1

Fisika Kuantum KD 4

KELOMPOK 1

SUMUR POTENSIAL BERHINGGA DAN TAK BERHINGGA, POTENSIAL

TANGGA, POTENSIAL PENGHALANG DAN POTENSIAL PERIODIK

OLEH

I KADEK DARSIKA ARYANTHA (0513021008)

I NYOMAN PARSA (0513021012)

NYOMAN DANI (0513021020)

JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS MIPA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA

2008

DE

PA

R

TEME

N PEND IDIKAN NA

S

ION

AL

UN

IVE

RS

ITAS

PEN D ID IKAN

GAN

ES

HA

U N D I K S H A

2

A. PENERAPAN PSBW PADA SUMUR POTENSIAL TAK BERHINGGA.

Penerapan persamaan Scrodinger pada sumur potensial tak berhigga adalah sebesar

2

222

2ma

nE

. Persamaan ini berarti energi yang melewati sumur potensial tak berhingga

terkuantisasi sesuai dengan bilangan kuantum n. Penjabaran persamaan tersebut adalah

sebagai berikut.

PSBW secara umum adalah:

)1...(......................................................................0

:22

,02

2,0

2

2

:0,2

2

2

2

2

2222

2

22

22

2

22

2

22

xkdx

xd

makakEm

ataukEm

karenaxEm

dx

xd

mdikalikanruaskeduaxE

dx

xd

m

xEdx

xd

m

makaVkarenaxExxVdx

xd

m

Penyelesaian persamaan Schrodinger bebas waktu pada sumur tak hingga berbentuk:

ikxikx BeAex )( ........(2)

atau

kxBkxAx cossin (3)

Penyelesaian di luar sumur harus memiliki amplitudo nol sebab potensial di luar sumur tak

berhingga besar. Dengan demikian persamaan (3) juga harus bernilai nol di 0x dan ax

Pada persamaan (3) jika x=0 maka:

B

kBkA

kxBkxAx

0

0cos0sin0

cossin

x

a 0

V V

V=0

Gambar 1 sumur potensial tak hingga

3

dan jika x=a, maka:

)4......(................................................................................

sin0

0sin0

:0,cossin

cossin

a

nk

kan

ak

akA

makaBkarenaakBakAa

kxBkxAx

Dimana n= 1, 2, 3,

Karena B=0 dan a

nk

maka persamaan (3) menjadi:

)5........(............................................................sin

cossin

a

xnAx

kxBkxAx

Untuk potensial pada daerah antara 0 dan a,maka:

)6....(............................................................

sin

1

1sin

1sin

1sin

1

0

2

2

0

22

0

22

0

2

0

2

dxa

xnA

dxa

xnA

dxa

xnA

dxa

xnA

dxx

a

a

a

a

a

Penyelesaian untuk dxa

xna

0

2sin

adalah:

a

xnd

a

xn

n

ax

dxa

xndx

dxa

xn

dxa

xn

aa

aa

aa

22cos2

1

2

1

2

1

2cos2

1

2

1

2

2cos1

sin

00

00

00

2

4

)7.(......................................................................2

02

02sin42

0sin2sin42

1

2sin42

1

0

00

a

a

nn

aa

a

an

n

ax

a

xn

n

ax

a

aa

Persamaan (7) disubstitusikan ke persamaan (6) maka diperoleh:

)8.........(......................................................................2

2

2/1

1

sin

1

0

2

2

aA

aadx

a

xnA

a

Persamaan (8)disubstitusikan ke persamaan (5) maka:

)9..(............................................................sin2

sin

a

xn

ax

a

xnAx

Indeks n digunakan untuk membedakan suatu fungsi eigen dengan fungsi eigen lainnya.

Setiap fungsi eigen itu menyatakan keadaan partikel saat energinya sebesar (dari substitusi

persamaan (4) ke persamaan kEm

2

2

):

)10....(................................................................................2

2

2

2

2

222

2

22

2

2

2

ma

nE

a

nE

m

a

nE

m

kEm

Indeks n juga untuk menandai keadaan kuantum partikel. Jika n = 1, dikatakan dalam keadaan

dasar (ground state), dan jika 1 mn dikatakan dalam keadaan tereksitasi tingkat m.

