PERSAMAAN DIOPHANTINE

PERSAMAAN DIOPHANTINE

A. Pendahuluan Persamaan Diophantine terdiri dari persamaan Diophantine Linier dan persamaan Diophantine non-Linier.persamaan ini pertama kali ditulis oleh Diophantus (250 M) didalam bukunya yang berjudul Aritmathica dan buku ini dikenal sebagai buku aljabar yang pertama kali.

B. Persamaan Diophantine Linier

Persamaan Diophantine yang paling sederhana adalah memuat dua variable,pada umumnya dinyatakan dengan ax + by = c

Dengan a,b,c z

Dalil.7.1

Ditentukan a,b,c Z dan d = ( a,b)a. Jika ( a,b) / c maka persamaan ax + by = c tidak mempunyai penyelesaian .

b. Jika ( a,b) / c maka persamaan ax + by = c mempunyai penyelesaian bulat yang tak hingga banyaknya,yaitu pasangan ( x,y) dengan :

x = xo + (b/d )n dan y = yo ( a/d)n

Dengan n Z dan (xo ,yo ) adalah suatu penyelesaian bulat

Contoh soal 7.1

Selesaikan persamaan-persamaan Diophantine berikut :

a. 4x +5y = 10

b. 9x +12y =21

c. 4x + 6y = 7 Jawab :

a. (4,5 ) = 1 10 ,persamaan mempunyai penyelesaian .

Sesuai dengan Dalil Algoritma Euclides, karena (4,5 ) = 1 maka tentu ada x1,y1 Z sehingga 4 x1,+ 5 y1 = 1Karena 5 = 1.4 + 1 atau 4 (-1) + 5 ( 1) = 1, maka x1= -1 ,y1 = -1

4 (-1) + 5 ( 1) = 1

10 [ 4 (-1) + 5 ( 1)] = 10 .1 4 (-10) + 5 ( 10) = 10 ( ingat 4x +5y = 10 )

Jadi : xo = -10 dan ,yo = 10

Penyelesaian Persamaan adalah

x = -10 + 5k dan

y = 10- 4k dengan k Z

b. ( 9,12 ) = 3 10 ,persamaan mempunyai penyelesaian .

Sesuai dengan Dalil Algoritma Euclides, karena (9,12 ) = 3 maka tentu ada x1,y1 Z sehingga 9 x1,+ 12 y1 = 3

Karena 12 = 1.9 + 3 atau 9 (-1) + 12 ( 1) = 3, maka x1= -1 ,y1 = -1

9 (-1) + 12 ( 1) = 3

7 [ 9 (-1) + 12 ( 1)] = 7 .3

9 (-7) + 12 ( 7) = 21 ( ingat 9x +12y = 21 )

Jadi : xo = -7 dan ,yo = 7

Penyelesaian Persamaan adalah

x = xo + (b/d )t

= -7 + ( 12 /3 ) t

= -7 + 4t , dengan t Z

y = yo ( a/d)t

= 7 (9 / 3)t

= 7 -3t , dengan t Zc. ( 4,6 ) = 2 , 2 7 ,persamaan tak mempunyai penyelesaian .

1. CARA REDUKSI Cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Diophantine Linier adalah mereduksikoefisien ( bukan variabel ) melalui pembagian berulang ( serupa dengan pembagian Algoritma ) sehingga diperoleh bentuk tanpa pecahan .

Contoh soal 7.2 a. selesaikan 4x + 5y = 10 dengan cara reduksi .

jawab :

4x + 5y = 10 4x = 10 -5y

x =

x =

x =

ambil t = atau 2-y = 4t atau y = 2 -4t dari y = 2- 4t diperoleh :

x =

= 2- (2 -4t) +

= 4t + t

= 5t

Penyelesaian persamaan adalah :

x = 0 +5t

y = 2 - 4t

jika dibandingkan dengan penyelesaian pada contoh didepan maka hasil yang diperoleh nampak berbeda,sebetulnya dua jawaban itu sama

x = -10 + 5k

= 5 (-2 + k )

