pengendalian optimal distribusi vaksin pada … · i rabies merupakan penyakit infeksi yang...

PENDAHULUANTINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIANANALISIS DAN PEMBAHASAN

PENUTUP

PENGENDALIAN OPTIMAL DISTRIBUSIVAKSIN PADA MODEL EPIDEMIK RABIESDENGAN MASA KELAHIRAN PERIODIK

Oleh :Qurrotu Ainy Jufri (1210100072)

Dosen Pembimbing :Drs. Kamiran, M.Si.

Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

6th August 2014

Qurrotu Ainy Jufri (1210100072) SEMINAR HASIL TUGAS AKHIR 1 / 57



PENUTUP

Latar BelakangRumusan MasalahBatasan MasalahTujuanManfaat

Latar Belakang

I Rabies merupakan penyakit infeksi yang menyerang susunansaraf dan berakibat kematian.

I Ditransmisikan ke manusia melalui hewan liar (anjing, kucing,kera, rakun, dll).

I Kasus rabies terjadi di lebih dari 150 negara dan wilayah diseluruh dunia.

I Hampir sebanyak 60.000 orang mati setiap tahunnya.

I Usaha penanganan dilakukan oleh pemerintah melalui OralRabies Vaccine (ORV) Program.




PENUTUP


Latar Belakang

Figure: Rakun




PENUTUP


Latar Belakang

Figure: Umpan Vaksin




PENUTUP


Latar Belakang

I Pada Tugas Akhir ini diterapkan teori kendali optimal untukmenemukan strategi distribusi umpan vaksin yang optimaldengan berdasarkan pada masa kelahiran rakun, demimeminimalisir populasi rakun yang terinfeksi rabies sekaligusbiaya yang dibutuhkan untuk vaksinasi.




PENUTUP


Rumusan Masalah

1 Bagaimana bentuk kendali optimal distribusi vaksin padamodel epidemik rabies dengan masa kelahiran periodik?

2 Bagaimana hasil simulasi dari kendali optimal distribusi vaksinpada model epidemik rabies dengan masa kelahiran periodik?




PENUTUP


Batasan Masalah

1 Parameter pengendali adalah laju distribusi vaksin.

2 Jumlah persediaan vaksin diasumsikan tidak terbatas (selalutersedia).

3 Epidemik rabies yang digunakan sebagai studi kasus adalahepidemik rabies pada populasi hewan rakun.

4 Masa kelahiran rakun terjadi selama musim semi yaitudiasumsikan antara 20 Maret-21 Juni (93 hari).

5 Populasi rakun infected tidak mungkin untuk disembuhkandan tidak mampu untuk melahirkan.

6 Semua kelahiran masuk ke dalam kelas susceptible.

7 Simulasi menggunakan software Matlab.




PENUTUP


Tujuan

1 Mengetahui bentuk kendali optimal distribusi vaksin padamodel epidemik rabies dengan masa kelahiran periodik.

2 Mengetahui hasil simulasi dari kendali optimal distribusi vaksinpada model epidemik rabies dengan masa kelahiran periodik.




PENUTUP


Manfaat

1 Diperoleh pengetahuan untuk menerapkan teori kendalioptimal menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin dalammengoptimalkan pendistribusian vaksin pada model epidemikrabies dengan masa kelahiran periodik untuk meminimalisirjumlah populasi rakun yang terinfeksi.

2 Dapat dijadikan sebagai referensi dalam upaya mencegah danmenanggulangi rabies pada populasi rakun.




PENUTUP

Sistem DinamikFungsi TujuanTeori Kendali Optimal dan PMPBang-bang dan Singular Control

Sistem Dinamik

Kelas Susceptible (S)

S =dS

dt= −

(βI + b +

c0V

K + V

)S + a(S + E + R)χ(t)[t0,t1]




PENUTUP


Sistem Dinamik

Kelas Exposed (E)

E =dE

dt= βIS − (σ + b)E




PENUTUP


Sistem Dinamik

Kelas Infected (I)

I =dI

dt= σρE − αI




PENUTUP


Sistem Dinamik

Kelas Immunes (R)

R =dR

dt= σ(1 − ρ)E − bR +

c0VS

K + V




PENUTUP


Sistem Dinamik

Figure: Diagram Kompartemen Model Epidemik SEIR




PENUTUP


Sistem Dinamik

Vaksin (V)

