praktikum fiskom ii

Praktikum Fisika Komputasi

1

Uraian deret Taylor disekitar xo dinyatakan dengan f(x) yaitu :

nn

xxn

xfxf )(

!

)()( 0

0

)(

dimana,

0

)( 0)(

xxn

nn

dx

fdxf

)()( 00)0( xfxf

jika x0 = 0 maka persamaan tersebut menjadi deret Mac Laurin yaitu :

nn

xn

fxf

!

)0()(

)(

dimana,

0)( )0( xn

nn

dx

fdf

)0()0()0( ff

Praktikum :

1)Deret MacLaurin dari fungsi sinus yaitu :

...!5!3

)sin(53

xx

xx

Program komputer dari fungsi sinus tersebut jika dinyatakan dalam bahasa Visual C++

adalah :

//*********************************************************

// Menghitung fungsi sinus dengan deret MacLaurin

// Compiler : Visual C++

//*********************************************************

#include

#include

void main()

{

PRAKTIKUM MINGGU 1

DDeerreett TTaayylloorr


2

double eps=1e-5;

double x,sinx,pem,pen,s,del;

int i,j,m,k,tanda;

cout > x;

x=x/57.3;

cout


3

cout


4

2.1 Metode Newton-Rapshon

Penentuan akar-akar suatu persamaan dapat dicari dengan memakai rumus iterasi

Newton Rapshon yang diturunkan dari uraian deret Taylor. Jika hanya dilibatkan sampai

suku dengan turunan pertama maka akan didapatkan iterasi Newton-Rapshon orde-1

yaitu:

)(

)('1

n

nnn

xf

xfxx

sedangkan jika kita melibatkan sampai suku dengan turunan kedua maka akan

menghasilkan iterasi Newton Rapshon orde-2 :

)(2

)()()(

)(

'

''

'

1

n

nn

n

nnn

xf

xfxfxf

xfxx

Praktikum :

1) Program komputer iterasi Newton-Rapshon orde 1, dimana persamaan yang dicari

akarnya adalah :

453911)( 23 xxxxf

//**********************************************************************************

// Menghitung Akar dari Fungsi dengan Metode Newton Rapshon Orde 1

// Iterasi dibatasi hanya sampai 15 kali iterasi

// Compiler : Visual C++

//**********************************************************************************

#include

#include //header untuk fungsi fabs()

#include //header untuk widht,setiosflags,...

void main()

{

double y[100];

double x,fx,dx;

int n;

PRAKTIKUM MINGGU 2

AAkkaarr--aakkaarr ddaarrii PPeerrssaammaaaann


5

cout


6

#include

void main()

{

double eps=1e-5; //konstanta (epsilon)

double y[100];

double x,fx,dx,selisih;

int n;

cout


7

#include

#include

#include

void main()

{

double eps=1e-5;

double y[100];

double x,fx,d1,d2,pen,selisih;

int n;

cout


8

}

Latihan :

1) Buatlah program komputer untuk menghitung persoalan gas ideal. Dimana 1 mole gas

ideal yang suhunya 3000 K volumenya diperbesar pada suhu tetap. Berapa liter volume

gas tersebut ketika tekanannya 15 atmosfir (tetapan gas universal 0,0823 l.atm/mole0 K).

Petunjuk :

pV = nRT

Dimana, n=1 mole, R=0.0823 l.atm/mole0K, dan T=300

0K. Sehingga :

p = 24.69/V

untuk menentukan berapa volume gas pada saat tekanannya 15 atmosfir maka persamaan

tersebut akan menjadi :

p = 24.69/V -15

Atau jika p disubstitusi menjadi y dan V menjadi x maka :

y = 24.69/x 15

Dengan menggunakan iterasi Newton-Rapshon maka akan dapat ditentukan solusinya.

Buatlah program komputer dari masalah ini.

2) Buatlah program komputer untuk masalah difraksi pada celah. Dimana suatu celah

dengan lebar 0.4 mm disinari dengan cahaya dengan panjang gelombang 5900 A. Pola

difraksi yang terjadi ditangkap oleh sebuah layar yang jaraknya 70 cm dari celah tsb.