= 5t dengan t = -2 + k atau k = t + 2

y = 10- 4k

= 10 -4 ( t + 2 )

=10 4t 8

= 2 4t

Contoh soal 7.3

Selesaikan 3x + 8y = 11 dengan cara reduksi

Jawab :

3x + 8y = 11 3x = 11 -8y

x =

x =

x =

ambil t = atau 2-2y = 3t atau

EMBED Equation.3 dari

t = 2u y = ( 1- 2u) 4

= 1-3u

x = 3-2y + t

= 3- 2( 1-3u ) + 2u

=1+8u

Penyelesaian persamaan adalah : x = 1+8u dan y = 1- 3u

Contoh 7.4selesaikan x + 2 y + 3 z = 1 dengan cara reduksi

jawab :

x + 2y + 3z = 1 2y = - x 3z + 1

y =

y =

t =

2t = - x z + 1

Z = -x 2t + 1

u = x 2t + 1 x = - u + 2t +1

z = x 2t + 1 z = u

y = - z + t y = -u + t

penyelesaian perrsamaan adalah :

x = - u + 2t +1

y = -u + t

z = u

sekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( x + 2y + 3z ) sebagai berikut :

u t x 2y 3z x + 2y + 3z

1 1 -2 0 3 1

2 1 -3 -2 6 1

2 3 -7 2 6 1Dari tabel nilai diatas dapat diketahui bahwa beberapa triple ( x ,y,z) yang memenuhi persamaan adalah ( -2 ,0,3), (-3 ,-2 ,6) ,(-7,2,6)

2.CARA KONGRUENSI

Contoh soal :

Selesaikan persamaan-persamaan Diophantine linier berikut dengan cara kongruensi

a. 2x + 5y = 11

b. 2x + 3y + 7z = 15

c. 6x + 15y = 8

d. 35x + 14y = 91

Jawaban a)

2x +5y = 11 5y = 11- 2x

5y 11 (mod 2)

y 1 (mod 2)

y 1 (mod 2) y = 1 + 2t

2x +5y = 11 2x = 11 5y

2x = 11 5 ( 1 + 2t )

2x = 11 -5 -10t

x = 3 5t

Penyelesaian kongruensi adalah

x = 3 5t dan y = 1 + 2t

sekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai (2x + 5y) sebagai berikut :

t x y 2x 5y 2x + 5y

1 2 1 4 5 11

2 -7 5 -14 25 11

4 -17 9 -34 45 11

Jawaban b) 2x +3y + 7z = 15 3y + 7z = 15- 2x

3y + 7z 15 (mod 2)

y + z 1 (mod 2)

y (1- z) (mod 2)

Ambil z = t ,maka y (1- z) + 2u = (1- t) + 2u

y = 2u t + 1

2x +3y + 7z = 15 2x = 15 -3y 7z

= 15 -6u + 3t -3 7t

=-6u -4t + 12

x = 3u -2t + 6

Penyelesaian kongruensi adalah

x = 3u -2t + 6 dan y = 2u t + 1

Jawaban c)

6x + 15y = 8 6x = 8 15y 6x 8 ( mod 15 )

Karena ( 6,8 ) = 2 15 maka kongruensi ini tidak nenpunyai penyelesaian , berarti pula persamaan 6x + 15y = 8 tidak nenpunyai penyelesain

Jawaban d) 35x + 14y = 91 14y = 91 35x 14y 91 ( mod 35 ) 14y 21 ( mod 35 )

Karena ( 14 ,21 ) 7 35 , maka kongruensi mempuyai penyelesaian.

14y 21 ( mod 35 ) 2y 3 ( mod 7 )

y = 4 + 5t

35x + 14y = 91 35x + 14( 4 + 5t ) = 91

35x + 56 + 70t = 91

35 x = 35 70 t

x = 1- 2t

Penyelesaian persamaan adalah

x = 1- 2t dan y = 4 + 5t

C. Persamaan Diophantine Non Linier1. Triple Phytagoras

Dalil phytagoras menyatakan bahwa didalam sembarang segitiga siku siku ,kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi sisi yang lain.