5

B. SUMUR POTENSIAL BERHINGGA

Penerapan persamaan Schrodenger pada kasus partikel terikat pada potensial sumur

kotak yang kedalamannya berhingga menghasilkan kesimpulan bahwa energi partikel

terkuantumkan. Banyaknya level energi bergantung pada kedalaman sumur dan lebar sumur

Untuk partikel yang begrerak dibawah pengaruh potensial kotak yang berbentuk sumur dapat

dilukiskan sebagai berikut:

Gambar.2.Plot potensial sumur pada kotak

Telah kita batasi pada kasus dimana gerak partikel dibatasi pada ruang tertentu.

Dengan kata lain, kita hanya membahas partikel yang dalam keadaan terikat. Berdasarkan plot

potensial digambar diatas , keadaan terikat terjadi jika energi total partikelk memenuhi

ketaksamaan 0 > E >-Vo. Sebab alam hal in partikel hanya mungkin bergerak disekitar

interval x = -a/2 sampai x = a/2. jika energi partikel lebih dari nol, maka partikel dapat

bergerak dari - sampai dengan +

Persamaan Schrodinger bebas waktunya dapat dinytakan sebagai berikut. Di daerah I

dan III

2

22

2

2 2;0)(

)(

mEx

dx

xd

...............................................................2.1

Di daerah II:

)(2

;0)()(

02

22

2

2

VEmE

kxkdx

xdII

II

.................................................2.2

Peneyelesaian umum kedua persamaan tersebut adalah

2/;)( 21 axeAeAxaxax

I ................................................................2.3.a

2/2/;)( 21 axaeBeBxikxikx

II .....................................................2.3.b

2/;)( 21 axeCeCxaxax

III .................................................................2.3.c

Agar fungsi eigen yang didapat berhingga dimana-mana, maka kita harus menetapkan

A2 = C1 = 0. selanjutnya dari syarta kontinuitas di x = -a/2 didapatkan hubungan

V(x)

X

-Vo

a/2 -a/2

I II III

axaV

lainnyaxdixV2

1

2

1;0

;0)(

6

2/.22/.12/.1

2/.

2

2/.

1

2/.

1

aikaika

aikaika

eBeBikeA

eBeBeA

.......................................................... ..2.4

Dan dari syarat kontinuitas di x = a/2 didapatkan hubungan

2/.

2

2/.

2

2/.

1

aaikaik eCeBeB ...................................................................2.5.a

2/.

2

2/.

2

2/.

1 .)(aaikaik eCeBeBik .........................................................2.5.b

Dari persamaan 4 didapatkan hubungan

011 2/.22/.

1

aikaik eB

ikeB

ik

........................................................2.6

Dan dari persamaan 5 didapatkan hubungan

011 2/.22/.

1

aikaik eB

ikeB

ik

........................................................2.7

Akhirnya dari persamaan 2.5 dan 2.6 diperoleh hubungan

ikaeik

ik 22

.........................................................................................2.8

Ungkapan tersebut menunjukkan bahwa agar penyelesaian persamaan Schrodinger

memenuhi syarat sebagi fungsi eigen bernilai berhingga dan kontinu dimana-mana maka

tetapan dan k harus memenuhi persamaan 2.8. Karena nilai kedua tetapan itu bergantung

pada E maka ungkapan tadi juga menunjukkan bahwa energi total prtikel tidak boleh

sebarang. Sekarang kita hitung berapa saja energi yang diijinkan tersebut.

Persamaan 2.8 memiliki dua penyelesaian (akar), yaitu

ikaeik

ik 2

............................................................................................2.9.a

Dan

ikaeik

ik 2

.........................................................................................2.9.b

Untuk ikae

ik

ik 2

Persamaan tersebut dapat diubah menjadi

ikaki

kie

ki

kie

ik

ik ikaika

/1

/1ln

/1

/12

Atau

2/1

/1ln

2

1 ka

ki

ki

i

...................................................................................2.10

7

Dengan menggunakan identitas bilangan kompleks ziz

iz

i

1tan1

1ln

2

1

, persamaan 2.10

identik dengan

ka

k 2

1tan

.............................................................................................2.11

