PERSAMAAN FRESNEL

Penurunan keempat persamaan Fresnel.

1. 𝐸 tegak lurus bidang jatuh

Menurut hukum Faraday

𝐄 ⋅

𝑙

𝑑l = − 𝜕𝐁

𝜕𝑡⋅

𝐴

𝑑a

Pada bidang batas abcd (𝑎𝑑 ≪ dan 𝑏𝑐 ≪) diperoleh

𝐄 ⋅𝑙

𝑑l = 0, karena luas abcd = 0.

maka

𝐄 ⋅𝑙

𝑑l = 0 atau 𝐸𝑖⊥ 𝑎𝑏 + 𝐸𝑟⊥ 𝑎𝑏 − 𝐸𝑡⊥ 𝑐𝑑 = 0

𝐸𝑖⊥ + 𝐸𝑟⊥ = 𝐸𝑡⊥ (1.1)

Menurut hukum Ampere

𝐁 ⋅

𝑙

𝑑l = 𝜇0𝐼 + 𝜇0𝜀0 𝜕𝐄

𝜕𝑡⋅

𝐴

𝑑a

Karena I = 0 dan A = 0, maka

𝐁 ⋅

𝑙

𝑑l = 0 = − 𝐵𝑖⊥ 𝑎𝑏 + 𝐵𝑟⊥ 𝑎𝑏 + 𝐵𝑡⊥ 𝑐𝑑

Pada bidang tangensial diperoleh

𝐵𝑖∥ cos 𝑖 = 𝐵𝑡∥ cos 𝑟′ + 𝐵𝑟∥ cos 𝑖

−𝐵𝑖∥ cos 𝑖 + 𝐵𝑟∥ cos 𝑖 = −𝐵𝑡∥ cos 𝑟′

−𝜇1𝐻𝑖∥ cos 𝑖 + 𝜇1𝐻𝑟∥ cos 𝑖 = −𝜇2𝐻𝑡∥ cos 𝑟′

Jika medium transparan, 𝜇1 ≈ 𝜇2 ≈ 𝜇0 , sehinga dapat diambil bentuk

𝐻𝑖∥ cos 𝑖 − 𝐻𝑟∥ cos 𝑖 = 𝐻𝑡∥ cos 𝑟′ (1.2)

Karena 𝐵 =1

𝑣𝐸 =

1

𝜇𝜀𝐸, maka

𝐸 = 𝐻 𝜇

𝜀 (1.3a)

𝐻𝑖∥ = 𝐸𝑖⊥ 𝜇1

𝜀1 (1.3b)

𝐻𝑟∥ = 𝐸𝑟⊥ 𝜇1

𝜀1 (1.3c)

𝐻𝑡∥ = 𝐸𝑡⊥ 𝜇1

𝜀1 (1.3d)

Mengingat 𝑛 = 𝜀𝜇

𝜖0𝜇0, untuk media yang transparan 𝜇 ≈ 𝜇0 sehingga

𝑛 = 𝜀

𝜀0=

𝐾𝑒𝜀0

𝜀0= 𝐾𝑒 = 𝜀𝑟

Dengan substitusi persamaan (1.3b,c,d) ke dalam persamaan (1.2)

𝜀1

𝜇1𝐸𝑖⊥ cos 𝑖 −

𝜀1

𝜇1𝐸𝑟⊥ cos 𝑖 =

𝜀2

𝜇2𝐸𝑡⊥ cos 𝑟′

Mengingat 𝜇1 ≈ 𝜇2 ≈ 𝜇0

𝑛1𝐸𝑖⊥ cos 𝑖 − 𝑛1𝐸𝑟⊥ cos 𝑖 = 𝑛2𝐸𝑡⊥ cos 𝑟′ (1.6)

Bila persamaan (1.5) dikalikan 𝑛1 cos 𝑖, kemudian dipersamakan dengan persamaan (1.6),

diperoleh:

