new rumus trigonometri jumlah dan selisih sudut · 2020. 9. 23. · lkpd 3 rumus trigonometri yang...

LKPD 1RUMUS TRIGONOMETRI

Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami narasi di bawah ini.

KEGIATAN AWAL

Tujuan: Melalui model Discovery Learning dengan pendekatan STEAM, peserta didik (A) dapat menggunakan konsep ipa, menggunakan teknologi untuk menghitung perbandingan trigonometri, menyusun algoritma penemuan rumus dan menggunakan unsur seni untuk menentukan rumus jumlah dan selisih sudut untuk sinus, cosinus dan tangen serta mampu memecahkan permasalahan (HOTS) berkaitan dengan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus dengan penuh tanggung jawab, selalu mengerjakan dengan kerja keras, muncul rasa ingin tahu, disiplin, rasa percaya diri yang tinggi

1. Bentuklah kelompok diskusi untuk mengerjakan lembar kerja ini. 2. Lakukan kegiatan berikut dengan mengisi titik-titik yang telah disediakan. 3. Jika mengalami kesulitan, bertanyalah kepada guru.

PETUNJUK

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK

(LKPD) -1

Waktu:

30 menit

Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Sudut

Satuan Pendidikan : SMA

Mata Pelajaran : Matematika IPA

Kelas/Semester : XI / Gasal

Materi Pokok : Rumus Trigonometri

Nama Kelompok

Anggota: 1. ……………........................

2. ……………........................ 3. ……………........................ 4. ……………........................

Pada gambar disamping,seorang memancing ikan dengan

panjang galahnya 1 meter. berapakah panjang tali minimal yang

dibutuhkan agar pemancing dapat memancing ikan dengan

sudut antara galah dengan benang adalah 750? ( minimal tali

dapat menyentuh air)

Dapatkah kalian menghitung Sin 750

Apakah Sin 750= Sin 300+ Sin 450


Untuk dapat menjawab persoalan tersebut, mari kita ingat kembali materi kelas X

Mari Menemukan

KEGIATAN INTI

Perhatikanlah segitiga ABC berikut ini:

KEGIATAN 1: Menentukan rumus jumlah dan selisih sudut untuk sinus

2. Luas Segitiga ABC

Luas ∆𝐴𝐵𝐶 jika diketahui dua sisi yang berdekatan dan satu sudut yang mengapitnya

Luas ∆𝐴𝐵𝐶 = .... x .... x ....

3. Sudut berelasi

sin (900 – 𝛼) = ....

cos(900 – 𝛼) = ....

tan (900 – 𝛼) = ....

C

A

B

β

sin 𝛽 =𝑏

𝑐⇒ 𝑏 = …

cos 𝛽 =𝑎

𝑐⇒ 𝑎 = ⋯

tan 𝛽 =𝑎

𝑏⇒ 𝑎 = ⋯

1. Perbandingan Sisi Trigonometri

4. Sudut berelasi

sin (– 𝛼) = ....

cos (– 𝛼) = ....

tan ( – 𝛼) = ....

A B

C

D

b a α β


Ikuti Langkah Berikut

1. Gambarlah kembali segitiga siku-siku BCD pada gambar tersebut! Dengan menggunakan rumus perbandingan Trigonometri, tentukanlah panjang CD (nyatakan dalam a dan b). 𝐶𝐷 = …

Gambarlah kembali segitiga siku-siku ACD pada gambar tersebut! Dengan menggunakan rumus perbandingan Trigonometri, tentukanlah panjang AD (nyatakan dalam b dan a). AD = …

2. Perhatikanah segitiga siku-siku ACD pada gambar tersebut! Dengan menggunakan rumus perbandingan Trigonometri, tentukanlah panjang CD (nyatakan dalam b dan α). 𝐶𝐷 = ⋯ Perhatikanlah segitiga siku-siku BCD pada gambar tersebut! Dengan menggunakan rumus perbandingan Trigonometri, tentukanlah panjang BD (nyatakan dalam a dan β). 𝐵𝐷 = ⋯

3. Tentukan Luas segitiga ACD.

Luas segitiga ACD = 1

2× 𝐴𝐷 × 𝐶𝐷

Luas segitiga ACD = 1

2× …. × ….

4. Tentukan Luas segitiga BCD.

Luas segitiga BCD = 1

2× 𝐵𝐷 × 𝐶𝐷

Luas segitiga BCD = 1

2× …. × ….

