Persamaan Diferensial Parsial Umum Orde Pertama

Persamaan diferensial parsial umum orde pertama untuk fungsi memiliki bentuk:

di mana dan . Dalam hal ini dipandang sebagai fungsi dari lima argumen . Di

sini adalah solusi atau permukaan integral dari PDP (1) tersebut.

Apa yang mengagumkan dalam menyelesaikan permasalahan di atas ialah bahwa PDP (1) dapat diubah

ke dalam sistem PDB.

Kerucut Monge

Terkait dengan bentuk permukaan , secara geometris kita memperoleh arah normal dari suatu titik

yang berada dalam permukaan itu sebagai dan bidang singgung pada permukaan

itu di titik sebagai

Namun demikian, tanpa tambahan data lebih lanjut, PDP umum (1) mengarahkan kita sejumlah

kemungkinan bidang singgung. Kumpulan bidang-bidang singgung yang melalui titik dapat

membentuk semacam selubung (envelop) berbentuk kerucut dengan titik puncak (vertex) , yang

disebut kerucut Monge. Pada kasus khusus PDP orde satu quasi-linear kerucut ini berdegenerasi menjadi

garis singgung di titik .

Dari konsep tersebut kita juga memiliki selubung keluarga permukaan integral sehingga kita dapat

menambakan parameter yang merupakan fungsi dan dalam :

Permukaan integral yang menjadi solusi memenuhi ketentuan (Fritz John, 1978). Selubung

menyentuh permukaan sepanjang kurva . Di sepanjang kurva tersebut kita memiliki hubungan:

Dari (2) bila menganggap sebagai parameter ( dan dipandang sebagai fungsi dalam , maka

kita dapat menulis (2) sebagai pembangkit (generator) yang memenuhi persamaan diferensial

Turunan total dari (1) memberikan kita persamaan

Dari (3) dan (4) kita memperoleh arah dari pembangkit

Kurva karakteristik pada permukaan integral definisikan sebagai kurva yang memenuhi memenuhi

sistem persamaan diferensial:

Turunan kurva tersebut terhadap parameter sesuai dengan arah pembangkit (5).

Sistem PDB (6) masih kurang terdeterminasi (underdetermined) karena jumlah persamaannya masih

lebih kecil daripada jumlah argumen fungsinya . Agar sistem persamaannya menjadi

terdeterminasi maka perlu ditambahkan dua persamaan lagi.

Dari (1) kita telah mengetahui:

Turunan parsial terhadap dan adalah:

Kemudian dengan diferensial total dan memperhatikan sistem (6) serta (7) kita memperoleh:

Dan akhirnya

Sistem lima PDB (6) dan (8) merupakan sistem otonom, yakni parameter tidak muncul dalam ruas

kanan persamaan, dan tidak memerlukan data tentang dalam mengkonstruksinya. Kesatuan

persamaan (1), (6) dan (8) disebut persamaan-persamaan karakteristik.

Pita Karakteristik

Setiap elemen yang memenuhi persamaan-persamaan karakteristik disebut karakteristik.

Keluarga elemen dengan satu parameter disebut pita (strip), jika dan

merupakan tangen (arah bidang singgung) terhadap kurva yang dibentuk oleh titik-titik

yang merupakan pendukung pita tersebut. Dengan demikian elemen-elemen tersebut

harus memenuhi syarat pita:

Syarat pita sama dengan persamaan generator (3) sebagai mana dinyatakan di atas.

Selanjutnya karena untuk mengkonstruksikan suatu permukaan integral kita membutuhkan dua

parameter, data dari PDP saja belum cukup. Kita membutuhkan semacam nilai awal yang identik

dengan nilai batas pada pemecahan PDP dengan metode deret Fourier. Nilai awal ini adalah data berupa

kurva dengan parameter yang kedua. Hal ini mengiring kita kepada masalah Cauchy. Jadi seperti

penyelesaian PDP dengan deret Fourier memerlukan masalah nilai batas, penyelesaian PDP dengan

metode geometrik memerlukan masalah Cauchy.

