atau

(4)

Berdasarkan persamaan 3 maka

(5)

Untuk memudahkan diferensiasi persamaan 5 kita misalkan x = λkT/hc. Dengan

permisalan tersebut maka kita dapat menulis

(6)

(7)

Agar terpenuhi dE/dλ = 0 maka pada persamaan 7 harus terpenuhi

(8)

Jika dilakukan diferensial secara seksama akan dapatkan hubungan berikut ini

(9)

Nilai x pada persamaan 9 dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Jika kita

menggunakan instruksi Mathematica (Wolfram Research), maka solusi untuk x yang

memenuhi persamaan 9 adalah 0,194197. Dengan demikian, λm memenuhi hubungan

Atau

λm T= 0,194197 (10)

Dengan menggunakan nilai konstanta k= 1,38 x 10-23 J/K, h = 6,625 x 10-34 Js, dan c = 3

x108 m/s maka

λm T= 2,8 x 10-3mK

Persamaan 11 tidak lain daripada ungkapan hokum pergeseran Wien. Hukum ini

menjelaskan hubungan antara suhu benda dengan gelombang dengan intensitas

maksimum yang dipancarkan benda tersebut. Makin tinggi suhu benda maka makin

pendek gelombang yang dipancarkan benda tersebut, atau warna benda bergeser kea rah

biru. Ketika pandai besi memanaskan logam maka warna logam berubah secara terus

menerus dari semula merah, kuning, hijau dan selanjutnya ke biru-biruan. Ini akibat suhu

benda yang semakin tinggi.

Hukum pergeseran Wein telah dipakai untuk memperkirakan suhu benda berdasarkan

spectrum elektromagnetik yang dipancarkannya. Energy yang dipancarkan benda diukur

pada berbagai panjang gelombang. Kemudian instensitas tersebut diplot terhadap panjang

gelombang sehingga diperoleh panjang gelombang yang memiliki intensitas terbesar.

Panjang gelombang ini selanjutnya diterapkan pada hukum pergeseran Wein guna

memprediksi suhu benda. Para astronom memperkirakan suhu bintang-bintang

berdasarkan spectrum energy yang dipancarkan oleh bintang-bintang tersebut.

Persamaan Stefan-Boltzmann

Sebuah benda hitam memancarkan gelombang elektromagnetik pada semua

jangkauan frekuensi dari nol sampai tak berhingga. Hanya intensitas gelombang yang

dipancarkan berbeda-beda. Ketika panjang gelombang menuju nol, intensitas yang

dipancarkan menuju nol. Juga ketika panjang gelombang menuju tak berhingga,

intensitas yang dipancarkan juga menuju tak berhingga. Intensitas pancaran mencapai

maksimum pada saat λ = λm. Energy total yang dipancarkan oleh benda hitam dapat

dihitung dengan mengintegralkan persamaan 3 dari panjang gelombang nol sampai tak

berhingga, yaitu

(12)

misalkan y = hc/ λkT sehingga

Dengan syarat batas berlaku y, saat λ = 0 maka y = ~ dan saat λ = ~ maka y = 0. Sehingga

(13)

Persamaan 13 merupakan kerapatan energy foton di dalam kotak. Hubungan antara

kerapatan energy yang diradiasi dengan energy foton dalam kotak adalah

( 14)

Persamaan 14 sangat mirip dengan persamaan Stefan-Boltzman tantang energy yang

diradiasikan benda hitam, yaitu

Dengan konstanta Stefan-Boltzman. Jadi persamaan 14 dapat disamakan nahwa

(15)

Dengan menggunakan intruksi Matematika sederhana kita dapat kan

Bila kita masukkan nilai

k = 1,38 x 10-23J/K

h = 6,625 x 10-34Js

c = 3 x 108 m/s

di dapat nilai konstanta Stefan-Boltzman

Sehingga di peroleh:

Jadi besarnya energy radiasi pada benda hitam adalah

Dengan

C. Penutup

1. Kesimpulan

Fisika kuantum tidak dapat menjelaskan secara gamblang tentang beberapa

fenomena fisika salah satunya radiasi benda hitam. Untuk dapat menjelaskan

besarnya energy radiasi yang telah di rumuskan oleh Stefan-Boltzmann kita dapat

menggunakan mekanika statistic untuk mengungkap besarnya konstanta Stefan-

Boltzmann, yaitu dengan menggunakan statistic Bose-Einstein.

Radiasi benda hitam dianalogikan sebagai kotak yang berisi gas foton.

Sehingga dari persamaan energy radiasi Stefan-Boltzmann

Kita memperoleh nilai

2. Saran

Untuk Mempelajari mekanika Statistik harus dipelajari

DAFTAR PUSTAKA

Arthur Beiser, Konsep Fisika Modren, Penerbit Erlangga

Huang.Statistic of Mecanical

Mikrajuddin, Abdullah.2008. Pengantar Fisika Statistik.ITB : Bandung

Sutopo, Pengantar Fisika Kuantum, Universitas Negeri Malang