Jika suatu segitiga siku-siku mempunyai sisi miring C maka sisi-sisi yang lain adalah a dan b maka hubungan antara a,b dan c menurut dalil Phytagoras adalah : c2 = a2 + b2. Tiga bilangan bulat positif x , y dan z yang memenuhi hungan dalil Phytagoras disebut Triple Phytagoras

Beberapa Triple Phytagoras

3,4,5 sebab 52 = 32+425,12,13 sebab 132 = 52 + 122

Definisi 7.4

Suatu tripel Pythagoras x,y,z disebut primitive Pythagoras jika ( x,y,z) =1Contoh 7.9

1. triple Pythagoras 3,4,5 adalah primitive Pythagoras sebab ( 3,4,5) =1 dan 52 =32+ 422. triple Pythagoras 7,24,25 adalah primitive Pythagoras sebab ( 7,24,25) =1 dan

252 =72+ 2423. triple Pythagoras 6,8,10 adalah bukan primitive Pythagoras sebab ( 3,4,5) =2 1 Misalkan xo ,yo, zo adalah suatu primitive Pythagoras maka zo 2= xo2 +yo2 jika masing- masing dikalikan k maka diperoleh triple kxo ,kyo, kzo perhatikan :

zo 2 = xo2 +yo2k2zo 2= k2xo2 + k2yo2 (kzo )2 = (kxo ) 2 + (kyo ) 2 Triple Pythagoras

Misalkan x,y,z adalah suatu triple Pythagoras dan ( x,y,z) = d maka d x , d y , d z

d x = d xo x2 / d2 z

d y= d yo y2 / d2 z

d z = d zo z2 / d2 z

x2 + y 2= z2 x2 + y 2 / d2 = +

x02+ y02= z02 x0 ,y0, z0 merupakan suatu triple pythagoras ,karena dan maka jelaslah bahwa ,berarti x0 ,y0, z0

merupakan suatu primitive Pythagoras .Dalil.7.1

Jika x,y, z adalah suatu primitive triple Pythagoras maka ( x, y) = (x,z ) = (y,z ) =1

Dalil. 7.2

Jika x,y, z adalah suatu primitive triple Pythagoras maka x adalah suatu bilangan genap dengan y adalah suatu bilangan ganjil atau x adalah suatu bilangan ganjil dan y adalah suatu bilangan genap Dalil. 7.3

Jika x,y, z z maka penyelesaian primitif :

x2 + y 2= z2 adalah x = m2 - n2 y = 2mn dan

z = m2 +n2 yang mana m > n > 0 , ( m,n ) = 1

Contoh 7.10Carilah semua triple Pythagoras primitif yang mana selisihnya antara bilangan terbesar dengan satu dari bilangan yang lain berselisis (berbeda ) k

Jawab

Nilai nilai k yang mungkin adalah k merupakan suatu bilangan ganjil atau k merupakan suatu bilangan genap.

1.k adalah suatu bilangan gnajil

Jika x2 + y 2= z2,y adalah suatu bilangan genap dan z adalah suatu bilangan genap.

Maka untuk nilai k yang ganjil diperoleh dari selisih bilangan terbesar dengan bilangan yang genap.

m2 + n2 - k = 2mn

m2 + n2 2mn = k

(m n ) 2 = k

Jika t = m n ,maka t2 = k atau k = t2 dan m = n + t

x = m2 n2 = ( n + t ) 2 n2 = n2 + 2t + t2 n2 = 2nt + t2

= t ( 2n + t)

y = 2mn = 2 (n + t )n = 2n ( n + t )

z = m + n = ( n + t ) 2 + n2 = n2 + 2nt + t2 + n 2 = 2n2 + 2nt + t2

Sebagai contoh nyata untuk k= 9 dan t = 3 dari persamaan

x = t ( 2n + t )

y = 2n ( n + t )

z = 2n2 + 2nt + t 2 Dapat ditentukan bentuk umum triple Pythagoras yang dicari yaitu :

x = 3 ( 2n + 3 )

y = 2n ( n + 3 )

z = 2n2 + 6n + 3

Beberapa unsure dalam barisan triple Pythagoras yang memenuhi adalah :

( 15,8,17 ) ,( 21,20 ,29 ) ,(27,36 ,45),..