V =dV

dt= −V [c(S + E + R) + c1] + u




PENUTUP


Keterangan

S = laju pertumbuhan populasi rakun susceptible pada

waktu t

E = laju pertumbuhan populasi rakun exposed pada

waktu t

I = laju pertumbuhan populasi rakun infected pada

waktu t

R = laju pertumbuhan populasi rakun immunes pada

waktu t

V = laju pemberian vaksin pada waktu t




PENUTUP


Keterangan

u = laju distribusi vaksin pada waktu t

a = angka kelahiran rakun perkapita per hari selama

masa kelahiran

b = angka kematian rakun perkapita per hari disebabkan

oleh kasus non rabies

c = angka umpan yang dimakan oleh susceptible, exposed,

dan immunes

c1 = angka umpan yang tereliminasi oleh sebab lain

(dikonsumsi oleh hewan lain atau membusuk secara

alami)




PENUTUP


Keterangan

ρ = persentase rakun mati karena rabies

1 − ρ = persentase rakun exposed yang membentuk kekebalan

terhadap virus rabies

α = laju proses inkubasi rakun exposed

σ = laju perubahan rakun exposed sejak pertama kali

terkena virus rabies hingga ia mampu menginfeksi

atau hingga ia kebal

c0VS

K + V= laju konversi rakun susceptible yang memakan

umpan vaksin sehingga menjadi kebal (imun)




PENUTUP


Fungsi Tujuan

Tujuan yang ingin dicapai dengan menentukan kendali optimaladalah menemukan strategi yang optimal dalam pendistribusianvaksin untuk meminimumkan jumlah populasi rakun yang terinfeksirabies.

min J(u) =

∫ T

0[I (t) + Bu(t)] dt

Koefisien biaya B adalah faktor yang mengimbangkan I (t) danu(t). Ketika B besar, maka biaya vaksinasi juga tinggi.




PENUTUP


Teori Kendali Optimal

Secara umum, masalah kendali optimal dapat diformulasikansecara matematis sebagai berikut, dengan tujuan mencari kendaliu(t) yang mengoptimalkan fungsi tujuan

J = S(x(tf ), tf ) +

∫ tf

t0

V (x(t), u(t), t)dt (1)

dengan sistem dinamik yang dinyatakan oleh

x = f (x(t), u(t), t) (2)

dan kondisi batas

x(t0) = x0

x(tf ) = xf (3)




PENUTUP


Prinsip Maksimum Pontryagin

Langkah penyelesaian dari masalah kendali optimal menggunakanPMP :

1 Membentuk persamaan Hamiltonian

H(x(t), u(t), λ(t), t) = V (x(t), u(t), t) +λ′(t) f (x(t), u(t), t)

2 Memaksimumkan H terhadap u(t)

∂H

∂u= 0

sehingga diperoleh kondisi stasioner u∗(t)

3 Dengan menggunakan u∗(t) yang telah dihasilkan padalangkah 2, akan didapatkan fungsi Hamiltonian baru yangoptimal, H∗, yaitu :

H∗(x∗(t), u∗(t), λ∗(t), t) = H(x∗(t), λ∗(t), t)




PENUTUP


Prinsip Maksimum Pontryagin

4.) Selesaikan 2n persamaan state dan costate

x∗(t) =∂H∗

∂λdan λ(t) = −∂H

∗

∂x

dengan kondisi batas yang diberikan oleh keadaan awal dankeadaan akhir

5.) Substitusi hasil-hasil yang diperoleh pada langkah 4 ke dalampersamaan u∗(t) pada langkah 2 untuk mendapatkan kendaliyang optimal.