𝑛1𝐸𝑖⊥ cos 𝑖 + 𝑛1𝐸𝑟⊥ cos 𝑖 = 𝑛1𝐸𝑡⊥ cos 𝑖

𝑛1𝐸𝑖⊥ cos 𝑖 − 𝑛1𝐸𝑟⊥ cos 𝑖 = 𝑛2𝐸𝑡⊥ cos 𝑟′

____________________________________________________________ +

2𝑛1𝐸𝑖⊥ cos 𝑖 = 𝑛1 cos 𝑖 + 𝑛2 cos 𝑟′ 𝐸𝑡⊥

Atau

𝐸𝑡⊥

𝐸𝑖⊥=

2𝑛1 cos 𝑖

𝑛1 cos 𝑖 + 𝑛2 cos 𝑟′

Mengingat hukum Snells 𝑛1 sin 𝑖 = 𝑛2 sin 𝑟′ atau 𝑛2 = 𝑛1sin 𝑖

sin 𝑟′

𝐸𝑡⊥

𝐸𝑖⊥=

2𝑛1 cos 𝑖

𝑛1sin 𝑟′sin 𝑟′

cos 𝑖 + 𝑛1sin 𝑖sin 𝑟′

cos 𝑟′

𝐸𝑡⊥

𝐸𝑖⊥=

2𝑛1 cos 𝑖 sin 𝑟′

𝑛1 sin 𝑟′ cos 𝑖 + 𝑛1 sin 𝑖 cos 𝑟′

𝐸𝑡⊥

𝐸𝑖⊥=

2 cos 𝑖 sin 𝑟′

sin 𝑟′ cos 𝑖 + sin 𝑖 cos 𝑟′

Menggunakan kesamaan trigonometri sin𝑎 cos𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏 = sin(𝑎 + 𝑏), diperoleh

𝐸𝑡⊥

𝐸𝑖⊥=

2 cos 𝑖 sin 𝑟′

sin 𝑖 + 𝑟′

Inilah koefisien transmisi/refraksi, T:

𝑇⊥ =2 cos 𝑖 sin 𝑟′

sin 𝑖+𝑟′ (1.7)

Bila persamaan (1.5) dikalikan dengan 𝑛2 cos 𝑟′ dan dipersamakan dengan persamaan (1.6):

𝑛2𝐸𝑖⊥ cos 𝑟′ + 𝑛2𝐸𝑟⊥ cos 𝑟′ = 𝑛2𝐸𝑡⊥ cos 𝑟′

𝑛1𝐸𝑖⊥ cos 𝑖 − 𝑛1𝐸𝑟⊥ cos 𝑖 = 𝑛2𝐸𝑡⊥ cos 𝑟′

_______________________________________________________________________________ _

− 𝑛1 cos 𝑖 − 𝑛2 cos 𝑟′ 𝐸𝑖⊥ + 𝑛1 cos 𝑖 + 𝑛2 cos 𝑟′ 𝐸𝑡⊥ = 0

Atau

𝐸𝑟⊥

𝐸𝑖⊥=

𝑛1 cos 𝑖 − 𝑛2 cos 𝑟′

𝑛1 cos 𝑖 + 𝑛2 cos 𝑟′

Mengingat hukum Snells 𝑛1 sin 𝑖 = 𝑛2 sin 𝑟′ atau 𝑛2 = 𝑛1sin 𝑖

sin 𝑟′

𝐸𝑟⊥

𝐸𝑖⊥=

𝑛1sin 𝑟′sin 𝑟′

cos 𝑖 − 𝑛1sin 𝑖sin 𝑟′

cos 𝑟′

𝑛1sin 𝑟′sin 𝑟′

cos 𝑖 + 𝑛1sin 𝑖sin 𝑟′

cos 𝑟′

𝐸𝑟⊥

𝐸𝑖⊥=

sin 𝑟′ cos 𝑖 − cos 𝑟′ sin 𝑖

sin 𝑟′ cos 𝑖 + cos 𝑟′ sin 𝑖

Menggunakan kesamaan trigonometri sin𝑎 cos𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏 = sin(𝑎 + 𝑏), dan

sin𝑎 cos 𝑏 − cos 𝑎 sin𝑏 = sin(𝑎 − 𝑏) diperoleh

𝐸𝑟⊥

𝐸𝑖⊥=

sin 𝑟′ − 𝑖

sin 𝑟′ + 𝑖 = −

sin 𝑖 − 𝑟′

sin 𝑖 + 𝑟′

Inilah koefisien refleksi, R:

𝑅⊥ = −sin 𝑖−𝑟′

sin 𝑖+𝑟′ (1.8)

2. 𝐸 sejajar bidang jatuh

Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, pada bidang batas abcd (𝑎𝑑 ≪ dan 𝑏𝑐 ≪)

diperoleh

𝐵𝑖⊥ + 𝐵𝑟⊥ = 𝐵𝑡⊥ (2.1a)

atau

𝜇1𝐻𝑖⊥ + 𝜇1𝐻𝑟⊥ = 𝜇2𝐻𝑡⊥ (2.1b)

Pada bidang tangensial

𝐸𝑖∥ cos 𝑖 − 𝐸𝑟∥ cos 𝑟 = 𝐸𝑡∥ cos 𝑟′

Karena 𝑖 = 𝑟, maka

𝐸𝑖∥ cos 𝑖 − 𝐸𝑟∥ cos 𝑖 = 𝐸𝑡∥ cos 𝑟′ (2.2)

Substitusi persamaan (1.3a) ke dalam persamaan (2.1b)

𝜇1𝐸𝑖∥ 𝜀1

𝜇1+ 𝜇1𝐸𝑟∥

𝜀1

𝜇1= 𝜇2𝐸𝑡∥

𝜀2

𝜇2

Mengingat untuk medium transparan 𝜇1 ≈ 𝜇2 ≈ 𝜇0

𝐸𝑖∥ 𝜀1 + 𝐸𝑟∥ 𝜀1 = 𝐸𝑡∥ 𝜀2

Akhirnya diperoleh:

𝑛1𝐸𝑖∥ + 𝑛1𝐸𝑟∥ = 𝑛2𝐸𝑡∥ (2.3)

Bila persamaan (2.2) dikalikan 𝑛1 dan persamaan (2.3) dikalikan cos 𝑖 lalu keduanya

dipersamakan (dikurangi):

𝑛1𝐸𝑖∥ cos 𝑖 − 𝑛1𝐸𝑟∥ cos 𝑖 = 𝑛1𝐸𝑡∥ cos 𝑟′

𝑛1𝐸𝑖∥ cos 𝑖 + 𝑛1𝐸𝑟∥ cos 𝑖 = 𝑛2𝐸𝑡∥ cos 𝑖

_____________________________________________________________ +

2𝑛1𝐸𝑖∥ cos 𝑖 = 𝑛1 cos 𝑟′ + 𝑛2 cos 𝑖 𝐸𝑡∥

Atau

𝐸𝑡∥

𝐸𝑖∥=

2𝑛1 cos 𝑖

𝑛1 cos 𝑟′ + 𝑛2 cos 𝑖

Mengingat hukum Snells 𝑛1 sin 𝑖 = 𝑛2 sin 𝑟′ atau 𝑛2 = 𝑛1sin 𝑖

sin 𝑟′

𝐸𝑡∥

𝐸𝑖∥=

2𝑛1 cos 𝑖

𝑛1sin 𝑟′sin 𝑟′

cos 𝑟′ + 𝑛1sin 𝑖sin 𝑟′

cos 𝑖

𝐸𝑡∥

𝐸𝑖∥=

2 cos 𝑖 sin 𝑟′

sin 𝑟′ cos 𝑟′ + sin 𝑖 cos 𝑖

Mengingat kesamaan trigonometri sin𝑎 cos 𝑎 =1

2sin 2𝑎

𝐸𝑡∥

𝐸𝑖∥=

2 cos 𝑖 sin 𝑟′

12 sin 2𝑟′ + sin 2𝑖

Mengingat kesamaan trigonometri sin𝑎 + sin 𝑏 = 2 sin1

2(𝑎 + 𝑏) cos

1

2(𝑎 − 𝑏)

