Modul 1

Pendahuluan

1.1. Pengertian Matriks

Definisi 1.1 (Pengertian Matriks)

Matriks didefinisikan sebagai suatu susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-

bilangan yang terdapat dalam susunan itu disebut e lemen matriks tersebut. Secara umum,

matriks dapat dituliskan sebagai berikut :

A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

.........

...

...

21

22221

11211

Atau dapat dituliskan sebagai :

A = ija

Penulisan matriks dinyatakan dengan huruf kapital. Misalnya A.B,C.

Contoh 1.1

Nilai dari 3 mahasiswa mata kuliah kalkulus adalah 55, 80 dan 75. Nilai matakuliah Pengantar Metode Statistika adalah 40, 70 dan 90. Sedangkan nilai matakuliah Bahasa

Indonesia adalah 80, 85 dan 90. Maka nilai-nilai tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks A sebagai berikut :

909075

857080

804055

A

Contoh 1.2.

Dari susunan bilangan berikut manakah yang dikatakan suatu matriks ?

i.

4

0

2

1

3

1

ii. 3012 iii.

000

05.03

2 e

iv.

3

1 v.

1

32

Definisi 1.2 (Ukuran Matrik )

Ukuran matrik adalah banyaknya baris dan banyaknya kolom yang terdapat di dalam

matrik. Secara umum, matrik A yang mempunyai jumlah baris m dan jumlah kolom n

2

mempunyai ukuran m x n. Angka pertama menunjukkan banyaknya baris dan angka kedua

menunjukkan banyaknya kolom.

Contoh 1.3

Dalam contoh 1.2, tentukan ukuran matriks

Jawab :

(i) matriks yang berukuran 3 x 2, (ii) matriks ukuran 1 x 4, (iii) matriks ukuran 3 x 3 dan

(iv) matriks ukuran 2 x 1.

Sebuah matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom (vektor kolom), dan

sebuah matriks dengan hanya satu baris disebut matrik baris (vektor baris). Pada contoh

diatas, (ii) merupakan matrik baris dan (iv) merupakan matrik kolom.

Definisi 1.3. (Kesamaan Matrik )

Dua matrik dikatakan sama jika kedua matriks mempunyai ukuran yang sama dan entri-

entri yang bersangkutan di dalam kedua matriks sama.

Contoh 1.4

Nilai-nilai dari dua mahasiwa D3 untuk mata kuliah Matriks dan PMS pada kelas

paralel A, B dan C dinyatakan dalam bentuk metriks sebagai berikut :

A =

4030

1080 B =

5030

1020 C =

4030

1080

Manakah dari matriks-matriks tersebut yang dapat dikatakan sama

1.2. Operasi Dasar Matriks

Definisi 1.4. ( Penjumlahan Matriks)

Penjumlahan dari dua matriks A dan B adalah menambahkan bersama-sama entri yang

bersangkutan di dalam kedua matrik tersebut.

Yaitu :

A + B = ijij ba

Dua matriks dapat dijumlahkan jika ukuran dua matriks tersebut sama.

Contoh 1.5

Diketahui matriks-matriks sebagai berikut :

3

A =

724

201

012

B =

423

022

534

C =

32

21

Tentukan penjumlahan :

i. A + B

ii. A + C

iii. B + C

Jawab :

i). A + B =

307

221

542

ii). A + C = tidak terdefinisi, karena ukuran matriks tidak sama

iii). B + C = tidak terdefinisi, karena ukuran matriks tidak sama

Definisi 1.5. (Selisih Matriks)

Selisih dua matriks A – B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan anggota A

dengan anggota B.

A – B = ( aij – bij)

Selisih dua matriks ada jika kedua matriks mempunyai ukuran yang sama.

Contoh 1.6

Dari contoh 1.4 tentukan selisih matriks :

i. A - B

ii. A - C

iii. B - C

Jawab :

i).A – B =

1141

223

526

ii). A - C = tidak terdefinisi, karena ukuran matriks tidak sama

iii). B - C = tidak terdefinisi, karena ukuran matriks tidak sama

4

Definisi 1.6 (Perkalian dengan Skalar)

Jika A adalah suatu matriks dan c adalah skalar, maka hasil kali (product) cA adalah

matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A oleh c.

Dalam notasi matriks :

c A = (c aij)

Contoh 1.7

Jika diketahui matriks A dan skalar c sebagai berikut, tentukan cA

A =

131

432 c = 2

Jawab :

c A =

262

864

Definisi 1.7 (Perkalian Matriks)

Jika A matriks ukuran m x r dan B matriks ukuran r x n, maka hasil kali AB adalah

matriks ukuran m x n, yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagai berikut :

Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A

dan kolom j dari matriks B. Kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom

tersebut, kemudian tambahkan hasil kali yang dihasilkan.

