praktikum iii
TRANSCRIPT
PRAKTIKUM III
A. TUJUAN
1. Memahami polynomial dan transformasi Laplace
2. Memahami tanggapan sistem waktu kontinyu dengan menggunakan fungsi alih
berdasarkan transformasi Laplace
B. DASAR TEORI
Polinomial
Fungsi polynomial sering digunakan dalam penyajian sinyal dalam domain frekuensi.
Olehkarenanya penting sekali untuk dimengerti bagaimana MATLAB memberikan
penyelesaian terkait fungsi polynomial ini. Beberapa fungsi MATLAB yang telah
disediakan adalah ‘roots’, ‘polyval’, dan ‘conv’.
Contoh:
1) Menentukan akar-akar polynomial
Suatu vektor baris A dengan koefiesien polinomial :
Diselesaikan dengan MATLAB dengan fungsi roots.
»A=[1 10 35 50 24];
»r=roots(A)
r =
-4.0000
-3.0000
-2.0000
-1.0000
2) Penghitungan Polinomial
Bila diperlukan untuk menghitung nilai polinomial pada masing-masing titik, dapat
digunakan fungsi bawaan MATLAB ‘polyval’. Contoh, untuk menghitung
A(s)=s2+2s+1 pada s=1,2, dan 3, maka :
>> a=[1 2 1];>> A=poIyvaI(a,[1:3])A =
4 9 16
Nilai polinomial: A(1) = 4, A(2) = 9, dan A(3) = 16.
3) Perkalian Polinomial
Fungsi ‘conv’ dalam MATLAB dirancang untuk mengkonvolusikan dua sinyal
domain dalam waktu. Namun dapat juga digunakan untuk perkalian polynomial
selama koefisien C(s) = A(s)B(s) adalah konvolusi dari koefisien A dan B. Contoh:
>> a=[1 2 1];b=[1 4 3];
>> c=conv(a,b)
c=
1 6 12 10 3
Dalam bentuk lain,
(s2 +2s+l)(s2 +4s+3)=s4 +6s3 +12s2 +l0s+3
Dari prompt >> MATLAB, coba jalankan perintah roots(a), roots(b), dan roots(c).
Apa yang terjadi?
Impulse Response
Response impulse, h(t) dari sistem linier invariant waktu adalah tanggapan dari
sinyal fungsi impulse atau unit sample atau delta (t) yang digambarkan sebagaiberikut:
(t) h(t)
Tanggapan sistem H untuk sinyal est adalah H(s) est, dimana impedansi kompleks
atau fungsi alih H(s) adalah transformasi Laplace dari h(t). ejt adalah frekuensi
kompleks H(j), yang merupakan transformasi Fourier dari h(t) dan juga impedansi
kompleks pada s =j.
Fungsi rasional
Fungsi rasional didefinisikan dengan perbandingan dua polinomial:
dimana
dan
Metode penomoran koefisien ini tidak standar matematik tetapi ini adalah standar
MATLAB. Jika vektor satu baris ditulis:
b=[b1 b2 ... bm]
Contoh fungsi rasional
dapat dinyatakan dengan b=[.25, 0, .25], and a=[1, 1, .5, .25]. Melalui fasilitas ‘help’
MATLAB, fungsi ‘residue’ dan ‘freqs’ dapat digunakan. H(s) dapat dinyatakan dengan:
B(s) R(1) R(2) R(n)
H(s) = ---- = -------- + -------- + ... + -------- + K(s)
A(s) s - P(1) s - P(2) s - P(n)
>> a=[1 1 .5 .25];
>> b=[.25 0 .25];
>>[r,p,k]=residue(b,a)
r =
0.5365
-0.1433 - 0.1179i
-0.1433 + 0.1179i
p =
-0.7718
-0.1141 + 0.5576i
-0.1141 - 0.5576i
k =
[]
Plot poles dan zeros dari H(s)
Pole dari H(s) adalah akar-akar penyebut dari polinomial A(s), sedangkan zeros
dari H(s) adalah akar-akar pembilang polinomial B(s). Pada penggambaran pole dan zero
dari H(s) pole menggunakan simbol ‘x’dan zero menggunakan simbol ‘o’ pada daerah
kompleks. Untuk plot pole-zero menggunakan fungsi pzd.m berikut.
function pzd(b,a)
% pzd(b,a)
% produces a pole-zero diagram of B(s)/A(s)
r=1;ar=[ ];br=[ ];
if length(a)>1
ar=roots(a);
r=max(max(abs(ar),r));
end
% the following patch is necessary to correct some
% careless filter designs. It eliminates
% very small leading numbers in b, which would produce
% large spurious zeros.
c=b;s=(1e-13)*sum(abs(b));
while abs(c(1)) < s
c=c(2:length(c));
end
if length(c)>1
br=roots(c);
r=max(max(abs(br)),r);
end
ax=[-r r];bx=[0 0];
plot(ax,bx,'k',bx,ax,'k')
hold on
plot(real(br),imag(br),'or',real(ar),imag(ar),'xb')
hold off
title('poles and zeros')
axis([-1.05*r 1.05*r -1.05*r 1.05*r])
axis square
grid
figure(gcf)
Contoh H(s) = B(s)/A(s) diatas dapat digambarkan pole dan zero-nya
>>a=[1 1 .5 .25]; b[.25 0 .25];
>>pzd(b,a)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
poles and zeros
Transformasi Laplace
Transformasi Laplace berfungsi mengubah sinyal dari domain waktu menjadi
domain s atau frekuensi. Pasangan transformasi Laplace adalah
dimana u(t) adalah fungsi undak (unit step function). Fungsi waktu h(t) and dan fungsi
frekuensi H(s) merupakan alternative cara untuk menyatakan sinyal yang sama. Dalam
domain waktu h(t) adalah berbentuk eksponensial sedangkan dalam domain frekuensi
H(s) adalah rasional. Pemilihan penulisan h dari sinyal diatas biasanya digunakan untuk
fungsi-fungsi filter. Pada domain waktu, h(t) adalah impulse response function dari filter
sedangkan pada domain frekuensi H(s) adalah transfer function dari filter. Jika ditentukan
s = j, maka akan didapat complex frequency response function H(j).