Hitung jarak dari tengah-tengah terang pusat sampai intensitas cahaya tinggal nya.

Petunjuk :

Pola difraksi pada celah dinyatakan dengan :

2

2

0

SinII

dimana, I0 intensitas cahaya yang datang dan sin2

1kb . Jika kita mensubstitusikan

I/I0 menjadi y dan menjadi x maka persamaan tersebut akan menjadi

2

2sin

x

xy

untuk mendapatkan nilai dimana I/I0 = 0.5 maka persamaan tersebut diubah menjadi :

5.0sin

2

2

x

xy

Dengan memakai iterasi Newton-Rapshon maka solusi persamaan ini akan dapat dicari.

Buatlah programnya!.


9

2.2 Pembagian Sintetik

Penentuan nilai dan turunan dari suatu persamaan (Polinom) dapat ditentukan

dengan cara Pembagian Sintetik. Misalkan polinom orde-n dinyatakan dalam bentuk

persamaan seperti berikut ini :

...)( 322

2

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n xaxaxaxaxf

misal n=3 maka didapatkan polinom orde-3 :

322

2

1

1)(

n

n

n

n

n

n

n

n xaxaxaxaxf

Untuk mencari nilai fungsi dan turunannya pada suatu nilai x tertentu maka dapat

ditentukan dengan Pembagian Sintetik. Adapun caranya adalah :

321 nnnn aaaax

)()()( 21 xbxbxb nnn

321 nnnn bbbb

dimana,

nn ab

xbab nnn 11

xbab nnn 122

xbab nnn 233

Nilai 3nb merupakan nilai dari fungsi f(x) pada x yang bersangkutan. Sedangkan untuk

menentukan nilai dari turunan dari fungsi f(x) tersebut adalah dengan meneruskan

pembagian sintetik dimana nilai 321 ,,, nnnn aaaa diganti dengan nilai 21, , nnn bbb .

21 nnn bbbx

)()( 1xcxc nn

21 nnn ccc

dimana,

nn bc

xcbc nnn 11

xcbc nnn 122

+

+


10

Nilai dari 2nc merupakan nilai turunan dari persamaan f(x) pada x yang bersangkutan.

Sebagai salah satu contoh misalkan kita memiliki persamaan polinom orde 3 yaitu :

453911)( 23 xxxxf

Jika kita ingin mencari nilai persamaan dan turunannya pada x=2 dengan Pembagian

Sintetik maka hasilnya adalah :

2 1 -11 39 -45

2 -18 42

1 -9 21 -3

2 1 -9 21

2 14

1 -7 7

Jadi didapatkan nilai f(x) pada x=2 adalah 3, sedangkan nilai turunannya adalah 7.

Tugas selanjutnya adalah bagaimana kita membuat program komputer dari

Pembagian Sintetik ini. Adapun implementasi dari program komputer untuk metode

Pembagian Sintetik ini dinyatakan seperti berikut ini :

//*************************************************************

//Menentukan nilai fungsi dan turunan dengan Metode

//pembagian Sintetik

//Compiler : Visual C++

//*************************************************************

#include

#include

void pemsin(double a[100],int n,double x,double b[100]);

void main()

{

double a[100];

double b[100];

double c[100];

double x;

int i,orde;

cout orde;

for (i=orde; i>=0; i--)

{

cout


11

}

cout


12

}

else

{

cout


13

double b[100];

double c[100];

double y[100];

double x,fx,dx;

int i,n,orde;

cout orde;

for (i=orde; i>=0; i--)

{

cout


14

1) Buatlah program komputer untuk menyelesaikan masalah gerak peluru. Dimana sebuah

peluru ditembakkan dengan kecepatan awal V0 = 100 m/s dan sudut elevasi = 450. Per

cepatan grafitasi g = 9,8 m/dt 2 .Tentukan berapa jauh peluru akan melayang di udara.

Petunjuk :

Persamaan lintasan peluru dinyatakan dengan :

xxv

gy )(tan

)cos(2

2

2

0

atau bisa ditulis menjadi polinom orde-2 yaitu :

xxay 22

dimana,

132

0

2 10.1)cos(2

mv

ga

1tan1 a

00 a

Dengan memakai iterasi Newton-Rapshon yang dikombinasikan dengan metode

pembagian Sintetik maka solusi permasalahan diatas akan dapat dicari. Buat program

komputernya.