Contoh 1.8

Diketahui matriks A dan B sebagai berikut, tentukan perkalian AB :

A =

062

421 B =

572

310

414

Definisi perkalian AB mensyaratkan bahwa jumlah kolom faktor pertama A sama dengan

jumlah baris faktor kedua B. Jika syarat ini tidak terpenuhi, maka hasil kalinya tidak

terdefinisi. Sebagai contoh matriks A, B, dan C dengan ukuran sebagai berikut :

A 3 x 4 B 4 x 7 C 7 x 3

Maka :

AB terdefinisi dan merupakan matriks dengan ukuran 3 x 7

CA terdefinisi dan merupakan matriks dengan ukuran 7 x 4

5

BC terdefinisi dan merupakan matriks dengan ukuran 4 x 3

Sedangkan AC, CB dan BA semuanya tak terdefinisi.

Definisi 1.8 (Transpose)

Jika A adalah sebarang matriks berukuran m x n, maka transpoes A dinyatakan dengan AT

didefinisikan sebagai matriks n x m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan

kolom dari A, yaitu kolom pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari

AT adalah baris kedua dari A, dan seterusnya.

Contoh 1.9

Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut :

A =

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

B =

65

41

32

C = 531

Sifat-sifat Transpose

Jika α dan β adalah skalar, A & B matriks, maka :

i. TTAA

ii. TTA = A

iii. TTTBABA

iv. TTTABAB

1.3. Sifat-Sifat Matriks

Dalam operasi penjumlahan berlaku hukum-hukum sebagai berikut :

1. Komutatif

A + B = B + A

2. Asosiatif

A + (B + C) = (A + B) + C

3. Distributif terhadap perkalian skalar

k(A + B) = KA + KB

dimana k = Skalar.

6

Sedangkan untuk operasi perkalian berlaku hukum-hukum sebagai berikut :

1. Tidak Komutatif

AB ≠ BA

2. Asosiatif

A(BC) = (AB)C

3. Distributif

A(B + C) = AB + AC

4. Distributif terhadap perkalian skalar

(k1 + k

2) A = K

1A + K

2A

k1, k

2= Skalar

1. 4. Jenis- jenis Matriks

1. Matriks Bujursangkar

Matriks bujursangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom

sama, dengan kata lain matriks yang berukuran n x n. Dan biasanya disebut dengan

matriks bujursangkar orde –n.

Contoh 1.10 :

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Matriks A adalah matriks bujursangkar orde-3

2. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah Matriks bujursangkar dimana semua entri diluar diagonal

utama adalah nol.

A =

nna

a

a

...00

............

0...0

0...0

22

11

3. Matriks Segitiga

a. Matriks Segitiga Bawah

Matriks bujursangkar dimana elemen-elemen diatas diagonal utama

bernilai nol.

7

A =

nnnn aaa

aa

a

...

............

0...

0...0

21

2221

11

b. Matriks Segitiga Atas

Matriks bujursangkar dimana elemen-elemen dibawah diagonal utama

bernilai nol.

A =

nn

n

n

a

aa

aaa

...00

............

...0

...

222

11211

4. Matriks Nol

Matriks nol adalah matriks yang semua entrinya bernilai nol, yang biasanya dinotasi-

kan dengan 0

Contoh 1.11 :

0 =

0000

0000

0000

0000

0 =

00

00

00

Sifat-sifat matriks nol :

i. A + 0 = 0 + A = A

ii. A – A = 0

iii. 0 – A = - A

iv. A 0 = 0 A = 0

5. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks bujursangkar dimana pada diagonal utama bernilai 1

dan bernilai nol selainnya.

Matriks identitas biasanya dinotasikan dengan I

I =

100

010

001

6. Matriks Simetris

Matriks n x n dikatakan matriks simetris jika A = A T

8

Contoh :

A =

135

312

521

B =

36

63

Sifat – sifat matriks simetris :

Jika A dan B adalah matriks-matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k

adalah sebarang skalar, maka :

i. AT simetris

ii. A + B dan A – B simetris

iii. k A adalah simetris

Bukti sebagai latihan

7. Matriks Idempoten

Suatu matriks bujursangkar A disebut matriks idempoten jika dan hanya jika A = A2

Teorema 1.1.