PENUTUP


Bang-bang dan Singular Control

Dalam permasalahan kendali optimal, terkadang akan ditemuikesulitan dalam menerapkan Prinsip Maksimum Pontryagin karenapersamaan Hamiltonian bergantung linier terhadap kendali u yangdapat dinyatakan dalam bentuk

H(u) = φ(x , λ, t, u) + ...

dan kendali u berada di antara batas bawah dan batas atasa ≤ u ≤ b. Untuk memaksimalkan H(u), maka u harus dibuatsebesar atau sekecil mungkin, bergantung pada tanda dariφ(x , λ, t, u) yang disebut sebagai fungsi switching.

u =

b jika φ(x , λ, t, u) < 0

usingular jika φ(x , λ, t, u) = 0

a jika φ(x , λ, t, u) > 0




PENUTUP


Bang-bang dan Singular Control

Jika φ = 0 tidak berkelanjutan selama interval waktu t1 ≤ t ≤ t2,namun hanya pada beberapa titik maka penyelesaiannya adalahbang-bang control. Kondisi ketika φ bernilai nol pada intervalwaktu tertentu t1 ≤ t ≤ t2 disebut kondisi singular control. Dalampermasalahan minimasi dengan kondisi singular control, syaratperlu bagi kondisi tersebut agar optimal adalah dengan memenuhikondisi umum Legendre Clebsch yang dinyatakan dalam persamaanberikut

(−1)k∂

∂u

[(d

dt

)2k

Hu

]≥ 0 ; k = 0, 1, 2, ... (4)




PENUTUP

Metode Penelitian

1 Studi literatur

2 Menyelesaikan permasalahan kendali optimal

3 Simulasi permasalahan

4 Analisis hasil simulasi

5 Penulisan laporan Tugas Akhir




PENUTUP

Penyelesaian Kendali OptimalPenyelesaian NumerikAnalisis Hasil Simulasi

Penyelesaian Kendali Optimal

Diberikan fungsi tujuan

min J(u) =

∫ T

0[I (t) + Bu(t)] dt

dengan kendala pada persamaan S , E , I , R, Vdan kondisi batas

E (0) = R(0) = V (0) = 0, S(0) > 0, I (0) > 0

λ1(T ) = λ2(T ) = λ3(T ) = λ4(T ) = λ5(T ) = 0

untuk 0 ≤ us ≤ M1.




PENUTUP



Penyelesaian :Bentuk persamaan Hamiltonian

H = (B + λ5)u + I

+λ1

[−(βI + b +

c0V

K + V)S + a(S + E + R)χ(t)[t0,t1]

]+λ2[βIS − (σ + b)E ] + λ3

[σ(1 − ρ)E − bR +

c0VS

K + V

]+λ4[σρE − αI ] + λ5[−V (c(S + E + R) + c1)]




PENUTUP



Kemudian menentukan persamaan adjoin (costate)

λ1 = −∂H∂S

= λ1

[βI + b +

c0V

K + V− aχ(t)[t0,t1]

]− λ2βI

− λ3c0V

K + V+ λ5cV

λ2 = −∂H∂E

= −λ1aχ(t)[t0,t1] + λ2(σ + b) − λ3σ(1 − ρ)

−λ4σρ+ λ5cV




PENUTUP



λ3 = −∂H∂R

= −λ1aχ(t)[t0,t1] + λ3b + λ5cV

λ4 = −∂H∂I

= −1 + λ1βS − λ2βS + λ4α

λ5 = −∂H∂V

=(λ1 − λ3)c0SK

(K + V )2+ λ5[c(S + E + R) + c1]




PENUTUP



Dapatkan kendali optimal u dengan menurunkan persamaanHamiltonian terhadap u

∂H

∂u= B + λ5 = 0 (5)

Karena hasil penurunan tidak menghasilkan kendali optimal usecara langsung, maka untuk mendapatkan u harus menggunakaninformasi yang lain. Diketahui bahwa

λ5 = −B maka λ5 = 0

sehingga diperoleh informasi bahwa λ5 = 0.




PENUTUP



Dengan menurunkan λ5 terhadap t didapatkan

λ5 =(λ1 − λ3)c0K

(K + V )2

(S − 2SV

K + V

)+

c0SK (λ1 − λ3)

(K + V )2

+λ5c(S + E + R) (6)

Untuk memunculkan u, subtitusikan state V ke dalam persamaan(6) sehingga diperoleh

λ5 =(λ1 − λ3)c0K

(K + V )2

(S +

2SV [c(S + E + R) + c1]

K + V

− 2Su

K + V

)+

c0SK (λ1 − λ3)

(K + V )2+ λ5c(S + E + R)




PENUTUP



karena λ5 = 0, diperoleh

u =(K + V )S

2S+ V [c(S + E + R) + c1] +

(K + V )