15

IIIIII IINNTTEEGGRRAALL DDAANN TTUURRUUNNAANN

3.1 INTEGRAL

Nilai Integral I dari suatu fungsi f(x) menyatakan luas bidang dibawah fungsi f(x)

antara x=a dan x=b atau ditulis :

b

a

dxxfI )(

Ada beberapa metode yang dapat dipakai untuk menghitung integral diantaranya : metode

persegi panjang, metode trapesium, metode Simpson, metode Romberg dll. Berikut ini

akan dijelaskan beberapa metode tersebut.

3.1.1 Metode Persegi Panjang

Dalam metode ini luas bidang dibawah kurva f(x) antara x = a dan x = b dapat

dicari dengan membagi bidang tersebut menjadi n buah pita yang berbentuk persegi

panjang, yang panjangnya f(xi) dan lebarnya x , sehingga

luas masing-masing pita dapat dinyatakan :

xxfL ii )(

Karena antara x = a dan x = b terdapat n buah pita maka luas seluruhnya menjadi :

n

i

xxifL1

)(

3.1.2 Metode Trapesium

f(x)

a b

y

x

Gambar 3.1 Metode Persegi Panjang

Pita ke-1

Pita ke-n

Pita ke-i

x

PRAKTIKUM MINGGU 3

IInntteeggrraall ddaann TTuurruunnaann


16

Dalam metode trapesium ini luas bidang di bawah fungsi f(x) antara x = a dan x =

b dapat dicari dengan membagi bidang antara x = a dan x = b menjadi n buah pita yang

berbentuk trapesium yang masing-masing lebarnya x seperti diperlihatkan dalam

gambar 3.2 .

Dari gambar 3.2 maka luas pita ke-i adalah :

)]()([2

11 iii xfxfxA

Sehingga untuk n buah pita maka luas seluruhnya menjadi :

)]()([2

1...)]()([

2

1)]()([

2

113221 nn xfxfxxfxfxxfxfxA

karena f(x1) = f(a) dan f(xn+1) = f(b) maka persamaan tersebut menjadi :

)]()(2...)(2)(2)(2)([2

1432 bfxfxfxfxfafxA n

PRAKTIKUM :

1) Membuat program komputer untuk menghitung integral dengan metode Trapesium.

Dimana fungsi yang akan dicari integralnya adalah :

f(x) = 6 6x5

Adapun program komputernya adalah seperti berikut ini :

//*******************************************************

//Menghitung integral dengan metode Trapesium


//*******************************************************

f(x)

a b

y

x

Gambar 3.2 Metode Trapesium

x

xi xi+1

f(xi) f(xi+1)

Pita ke-i

Pita ke-1 Pita ke-n


17

#include

#include

#include

void main()

{

double eps=1e-5;

double trap[100];

double x,x1,x2,delt,delx,pita,fx;

int i;

cout >x1;

cout >x2;

cout


18

cout


19

2) Coba buat program komputer untuk menghitung integral dari fungsi :

f(x) = 1/x

Coba eksekusi program tersebut dengan batas-batas integrasi adalah x=0.01 dan x=0.09.

Jika programnya benar maka anda akan mendapatkan harga integrasi = 2.19723

3.1.3 Metode Simpson

Jika pada metode Persegi panjang dan Trapesium kita menggunakan kurva yang

berbentuk garis lurus maka pada metode Simpson kita akan memakai kurva yang

berbentuk parabola atau polinom orde dua :

f(x) = a2x2 + a1x + a0

Untuk menurunkan rumus integrasi maka dimisalkan xi+1 ditempatkan di x = 0, xi

ditempatkan di x = -x dan xi+2 di x = x. Sehingga nilai integral di bawah kurva f(x)

yaitu :

dxaxaxaA

x

x

i

)( 012

21

selanjutnya dengan penurunan secara matematik akan didapatkan bahwa :

)]()(4([3

1211 iiii xfxfxfxA

Maka luas semua pasangan pita adalah :

)]()(4([3

1321 xfxfxfxA

...)]()(4([3

1543 xfxfxfx

)]()(4([3

112 nnn xfxfxfx

atau

...)(4)(4)(4)([3

18621 xfxfxfxfxA

)](...)(2)(2)(2 753 nxfxfxfxf

PRAKTIKUM :

1) Membuat program komputer untuk menghitung integral dengan metode Simpson.