5. Tentukanlah luas segitiga ABC dengan menggunakan luas segitiga ACD dan luas segitiga BCD pada langkah 3 dan langkah 4. Luas segitiga ABC = Luas segitiga ACD + Luas segitiga BCD

Luas segitiga ABC = 1

2× … × … +

1

2× … × … .


2× … × ( … + … )


6. Dengan menggunakan rumus luas segitiga sebarang ABC yang mengandung sinus (α + β), tentukanlah luas segitiga ABC berikut!


2× … × … × …


2× … × …

7. Sama dengankahlah luas segitiga pada langkah 5 dan langkah 6 untuk mendapatkan rumus sinus (α + β)!

Luas segitiga ABC = Luas segitiga ABC 1

2× … × … =

1

2× … × …

… × … = … × … sin(α + β) = ( … + … )

8. Setelah menemukan rumus sinus jumlah dua sudut, coba diskusikan untuk menemukan rumus sinus selisih dua sudut.

sin (α – β) = sin (α + (-β))

sin (α – β) = ( … + … )

sin (α – β) = … − …

Berdasarkan uraian di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

A B

C

b a α + β

𝐬𝐢𝐧 (𝜶 + 𝜷) = 𝐬𝐢𝐧 (𝜶 − 𝜷) =

Rumus sin (𝛼 + 𝛽) dan 𝑠𝑖𝑛(𝛼 − 𝛽) berlaku untuk tiap sudut 𝛼 dan 𝛽 dalam ukuran radian maupun ukuran derajat dan dituliskan sebagai :



Untuk mendapatkan rumus 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 + 𝛽) dapat diperoleh dengan

menggunakan rumus- rumus yang diperoleh pada kegiatan1 sebelumnya,

yakni :

sin (𝛼 + 𝛽) = ...................................

Sehingga diperoleh :

cos(𝛼 + 𝛽) = sin[900 – (𝛼 + 𝛽)]

cos(𝛼 + 𝛽) = sin[900 – … − ⋯ ]

cos(𝛼 + 𝛽) = sin[(900 – … ) − ⋯ ]

Perhatikan

cos(𝛼 + 𝛽) = sin(900 – 𝛼) . 𝑐𝑜𝑠(−𝛽) + cos(900 – 𝛼) . sin(− 𝛽)

= cos … . cos 𝛽 + sin 𝛼. ....

= cos … . cos 𝛽 − .... . ....

Setelah menemukan rumus cosinus jumlah dua sudut, coba diskusikan untuk menemukan rumus cosinus selisih dua sudut.

cos (α – β) = cos (α + (-β))

cos (α – β) = ( … + … )

cos (α – β) = … − …


KEGIATAN 2: Menentukan rumus jumlah dan selisih sudut untuk cosinus

𝐜𝐨𝐬 (𝜶 + 𝜷) = 𝐜𝐨𝐬 (𝜶 − 𝜷) =

Rumus cos (𝛼 + 𝛽) dan cos(𝛼 − 𝛽) berlaku untuk tiap sudut 𝛼 dan 𝛽 dalam ukuran radian maupun ukuran derajat dan dituliskan sebagai :



1. Dengan menggunakan perbandingan trigonometri tan 𝛼 =sin 𝛼

cos 𝛼, maka tentukanlah

tangen jumlah dua sudut

tan(𝛼 + 𝛽) =sin (𝛼 + 𝛽)

cos (𝛼 + 𝛽)

tan(𝛼 + 𝛽) = … + …

… − …

tan(𝛼 + 𝛽) = … + …

… − … ×

1𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽

1𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽

tan(𝛼 + 𝛽) = … + …

1 − …

2. Setelah menemukan rumus tangen jumlah dua sudut, coba diskusikan untuk menemukan rumus tangen selisih dua sudut.

𝑡𝑎𝑛 (𝛼 – 𝛽) = 𝑡𝑎𝑛 (𝛼 + (−𝛽))

𝑡𝑎𝑛 (𝛼 – 𝛽) = 𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝑡𝑎𝑛 (−𝛽)

1 − 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑡𝑎𝑛 (−𝛽)=

… − …

1 + …


KEGIATAN 3: Menentukan rumus jumlah dan selisih sudut untuk tangen

𝐭𝐚𝐧 (𝜶 + 𝜷) = 𝐭𝐚𝐧 (𝜶 − 𝜷) =

Rumus tan (𝛼 + 𝛽) dan tan(𝛼 − 𝛽) berlaku untuk tiap sudut 𝛼 dan 𝛽 dalam ukuran radian maupun ukuran derajat dan dituliskan sebagai :


