Persamaan Diferensial Biasa Orde Kedua Nonhomogen

y’’ – 4y = 2e3x sin 2x

Solusi homogen :y’’ – 4y = 0

PK : r2 – 4 = 2r1 2 = √4

= ± 2

yh = c1 e2x + c2 e-2x

Solusi non homogen :y’’ – 4y = 2e3x sin 2x

yp = e3x(A cos 2x + B sin 2x) y’p = e3x(-2A sin 2x + 2B cos 2x) + 3e3x(A cos 2x + B sin 2x) y’’p = e3x(-4A cos 2x – 4B sin 2x) + 3e3x(-2A sin 2x + 2B cos 2x) + 3e3x(-2A sin 2x + 2B cos 2x) +

9e3x(A cos 2x + B sin 2x)

Dimasukkan ke y’’ – 4y = 2e3x sin 2x

y’’ – 4y = 2e3x sin 2x

e3x(-4A cos 2x – 4B sin 2x) + 3e3x(-2A sin 2x + 2B cos 2x) + 3e3x(-2A sin 2x + 2B cos 2x) +9e3x(A cos 2x + B sin 2x) – 4( e3x (A cos 2x + B sin 2x)) = 2e3x sin 2x

e3x

(-4A cos 2x – 4B sin 2x) + 3(-2A sin 2x + 2B cos 2x) + 3(-2A sin 2x + 2B cos 2x) +9(A cos 2x + B sin 2x) – 4(A cos 2x + B sin 2x) = 2e3x sin 2x

Sin 2x(-4B – 6A – 6A + 9B – 4B) + cos 2x(-4A + 6B + 6B + 9A – 4A) = 2 sin 2x -4A + 6B + 6B + 9A – 4A = 0

A + 12B = 0

(-4B – 6A – 6A + 9B – 4B) = 2 -12A + B = 2

A + 12B = 0 12A + 144B = 0-12A + B = 2 -12A + B = 2 +

145B = 2

B = 2145

A = −24145

yp = e3x(A cos 2x + B sin 2x) = e3x(−24145 cos 2x +

2145 sin 2x)

y = yh + yp

y = c1 e2x + c2 e-2x + e3x(−24145 cos 2x +

2145 sin 2x)