Dimana fungsi yang akan dicari integralnya adalah :

f(x) = 6 6x5

Adapun program komputernya adalah seperti berikut ini :


20

//*******************************************************

//Menghitung integral dengan metode Simpson


//*******************************************************

#include

#include

#include

void main()

{

double eps=1e-5;

double simp[100];

double x,x1,x2,delt,delx,pita,fx;

int i,j;

cout >x1;

cout >x2;

cout


21

simp[i]=simp[i]+4*fx;

if (x>x1 && x


22

3.2 TURUNAN

Uraian deret Taylor di sekitar x dinyatakan dengan f(x+h) dan f(x-h). Dimana

masing-masing dinyatakan dengan persamaan :

...)(6

1)(

2

1)()()( '''3''2' xfhxfhxhfxfhxf

...)(6

1)(

2

1)()()( '''3''2' xfhxfhxhfxfhxf

Jika kita mengambil selisih antara kedua persamaan tersebut maka akan didapatkan :

...)(6

1

2

)()()( '''2'

xfh

h

hxfhxfxf

jika kita mengambil h yang sangat kecil maka suku-suku dengan h pangkat 2 atau lebih

bisa diabaikan. Sehingga akan didapatkan persamaan Turunan Pertama dari suatu fungsi

f(x) yaitu :

h

hxfhxfxf

2

)()()('

Untuk mendapatkan Turunan Kedua dari fungsi f(x) maka kita menjumlahkan kedua

persamaan f(x+h) dan f(x-h). Sehingga didapatkan persamaan yaitu :

...)(12

1)()(2)()( 2

2

''

xfhh

hxfxfhxfxf iv

Bila h sangat kecil maka suku dengan h pangkat 2 atau lebih bisa diabaikan. Sehingga

akan didapatkan persamaan Turunan Kedua dari f(x) yaitu :

2

'' )()(2)()(h

hxfxfhxfxf

Kedua metode untuk mencari turunan diatas disebut dengan metode Beda Sentral.

PRAKTIKUM :

1) Membuat program komputer untuk menghitung Turunan Pertama dari fungsi. Dimana

fungsi yang dicari turunannya adalah :

PRAKTIKUM MINGGU 4

IInntteeggrraall ddaann TTuurruunnaann ((llaannjjuuttaann))


23

f(x) = x2 5x

Adapun implementasi program komputernya adalah seperti berikut ini :

//*********************************************************************************** //Menghitung Turunan pertama suatu fungsi dengan metode beda sentral //compiler : Visual C++ //*********************************************************************************** #include #include #include void main() { double eps=1e-5; double z[10]; double fx,del,dx,zz,x,y,h; int i,n; cout >y; cout


24

Coba jalankan (eksekusi) program tersebut. Jika anda masukkan nilai x =1 maka akan

didapatkan hasil turunan pertama adalah 3. Cobalah untuk memasukkan nilai x yang lain

dan lihat hasilnya. Bandingkan dengan perhitungan secara manual.

2) Membuat program komputer untuk menghitung Turunan kedua dari fungsi. Dimana

fungsi yang dicari turunannya adalah :

f(x) = x3 5x


//****************************************************************** //Menghitung Turunan pertama suatu fungsi dengan metode beda sentral //compiler : Visual C++ //****************************************************************** #include #include #include void main() { double eps=1e-5; double z[10]; double fx,del,dx,zz,x,y,h; int i,n; cout >y; cout


25

z[i]=fx; } dx=(z[1]-2*z[2]+z[3])/(h*h); del=zz-dx; cout.width(15); cout


26

4.1 Solusi Persamaan Diferensial dengan syarat awal

Misalkan kita memiliki persamaan diferensial seperti di bawah ini :