Tugas Peserta Didik 1

1. Tentukanlah nilai sin 750! Jawab: sin 75 ° =

2. Tentukanlah nilai cos 1050! Jawab:

3. Tentukanlah nilai tan 150!

Jawab:

4. Jika diketahui tan A = 8/6 dan sin B = 7/25, dimana A merupakan sudut lancip dan

B sudut tumpul. Tentukan nilai sin(A + B), sin(A – B), cos(A + B), cos(A – B), tan(A + B), tan(A – B)! Jawab:

5. SOAL HOTS

Gunakan konsep yang ditemukan untuk

menyelesaikan permaslaahan berikut :

Pada gambar disamping, seorang anak bermain

layang-layang dengan panjang benang yang

digunakan 50 meter dan membentuk sudut 150

dengan tanah. Berapakah tinggi layangan

tersebut?

150

UJI KEMAMPUAN DIRI

LKPD 2 RUMUS TRIGONOMETRI


KEGIATAN AWAL


PETUNJUK


(LKPD) -2

Waktu:

30 menit

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

𝒙𝒎𝒂𝒌𝒔 =𝒗𝟎

𝟐

𝒈𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶

Jarak Kemampuan pada lompatan tergantung dari besar kecepatan dan besar sudut pada saat melompat di papan tolakan. Jarak lompatan dapat dihitung menggunakan rumus jarak terjauh maksimum yaitu :

air)

Dapatkah kalian menghitung 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶

Apakah 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶 = 𝟐. 𝐬𝐢𝐧𝜶

Tujuan: Melalui model Discovery Learning dengan pendekatan STEAM, peserta didik (A) dapat menggunakan konsep ipa, menggunakan teknologi untuk menghitung perbandingan trigonometri, menyusun algoritma penemuan rumus dan menggunakan unsur seni untuk menentukan rumus sudut rangkap sinus, cosinus dan tangen serta mampu memecahkan permasalahan (HOTS) berkaitan dengan rumus sudut rangkap sinus, cosinus dan tangen dengan penuh tanggung jawab, selalu mengerjakan dengan kerja keras, muncul rasa ingin tahu, disiplin, rasa percaya diri yang tinggi





Nama Kelompok

Anggota: 1. ……………........................

2. ……………........................ 3. ……………........................ 4. ……………........................


Untuk dapat menjawab persoalan tersebut, mari kita ingat kembali materi

rumus jumlah dan selisih sudut

A. Identitas Sinus Penjumlahan/ Selisih Dua Sudut

B. Identitas Cosinus Penjumlahan/ Selisih Dua Sudut

C. Identitas Tangen Penjumlahan/ Selisih Dua Sudut

Mari Menemukan

𝐬𝐢𝐧 𝜶+ 𝜷 = 𝐬𝐢𝐧 𝜶− 𝜷 =

Rumus sin 𝛼 + 𝛽 dan 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝛽 berlaku untuk tiap sudut 𝛼 dan 𝛽 dalam ukuran radian maupun ukuran derajat dan dituliskan sebagai :

𝐜𝐨𝐬 𝜶+ 𝜷 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶− 𝜷 =

Rumus cos 𝛼 + 𝛽 dan 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝛽 berlaku untuk tiap sudut 𝛼 dan 𝛽 dalam ukuran radian maupun ukuran derajat dan dituliskan sebagai :

𝒕𝒂𝒏 𝜶 + 𝜷 = 𝒕𝒂𝒏 𝜶 − 𝜷 =

Rumus tan 𝛼 + 𝛽 dan 𝑡𝑎𝑛 𝛼 − 𝛽 berlaku untuk tiap sudut 𝛼 dan 𝛽 dalam ukuran radian maupun ukuran derajat dan dituliskan sebagai :


KEGIATAN INTI

Misalkan sudut α merupakan sudut tunggal, maka sudut 2α disebut dengan sudut rangkap. Trigonometri sudut rangkap yang akan dicari adalah sin 2α, cos 2α, dan tan 2α.

Kegiatan 1. Pada kegiatan mengingat telah diperoleh rumus sinus jumlah dua sudut. Tuiskanlah

kembali rumus sinus jumlah dua sudut tersebut. sin(α + β) = .........................................................................................................................

2. Akan dicari rumus sinus untuk sudut rangkap. sin 2α = sin(α + α) sin 2α = ................................................................ + ................................................. ........... sin 2α = ................................................................

Kegiatan 1. Pada kegiatan mengingat di atas, telah diperoleh rumus cosinus jumlah dua sudut.

Tuiskanlah kembali rumus cosinus jumlah dua sudut tersebut. cos(α + β) = .........................................................................................................................

