MATRIKS

>>PENGERTIAN MATRIKSMatriks adalah suatu kumpulan besaran (variabel dan konstanta) yang tersusun dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks merupakan suatu cara visualisasi variabel yang merupakan kumpulan dari angka-angka atau variabel lain, misalnya vektor. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital ditebalkan (misal matriks A, dituliskan dengan A). Atau bisa juga diartikan Matriks adalah susunan segi empat siku siku dari bilangan yang dibatasi dengan tandakurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks tersusun atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo ) m x n. Penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar A, B, C dan seterusnya, sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya (matriks dengan m baris dan n kolom ) adalah Amxn, Bmxn dan seterusnya.Berdasarkan definisi diatas, misalkan matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom, maka matriks A tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

>>ORDO SUATU MATRIKSSeperti yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya bahwa matriks disusun berdasrkan baris dan kolom. Misalkan suatu matriks disusun dalam m baris dan n kolom bilangan penyusunya dinamakan elemen dari matriks. Matriks dengan m baris dan n kolom dikatakan matriks berordo m x n .

Baris ke-1Perhatikan :

Baris ke-2

Baris ke-i

Baris ke-m

kolom ke-3kolom ke-5

kolom ke-4kolom ke-2kolom ke-1

>>JENIS JENIS MATRIKSAda beberapa jenis matriks yang perlu diketahui dan sering digunakan pada pembahasan selanjutnya, yaitu :a. Matriks Bujur sangkarMatriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya. Karena sifatnya yang demikian ini, dalam matriks bujur sangkar dikenal istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks bujur sangkar yang berukuran nxn, yaitu : a11, a22, , ann.Contoh:

Perhatikan matriks E = , F = , dan G = b. Matriks DiagonalMatriks diagonal adalah matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol. Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol.c. Matriks Nol Mariks Nol merupakan matriks yang semua elemennya bernilai nol. Contoh:

Perhatikan matriks G = H = , dan I = d. Matriks Segitiga AtasMatriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen elemen dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas , sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai tak nol. Matriks A adalah matriks segitiga bawah, matriks B adalah matriks segitiga atas sedangkan matriks C merupakan matriks segitiga bawah dan juga matriks segitiga atas.Contoh:

Perhatikan matriks J = , dan K = e. Matriks IdentitasMatriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1 dan elemen lainnya adalah 0. Contoh:

Perhatikan matriks A = , dan B = f. Matriks dalam bentuk eselon baris tereduksiSuatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris tereduksi jika memenuhi syarat syarat berikut :1. Untuk semua baris yang elemen elemennya taknol , maka bilangan pertama pada baris tersebut haruslah = 1 ( disebut satu utama ).2. Untuk sembarang dua baris yang berurutan, maka satu utama yang terletak pada baris yang lebih bawah harus terletak lebih ke kanan daripada satu utama pada baris yang lebih atas.3. Jika suatu baris semua elemennya adalah nol, maka baris tersebut diletakkan pada bagian bawah matriks.4. Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemen nol ditempat lainnya.g. Matriks Kolom Perhatikan matriks C = , D = , dan E = Matriks C, D, dan E pada matriks di atas memiliki satu kolom saja. Matriks seperti itu dinamakan matriks kolom. Ordo dari matriks C, D, dan E berikut adalah (3 x 1), (4 x 1), dan (5 x 1).

h. Matriks Segitiga Bawah

Perhatikan matriks L = , dan M = Matriks L dan M tersebut adalah matriks bujur sangkar. Kalian perhatikan elemen-elemen diatas diagonal utamanya adalah nol (0).

>>OPERASI-OPERASI pada MATRIKS

1. Kesamaan Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama ()apabila mempunyai ordo yang sama dan untuk setiap .Berdasarkan definisi di atas syarat dan matriks di katakan sama adalah sebagai berikut :a. Ordonya samab. Setiap unsur yang letaknya bersesuaikan pada kedua matriks tersebut adalah sama.

Berdasarkan keempat matriks di atas dapat diambil kesimpulan. karena semua elemen yang seletak nilainya sama karena elemen yang seletak nilainya tidka sama (walau terdiri dari angka-angka yang sama)

walaupun elemen pada ada yang sama, akan tetapi ordo matriks .

2. Transpose Matriks

Perhatikan Matriks dibawah ini

Dari matriks A dapat di bentuk suatu matriks yang diperoleh dengan cara mengubah baris pada matriks diatas menjadi kolom pada matriks yang baru dan kolom matriks di atas menjadi baris pada matriks yang baru. Matriks baru yang dihasilkan ini disebut transpose dari matriks A yang dilambangkan dengan A. Apabila matriks A berordo (m x n) maka At adalah suatu matriks yang berordo (n x m). Berdasarkan uraian di atas transpose dari matriks A adalah:

Contoh :Tulislah transpose dari matriks :

a. b. c.

Jawab :

b. c.