02

2

kmdt

dxr

dt

xdm

secara analisis maka solusi dari persamaan tersebut adalah :

kmruntuktAex t 4,)sin( 0

kmruntuketBBx t 4,)( 21

kmruntukeCeCxtt

4,21 21

Sedangkan secara numerik kita tidak akan mendapatkan solusi seperti diatas, tetapi kita

akan mencari solusi pada suatu waktu tertentu. Sehingga diperlukan suatu syarat awal

agar solusi dapat dicari yaitu misalkan pada waktu mula-mula solusi melalui suatu titik

tertentu. Syarat semacam ini diperlukan karena solusi persamaan diferensial dapat

berbeda-beda karena adanya suatu konstanta. Andaikan kita mempunyai persamaan

diferensial :

54)(' xxf

solusi secara analisis matematik dari persamaan ini adalah :

54)(

xdx

xdf

Cxxdxxxf 5254)(2

dapat dilihat bahwa solusinya tidak hanya satu tetapi tergantung dari nilai C. Sedangkan

solusi secara numerik kita menentukan suatu syarat awal terhadap fungsi tersebut

misalnya bahwa solusi persamaan tersebut melalui titik (1,1). Sehingga akan didapatkan

hanya sebuah solusi yaitu :

652)( 2 xxxf

misal kita masukkan nilai x = 2 maka solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah :

12)2( f

Jadi dapat disimpulkan bahwa solusi dari persamaan diferensial 54)(' xxf di x = 2

dan syarat awal (1,1) adalah 12. Ada beberapa metode yang dapat diterapkan untuk

mencari solusi dari persamaan diferensial yaitu : metode Euler, Runge-Kutta dll.

4.2 Metode Euler

PRAKTIKUM MINGGU 5

PPeerrssaammaaaann DDiiffeerreennssiiaall BBiiaassaa


27

Solusi persamaan diferensial biasa dengan syarat awal dapat dilakukan dengan

meninjau uraian deret Taylor dari f(x+h) disekitar x yaitu :

hxfxfhxf )()()( '

dimana persamaan diferensial biasa dapat ditulis menjadi :

),()(' yxfxf

sehingga persamaan diatas menjadi :

hyxfxfhxf ),()()(

persamaan ini bisa ditulis dalam bentuk iterasi :

hyxfyy ii ),(1

persamaan ini sering disebut dengan iterasi Euler orde 1. Jika kita menentukan syarat

awal adalah titik (x0,y0) dan kita menginginkan solusi persamaan diferensial di titik xp

maka kita harus membagi selang antara x0 dan xp menjadi n buah pita yang masing-

masing lebarnya h sehingga diperoleh titik-titik x0, x1, x2, xp.

Dari syarat awal yaitu titik (x0,y0) maka dengan rumus iterasi Euler kita dapat

menentukan y1 dengan absis x1 = x0 + h. Selanjutnya dari titik (x1,y1) kita dapat

menentukan y2 dengan absis x2 = x1 + h. Demikian seterusnya sampai didapatkan yp yang

absisnya adalah xp. Dengan demikian nilai yp merupakan solusi dari persamaan diferensial

pada titik xp.

PRAKTIKUM :

1) Membuat program komputer untuk mencari solusi persamaan diferensial biasa dengan

iterasi Euler orde-1. Dimana bentuk persamaan diferensial yang dicari solusinya adalah :

f (x) = 4x+5


//**************************************************************************** //Menghitung Persamaan Diferensial dengan metode Euler orde satu //compiler : Visual C++ //**************************************************************************** #include #include #include void main() { double eps=1e-3; double x,x1,x2,y,y1,y2,fx,delx,delt,pita; int n; cout >x1>>y1; cout >x2; cout


28

while (fabs(delt)>eps) //iterasi selama delt lebih besar dari eps { n+=1; pita=pow(2,n); //2^n delx=(x2-x1)/pita; x=x1; y=y1; while (x


29


iterasi Euler orde-2. Dimana bentuk persamaan diferensial yang dicari solusinya adalah :

f (x) = 4x+5


//*************************************************************************** //Menghitung Persamaan Difrensial dengan metode Euler orde dua //compiler : Visual C++ //*************************************************************************** #include #include #include void main() { double eps=1e-3; double x,x1,x2,y,y1,y2,fx,dx,delx,delt,pita; int n; cout >x1>>y1; cout >x2; cout


30

} cout


31

4.3 Metode Runge-Kutta

Persamaan umum iterasi Runge-Kutta adalah :

),,(1 hyxfyy nnnn

dimana

mmnn kakakahyxf ...),,( 2211

nn xxh 1

dengan

),(1 nn yxhfk

11112 ,( kqyhpxhfk nn

),( 22212123 kqkqyhpxhfk nn

.........