Jika A dan B adalah matriks idempoten, maka berlaku sifat-sifat berikut

i. A + B merupakan matrik idempoten jika AB = BA = 0

ii. C = AB merupakan matrik idempoten jika AB = BA

iii. I – A merupakan matriks idempoten

8. Matriks Nilpoten

Suatu matriks bujursangkar yang tidak nol dikatakan matriks nilpoten atas indeks r

jika Ar = 0 tetapi Ar-1 0 untuk r > 1.

Contoh :

A =

0000

6000

1400

2520

Matriks A diatas merupakan matriks nilpoten indeks 4 karena :

A3 =

0000

6000

0000

48000

0

Tetapi A4 = 0

9

Definisi 1.9 (TRACE)

Jika A adalah suatu matriks bujursangkar, maka trace A dinyatakan dengan tr(A),

didefinisikan sebagai jumlah anggota-anggota pada diagonal utama A.

tr(A) =

n

i

iia1

Trace a tidak terdefinisi jika A bukan matriks bujursangkar.

Contoh 1.9

Tentukan trace dari matriks berikut :

i). A =

233231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

ii). B =

53

21

iii). C =

268

712

Sifat-sifat Trace :

i). tr(AT) = tr(A)

ii). tr(kA) = k tr(A)

iii). tr(A+B) = tr(A) + tr(B)

iv). tr(AB) = tr(BA)

v). tr(ATA) = 0, jika dan hanya A = (0)

Definisi 1.10 (PARTISI MATRIKS)

Sebuah matriks bisa dibagi atau dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil dengan

menyisipkan garis horisontal dan vertikal di antara baris dan kolom yang ditentukan.

Sebagai contoh :

i) A =

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

=

2221

1211

AA

AA

Matriks A diatas dipartisi menjadi empat sub-matriks yaitu A11, A12, A13,

dan A22

10

Dimana : A11 =

232221

131211

aaa

aaa

A12 =

24

14

a

a

A21 = 343231 aaa

A22 = 34a

ii) B =

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

=

1

2

3

R

R

R

Matriks B diatas dipartisi menjadi 3 sub matriks yaitu : r1, r2, r3

Dimana R1 = 14131211 aaaa

R2 = 24232221 aaaa

R3 = 34333231 aaaa

iii) C =

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

= 1 2 3 4C C C C

Matriks C diatas dipartisi menjadi 4 sub matriks yaitu : C1, C2, C3 dan C4

Dimana C1 =

31

21

11

a

a

a

C2 =

32

22

12

a

a

a

C3 =

33

23

13

a

a

a

C4 =

34

24

14

a

a

a

1.5. Vektor Random

Pada bagian ini akan dibahas, tentang vektor random dan beberapa konsep statistik. Jika

sebuah unit eksperimem menghasilkan sebuah variabel terukur, maka variabel tersebut

disebut variabel random. Namun jika unit eksperimen tersebut menghasilkan m variabel

terukur, maka disebut variabel random. Sehingga variabel random merupakan elemen dari

vektor random.

Barisan variabel random X1, X2, … , Xm diskrit yang saling berhubungan dimodelkan

oleh fungsi probabilitas multivariat, yaitu px(t), sedangkan untuk variabel random kontinu

dinyatakan dalam fungsi densitas multivariat, yaitu fx(t).

11

Fokus pada sub bab ini akan dibahas untuk kontinyu, khususnya fungsi densitas

multivariat normal. Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean dan

variansi 2 , yang dinotasikan 2( , )x N dengan fungsi densitas normal :

2

12 21

( ) ; ; ; 02

x

f x e x

Fungsi densitas normal standar (PDF normal standar) :

f(z) =

212

1

2

ze

Fungsi densitas multivariat normal standar (PDF multivariate normal standart) :

T2 1122

/ 21

1 2

1 1( ) ;

(2 )2

i

mz

mi

T

n

f z e e

Z z z z

z z

,

Persamaan diatas dinotasikan z ~ Nm(0, Im).

Sehingga setiap zi ~ N(0,1), i = 1, 2, … , m, dan antar zi saling independen.

Jika X berdistribusi normal multivariate dari m variabel, maka fungsi densitas multivariat

normal (PDF mul-tivariate normal) :

f(x) =

T -112

( ) ( )

/ 2 1/ 2

T -112/ 2 1/ 2

1

(2 ) | |

1( ) ( )

(2 ) | |

e

exp

x x

m

mx x

,

dinotasikan x ~ Nm(, ).

Bila vektor random x ~ Nm(, ), maka setiap

xi ~ N(i, 2

i ), i = 1, 2, … , m; tetapi sebaliknya belum tentu berlaku.