2. Akan dicari rumus cosinus untuk sudut rangkap.

cos 2α = cos(α + α) cos 2α = ................................................................ + ............................................................ cos 2α = ................................................................ + ............................................................

3. Telah diketahui sebuah identitas trigonometri, yakni

sin2 α + cos2 α = 1 Jika identitas tersebut dibawa dalam bentuk cos, maka akan menghasilkan cos2 α = 1 - .......................... ... (1) Jika identitas tersebut dibawa dalam bentuk sin, maka akan menghasilkan sin2 α = 1 - .......................... ... (2)

KEGIATAN 1: Menentukan rumus jumlah sudut rangkap untuk sinus

KEGIATAN 2: Menentukan rumus jumlah sudut rangkap untuk cosinus


4. Persamaan (1) disubstitusikan ke rumus yang telah dihasilkan pada langkah kedua, akan diperoleh cos 2α = ................................................................ + ............................................................ cos 2α = ................................................................ + ............................................................

Persamaan (2) disubstitusikan ke rumusyang telah dihasilkan pada langkah kedua, akan diperoleh cos 2α = ................................................................ + ..................................................... ....... cos 2α = ................................................................ + ............................................................

Kegiatan 1. Pada permasalahan 1.3 di atas, telah diperoleh rumus tangen jumlah dua sudut.

Tuiskanlah kembali rumus tangen jumlah dua sudut tersebut. tan 𝐴 + 𝐵 =

……………

……………

2. Akan dicari rumus tangen untuk sudut rangkap.

tan 2α = tan(α + α) tan 2α =

……………

……………

tan 2α =

……………

……………

Berdasarkan kegiatan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

KEGIATAN 3: Menentukan rumus jumlah sudut rangkap untuk tangen

Setelah melalui langkah-langkah kegiatan diatas, diperoleh rumus trigonometri untuk sudut rangkap sebagai berikut:

sin 2α = .....................................................................................

cos 2α = .....................................................................................

tan 2α = .....................................................................................


Tugas Peserta Didik 2

1. Diketahui cosA = 4/3, dimana A merupakan sudut tumpul. Tentukanlah nilsi sin2A! Jawab:

2. Diketahui cosx = 4/5, dimana xmerupakan sudut lancip. Tentukanlah nilai cos2x! Jawab:

3. Diketahui sinA = 2/3, dimana 0 ≤ 𝐴 < 900. Tentukanlah nilai cos2A!

Jawab:

4. Diketahui tanx = 4/3 dan tany = ½, dimana x dan y merupakan sudut lancip.

Tentukanlah nilai tan2x dan tan2y! Jawab:

5. HOTS Jarak Kemampuan pada lompatan tergantung dari besar kecepatan dan besar sudut pada saat melompat di papan tolakan. Jarak lompatan dapat dihitung menggunakan rumus jarak terjauh maksimum yaitu :

xmaks =v0

2

gsin 2α

Jika diketahui v0 = 11m/detik, g = 10m/detik2, dan sin α = p, berapakah jarak terjauh maksimum lompatan?! Jawab:

UJI KEMAMPUAN DIRI



KEGIATAN AWAL


PETUNJUK


(LKPD) -3

Waktu:

30 menit

Rumus Trigonometri Perkalian Sin dan Cosinus

Sebuah Bis yang melaju di jalan raya membunyikan sirene

dengan gelombang bunyi sebesar 𝑦1 = 𝐴0 sin 2𝜋𝑓1𝑡. Tepat

disamping mobil tersebut, ada Bis lain yang membunyikan

sirene dengan gelombang bunyi 𝑦2 = 𝐴0 sin 2𝜋𝑓2𝑡. Bunyi

sirene yang didengar setiap orang di jalan raya tersebut

makin kuat karena terjadi interferensi gelombang.

Perhatikan bentuk 𝑦1. 𝑦2 adalah bentuk perkalian sin dengan

sin

Tujuan: Melalui model Discovery Learning dengan pendekatan STEAM, peserta didik (A) dapat menggunakan konsep ipa, menggunakan teknologi untuk menghitung perbandingan trigonometri, menyusun algoritma penemuan rumus dan menggunakan unsur seni untuk menentukan rumus perkalian sinus dan cosinus serta mampu memecahkan permasalahan (HOTS) berkaitan dengan rumus perkalian sinus dan cosinus dengan penuh tanggung jawab, selalu mengerjakan dengan kerja keras, muncul rasa ingin tahu, disiplin, rasa percaya diri yang tinggi





Nama Kelompok

Anggota: 1. ……………........................