11,122,111,11 ...,( mmmmmnmnm kqkqkqyhpxhfk

4.3.1 Runge-Kutta orde 1

Jika diambil m = 1 maka akan menghasilkan iterasi Runge-Kutta orde 1 yaitu :

111 kayy nn

),(11 nnnn yxhfayy 1

karena 11),,( kahyxf nn dan ),(1 nn yxhfk . Dengan mengambil 11 a maka persamaan

ini sama dengan persamaan iterasi Euler orde-1.

4.3.1 Runge-Kutta orde 2

Jika diambil m = 2 maka akan memberikan iterasi Runge-Kutta orde 2 yaitu :

22111 kakayy nn

dimana

),(1 nn yxhfk

),( 11112 kqyhpxhfk nn

jadi dalam hal ini kita perlu menentukan nilai-nilai dari 11121 dan,,, qpaa . Dengan

melakukan perhitungan matematis maka didapatkan nilai dari konstanta tersebut seperti

dijelaskan di bawah ini.

a) Metode Heun

PRAKTIKUM MINGGU 6

PPeerrssaammaaaann DDiiffeerreennssiiaall BBiiaassaa ((llaannjjuuttaann))


32

Dalam metode ini diambil nilai dari konstanta :

21

21 aa

1111 qp

Sehingga persamaan iterasi Runge-Kutta orde 2 menjadi :

221

121

1 kkyy nn

dimana

),(1 nn yxhfk

),( 12 kyhxhfk nn

b) Metode Raltson


31

1 a 32

2 a

43

111 qp


)2( 2131

1 kkyy nn

dimana

),(1 nn yxhfk

),( 143

43

2 kyhxhfk nn

c) Metode Poligon


01 a 12 a

21

111 qp


21 kyy nn

dimana

),(1 nn yxhfk

),( 121

21

2 kyhxhfk nn

PRAKTIKUM :


iterasi Runge-Kutta orde 2 berdasarkan metode Heun. Dimana bentuk persamaan

diferensial yang dicari solusinya adalah :

f (x) = 4x+5


33


//******************************************************************************************** //Menghitung Persamaan Diferensial dengan metode Runge-kutta orde dua-Heun //compiler : Visual C++ //******************************************************************************************** #include #include #include void main() { double eps=1e-3; double k[4]; double xx,x,x1,x2,yy,y,y1,y2,fx,delx,delt,pita; int i,n; cout >x1>>y1; cout >x2; cout


34

else { delt=yy-y2; cout.width(15); cout


35

xx=x1; yy=y1; while (xx


36


iterasi Runge-Kutta orde 2 berdasarkan metode Poligon. Dimana bentuk persamaan

diferensial yang dicari solusinya adalah :

f (x) = 4x+5


//****************************************************************** //Menghitung Persamaan Diferensial dengan metode Runge-kutta orde dua-Poligon //compiler : Visual C++ //****************************************************************** #include #include #include void main() { double eps=1e-3; double k[4]; double xx,x,x1,x2,yy,y,y1,y2,fx,delx,delt,pita; int i,n; cout >x1>>y1; cout >x2; cout


37

if (n==1) { cout.width(15); cout


38

//************************************************************************************** #include #include #include void main() { double eps=1e-3; double k[4]; double xx,x,x1,x2,yy,y,y1,y2,fx,delx,delt,pita; int i,n; cout >x1>>y1; cout >x2; cout


39

{ cout.width(15); cout


40

//compiler : Visual C++ //****************************************************************** #include #include #include void main() { double eps=1e-3; double k[4]; double xx,x,x1,x2,yy,y,y1,y2,fx,delx,delt,pita; int i,n; cout >x1>>y1; cout >x2; cout


41

cout.width(15); cout

praktikum fiskom ii

Documents