persamaan diferensial parsial cnh3c3 - simulation...
TRANSCRIPT
Tim Ilmu Komputasi
Coordinator contact:Dr. Putu Harry [email protected]
Persamaan Diferensial
Parsial CNH3C3Week 4: Separasi Variabel
untuk Persamaan Panas OrdeSatu
1 Persamaan Panas 1D
2 Separasi Variabel
3 Contoh
4 Latihan
5 Perhatian!
Persamaan Panas 1D
Persamaan panas
Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan apidi bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besidipertahankan dalam suhu dingin yakni 00C (lihat Gambar di bawahini).
Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur didaerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerahlainnya. Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhirpengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan denganmengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selamaproses pendinginan.
Persamaan Panas 1D
Persamaan panas
Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan apidi bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besidipertahankan dalam suhu dingin yakni 00C (lihat Gambar di bawahini).
Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur didaerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerahlainnya.
Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhirpengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan denganmengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selamaproses pendinginan.
Persamaan Panas 1D
Persamaan panas
Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan apidi bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besidipertahankan dalam suhu dingin yakni 00C (lihat Gambar di bawahini).
Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur didaerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerahlainnya. Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhirpengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan denganmengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selamaproses pendinginan.
Persamaan Panas 1D
Persamaan panas
Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut
∂u(x , t)
∂t= µ
∂2u(x , t)
∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)
u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)
u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)
dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.
Persamaan Panas 1D
Persamaan panas
Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut
∂u(x , t)
∂t= µ
∂2u(x , t)
∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)
u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)
u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)
dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.
Persamaan Panas 1D
Persamaan panas
Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut
∂u(x , t)
∂t= µ
∂2u(x , t)
∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)
u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)
u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)
dengan u(x , t) merupakan temperatur,
Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.
Persamaan Panas 1D
Persamaan panas
Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut
∂u(x , t)
∂t= µ
∂2u(x , t)
∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)
u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)
u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)
dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source),
f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.
Persamaan Panas 1D
Persamaan panas
Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut
∂u(x , t)
∂t= µ
∂2u(x , t)
∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)
u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)
u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)
dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas,
g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.
Persamaan Panas 1D
Persamaan panas
Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut
∂u(x , t)
∂t= µ
∂2u(x , t)
∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)
u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)
u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)
dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary),
µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.
Persamaan Panas 1D
Persamaan panas
Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut
∂u(x , t)
∂t= µ
∂2u(x , t)
∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)
u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)
u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)
dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi,
x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.
Persamaan Panas 1D
Persamaan panas
Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut
∂u(x , t)
∂t= µ
∂2u(x , t)
∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)
u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)
u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)
dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.
Persamaan Panas 1D
Persamaan Panas
Untuk menyederhanakan persamaan diatas (Q(x) = 0), maka kitadapat menulis ulang persamaan (1.1-1.3) menjadi:
∂u
∂t= µ
∂2u
∂x2, x ∈ (0, 1), t > 0 (1.4)
u(x , 0) = f (x), x ∈ [0, 1] (1.5)
u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. t ≥ 0 (1.6)
Persamaan Panas 1D
Persamaan Panas
Separasi Variabel
Separasi variabel
Solusi separasi adalah solusi dari persamaan (1.4-1.6) dalam bentuk
u(x , t) = X (x)T (t). (2.1)
Penting bahwa variabel bebas dinotasikan dengan huruf kecilsedangkan fungsi dengan huruf kapital. Tujuan pertama kita adalahmencari kemungkinan solusi separasi sebanyak mungkin.
Separasi Variabel
Separasi variabel
Substitusikan persamaan
u(x , t) = X (x)T (t). (2.2)
ke dalam
∂u
∂t= µ
∂2u
∂x2(2.3)
didapat
X (x)T ′(t) = µX ′′(x)T (t),
Separasi Variabel
Separasi variabel
Substitusikan persamaan
u(x , t) = X (x)T (t). (2.2)
ke dalam
∂u
∂t= µ
∂2u
∂x2(2.3)
didapatX (x)T ′(t) = µX ′′(x)T (t),
Separasi Variabel
Separasi variabel
Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat
T ′(t)
µT (t)=
X ′′(x)
X (x). (2.4)
Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanyabergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semuabergantung pada x . Bagaimana mungkin fungsi yang bergantungpada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x
tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.
Separasi Variabel
Separasi variabel
Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat
T ′(t)
µT (t)=
X ′′(x)
X (x). (2.4)
Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanyabergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semuabergantung pada x .
Bagaimana mungkin fungsi yang bergantungpada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x
tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.
Separasi Variabel
Separasi variabel
Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat
T ′(t)
µT (t)=
X ′′(x)
X (x). (2.4)
Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanyabergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semuabergantung pada x . Bagaimana mungkin fungsi yang bergantungpada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?
Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x
tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.
Separasi Variabel
Separasi variabel
Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat
T ′(t)
µT (t)=
X ′′(x)
X (x). (2.4)
Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanyabergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semuabergantung pada x . Bagaimana mungkin fungsi yang bergantungpada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x
tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.