2(λ1 − λ3)

(λ1 − λ3) +(K + V )3

2c0SK (λ1 − λ3)λ5c(S + E + R)




PENUTUP



kemudian subtitusikan S , E , R, λ1 dan λ3 ke dalam persamaan usehingga didapatkan kendali singular

us = −(K + V )

2

[βI − aχ(t)[t0,t1]

]+ a

(K + V )

2S(E + R)

χ(t)[t0,t1] + V [c(S + E + R) + c1] +(K + V )

2(λ1 − λ3)

(λ1 − λ2)βI − Bc(K + V )3

2c0K (λ1 − λ3)(aχ(t)[t0,t1] − b)

+Bc(K + V )3

2c0SK (λ1 − λ3)[σρE − (aχ(t)[t0,t1] − b)(E + R)]




PENUTUP



karena u terbatas, maka

u =

M1 jika λ5 + B < 0

0 jika λ5 + B > 0

us jika λ5 + B = 0

Kendali singular ini merupakan kendali yang optimal karenamemenuhi persamaan Legendre Clebsch.

(−1)k∂

∂u

[(d

dt

)2k

Hu

]= (−1)

−2S(λ1 − λ3)c0K

(K + V )3> 0




PENUTUP


Metode Forward-Backward Sweep Runge-Kutta Orde 4

I Penyelesaian numerik untuk masalah kendali optimal yangdiketahui nilai awal dan nilai akhirnya.

I Alur pengerjaan metode ini adalah dengan menyelesaikanpersamaan diferensial yang diketahui nilai awalnya terlebihdahulu (secara maju) kemudian menyelesaikan persamaandiferensial lain yang diketahui nilai akhirnya (secara mundur).

I Misal diberikan sistem persamaan diferensial

dx

dt= f (t, x(t)), x(t0) = a

dσ

dt= g(t, σ(t)), σ(tf ) = b




PENUTUP



Rumus Forward Sweep

x(t + h) ≈ x(t) +h

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

dengan

k1 = f (t, x(t))

k2 = f (t +h

2, x(t) +

h

2k1)

k3 = f (t +h

2, x(t) +

h

2k2)

k4 = f (t + h, x(t) + hk3)




PENUTUP



Rumus Backward Sweep

σ(t − h) ≈ σ(t) − h

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

dengan

k1 = g(t, σ(t))

k2 = g(t − h

2, σ(t) − h

2k1)

k3 = g(t − h

2, σ(t) − h

2k2)

k4 = g(t − h, σ(t) − hk3)




PENUTUP


Analisis Hasil Simulasi

Simulasi dibuat dalam tiga kondisi :

I Wabah Rabies Terdeteksi pada Tanggal 14 Maret

I Wabah Rabies Terdeteksi pada Tanggal 1 Maret

I Wabah Rabies Terdeteksi pada Tanggal 20 Februari

Dengan nilai awal dan input parameter sebagai berikut :

Parameter NilaiS0 1000

I0 40

E0 0

R0 0

V0 0




PENUTUP



Parameter Nilaia 0.006

b 0.002

α 0.18

β 0.01

σ 0.02

ρ 0.98

c0 0.8

c1 0.01

c 0.01

K 1

B 0.01




PENUTUP



I Wabah Rabies Terdeteksi Pada Tanggal 14 Maret

Figure: Grafik kendali optimal distribusi vaksin




PENUTUP




Figure: Grafik pemberian vaksin




PENUTUP




Figure: Grafik pertumbuhan populasi rakun dengan kendali




PENUTUP



Saat wabah rabies terdeteksi pada tanggal 14 Maret, masakelahiran terhitung dimulai pada hari ke-7, sehingga diperoleh

I S(28) = 6,4

I E(28) = 548,4

I R(28) = 157,6

I I(28) = 64,5




PENUTUP








PENUTUP



Saat wabah rabies terdeteksi pada tanggal 1 Maret, masa kelahiranterhitung dimulai pada hari ke-20, sehingga diperoleh