2) k adalah suatu bilangan genap. Jika x2 + y 2= z2, y adalah suatu bilangan ganjil dan z adalah suatu bilangan ganjil

Maka x dan z tentu keduanya merupakan bilangan bilangan ganjil sehingga k merupakan selisih ( beda ) antara z dan x

Z = x + k

m2 + n2 = m2 - n2 + k 2n2 = k Ambil k = 2t2 ,maka 2n2 = 2nt2 sehingga n = t dengan m adalah sebarang bilangan lebih dari t dan mempunyai paritas yang berbneda dengan t

Dengan demikian dapat ditentukan bahwa

X = m2 - n2 X = m2 - t2

Y = 2mn Y = 2mt

Z = m2 + n2 Z = m2 + t2

Sebagai peragaan untuk k = 8 bentuk umum triple Pythagoras yang dicari untuk n = t = 2 adalah :

X = m2 4

Y = 4m

Z = m2 + 4

Beberapa unsure dalam barisan triple Pythagoras yang meemnuhi adalah ( 5,12,13 ) ,( 21,20 ,29 ) ,(45,28 ,53)

Contoh 7.11

Carilah semua tiple Pythagoras yang membentuk suatu barisan aritmatika

Jawab

Misalkan x, y, z adalah triple Pythagoras yang membentuk barisan aritmatika maka tentu ada bilangan bulat yang positif sehingga: (y t) 2 + y2 = (y + t) 2 t : beda barisan

y2 2yt + t 2+ y2 = y 2 + 2yt + t2

y2 = 4yt

y2 4yt = 0

y ( y-4t) = 0 y = 0 atau y = 4t

karena y = 0 tidak menghasilkan triple Pythagoras ,maka y = 4t sehingga

x = y t = 4t t = 3t

z = y + t = 4t + t = 5t

y = 4t

jadi bentuk umum triple Pythagoras yang dicari adalah ( 3t, 4t ,5t ) sehingga barisan yang dicari adalah :

( 3,4,5), ( 6,8,10) , (12,16 ,20) Contoh 7.12 Selesaikan persamaan x 2+ y2 = z4 dalam bentuk triple Pythagoras

Jawab :

x 2+ y2 = z4 x 2+ y2 = (z2) 2

ini berarti bahwa ada m,n z, m> n sehingga :

z2 = m2 + n2 , x = m2 n2 dan y = 2mn

dengan m = r2 s2 , n = 2rs ,dan z = r 2+ s 2 berikutnya dapat dicari nilai nilai x ,y dan z : x = m n

= (r s) (2rs) = r 2rs + s 4rs

x =

y = 2mn

= 2( r2 s2 )2rs = (2r2 -2s2 ) 2rs

y = 4rs (r2 s2 )

z = r 2+ s2Bebrapa unsur dari barisan penyelesaian diperoleh dengan mengambil ( r,s) = 1 r > s > 0 dan r mempunyai paritas yang berbeda dengan s r s x = y = 4rs (r2 s2 ) z = r 2+ s2 2 1 7 24 25

3 2 119 120 169 4 1 161 240 289

4 3 527 336 625Beebrapa unsur barisan penyelesaianya adalah :

( 7,24,25), ( 119,120,169) , (161,240 ,289), ( 527, 336,625 )

Dalil 7.4 Jika x,y,z N dan ( x,y,z) = 1 maka persamaan x2 + y2 = z2 mempunyai penyelesaian :

X =

Y = 2rs

Z =

Dalil 7.5 Jika x,y,z N dan ( x,y,z) = 1 maka persamaan x2 + y2 = 2z2 mempunyai penyelesaian :