Separasi Variabel
Separasi variabel
Maka dari itu, kita perlu mengklaim bahwa kedua sisi (2.4)haruslah sama dengan suatu konstanta yang sama, yakni
T ′(t)
µT (t)= −λ =
X ′′(x)
X (x), (2.5)
dengan λ adalah sembarang bilangan konstan yang disebut dengankonstanta separasi (the separation constant).
Tanda negatifdiberikan untuk mempermudah dalam pencarian solusi, kita akanbahas selanjutnya mengapa tanda minus ini berguna.
Separasi Variabel
Separasi variabel
Maka dari itu, kita perlu mengklaim bahwa kedua sisi (2.4)haruslah sama dengan suatu konstanta yang sama, yakni
T ′(t)
µT (t)= −λ =
X ′′(x)
X (x), (2.5)
dengan λ adalah sembarang bilangan konstan yang disebut dengankonstanta separasi (the separation constant). Tanda negatifdiberikan untuk mempermudah dalam pencarian solusi, kita akanbahas selanjutnya mengapa tanda minus ini berguna.
Separasi Variabel
Separasi variabel
Dari (2.5), kita mendapatkan dua buah persamaan diferensial biasa(PDB):
X ′′(x) + λX (x) = 0, (2.6)
T ′(t) + λµT (t) = 0. (2.7)
Tugas sekarang adalah mencari solusi dari PDB di atas!
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I
Misalkan λ = β2, dengan β > 0 sehingga
X ′′(x) + λX (x) = 0, (2.8)
memiliki solusi,
X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.9)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I
Misalkan λ = β2, dengan β > 0 sehingga
X ′′(x) + λX (x) = 0, (2.8)
memiliki solusi,
X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.9)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I
X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10)
Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0)ke rumus (2.10) didapat:
0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL).
Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidakakan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0. Jadidapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ,untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat
λk = β2 =
(kπ
L
)2
, dan Xk(x) = sin
(kπx
L
). (2.11)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I
X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10)
Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0)ke rumus (2.10) didapat:
0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL).
Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidakakan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0. Jadidapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ,untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat
λk = β2 =
(kπ
L
)2
, dan Xk(x) = sin
(kπx
L
). (2.11)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I
X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10)
Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0)ke rumus (2.10) didapat:
0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL).
Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidakakan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0.
Jadidapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ,untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat
λk = β2 =
(kπ
L
)2
, dan Xk(x) = sin
(kπx
L
). (2.11)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I
X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10)
Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0)ke rumus (2.10) didapat:
0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL).
Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidakakan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0. Jadidapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ,untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat
λk = β2 =
(kπ
L
)2
, dan Xk(x) = sin
(kπx
L
). (2.11)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara II
Seperti dijelaskan sebelumnya, kita menggunakan tanda minus padaλ pada persamaan (2.5) untuk mempermudah solusi danmenetapkan bahwa konstanta yang dipilih adalah konstanta positifλ > 0, jadi persamaan (2.6) dapat dibentuk menjadi
−X ′′(x) = λX (x),
LX = λX .
Sehingga fungsi X (x) merupakan fungsi eigen, yang memiliki solusi
λk =
(kπ
L
)2
, dan Xk(x) = sin
(kπx
L
). (2.12)
(Masalah nilai eigen dapat di review kembali pada matakuliahPDB/PDA)
Separasi Variabel
Masalah Nilai Eigen (Review)Lema 1.1
Lema
Nilai dan fungsi eigen dari masalah
−u′′(x) = f (x), x ∈ (0, L), u(0) = u(L) = 0 (2.13)
diberikan sebagai berikut
λk =
(kπ
L
)2
dan uk(x) = sin
(kπx
L
)∀k = 1, 2, · · · ,
(2.14)
Proof.
Bukti dari lema ini dapat ditemukan di buku Tveito, et al. untuklebih lengkapnya.
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.7)
Solusi PDB,T ′(t) + λµT (t) = 0,
berupa
T (t) = Ae−λµt ,
dan dapat dibentuk menjadi
Tk(t) = Ake−λkµt = Ake
−( kπL
)2
µt for k = 1, 2, · · · , (2.15)
dengan Ak adalah sembarang konstan.
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.7)
Solusi PDB,T ′(t) + λµT (t) = 0,
berupaT (t) = Ae−λµt ,
dan dapat dibentuk menjadi
Tk(t) = Ake−λkµt = Ake
−( kπL
)2
µt for k = 1, 2, · · · , (2.15)
dengan Ak adalah sembarang konstan.