I S(28) = 6,3

I E(28) = 502,3

I R(28) = 150,4

I I(28) = 59,8




PENUTUP



I Wabah Rabies Terdeteksi Pada Tanggal 20 Februari





PENUTUP








PENUTUP



Saat wabah rabies terdeteksi pada tanggal 20 Februari, masakelahiran terhitung dimulai pada hari ke-29 sehingga berada di luarinterval, dan diperoleh

I S(28) = 0

I E(28) = 479,7

I R(28) = 148

I I(28) = 58,7




PENUTUP

KesimpulanSaran

Kesimpulan

1.) Bentuk kendali optimal distribusi vaksin pada model epidemikrabies dengan masa kelahiran periodik adalah sebagai berikut :

us = −(K + V )

2

[βI − aχ(t)[t0,t1]

]+ a

(K + V )

2S(E + R)χ(t)[t0,t1] + V [c(S + E + R) + c1] +

(K + V )(λ1 − λ2)

2(λ1 − λ3)βI − Bc(K + V )3

2c0K (λ1 − λ3)(aχ(t)[t0,t1]

−b) +Bc(K + V )3

2c0SK (λ1 − λ3)[σρE − (aχ(t)[t0,t1] − b)

(E + R)]




PENUTUP

KesimpulanSaran

Kesimpulan

2.) Jarak antara waktu saat wabah rabies terdeteksi dengan masakelahiran rakun dapat dijadikan sebagai acuan untukmendistribusikan vaksin secara optimal. Semakin dekat jarakantara wabah rabies terdeteksi dengan masa kelahiran rakunmaka strategi yang optimal adalah dengan mendistribusikanvaksin untuk periode waktu yang lebih lama.




PENUTUP

KesimpulanSaran

Kesimpulan

3.) Dalam kasus ini populasi rakun infected tidak tereliminasisepenuhnya, namun pada hari ke-28 populasi rakun yangmasuk ke dalam kelas immunes lebih banyak daripada jumlahrakun infected. Apabila wabah rabies terdeteksi pada tanggal14 Maret, diperoleh jumlah rakun infected sebanyak 64,5 danrakun immunes sebanyak 157,6. Apabila wabah rabiesterdeteksi pa-da tanggal 1 Maret diperoleh jumlah rakuninfected sebanyak 59,8 dan rakun immunes sebanyak 150,4.Dan apabila wabah rabies terdeteksi pada tanggal 20 Februaridiperoleh jumlah rakun infected sebanyak 58,7 dan rakunimmunes sebanyak 148.




PENUTUP

KesimpulanSaran

Saran

Adapun saran dari Tugas Akhir ini untuk penelitian selanjutnyaadalah dapat diperhitungkan penerapan teori kendali optimaldistribusi vaksin apabila jumlah vaksin yang tersedia terbatas.Selain itu, periode waktu yang digunakan untuk menghitungkendali optimal dapat diperpanjang selama lebih dari 28 haridengan memperhitungkan angka imigrasi dan angka emigrasi,yang dalam kasus ini diabaikan.




PENUTUP

KesimpulanSaran

Daftar Pustaka

1 Clayton, T. et al. 2012. Optimal Control of a RabiesEpidemic Model with a Birth Pulse. Journal of BiologicalDynamics. Vol. 4, No. 1, Hal. 43-58.

2 Ding, W. et al. 2007. Rabies in Raccoons: Optimal Controlfor a Discrete Time Model on a Spatial Grid. Journal ofBiological Dynamics. Vol. 1, No. 4, Hal. 379-393.

3 Lenhart, S. dan Workman T. John. 2007. Optimal ControlApplied to Biological Model. New York : Taylor and FrancisGroup.




PENUTUP

KesimpulanSaran

Daftar Pustaka

1 Naidu, S. D. 2002. Optimal Control System. USA: CRC PressLLC.

2 North Calorina Public Health. 2013. Oral Rabies Vaccine(ORV) Program. http://epi.publichealth.nc.gov/cd/rabies/orv.html. Diakses tanggal 29 Januari 2014.

3 Wikipedia. 2013. Seasonal Breeder. http://en.wikipedia.org/wiki/Seasonal breeder. Diakses tanggal 23 Januari 2014.

4 World Health Organization. 2013. Rabies. http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs099/en/. Diaksestanggal 23 Januari 2014.


pengendalian optimal distribusi vaksin pada … · i rabies merupakan penyakit infeksi yang...

Documents