Masalah Cauchy

Masalah Cauchy untuk bentuk (1) adalah mencari permukaan integral yang melalui kurva yang

diberikan dengan parameter tertentu:

Dengan demikian kita memperoleh tambahan data terhadap PDP (1). Formulasi masalah Cauchy ialah

diberikan data berupa PDP (1) kita diminta untuk menentukan di mana menyentuh kurva

. Di sini tambahan data (9) memungkinkan kita untuk memperoleh yang

diekpresikan dalam dan .

Dari turunan total kita juga memiliki:

Di mana

dan

. Di sini juga berlaku:

Kita akan mengkonstruksi fungsi-fungsi dengan dua parameter , di mana (10) diperoleh saat ,

yang dinyatakan dengan:

Dan tentunya (11) memenuhi persamaan (1).

Kita dapat menulis ulang sistem persamaan karakteristik (4) dan (7) dalam (11) dan (12) sebagai berikut:

Kemudian kita mengintegrasikan sistem persamaan di atas terhadap dengan batas integrasi

Sistem persamaan (13) dan (14) mengandung bila sehingga sistem ini menjawab

(11). Bila jacobian

, maka berdasarkan teori invers fungsi kita dapat

menuliskan dan dengan sebagai argumennya, atau dengan kata lain dan .

Subsitusikan hasil-hasil ini ke dalam , maka kita memperoleh solusi PDP (1) yang melalui kurva (8),

yang dinyatakan dalam bentuk:

Contoh 1.

Persamaan karakteristik yang diperoleh ialah

Dari sistem PDB karakteristik di atas, pertama-tama kita peroleh solusi untuk dulu

Kemudian kita substitusikan hasil-hasil di atas ke dalam dua persamaan pertama untuk memperoleh

solusi dan :

Perlu diperhatikan bahwa adalah fungsi-fungsi dalam parameter , yang dipenuhi saat

. Kita akan melanjutkan pembahasan PDP di atas apabila permukaan integral yang akan dicari

menyentuh kurva dengan persamaan parametrik berikut:

Data tersebut membawa soal menjadi masalah Cauchy dengan hubungan sebagai berikut:

Solusi dari sistem persamaan karakteristik dalam parameter dan di atas ialah:

Karena nilai jacobian

maka dapat memperoleh fungsi invers dari

dan dengan dan sebagai subyek persamaan:

Kemudian dengan mensubstitusi hasil-hasil ini ke dalam , maka kita akan memperoleh solusi

PDP atau permukaan integral:

Contoh 2.

Diberikan PDP: dengan konstanta positif. Kita dapat menuliskan PDP tersebut dalam

bentuk

. Dari sini kita memperoleh persamaan-persamaan karakteristik

sebagai berikut:

Diberikan kurva awal: . Dengan memilih

dan

kita memperoleh pita karakteristik:

Secara khusus jika kurva awal yang diberikan memiliki nilai , maka kita memperoleh

hubungan

Persamaan dengan dua parameter yang kita dapatkan dengan menerapkan (13) dan (14) ialah:

PDP dalam contoh 2, muncul dari permodelan masalah optik. Tiap garis-garis dari

ditafsirkan sebagai front gelombang yang bergerak dengan waktu .

Contoh 3.

Diberikan data PDP: yang menyentuh kurva dengan persamaan parametrik:

PDP tersebut dapat dituliskan dalam bentuk lain:

, dengan persamaan-

persamaan karakteristik:

Dari

kita memperoleh solusi

atau

, hasil

ini kita substitusikan dalam dua persamaan terakhir

Kita memperoleh solusi dari kedua PDB ini sebagai:

Sementara itu kita juga memiliki hubungan

Akhirnya kita memperoleh

dan

. Karena nilai dan pada ,

maka kita memperoleh

dan

. Kita substitusikan dalam

persamaan dan akan mengakibatkan:

Kemudian kita memecahkan PDB untuk dan :

Tanpa harus memeriksa jacobian, kita dapat memanfaatkan identitas trigonometris

untuk memperoleh ekspresi fungsi dalam dan .