2. ……………........................ 3. ……………........................ 4. ……………........................


Untuk dapat menjawab persoalan tersebut, mari kita ingat kembali materi rumus

jumlah dan selisih sudut

A. Identitas Sinus Penjumlahan/ Selisih Dua Sudut

B. Identitas Cosinus Penjumlahan/ Selisih Dua Sudut

Dapatkah kalian menghitung perkalian n

𝐬𝐢𝐧𝜶 . 𝐬𝐢𝐧 𝜷

Untuk sudut yang tidak istimewa?

𝐬𝐢𝐧 𝜶+ 𝜷 = 𝐬𝐢𝐧 𝜶− 𝜷 =

Rumus sin 𝛼 + 𝛽 dan 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝛽 berlaku untuk tiap sudut 𝛼 dan 𝛽 dalam ukuran radian maupun ukuran derajat dan dituliskan sebagai :

𝐜𝐨𝐬 𝜶+ 𝜷 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶− 𝜷 =

Rumus cos 𝛼 + 𝛽 dan 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝛽 berlaku untuk tiap sudut 𝛼 dan 𝛽 dalam ukuran radian maupun ukuran derajat dan dituliskan sebagai :


Mari Menemukan

KEGIATAN INTI

KEGIATAN 1. Tuliskanlah kembali rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut

sin (α + β) = .......................................... + ...........................................

sin (α – β) = ......................................... - ............................................

2. Dengan menjumlahkan kedua rumus pada langkah 1 tersebut, maka akan diperoleh

sin (α + β) = .......................................... + ........................................... sin (α – β) = ......................................... - ............................................

_________________________________________________________ + sin (α + β) + sin (α – β) = .............................................................

3. Sehingga diperoleh rumus perkalian sebagai berikut

2 sin α cos β = ............................................... + ................................................

sin α cos β = ...........................………………………........+ .........................……………………………........

2

4. Dengan mengurangkan kedua rumus pada langkah 1 tersebut, maka akan diperoleh

sin (α + β) = .......................................... + ........................................... sin (α – β) = ......................................... - ............................................

_________________________________________________________ - sin (α + β) – sin (α – β) = .............................................................


2 cos α sin β = ............................................... - ................................................

cos α sin β = ...........................………………………........− .........................……………………………........

2

KEGIATAN 1


KEGIATAN 1. Tulikanlah kembali rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut

cos (α + β) = .......................................... - ...........................................

cos (α – β) = ......................................... + ............................................

2. Dengan menjumlahkan kedua rumus pada langkah 1 tersebut, maka akan diperoleh

cos (α + β) = .......................................... - ........................................... cos (α – β) = ......................................... + ............................................

_________________________________________________________ + cos (α + β) + cos (α – β) = .............................................................


2 cos α cos β = ............................................... + ................................................

cos α cos β = ...........................………………………........+ .........................……………………………........

2

4. Dengan mengurangkan kedua rumus pada langkah 1 tersebut, maka akan diperoleh

cos (α + β) = .......................................... + ........................................... cos (α – β) = ......................................... - ............................................

_________________________________________________________ - cos (α + β) – cos (α – β) = .............................................................


-2 sin α sin β = ............................................... - ................................................

sin α sin β = ...........................………………………........− .........................……………………………........

−2

KEGIATAN 2:


Berdasarkan kegiatan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

Tugas Peserta Didik 1. Nyatakanlah dalam penjumlahan sinus dari

a. 4 sin 3α cos α b. 2 cos 960 sin 210 Jawab:

2. Nyatakanlah dalam penjumlahan sinus dari a. 4 cos 3α cos 2α b. 8 sin 500 sin 250 Jawab:

Setelah melalui langkah-langkah kegiatan diatas, diperoleh rumus trigonometri untuk sudut rangkap sebagai berikut:

2 sin α cos β == .....................................................................................

2 cos α sin β = .....................................................................................

2 cos α cos β = .....................................................................................

2 sin α sin β = .....................................................................................

UJI KEMAMPUAN DIRI


3. Tunjukkanlah bahwa

a. cos 450 cos 150 = ¼ (√3 + 1)

b. sin 450 sin 150 = ¼ (√3 – 1) Jawab: HOTS

4. Diketahui segitiga ABC dengan A, B, C adalah sudut-sudut segitiga. Jika A−B=30°

dan sin C =5

6, nilai sin A cos B = ⋯

new rumus trigonometri jumlah dan selisih sudut · 2020. 9. 23. · lkpd 3 rumus trigonometri yang...

Documents