>>SIFAT SIFAT PENJUMLAHAN MATRIKS Apabila A, B, C merupakan matriks yg berordo sama, maka pada penjumlahan matriks akan berlaku sifat-sifat sbg:1) komutatif : A+B = B+A2) Asosiatif : (A+B)+C = A+(B+C)3) Identitas : A+i = i + A = A

3. Pengurangan matriks

Jika matriks A = dan matriks B = mempunyai ordo yang sama, maka pengurangan matriks A dan matriks B (ditulis A-B) adalah suatu matriks C = yang diperoleh dengan cara mengurangkan setiap elemen matriks A = dengan elemen B = yang bersesuaian atau untuk setiap i dan j.Untuk lebih memahami pengurangan dua matriks atau lebih, perhatikan ilustrasi berikut!

Jika A= , B = maka A B = - = Contoh Jika matriks A dan B berordo (3x3), maka tentukan A-B!

A= B = Jawab:

A-B = - = =

4. Perkalian Matriks dengan skalar

Misalkan adalah suatu matriks yang berordo m x n. Perkalian bilangan real k dengan matriks A adalah suatu matriks baru yang juga berordo m x n yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen pada A dengan bilangan real k dan diberi notasi KA sehingga .Contoh:

Diketahui Tentukan nilai !Jawab :

=

=

=

>>SIFAT-SIFAT PERKALIAN SKALAR DENGAN MATRIKS Apabila A dan B merupakan suatu matriks dengan ordo yang sama dengan k dan n merupakan bilangan real , maka akan berlaku sifat-sifat :

1)

2)

3)

4)

5)

5. Perkalian Matriks dengan matriks

Apabila matriks adalah matriks dengan ordo (m x p) dan matriks adalah matriks yang berordo (q x n), maka perkalian matriks A dan B yang dinotasikan dengan AB dapat dilakukajn jika p = q. Hasil kali matriks AB didefinisikan sebagai matriks yang berordo m x n dengan elemen baris ke-i dan kolom ke-j adalah :

Agar lebih memehami perkalian matriks dengan matriks, perhatikan ilustrasi berikut

Contoh :

Dikertahui .Tentukan Ax B!Jawab:

AxB =

=

= .

>>DETERMINAN MATRIKS

a. Determinan Matriks berordo 2 x 2

Determinan satu matriks dengan ordo 2 x 2 adalah nilai yang diperoleh dari hasil kali elemen-elemen yang berada pada diagonal yang diawali dari kiri ke kanan bawah dikurangi hasil kali elemen-elemen yang berada di diagonal dari kanan atas ke kiri bawah. Misalkan A adalah suatu matriks persegi dengan ordo 2 x 2 determinan dari matriks A dilambangkan dengan determinan A = det A =

Jika , maka det A atau

Contoh:1. Jika , tentukanlah determinan dari matriks A!Jawab:

det

b. Determinan Matriks Berordo 3 x 3Misalkan A adalah suatu matriks dengan ordo 3 x 3, untuk menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 dapat ditentukan dengan menggunakan aturan (kaidah) Sarvs.

Jika maka det

det

Contoh:

Misalkan adalah suatu matriks dengan ordo 3 x 3, tentukan detreminan matriks K!Jawab:

c. Minor, Kofaktor, dan Adjoin Matriks1. Minor2.

Misalkan A mattriks dengan ordo 3 x 3, jika baris ke-j dari matriks tersebut dihilangkan maka akan diperoleh matriks dengan ordo 2 x 2, jika matriks dengan ordo 2x 2 tersebut kita dihitung determinannya maka diperoleh suuatu nilai. Nilai tersebut dinamakan minor. Karena kita menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j maka disebut minor yang dilambangkan dengan

, maka

Atau ,

maka

Contoh:

Diketahui matriks H = , berdasarkan matriks H, tentukanlah dan !Jawab:

H = ,

= = = 2.6 0.(-3) = 12 0 = 12

= = = 4.6 (-2).(-3) = 24 6 = 18

= = = -2.5 1.0 = -10 0 = -10.

2. Kofaktor

Pada bagian sebelumnya, kita telah mempelajari defini dari minor suatu matriks yang dilambangkan dengan . Bentuk dari disebut kofaktor dari untuk selanjutnya kofaktor suatu matriks dilambangkan dengan dengan = Agar kalian memahami pengertian kofaktor suatu matriks, perhatikan dengan baik ilustrasi di bawah ini !

H = ,

maka = = = (a.h b.g) Atau,

A = , maka

= = = Contoh:

Diketahui J = , tentukan !Jawab:

J =

= = = -1[(0.3)- 4(-1)] = -1.4 = -4

= = = 1[(-4.(-2)) (0.5)] = 8

= = = 1[(0.-6) ((-1).(-2))] = -2

3. Adjoin Matriks

Misal D = adalah suatu matriks dengan ordo 3 x 3 dengan yang merupakan matriks kofaktor dengan = maka merupakan suatu matriks yang komponen-komponennya merupakan kofaktor suatu matriks yang diperoleh dengan cara mentranspose matriks yang dapat dilambangkan dengan ajd.