Untuk menentukan transformasi Laplace dapat menggunakan the symbolic toolbox of
MATLAB. Misalnya untuk menentukan transformasi Laplace transform dari
1. x(t) = t, maka dapat digunakan perintah:
>> f=t;
>> syms f t
>> f=t;
>> laplace(f)
ans =1/s^2
2. x(t) = , maka dapat digunakan perintah:
>>syms t,s
>>X=laplace(t*exp(-4*t),t,s)
X =
1/(s+4)^2
C. KEGIATAN PRAKTIKUM
1. Suatu sistem linier dinyatakan dengan fungsi alih berikut,
Tentukan tanggapan (response) dan plot dengan menggunakan MATLAB
a) sistem dengan sinyal masukan impuls
b) sistem dengan sinyal masukan undak/step
c) sistem dengan sinyal masukan
d) sistem dengan sinyal masukan
Jalankan program berikut:% prak3ss.m
%================
num=[1 1]; den=[1 5 6];
% (a) Impulse response
t=0:0.01:5; h=impulse(num,den,t);
%
figure (1)
plot(t,h); grid; xlabel('Time [s]'); ylabel('Impulse response')
% (b) Step response
ystep=step(num,den,t);
%
figure (2)
plot(t,ystep); grid; xlabel('Time [s]'); ylabel('Step response')
% (c) Sinusiodal zero-state response
time=0:0.01:10; f=sin(2*time); yzs=lsim(num,den,f,time);
%
figure (3)
plot(time,yzs); xlabel('Time [s]'); ylabel('Sinusoidal zero-state
response');
grid;
% (d) Exponential zero-state response
f=exp(-t); yzs=lsim(num,den,f,t);
%
figure (4)
plot(t,yzs); xlabel('Time [s]'); ylabel('Exponential zero-state
response');
grid;
Jalan kan program diatas dan amati hasilnya serta berikan pembahasan!
2. Sebuah fungsi alih berbentuk
(a) Carilah bentuk pemfaktoran dari fungsi alih diatas dengan menggunakan fungsi
[r,p,k]=residue(b,a)
(b) Gambarkan letak pole dan zero dengan menggunakan fungsi pzd.m
3. Tentukan transformasi Laplace dengan menggunakan the symbolic toolbox of
MATLAB.dari:
a.
b.
c. 0
D. HASIL DAN PEMBAHASAN
% prak3ss.m%================num=[1 1]; den=[1 5 6];
% (a) Impulse responset=0:0.01:5; h=impulse(num,den,t);%figure (1)plot(t,h); grid; xlabel('Time [s]'); ylabel('Impulse response') % (b) Step responseystep=step(num,den,t);
%figure (2)plot(t,ystep); grid; xlabel('Time [s]'); ylabel('Step response') % (c) Sinusiodal zero-state responsetime=0:0.01:10; f=sin(2*time); yzs=lsim(num,den,f,time);%figure (3)plot(time,yzs); xlabel('Time [s]'); ylabel('Sinusoidal zero-state
response');grid;
Angka pembilang pada persamaan
Angka penyebut pada persamaan
Rumus perhitungan Impulse Response
Batas MIN sumbu x
Rumus perhitungan Impulse Response
Rumus perhitungan Impulse Response
Batas Max sumbu x
Rumus perhitungan Exponential zero-state respone
% (d) Exponential zero-state responsef=exp(-t); yzs=lsim(num,den,f,t);%
figure (4)plot(t,yzs); xlabel('Time [s]'); ylabel('Exponential zero-state
response');grid;
Berikut hasil gelombang yang terpanggil ketika skrip didebug:
a) Figure 1
b) Figure 2
c ) Figure 3
d ) Figure 4
2. Fungsi alih bentuk
a.
Berikut hasil yang tertera pada Command Windows:
b.
E. TUGAS
a. x(t) = 5te-3t
>> syms t s>> X=laplace(5.*t.*exp(-3*t),t,s)X =5/(s+3)^2
b. x(t) = 2e-5t.sin(5t)
>> syms t s>> X=laplace(2*exp(-5*t).*sin(5*t),t,s)X =10/(s^2+10*s+50)
c. x(t) = 4e-2t
>> syms t s>> X=laplace(2*exp(-2*t),t,s)X =2/(s+2)
F. KESIMPULAN
1. Fungsi polynomial sering digunakan dalam penyajian sinyal dalam domain frekuensi.
Oleh karenanya, penting sekali untuk dimengerti bagaimana MATLAB memberikan
penyelesaian terkait fungsi polynomial ini.
2. Response Impulse, h(t) dari sistem linier invariant waktu adalah tanggapan dari sinyal
fungsi impulse atau unit sample atau delta d(t).
3. Pole dari H(s) addalah akar-akar penyebut dari polynomial A(s), sedangkan zeros dari
H(s) adalah akar-akar pembilang plynomial B(s).
4. Transformasi Laplace berfungsi mengubah sinyal dari domain waktu menjadi domain
s atau frekuensi.
G. REFERENSI
Petunjuk praktikum sinyal dan sistem PP/PTE/SDS/03/R0Oleh Drs.Abdul Fadlil, M.T., Ph.D