X = r2 s2 + 2rs

Y =

Z = r2 + s2Dalil .7.6

Jika y dan z adalah bilangan bilangan genap maka penyelesaian persamaan :

x2 + y2 + z2 = t2 ,adalah :

y = 2p

z = 2q

Dengan p , q N , r < ( p2 + q2 ) dan

SOAL SOAL PERSAMAAN DIOPHANTINE 2. selesaikan persamaan persamaan linier Diophantine : a. 3x + 2y + 7z = 15b. 3x + y -z = 5c. 4x +2y +3z = 5d. 5x + 2y z = 12e. x - 3y + 2z = 7f. 3x +-3y + 9z = 103.selesaikan persamaan persamaan linier Diophantine :a. 7x + 5y + 6z = 173 3x + 17y + 4z = 173

b. 5x +2y + 3z = 324

-4x + 6y + 14 = 190 c. x + y + z = 100

6x + 21y + z = 121d. x + y + z = 4

9y + 5z + 6y = 18

JAWABAN 2.) Jawaban a)3x + 2y + 7z = 15

2y = 15 3x 7z

y = 14 + 1 2x x 6z z 2

y = ( 7 x 3 z ) +

t = 2t = 1 x z

z = 1- x 2t

u = 1-x -2t x = 1- 2t u

z = 1- x 2t z = u y = ( 7 x 3 z ) + t

y = ( 7 (1- 2t u ) 3 u) + t

y = ( 7 1+ 2t + u 3 u + t y = 6 + 3t 2u

Penyelesaian persamaan adalah

x = 1- 2t u

y = 6 + 3t 2u

z = usekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( 3x + 2y + 7z ) sebagai berikut :

u t x y z 3x + 2y + 7z

1 1 - 2 7 1 15

2 1 -3 5 2 15

1 0 0 4 1 15Jawaban b)

3x + y -z = 5

3x = 5 y +z

x = 3 +2 y + z 3

x = 1 +

t = 3t = 2 y + z

z = 3t 2 + y

u = 3t 2 + y y = u 3t + 2

z = 3t 2 + y z = u x = 1 +

x = 1+ t

Penyelesaian persamaan adalah x = 1+ t

y = u 3t + 2

z = usekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai (3x + y -z ) sebagai berikut :

u t x y z 3x + y - z

1 1 2 0 1 5

2 1 2 1 2 5 1 0 1 3 1 5Jawaban c)

4x +2y + 3z = 5 3y + 7z = 5- 2x

4x + 3z 5 (mod 2)

2x + z 1 (mod 2)

z (1- 2x) + 2u

Ambil x = t ,maka z (1- 2x) + 2u z = 1-2t + 2u substitusi nilai x dan z ke persamaan 4x +2y + 3z = 5

4t +2y + 3(1-2t + 2u) = 5

4t + 2y + 3 6t +6u = 5

2y = 5 + 2 6u 3

2y = 2 + 2t 6u

y = 1 + t 3u

Penyelesaian kongruensi adalah

x = t y = 1 + t 3u

z = 1-2t + 2u

sekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( 4x + 2y - 3z ) sebagai berikut :

u t x y z 4x + 2y -3z

1 1 1 -1 1 5

2 1 1 -4 3 5

1 0 0 -2 3 5

Jawaban d)

5x + 2y -z = 12

2y = 12 5x + z

y = 12 4x x + z 2

Y = ( 6 2x ) +

t = 2t = z x

z =2t + x

u = 2t + x x = u - 2t z = 2t + x z = u

y = ( 6 2x ) + t

y = 6 2( u 2t ) + t y = 6 2u + 4t +t y = 6 2u + 5t Penyelesaian persamaan adalah

x = u - 2t

y = 6 2u + 5t

z = usekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( 5x + 2y z ) sebagai berikut :

u t x y z 5x + 2y -z

1 1 - 1 9 1 122 1 0 7 2 12 1 0 1 4 1 12

Jawaban e)

x -3y +2z = 7 2z = 7 x + 3y

z = 6 +1 x + 2y +y 2

z = ( 3 +y ) +

t = 2t = 1- x + y

y = 2t + x - 1

u = 2t + x - 1 x = u 2t + 1

y = 2t + x 1 y = u z = ( 3 +y ) +

z = ( 3 +y ) + t

z = (3 +u ) + t

z = 3 + u + t

Penyelesaian persamaan adalah

x = u 2t + 1

y = u

z = 3 + u + t

sekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( x - 3y + 2z ) sebagai berikut :

u t x y z x -3y + 2z

1 1 0 1 5 7 2 1 1 2 6 7 1 0 2 1 4 7

Jawaban f)