Mean vektor dari vektor random x, dinotasikan , yang berisi nilai harapan dari setiap xi.

1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TT

m mE E x E x E x E x μ X

12

Ukuran hubungan linear antara xi dengan xj, dinyatakan ddengan kovariansi yang

notasikan cov(x i,xj), atau ij , didefinisikan :

ij = cov(xi,xj) = E[(xi i)(xj j)]

= E(xi,xj) ij

Pada saat i = j maka ij = ii = 2

i , yang disebut sebagai variansi xi, dinotasikan var(xi).

2 2 2 2var( ) ( ) ( )i x xx E x E x

Sehingga Jika dua variabel xi dan x j saling bebas, maka :

E(x i,xj) = E(xi) E(xj) = ij,

sehingga :

ij = ij ij = 0

Jika 1, 2, 1, dan 2 masing-masing skalar, maka berlaku :

cov(1 + 1xi , 2 + 2xj) = 12 cov(xi,x j)

Bukti sebagai latihan!

Jika adalah sebuah matriks dengan elemen-elemen ke (i,j) adalah ij , matriks ini

disebut matrik variansi kovariansi vektor x, atau matrik kovariansi vektor x, dengan bentuk

sebagai berikut :

=

11 12 1

21 22 2

1 2

m

m

m m mm

Dimana :

= var(x) = E[(x )( x )T]

= E(x xT) T

Jika α dan β merupakan vektor konstanta berukuran mx1 dan didefinisikan variabel

random Ty α x dan Tw β x maka

E(y) = E(T x) = T E(x)

= T

dan

cov(y,w) = cov(Tx, Tx) = E((Tx )( Tx)T)-E(Tx)E((Tx)T)

13

= E(Tx xT )-T E(x)E(xT)

= T E(x x)T) -T E(x)E(xT)

= T [E(x xT) T ]

=T

var(y) = cov(y,y) = T

var(w) = cov(w,w) = T

Secara umum jika A adalah matriks konstanta berukuran pm, maka :

E(y) = E(Ax) = A E(x) = A

var(y) = E[{y E(y)}{y E(y)}T]

= E[{Ax E(Ax)}{ Ax E(Ax)}T]

= A AT

Bila v dan w masing-masing adalah vektor random, maka berlaku :

cov(v,w) = E(v wT) E(v) E(w)T

Selanjutnya jika A matriks konstan berukuraaan pxm, bila v = A x dan w = B x, maka :

cov(v,w) = A cov(x, x) B = A BT

Ukuran keeratan hubungan antara xi dengan xj, dinyatakan dengan nilai koefisien

korelasi, di notasikan ij , didefinisikan :

cov( , )i j

ij

ii jj

x x

Pada saat i=j, maka diperoleh ij =1.

Jika x merupakan vektor random Matrik Korelasi dari variabel x , dinotasikan P, dengan

elemen-elemen ke (i,j) adalah ij , sebagai berikut :

P =

11 12 1

21 22 2

1 2

m

m

m m mm

,

P=

12 1

21 11

1 2

1

1

1

m

m m

14

Hubungan antara matrik korelasi, P, dengan matrik kovariansi, , adalah sebagai berikut :

didefinisikan suatu matrik diagonal, dinotasikan 1/ 2D

, yang setiap elemennya bernilai satu

per simpangan baku setiap variabel random yang membentuk matrik random, yaitu 1/ 2

ii

, i = 1, 2, … , m,

1/ 2D

= diag 1/ 2 1/ 2 1/ 2

11 22, , ... , mm

1/ 2D

=

1/ 2

11

1/ 2

22

1/ 2

0 0

0

0

mm

selanjutnya, hubungan antara matrik korelasi dan matrik kovarian dapat dinyatakan sebagai

berikut :,

P = 1/ 2D

1/ 2D

.

Matrik P bersifat definit tak negatif.

Mean, varians, covarian dan korelasi merupakan parameter yang tidak diketahui maka

parameter-parameter tersebut akan diestimasi dari sampel. Anggap x1, x2, … , xn sampel

random dari variabel random x dari suatu distribusi dengan mean µ dan var iansi 2. Maka

diperoleh :

22 2

i

1 1

1 1ˆ, =s

1

n n

i i

i i

x x x xn n

Pada kasus multivariat, jika x1, x2, … , xn sampel random dari vektor random x berukuran

mx1 dengan vektor mean µ dan matriks kovariansi . Maka diperoleh :

1 1

1 1ˆ, =S1

n nT

i

i i

xn n

i iμ x - x x - xx

Sedangkan estimasi P, adalah

1/ 2 1/ 2

s sR D SD

Dimana :

