penyelesaian numerik persamaan diferensial · pada metode euler, suku yang diabaikan untuk tiap...
TRANSCRIPT
PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan diferensial biasanya digunakan untuk
pemodelan matematika dalam sains dan rekayasa.
Seringkali tidak terdapat selesaian analitik sehingga
diperlukan hampiran numerik. Persamaan diferensial
yang akan diselesaikan adalah persamaan diferensial
orde satu. Untuk orde lebih tinggi akan dibuat sistem
dari persamaan orde satu.
Ringkasan Persamaan Diferensial Biasa:
- Persoalan nilai awal (PNA)
Misal: (i) ),(' ytfy pada ],[ ba
)(ay
(ii) )',,(" yytfy b][a,pada
)(ay
'( )y a
- Persoalan nilai perbatasan (PNP/PNB)
Misal: ),(' ytfy b][a,pada
)(ay
)(by
Persamaan Diferensial Parsial:
- Persoalan nilai awal (PNA)
Sistem Persoalan Nilai Awal : y`=f(t,y), f(a)=α
Selesaian bukan berupa suatu fungsi yang memenuhi
PNA, tetapi himpunan titik kk yt , yang digunakan
sebagai hampiran (yakni ))( kk yty .
Metode Langkah-Tunggal: 1 1( )k k ky t y y fungsi
Rumus umum:
nilai selanjutnya = nilai sekarang + slope * lebar step
Metode Euler : kkkk ythfyy ,1
Slope: ,k kf t y
Metode Heun :
111 ,,2
kkkkkk ptfytfh
yy
slope: 1 1
1, ,
2k k k kf t y f t p
dengan ),(1 kkkk ythfyp
Metode Deret Taylor :
))(,()()( kkNkk tythTtyhty + )( 1NhO
slope:
N
j
jkj
kkN hj
tytytT
1
1)(
!
)())(,(
Metode Runge-Kutta :
443322111 kwkwkwkwyy kk
slope: kk ythfk ,1
1112 , kbyhathfk kk
231223 , kbkbyhathfk kk
36251434 , kbkbkbyhathfk kk
Perhitungan Galat
Metode Langkah-Banyak(multistep):
),...,,,( 21 nMMMM yyyhFy
Metode Penduga-Pengoreksi:
Metode Adam-Bashfort-Moulton
Metode Milne-Simpson
Metode Hamming
Sistem Dua PNA :
x' = f(t,x), 11)( af
y`= g(t,y), 22)( af
Metode Euler
Uraikan )(ty atas deret Taylor disekitar 0tt
2
)()("))((')()(
20
1000tt
cytttytyty
dengan 1c diantara 0t dan t.
(anggapan: )(ty , )(' ty , y”(t) kontinu)
substitusikan: 000 ,' ytfty
01 tth
1
2
0001 "2
, cyh
ythftyty
h cukup kecil 00011 , ythfyyty
hampiran Euler
Proses diulang dan membangkitkan barisan titik yang
menghampiri kurva selesaian tyy
Langkah umum: htt kk 1
kkkk ythfyy ,1
untuk dijalankan 1-M,0,1,k
Contoh:
Kestabilan Suatu metode numerik disebut stabil jika galat yang terjadi pada suatu langkah
dalam suatu proses tidak cenderung membesar pada langkah-langkah
berikutnya.
Contoh: Diketahui persamaan diferensial: ( ) , diselesaikan
menggunakan metode dua langkah:
( ).
Oleh karena itu perlu memilih metode numerik yang stabil.
Kestabilan metode dapat dianalisis menggunakan kestabilan persamaan beda
pada bab mengenai persamaan beda dalam hampiran turunan.
Penerapan persamaan beda pada persamaan diferensial :
Misal diketahui persamaan diferensial sebagai berikut:
. (*)
Misal digunakan persamaan beda maju untuk diskritisasi seperti pada kasus 1 dan 3 di atas, di titik ke-n ( ), akan
diperoleh
sehingga menjadi
( ) ( ) yang merupakan persamaan beda untuk persamaan diferensial (*).