Dengan menggunakan identitas trigonometri 1tan

1cos

2

2

AA , dari persamaan 2.11

diperoleh

02

1cos

k

kka

.........................................................................................2.12

Dengan 2

022

0

2

mVakk . Selanjutnya karena dan k keduanya positif maka nilai

tan(ka/2) juga positif. Dengan demikian persamaan 9.b identik dengan sistem persamaan

02

1cos

k

kka

........................................................................................13.a

Tan(1/2 a) > 0 ..........................................................................................2.13.b

Nilai yang memenuhi persamaan 2.12 dapat ditemukan secara grafik atau dengan program

numerik berbantuan komputer. Secara grafik, niali k dapat ditentukan denagn mencari titik

[potong antara grafik G(k) k/k0 dengan grafik

kakF

2

1cos)( pada daerah dimana tan

(1/2 ka) > 0.

Gambar 3.

untuk ikae

ik

ik 2

8

Dengan prosedur seperti sebelumnya dapat ditunjukkan bahwa persamaan ikaeik

ik 2

identik dengan sistem persamaan

02

1sin

k

kka

.........................................................................................2.14.a

Tan(1/2 ka)

9

gambar 5a.diagram level energi, (b) komponen real fungsi eigen untuk keadaan berenergi

rendah.

Pada contoh diatas terdapat 5 level energi. Besaran yang menentukan cacah level energi

adalah garadien garis G(k)=k/k0 dan ukuran lebar sumur

Pada gambar 5 (a dan b) ditunjukkan bahwa semakin landai garis G(k)=k/k0 semakin

banyak titik potong yng terjadi. Ini berarti sewmakin banyak pula level enrginya. Karena

gradient garis itu adalah 0

2

0 2

1

mVk

, berarti semakin besar V0 (semakin dalam sumur)

semakin landai garis itu. dengan kata lain, semakin besar V0 semakin banyak cacah level

energi.

Berdasarkan gambar 5 (a dan b) juga terlihat bahwa semaikn besar a semain cepat

pengulangan fungsi F(k). Ini berarti semakin banyak titik potong. Dengan kata lain semakin

lebar sumur semakin banyak level energinya.

C. PSBW UNTUK BUKIT POTENSIAL

Fungsi potensialnya:

Di daerah I (x

10

21

2

12

2

22

2

2

2

2

2

2,0

02

02

2

mEkxkx

x

xmE

xx

xExxm

xExxm

Solusinya xikxik BeAe 111

Di daerah II:

2

0

2

2

22

2

2

0

2

2

02

22

02

22

2,0

0)(2

02

2

vEmkxkx

x

xvEm

xx

xExvxxm

xExvxm

Solusinya xikxik eDeC 222

Karena 0vE maka 0vE bernilai negatif sehingga 2k adalah imajiner. Misalkan ik 2

dengan 2

0 )(2

Evm .Maka solusinya menjadi:

xx eDeC 2

Di daerah III:

1232

32

2

22

2

2

22

2

22

2,0

02

02

2

kmE

kxkxx

xmE

xx

xExxm

xExxm

Solusinya xikxik

eGeF 113

Pada daerah III tidak terdapat gelombang pantul sehingga solusinya dapat ditulis:

xikeF 13

11

Syarat batas diterapkan pada x=0 dan x=L

Untuk x=0

DCBA

eDeCeBeA

xx

0000

21

.................................(3.1)

DCBikAik

eDeCeBikeAik

eDeCeBikeAik

xx

xxxikxik

11

000

1

0

1

11

'

2

'

1

11

................(3.2)

Untuk x=L

LikLL eFeDeC

xx

1

32

....................................(3.3)

LikLL

xikxx

eFikeDeC

eFikeDeC

xx

1

1

1

1

32 ''

....................................(3.4)

Untuk menentukan peluang transmisi

*

*

FF

AA, kita cukup menentukan nilai A,

*A , F, dan

*F . Dari persamaan 1 dan 2 didapat:

DCBA DCBA

DCBikAik 11 => DCik

BA 1

11

2ik

D

ik

CDCA

5.3...................................................22

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Dk

ikC

k

ikA

Dk

ikC

k

ikD

ik

ikC

ik

ikA

Dari persamaan 3.3 dan 3.4 didapat:

LikLLLikLL

LikLLLikLL

Feik

DeCeFeikDeCe

eFeDeCeFeDeC

11

11

11

+

+

12

6.3...............2

2

2

12

)(1

1

1

1

1

1

1

1

L

Lik

L

LikL

LikL

ik

Feik

D

Fee

ikD

Feik

De

Feik

De

Persamaan (3.6) disubstitusikan ke persamaan (3.3) maka :

LikL

LikL

LikLikL

LLLikL

LLikL

LikLL

eFik

eC

eFik

eC

eFik

eFeC

eFeik

eFeC

eDeFeC

eFeDeC

ik

1

1

11

11

1

1

2

2

21

2

2

1

1

1

)(1

)7.3..(......................................................................2

2

2

)(1

1

1

1

1

1

Lik

Lik

L

LikL

eFik

C

eFe

ikC

eFik

eC

Persamaan (3.6) dan (3.7) disubstitusikan kepersamaan (3.5),maka didapat:

13

)8.3......(..............................42

1

42

1

42

1

42

1

4

)(2

4

)(2

44

2222

22

)(1

1

)(1

1

)(

1

2

1

2)(

1

2

1

2

)(

1

2

1

2

1)(

1

2

1

2

1

)(

1

1

22

11)(

1

1

22

11

)(1

1

1)(1

1

1

1

1

1

1

11

11

11

11

11

LikLik

LikLik

LikLik

LikLik

LikLik

ek

k

ie

k

k

i

F

A

ek

kie

k

ki

F

A

Fek

kikeF

k

kikA

Fek

kiikkeF

k

kiikkA

Feik

k

ikeF

ik

k

ikA

Dk

ikC

k

ikA

De

ngan menganggap rintangan potensial tinggi relatif terhadap energi partikel datang, sehingga

berlaku 1

1

1

1

1 k

k

kdan

k

k

.

Asumsi kedua yaitu anggap bahwa perintang cukup lebar untuk 2 mengalami atenuasi besar

antara x = 0 dan x = L. Ini berarti bahwa LL eedanL 1

Berdasarkan asumsi ini persamaan (8) dapat ditulis :

Like

k

i

F

A )(

1

1

42

1

Peluang transmisinya (T) adalah :

*

*1

*

*

FF

AAT

AA

FFT

)9.3........(......................................................................164

1

164

1

42

1

42

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

)(

1

)(

1

1

**

*

*1

11

L

L

LikLik

ek

T

ek

T

ek

ie

k

iT

F

Akonjugate

F

Adengan

F

A

F

A

FF

AAT

Adanya gelombang transmisi pada daerah III dinamakan efek terobosan. Aproksimasi peluang

transmisi (kebolehjadian partikel untuk melewati barier penghalang adalah:

)10.3(....................................................................................................2 LeT

14

Persamaan ini dapat diterapkan untuk menjelaskan radiasi radioaktif (peluruhan inti

radioaktif). Dari persamaan (3.10) terlihat bahwa T sangat tergantung pada L (lebar barier).

Makin besar L maka peluang transmisi (T) semakin kecil.

D. POTENSIAL TANGGA

Partikel yang bergerak dipengaruhi oleh potensial undak dengan persamaan:

)(0,

)(0,0)(

0 daerahIIxV

daerahIxxV , dalam hal ini tidak mungkin memiliki energi total E

15

Persamaan untuk daerah I sudah memenuhi syarat kontinyuitas walaupun di x = -

nilai ikxe = ie . Yang menjadi permasalahan adalah di daerah II dimana di daerah ini x

adalah nilai positif dari nol sampai tak hingga, maka suku pertama ( xe ) mengakibatkan

x menjadi tak hingga. Oleh karena x tidak boleh bernilai tak hingga, maka 1B

haruslah nol, sehingga peneyelesaian persamaan II menjadi xeBx 22 )(

Kombinasi penyelesaian 1 dan 2 akan menghasilkan fungsi yang kontinyu dimana-

mana kecuali di x = 0. Dengan memaksa x dan dx

xd

kontinyu di x = 0 maka akan

didapatkan.

).3.4...(......................................................................().3.4.....(......................................................................,.........