𝐸𝑡∥

𝐸𝑖∥=

2 cos 𝑖 sin 𝑟′

sin 𝑖 + 𝑟′ cos 𝑖 − 𝑟′

Inilah koefisien transmisi, T:

𝑇∥ =2 cos 𝑖 sin 𝑟′

sin 𝑖+𝑟 ′ cos 𝑖−𝑟′ (2.4)

Bila persamaan (2.2) dikalikan 𝑛2 dan persamaan (2.3) dikalikan cos 𝑟′ lalu keduanya

dipersamakan (dikurangi):

𝑛2𝐸𝑖∥ cos 𝑖 − 𝑛2𝐸𝑟∥ cos 𝑖 = 𝑛2𝐸𝑡∥ cos 𝑟′

𝑛1𝐸𝑖∥ cos 𝑟′ + 𝑛1𝐸𝑟∥ cos 𝑟′ = 𝑛2𝐸𝑡∥ cos 𝑟′

_____________________________________________________________ _

𝑛2 cos 𝑖 − 𝑛1 cos 𝑟′ 𝐸𝑖∥ − 𝑛2 cos 𝑖 + 𝑛1 cos 𝑟′ 𝐸𝑟∥ = 0

Atau

𝐸𝑟∥

𝐸𝑖∥=

𝑛2 cos 𝑖 − 𝑛1 cos 𝑟′

𝑛2 cos 𝑖 + 𝑛1 cos 𝑟′

Mengingat hukum Snells 𝑛1 sin 𝑖 = 𝑛2 sin 𝑟′ atau 𝑛2 = 𝑛1sin 𝑖

sin 𝑟′

𝐸𝑟∥

𝐸𝑖∥=

𝑛1sin 𝑖sin 𝑟′

cos 𝑖 − 𝑛1sin 𝑟′sin 𝑟′

cos 𝑟′

𝑛1sin 𝑖sin 𝑟′

cos 𝑖 + 𝑛1sin 𝑟′sin 𝑟′

cos 𝑟′

𝐸𝑟∥

𝐸𝑖∥=

sin 𝑖 cos 𝑖 − sin 𝑟′ cos 𝑟′

sin 𝑖 cos 𝑖 + sin 𝑟′ cos 𝑟′

Mengingat kesamaan trigonometri sin𝑎 cos 𝑎 =1

2sin 2𝑎

𝐸𝑟∥

𝐸𝑖∥=

12

sin 2𝑖 −12

sin 2𝑟′

12

sin 2𝑖 +12

sin 2𝑟′

Mengingat kesamaan trigonometri sin𝑎 + sin 𝑏 = 2 sin1

2(𝑎 + 𝑏) cos

1

2(𝑎 − 𝑏) dan

sin𝑎 − sin𝑏 = 2 cos1

2(𝑎 + 𝑏) sin

1

2(𝑎 − 𝑏)

𝐸𝑟∥

𝐸𝑖∥=

cos(𝑖 + 𝑟′) sin(𝑖 − 𝑟′)

sin(𝑖 + 𝑟′) cos(𝑖 − 𝑟′)=

tan(𝑖 − 𝑟′)

tan(𝑖 + 𝑟′)

Inilah koefisien refleksi, R:

𝑅∥ =tan (𝑖−𝑟 ′ )

tan (𝑖+𝑟 ′ ) (2.5)

Akhirnya dapat dirangkumkan keempat persamaan Fresnel:

𝑇⊥ =2 cos 𝑖 sin 𝑟′

sin 𝑖 + 𝑟′

𝑅⊥ = −sin 𝑖 − 𝑟′

sin 𝑖 + 𝑟′

𝑇∥ =2 cos 𝑖 sin 𝑟′

sin 𝑖 + 𝑟′ cos 𝑖 − 𝑟′

𝑅∥ =tan(𝑖 − 𝑟′)

tan(𝑖 + 𝑟′)