Pada bab berikutnya akan diterangkan mengenai penyelesaian
persamaan beda yang ditulis dalam rumus rekursif (nilai sekarang
bergantung pada nilai pada titik/waktu sebelumnya) menjadi
persamaan dalam indeks n.
Analisis Galat:
Metode langkah tunggal elementer berbentuk
kkkk ythyy ,1 untuk suatu fungsi
yang disebut fungsi pertambahan atau slope
Definisi:
)(tyy selesaian tunggal PNA
Mkkk yt 0,
himpunan hampiran diskrit
- galat pendiskritan global ke :
kkk ytye )( untuk Mk ,,2,1
- galat pendiskritan lokal 1k :
),()( 11 kkkkk ythyty
untuk 1,1,0 Mk
terjadi pada satu langkah dari kt ke 1kt
- galat global akhir:
MybyhbyE )()),((
Pada metode Euler, suku yang diabaikan untuk tiap
langkah 2/)( 2)2( hcy k .
Setelah M langkah, galat terakumulasi menjadi
M
kk
hcy
h
abhcMy
hcy
1
2)2(
2)2(
2)2(
2)(
2)(
2)(
hOhcyab
2
)()2(
Metode Runge - Kutta Dapat dibangun untuk sebarang order N; yang paling
popular orde 4N
Ciri metode Runge-Kutta:
- stabil
- cukup akurat
- mudah diprogram
Metode Runge-Kutta orde 4N
Bentuk yang paling populer:
43211 226
ffffh
yy kk
dengan kk ytff ,1
12
2,
2f
hy
htff kk
23
2,
2f
hy
htff kk
34 , hfyhtff kk
Dikenal sebagai metode Rung-Kutta orde 4 ‘klasik’.
Metode Langkah Banyak
Metode Adams-Bashfort-Moulton Diturunkan berdasarkan teorema dasar kalkulus
Dalam mendapatkan penyelesaian PD, terdapat 2 tingkat yaitu
penduga dan pengoreksi. Rumus penduga untuk menduga/menebak
nilai titik yang akan dicari slopenya pada rumus pengoreksinya.
Penduga:
Pengoreksi:
Taksiran dan perbaikan galat
Galat pemotongan lokal untuk rumus penduga:
Galat pemotongan lokal untuk rumus pengoreksi:
Misal h cukup kecil dan ( )( ) dapat diabaikan maka
Contoh: Diketahui:
PNA. 3
' pada 0,32
t yy
a. Cari nilai y(0,5) menggunakan metode RK-4 dengan y(0)=1 dan h=0,25.
b. Cari nilai y(1) menggunakan Metode Adams-Bashfort-
Moulton dengan y(0)=y(0,25)=y(0,5)=y(0,75)=1.
Sistem Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
Misal diberikan sistem PDB:
dengan nilai x pada interval (0,1) dan nilai awal ( ( ) ( )) ( ). Sistem di atas dapat ditulis
(
) (
( ) ( )
) (
)
Gunakan metode Heun untuk mencari solusinya.
Heun:
( ( ) ( ))
( ).
Karena ada dua variabel maka buat dua rumus Heun. Hitung dahulu
prediksi baru hitung .
Lakukan secara simultan untuk kedua variabel, jangan satu-satu.
( )
( )
( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
Persamaan Diferensial Biasa Orde Tinggi
Penyelesaiannya dapat menggunakan metode yang sudah ada (untuk
orde satu), namun terlebih dahulu diubah menjadi sistem persamaan
diferensial orde satu.
Contoh:
y"(t) + 4y'(t) + 5y(t) = cost
y(0) = 3 , y'(0) = −5
Ubah menjadi sistem PD orde satu: definisikan terlebih
dahulu dua variabel baru dan (jumlah variabel baru sesuai dengan orde). Ingat .