221

221

bBAAik

aBAA

Persamaan (4.3.a) diperoleh dari pengkontinyuan x yaitu 00 III ,

sedangkan persamaan (4.3.b) diperoleh dari pengkontinyuan

dxx

d

yaitu

00

x

II

x

I

dx

xd

dx

xd . Dari kedua persamaan tersebut diperoleh hubungan

ik

ik

A

A

1

2 , dan ik

k

A

B

2

1

2 .

Dengan demikian penyelesaian akhir persamaan schrodinger bebas waktu system ini

adalah

0,2

0,

1

1

xeik

kA

xeik

ikeA

xx

ikxikx

...................................................(4.4)

Tetapan integarsi A1 dapat ditentukan dengan menormalkan x , yaitu membuat

02

dxx . Gambar berikut menyajikan plot real fungsi eigen tersebut.

Gambar.5. Plot komponen real fungsi eigen bagi partikrl berenergi E

16

Fungsi eigen pada gambar merupakan kombinasi linier antara gelombang yang bergerak

ke kiri ikxe dan gelombang ynag merambat ke kanan ikxe . Jika partikel datiang dari kiri (x

17

b. Untuk E>V0

Gambar tersebut menyajikan plot fungsi energi potensial dan energi total E terhadap posisi x.

Persamaan Schrdinger bebas waktu di daerah I maupun di daerah II memiliki bentuk

02

2

2

xkdx

xd

Dengan demikian penyelesaian umum di daerah I berbentuk,

ikxikx eAeAx 211 , 22

mEk

Dan penyelesaian umum di daerah II berbentuk,

xixi eBeBx 211 , 022

VEm

Ketika partikel sampai di dekat x = 0, partikel mendapatkan gaya pembalik sebesar

0

0

0

00lim

0limlim

VVxVxV

dx

dVF

Akibatnya, walaupun energi partikel cukup untuk mengatasi tinggi potensial di x>0, ada

peluang bagi pertikel itu untuk dipantulkan.

Karena di sepanjang x>0 tidak ada perubahan potensial maka partikel tidak mungkin

dipantulkan. Dengan demikian di daerah ini harus tidak ada gelombang yang merambat ke

kiri. Oleh sebab itu, kita harus membuang gelombang ini dari penyelesaian di daerah II.

Caranya adalah dengan memilih B2 = 0.

Untuk mendapatkan penyelesaian yang kontinu di mana-mana, kita paksa penyelesaian di

kedua daerah tersebut kontinu di x = 0, dan nantinya akan dihasilkan hubungan sebagai

berikut,

A1 + A2 = B1 yang diperoleh darii pengkontinuan x , yaitu 001 II .

k (A1 A2) = - B1 yang diperoleh dari pengkontinuan

dxxd yaitu

dx

xd

dx

xd 21 .

Dari hubungan tersebut, diperoleh hubungan

k

k

A

A

1

2 dan

k

k

A

B 2

1

1

Dengan demikian penyelesaian umum persamaan Schrdinger bebas waktu adalah sebagai

berikut,

V(x)

V0

E

X 0

I II

18

ikxikx e

k

keAx

1 untuk 0x dan

xiek

kAx

21 untuk 0x

Tetapan integrasi A1 dapat ditentukan dengan menormalkan x , yaitu membuat

12

dxx .Dengan argument seperti itu, besarnya koefisien refleksi pada asistem ini

adalah 2

2

1

2

2

2

2

1 41

)(

)(

k

k

A

A

Am

k

Am

k

R

.

Perhitungan ini menyatakan bahwa koefisien refleksi tidak sama dengan 1. ini berarti bahwa

ada peluang bagi partikel untuk diteruskan.

E. POTENSIAL PERIODIK

Partikel dapat dianggap bergerak dalam potensial periodik dengan periode l, maka

V(x + l) = V(x) (5.1)

Seperti pada gambar (6), potensial periodik dalam bentuk kotak disebut dengan potensial

Kronig-Penney yang dapat digunakan sebagai sebuah model dari interaksi elektron dalam kisi

kristal terdiri dari keadaan yang tetap dari atom tunggal yang dipisahkan oleh jarak l.