2x - 3y +9z = 10

2x = 10 +3 y -9z

x = 10 +2y + y -8-z 2x = ( 5 + y 4z ) +

t = 2t = y - z

z = y 2t

u = y 2t y = u + 2t

z = y 2t z = u

x = ( 5 + y 4z ) +

x = ( 5 + y 4z ) + t

x = ( 5 + u + 2t 4u ) + t x = 5 + 3t 3u

Penyelesaian persamaan adalah

x = 5 + 3t 3u

y = u + 2t

z = u

sekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( 2x - 3y + 9z ) sebagai berikut :

u t x y z 2x -3 y + 9z

1 1 5 3 1 102 1 2 4 2 10 1 0 2 1 1 10

3.) jawaban : a) 7x + 5y + 6z = 173 7x + 6z = 173- 5y

2x + z 3 (mod 5)

z (3- 2x) + 5u

Ambil x = t ,maka z (3- 2x) + 5u

z = 3-2t + 5u

substitusi nilai x dan z ke persamaan

7x +5y + 6z = 173

7t + 5y + 6(3-2t + 5u) = 173

7t + 5y + 18 12t +30u = 173

5y = 155 + 5t 30 u

y = 31 + t - 64 3x + 17y + 4z = 510 3t + 17 (31 + t - 64 ) + 4 (3-2t + 5u) = 510

3t + 527 + 17t 102u + 12 8t + 204 = 510

12t 82u + 539 = 510

12t 82u = 510 539

82u 29 + 12t 82u 29 ( mod 12 ) 10u 5 + 12 r 10u 5 ( mod 12 )

12r -5 ( mod 12 )

2r 5 ( mod 10 )

10r 5 (mod 2) tidak dapat diselesaikan

sehingga persamaan Diophantine diatas tidak dapat diselesaikan jawaban : b)

5x +2y + 3z = 324 5x + 3z 324 ( mod 2 )x + z 0 ( mod 2 )

x 0 z ( mod 2)

x z + 2u

ambil z1 = t

x1 = -t + 2u

2y = 324 -5x -3z

2y = 324 -5( -t +2t ) -3z

2y = 324 -5t -3t 10u

2y = 324 +2t -10u

y1 = 162 +t -5u

-4x + 6y + 14 = 190

6y + 14z 190 ( mod 4 )2y + 2z 2 ( mod 4 )

2y 2 2z ( mod 4)

y 1-z + 2u

ambil z2 = t

y2 = 1- t + 2u

4x = 6y + 14 z 190 4x = 6(1- t + 2u ) + 14t 190

4x = 6- 6t + 12u + 14t 190

4x = 8t + 12u 184

x2 = 2t + 3u 46

dari persamaan x, y dan z diatas maka dapat ditentukan

x1 = x2

-t + 2u = 2t + 3u 46

-3t u = -46 .(1)

z1 = z2 = t

y1 = y2

162 +t -5u = 1- t + 2u

-2t + 7u = 161 (2)

eliminasi persamaan 1 dan 2

-3t u = -46 x 7

-2t + 7u = 161 x 1

- 21t 7u = -322

-2t + 7u = 161 +

-23t = -161

t = 7

Substitusi t ke persamaan ( 1)

-3t u = -46

-21 u = -46

u = 25

Substitusi nilai u dan t kepersamaan x , y dan z

Maka akan didapat :

x = -t + 2u

= -7 + 2 ( 25)

= 43

y = 1-t + 2u

= 1-7 + 2 ( 25)