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi umum PDP panas
Pada akhirnya, terdapat tak hingga banyaknya solusi separasiuntuk persamaan panas (1.4-1.5),
uk(x , t) = Ake−( kπ
L)2
µt sin
(kπx
L
)for k = 1, 2, · · · . (2.16)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi umum PDP panas
Pada akhirnya, terdapat tak hingga banyaknya solusi separasiuntuk persamaan panas (1.4-1.5),
uk(x , t) = Ake−( kπ
L)2
µt sin
(kπx
L
)for k = 1, 2, · · · . (2.16)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi umum PDP panas
Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N jugamerupakan sebuah solusi yakni,
u(x , t) =N∑
k=1
Ake−( kπ
L)2
µt sin
(kπx
L
), (2.17)
dengan asumsi bahwa fungsi awal f merupakan kombinasi linearberhingga dari fungsi eigen sin
(kπxL
),
f (x) =N∑
k=1
Ak sin
(kπx
L
). (2.18)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi umum PDP panas
Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N jugamerupakan sebuah solusi yakni,
u(x , t) =N∑
k=1
Ake−( kπ
L)2
µt sin
(kπx
L
), (2.17)
dengan asumsi bahwa fungsi awal f merupakan kombinasi linearberhingga dari fungsi eigen sin
(kπxL
),
f (x) =N∑
k=1
Ak sin
(kπx
L
). (2.18)
Separasi Variabel
Separasi variabelSolusi umum PDP panas
Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N jugamerupakan sebuah solusi yakni,
u(x , t) =N∑
k=1
Ake−( kπ
L)2
µt sin
(kπx
L
), (2.17)
dengan asumsi bahwa fungsi awal f merupakan kombinasi linearberhingga dari fungsi eigen sin
(kπxL
),
f (x) =N∑
k=1
Ak sin
(kπx
L
). (2.18)
Contoh
Contoh separasi variabel
Contoh
Andaikan kita memiliki masalah difusi sebagai berikut,
∂u
∂t= µ
∂2u
∂x2, x ∈ (0, 1), t > 0 (3.1)
u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. t ≥ 0 (3.2)
u(x , 0) = 3 sin(πx) + 5 sin(4πx), x ∈ [0, 1] (3.3)
maka solusinya adalah
u(x , t) = 3e−π2t sin(πx) + 5e−16π
2t sin(4πx). (3.4)
Contoh
Contoh separasi variabel
Contoh
Andaikan kita memiliki masalah difusi sebagai berikut,
∂u
∂t= µ
∂2u
∂x2, x ∈ (0, 1), t > 0 (3.1)
u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. t ≥ 0 (3.2)
u(x , 0) = 3 sin(πx) + 5 sin(4πx), x ∈ [0, 1] (3.3)
maka solusinya adalah
u(x , t) = 3e−π2t sin(πx) + 5e−16π
2t sin(4πx). (3.4)
Contoh
Contoh separasi variabel
Solusi diatas dapat digambarkan sebagai fungsi x pada gambar dibawah ini, pada saat t = 0, 0.01 dan 0.1.
Figure : Solusi dari persamaan panas denganf (x) = 3 sin(πx) + 5 sin(4πx) untuk t = 0, 0.01 dan 0.1.
Latihan
Latihan separasi variabel
Latihan
Selesaikan masalah difusi sebagai berikut,
∂u
∂t= µ
∂2u
∂x2, x ∈ (0, L), t > 0 (4.1)
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0. t ≥ 0 (4.2)
u(x , 0) = f (x), x ∈ [0, L] (4.3)
1. f (x) = 6 sin(πxL
)2. f (x) = 12 sin
(9πxL
)− 7 sin
(4πxL
)
Perhatian!
Perhatian!Solusi umum PDP panas
Solusi umum persamaan panas,
u(x , t) =N∑
k=1
Ake−( kπ
L)2
µt sin
(kπx
L
), (5.1)
hanya untuk fungsi awal f , merupakan kombinasi linear berhinggadari fungsi eigen sin
(kπxL
),
f (x) =N∑
k=1
Ak sin
(kπx
L
). (5.2)
Perhatian!
Perhatian!Solusi umum PDP panas
Bagaimana jika fungsi awal f , merupakan bukan kombinasi linearberhingga dari fungsi eigen sin
(kπxL
)?
Misalkan diberikan fungsi awal berupa konstanta
f (x) = 1. (5.3)
Perhatian!
Perhatian!Solusi umum PDP panas
Bagaimana jika fungsi awal f , merupakan bukan kombinasi linearberhingga dari fungsi eigen sin
(kπxL
)?
Misalkan diberikan fungsi awal berupa konstanta
f (x) = 1. (5.3)
Perhatian!
Perhatian!Solusi umum PDP panas
Untuk mengatasi hal ini, diperlukan jumlah tak hingga kombinasilinier dari kondisi awal, yakni
f (x) =∞∑k=1
Ak sin
(kπx
L
)= 1 (5.4)
dengan membuat N menuju tak hingga, dan kita dapatkan solusiumumnya
u(x , t) =∞∑k=1
Ake−( kπx
L)2t sin
(kπx
L
). (5.5)
Pada pertemuan berikutnya, akan dijelaskan bagaimana mencari Ak
(yaitu koesien Fourier) yang dapat dihitung dari fungsi f (x), yaknifungsi yang bukan merupakan kombinasi linier fungsi sinusoidal.
End of presentation!