Gelombang Bloch

Kristal pada kenyataanya memiliki panjang yang terbatas, apabila diasumsikan

sebagai keadaan ideal, bahwa persamaan (5.1) benar untuk semua nilai dari x, meliputi

keseluruhan sumbu-x. Kemudian jika (x) adalah solusi dari persamaan umum Schrodinger,

bersesuain dengan energi E, jadi dapat ditulis (x + l). Selain itu, karena persamaan

Schrodinger merupakan persamaan linear orde dua, solusi dari (x) yang mungkin diwakili

sebagai kombinasi linear dari dua solusi bebas linear 1(x) dan 2(x)

(x) = C11(x) + C22(x) (5.2)

Jadi 1(x + l) dan 2(x + l) juga merupakan solusi persamaan Schrodinger, sehingga bisa

diwakili sebagai kombinasi linear dari 1(x) dan 2(x).

l

x

-Vo

V(x)

b 0 b l

19

Gambar 6. Potensial periodik dengan bentuk segi empat

)()()( 212111 xaxalx

)()()( 222121 xaxalx (5.3)

Kemudian stubtitusikan persamaan (5.2) ke persamaan (5.3) dan kenyataanya bahwa (x + l)

juga merupakan solusi, maka diperoleh

)()(d

)()()()()(

2211

222212212121111

xdx

xacacxacaclx

(5.4)

Hubungtan antara koefisien (c1,c2) dan (d1,d2) dapat diubah dalam bentuk perkalian matrik

2

1

2212

2111

2

1

c

c

aa

aa

d

d (5.5)

Kemudian matrik 2 x 2 tersebut didiagonalisasi dengan memecahkan persamaan

02212

2111

aa

aa (5.7)

Yang mana merupakan persamaan kuadrat untuk , mempunyai dua solusi 1 dan 2, jika

(c1,c2) adalah vektor eigen yang bersesuain dengan salah satu dari nilai eigen = i (i = 1, 2),

maka selanjutnya d1 = c1 dan d2 = c2. Kemudian, (x) mempunyai dua solusi

)()( xlx (5.8)

Di mana konstan. Persamaan tersebut dikenal sebagai teorema Floquet. Dapat dilihat dari

persamaan (50) bahwa

2,....... 1, , 0,n ),()( xnlx n (5.9)

Ambil 1 dan 2 menjadi dua solusi dari persamaan Schrodinger bersesuain dengan

energi E, yang mana memenuhi (50) dan sesuai dengan masing-masing nilai eigen 1 dan 2

dari persamaan (49). Maka 1 dan 2 menunjukkan turunannya masing-masing. Jika

21

21

''

W (5.10)

Menunjukkan determinan Wronskian dari 1 dan 2 dari persamaan 15 diperoleh bentuk

W(x + l) = 12W(x) (5.11)

Solusi persamaan persamaan Schrodinger bersesuain dengan nialai eigen E adalah konstan

memberikan bahwa

12 = 1 (5.12)

20

kembali ke persamaan (5.8). Jika 1 , ini adalah jelas dari persamaan (5.9) akan terus naik

diatas semua batas ketika x , dan akan terus turun di bawah semua batas jika x .

Keadaan yang berlawanan akan terjadi jika 1 . Oleh karena itu, solusi secara fisika yang

dapat dapat diterima dari persamaan Schrodinger hanya ada jika 1 . Dengan mengambil

hasil dari (5.12) kemudian kita dapat menulis jumlah 1 dan 2 dalam bentuk

iKle1 dan iKle1 (5.13)

Di mana K adalah bilangan real. Sejak exp(i2) = 1, ini jelas bahwa fungsi gelombang yang

lengkap dapat diperoleh dengan membatasi nilai K pada interval l

Kl

Kemudian, semua solusi yang dapat diterima secara fisika harus memenuhi hubungan

2,........ 1,0,n ),()( xenlx inKl (5.14)

Yang dikenal sebagai kondisi Bloch. Jika dituliskan solusi (x) di dalam bentuk

)()( xKiKxuex (5.15)

Mengikuti persamaan (56) bahwa

)())(( xKK uxlxu (5.16)

Hasil ini dikenal sebagai teorema Bloch. Fungsi gelombang Bloch (5.15) diwakili gelombang

berjalan dengan panjang gelombang 2/K, yang amplitudonya uk(x) adalah periodik, dengan

periode l seperti pada kisi-kisi kristal.

21