15

1/ 2

SD= diag 1/ 2 1/ 2 1/ 2

11 22, , ... , mms s s

1/ 2D

=

1/ 2

11

1/ 2

22

1/ 2

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0 mm

s

s

s

Contoh 1.12:

Pengamatan dari nilai 3 mata kuliah dari 3 mahasiswa sebagai berikut :

75 60 65

80 70 55

80 80 75

x

Tentukan vektor mean dan matriks kovarian dari x dan matriks korelasi

Jawab:

78,33 8,33 25 0

ˆ70 , =S 25 100 50

65 0 50 100

μ x ,

1 0,866 0

R 0,866 1 0,5

0 0,5 1

1.6. Aplikasi Dengan Software

Untuk menghitung operasi matriks, dapat dilakukan dengan bantuan software maatlab.

Contoh 1.13.

Diberikan matriks A dan B sebagai berikut :

A =

1234

2463

3642

4321

B =

2332

3553

3553

2332

Maka dalam Matlab anda harus menuliskan :

» A=[1 2 3 4;2 4 6 3;3 6 4 2;4 3 2 1]

A =

1 2 3 4

2 4 6 3

3 6 4 2

4 3 2 1

16

» B=[2 3 3 2;3 5 5 3;3 5 5 3;2 3 3 2]

B =

2 3 3 2

3 5 5 3

3 5 5 3

2 3 3 2

Bentuk A dan B merupakan matriks yang kita masukkan, yang diinte rpretasikan sebagai :

A =

1234

2463

3642

4321

dan

B =

2332

3553

3553

2332

Untuk selanjutnya, setiap hasil dari program Matlab pada modul-modul berikutnya akan

mempunyai interpretasi seperti ini.

Jika ingin menghitung operasi-operasi dasar seperti :

a. A + B

b. A – B

c. AB

maka operasi yang dituliskan dalan matlab dan hasil yang didapatkan adalah sebagai

berikut ::

>> A+B

ans =

3 5 6 6

5 9 11 6

6 11 9 5

6 6 5 3

Nilai-nilai yang terdapat dibawah “ans =” seperti diatas menunjukkan matriks hasil operasi

yang diperoleh. Begitu juga untuk hasil operasi dari output-output selanjutnya.

17

Jadi A + B =

3566

59116

61195

6653

>> A-B

ans =

-1 -1 0 2

-1 -1 1 0

0 1 -1 -1

2 0 -1 -1

>> A*B

ans =

25 40 40 25

40 65 65 40

40 65 65 40

25 40 40 25

Selanjutnya untuk beberapa matrik-matrik khusus, sudah tersedia statement khusus seperti

:

- Zeros () : untuk mengkonstruksi matrik nol

- ones () : untuk mengkonstruksi matrik yang semua elenennya bernilai 1

- eye () : untuk mengkonstruksi matrik diagonal

Berikut ini diberikan contoh cara mengkonstruksi matriks :

>> zeros(4,4)

ans =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

>> eye(3,3)

ans =

1 0 0

0 1 0

18

0 0 1

Untuk mendapatkan trace dari matriks A diatas, dapat anda lakukan dengan melakukan

perintah :

» B=trace(A)

B =

10

Dari hasil output diatas, dapat diketahui bahwa tr(A) adalah 10.

Untuk mendapatkan nilai mean, covariansi dan korelasi dari matriks pada contoh 1.10.

>> A=[75 60 65;80 70 55;80 80 75]

A =

75 60 65

80 70 55

80 80 75

Untuk mendapatkan nilai mean, maka dilakukan perintah sebagai berikut :

>> mean(A)

ans =

78.3333 70.0000 65.0000

Nilai tersebut merupakan

78,33

70

65

μ

1 0,866 0

R 0,866 1 0,5

0 0,5 1

Serdangkan untuk mendapatkan matriks Kovariansi dilakukan dengan perintah sebagfai

berikut :

>> cov(A)

ans =

8.3333 25.0000 0

25.0000 100.0000 50.0000

0 50.0000 100.0000

Dan untuk mendaoatkan matriks korelasi R, dilakukan dengan perintah sebagai berikut :

19

>> corr(A)

ans =

1.0000 0.8660 0

0.8660 1.0000 0.5000

0 0.5000 1.0000

Referensi

Anton, H., 2000, Dasar-Dasar Aljabar Linear, Interaksara, Batam

Basilevsky, A.,1983, Applied Matrix Algebra in the Statistical Sciences, New

York

Schott, R. James, 1990, Matrix Analysis for Statistics, John Wiley & Sons,

New York