Adj D = Contoh:

Misalkan E = adalah suatu matriks dengan ordo 3 x 3, tentukanlah adjoin dari matriks E !Jawab:

Kofaktor dari maka adjoin E adalah

>>INVERS SUATU MATRIKS

a. Invers Matriks Berorde 2 x 2

Misalkan adalah matriks dengan ordo 2 x 2 maka matriks A mempunyai invers jika determinan dengan . Invers dari matriks A dapat dinyatakan dengan :

Contoh:1. Diketahui adalah suatu matriks dengan ordo 2 x 2, tentukan invers dari matriks B!

Jawab:

2. Jika X adalah matriks dengan ordo 2 x 2, tentukan matriks yang memenuhi persamaan

Jawab:

Untuk menentukan matriks, terlebih dahulu kedua ruas (baik ruas kiri dan ruas kanan) dikalikan dengan invers dari matriks

Sehingga ,

b. Invers Matriks berorde 3 x 3

Misalkan adalah suatu matriks dengan 3 3, invers dari matriks tersebut diperoleh dengan cara:

Contoh:

Diketahui matriks merupakan matriks dengan ordo 3 3, tentukanlah invers dari matrriks D!

Jawab:

Matriks kofaktor dari matriks D di atas adalah:

Berdasarkan matriks kofaktor di atas matriks adj D adalah sebagai berikut:

Adj D = , sehingga invers dari matriks D diperoleh:

>>E. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Menggunakan MatriksPemahaman yang baik tentang determinan dan invers suatu matriks sangat membantu dalam penyelesaian linear.1. Aplikasi Determinan Matriks dalam Penyelesaian Sistem Persamaan Lineara. Sistem Persamaan Linear dengan Dua PeubahSeperti yang telah kita pelajari, bentuk umum dari sistem persamaan linear dua peubah adalah sebagai berikut:

Berdasarkan sistem persamaan linear dua peubah tersebut dapat diperoleh determinan-determinan berikut ini:

D = , = , = . Berdasarkan ketiga nilai determinan tersebut himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua peubah dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut:

x = , y =

Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini !2x y = 9X + 3y = 1Jawab:

D = = 2.3 (-1).1 = 6 + 1 = 7

= = 9.3 (-1).1 = 27 + 1 = 28

= = 2.1 9.1 = 2 9 = -7Berdasarkan nilai detreminan diatas, maka himpunan penyelesaian dari persamaan linear diatas adalah:

x = , y =

x = y = x = 4 y = -1Jadi, himpunan penyelesaian adalah (4,-1).

b. Sistem Persamaan Linear dengan Tiga PeubahBentuk umum dari persamaan linear dengan tiga peubah diberikan dalam bentuk:

Berdasarkan sistem persamaan linear diatas, dapat diperoleh determinan-determinan berikut ini:

D = , = , = , = Berdasarkan keempat nilai determinan di atas, maka himpunan penyelesaian dari sistem perasamaan linear dengan tiga peubah dapat diperoleh dengan cara:

x = , y = , z =

Contoh:Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga peubah berikut!3x + 2y = -13y + 4z = 64x z = 1Jawab:

D = =

D = [3.3.(-1) + 2.4.4 + 0.0.0] [0.3.4 + 3.4.0 + 2.0.(-1)]D = [-9 + 32 + 0] [0 + 0 + 0]D = 23

= =

= [(-1).3.(-1) + 2.4.1 + 0.6.0] [0.3.1 + (-1).4.0 + 2.6.(-1)]

= [3 + 8 + 0] [0 + 0 12]

= 11 + 12 = 23

= =

= [3.6.(-1) + (-1).4.4 + 0.0.1] [0.6.4 + 3.4.1 + (-1).0.(-1)]

= [-18 16 + 0] [0 + 12 0]

= -34 12 = -46

= =

= [3.3.1 + 2.6.4 + (-1).0.0] [(-1).3.4 + 3.6.0 + 2.0.1]

= [9 + 48 + 0] [-12 + 0 + 0]

= 57 + 12 = 69Berdasarkan nilai-nilai determinan tersebut maka himpunan penyelesaiannya dapat diperoleh:

x = , y = , z =

x = y = z = x = 1 y = -2 z = 3Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1,-2,3}.2. Aplikasi Invers Suatu Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan LinearPerhatikan bentuk umum dari sistem persamaan linear dua peubah berikut ini!

Bentuk di atas dapat ditulis dalam perkalian dari matriks koefisien dengan variabelnya, yaitu:

= dengan merupakan matriks koefisien. Himpunan penyelesaian dapat diperoleh dengan mengalikan kedua ruasnya dengan invers dari matriks koefisien.

Contoh:Hitunglah harga x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut!2x + 5y = -7x 3y = 13Jawab:

Bentuk sistem persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks sebagai berikut :

= Matriks koefisiennya:

B =

=

=

=

= Sehingga:

=

=

=

=

=

Jadi, himpunan penyelesainnya adalah {}.

23