= 44

z = 7

Jadi himpunan penyelesaiannya dalah : Hp = { ( 43,44 ,7)}

jawaban : c) x + y + z = 100 x + y = 100- z

x + y 100 (mod 1)

x (0- x) + u

Ambil y = t ,maka x (0- y) + u

x = -t + u

substitusi nilai x dan z ke persamaan

x +y + z = 100

z = 100 x y

z = 100 + t u t

z = 100 u 6x + 21y + z = 121

6(- t + u ) + 21t + (100-u) = 121 -6t + 6u + 12t +100 u = 121

15t + 5u + 100 = 121

15 t + 5u = 21

15t = 21 ( mod 5 ) tidak dapat diselesaikan

sehingga persamaan Diophantine diatas tidak dapat diselesaikan

jawaban : d ) 9y + 5z + 6w = 18 9y + 6w 18 ( mod 5 )4y + w 3 ( mod 5 )

w 3 4y ( mod 5)

w 3 -4y +5 u

ambil y1 = t

w1 = 3 -4t +5 u

5z = 18 -9y 6w

5z = 18 -9t 6(3 -4t +5 u)

5z = 18 -9t 18 +24t -30 u) 5z = 15t 30u z1 = 3t 6u

x + y + z + w = 4x + y + w 4 ( mod 1 )x + y + w 0+u x +w = u-y x = u-y -wx = u t 3 + 4 t 5u

x = -4u + 3t -3

ambil y2 = t

x2 = -4u + 3t -3w2 = 3 -4t +5 u

z = 4 x y w

z = 4 + 4u -3t + 3 t -3 + 4t -5u

z2 = 4-u

dari persamaan x, y dan z diatas maka dapat ditentukan

z1 = z2

3t 6u= 4-u

3t 5u = 4 .(1)

y1 = y2 = t

w1 = w2

3 -4t +5 u -4t +5 u = -3(2)

eliminasi persamaan 1 dan 2

3t 5u = 4

--4t +5 u = -3 + - t = 1 t = -1 Substitusi t ke persamaan ( 1)

3t 5u = 4

3(1) 5u = 4

-3 5u = 4

-5u = 7

u =

Substitusi nilai u dan t kepersamaan x , y dan z Maka akan didapat :

x = -4u + 3t -3

x = -4( -7/5) + 3(-1) -3

=

y = ty = -1

z = 4-u

z = 4-(-7/5)

z =

w = 3 -4t +5 u

w = 3 -4(-1) +5 (-7/5)

= 3 +4 -7

= 0

Jadi himpunan penyelesaiannya dalah : Hp = { (,-1, ,0 )}

PAGE 8Persamaan Diophantine

_1275032817.unknown

_1275201272.unknown

_1275459168.unknown

_1276413465.unknown

_1276416669.unknown

_1276499113.unknown

_1276586509.unknown

_1276586578.unknown

_1276586519.unknown

_1276499130.unknown

_1276416687.unknown

_1276414960.unknown

_1276415491.unknown

_1276415470.unknown

_1276414902.unknown

_1275638896.unknown

_1276412805.unknown

_1276413435.unknown

_1275986735.unknown

_1276067255.unknown

_1276412753.unknown

_1276067145.unknown

_1275983194.unknown

_1275638748.unknown

_1275638880.unknown

_1275638671.unknown

_1275201849.unknown

_1275458856.unknown

_1275459006.unknown

_1275457672.unknown

_1275201738.unknown

_1275201799.unknown

_1275201403.unknown

_1275200676.unknown

_1275200970.unknown

_1275201172.unknown

_1275201254.unknown

_1275200998.unknown

_1275200926.unknown

_1275200951.unknown

_1275200822.unknown

_1275110385.unknown

_1275111381.unknown

_1275111421.unknown

_1275110466.unknown

_1275110000.unknown

_1275110322.unknown

_1275032902.unknown

_1275031901.unknown

_1275032607.unknown

_1275032753.unknown

_1275032790.unknown

_1275032632.unknown

_1275032561.unknown

_1275032584.unknown

_1275032539.unknown

_1275031660.unknown

_1275031781.unknown

_1275031889.unknown

_1275031708.unknown

_1275031575.unknown

_1275031612.unknown

_1274867954.unknown