SMA KELAS X SEMESTER GENAP

Disusun oleh:Siti Nur Baiti, S.Pd.

19860811 200902 2 006

SMA NEGERI 1 KARANGANOMKLATEN

2010BAB V

TRIGONOMETRI

A. PENGUKURAN SUDUT

1. Satuan Derajat

1 putaran = 360o (derajat) putaran = 90 o (derajat)

putaran = 180o (derajat) putaran = 1o (derajat)

1o = 60’ ( menit)1’ = 60” (detik)

2. Satuan Radian

= 1 radian

1 putaran penuh = radian = radian = 2 radian

putaran = radian

putaran = radian

putaran = radian

3. Hubungan Satuan Derajat dan Radian

1 putaran penuh = 360o = 2 rad

1o = putaran = rad

1 rad = (derajat)

B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU

1. Sinus, Kosinus dan Tangen pada Segitiga Siku-Siku

A

B

Or

r rDefinisi:1 rad adalah besar sudut yang dihasilkan oleh perputaran sebesar jari-jari lingkaran.

sinus = sin = ( sindemi )

kosinus = cos = ( kossami)

tangen = tan = ( tandesa )

LATIHAN B.11. Tentukanlah nilai ketiga perbandingan trigonometri (sinus, kosinus, dan

tangen) dari sudut pada tiap gambar berikut:

a) b)

c) d)

2. Tentukanlah nilai perbadingan trigonometri yang lain jika diketahui:

a. sin A = d. cosec D =

b. cos B = e. sec E =

A

B

C

a

b

c

a) tan = c) sekan = sec =

b) kosekan = cosec = d) kotangen = cot =

1

2

51

2

3

12

5

1715

c. tan C = f. cot F = 2

3. Jika adalah sudut lancip dan tan = p, tentukan perbandingan trigonometri yang lain (sinus, kosinus, kosekan, sekan dan kotangen)!

4. Seorang anak bermain layang-layang dengan panjang benang 76 m. Sudut elevasi layang-layang yang terbentuk adalah 60o. Jika tinggi anak tersebut adalah 1,5 m. Tentukan tinggi layang-layang terhadap tanah!

2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa

Coba lengkapilah tabel berikut!

0o 30o 37o 45o 53o 60o 90o

sin 0 0,6 0,8 1

cos … … … … … … …

tan … … … … … … …

cosec … … … … … … …

sec … … … … … … …

cot … … … … … … …

LATIHAN B.2Hitunglah:

a. tan 30o + cot 60o

b. sin . cos

c. sin2 + cos2

d. sin 30o cos 60o + cos 30o sin 60o

e.

C. PEMBAGIAN SUDUT DAN SUDUT BERELASI DALAM TRIGONOMETRI

1. Pembagian Sudut dalam Trigonometri

2. Sudut-Sudut Berelasi

Jika diberikan nilai adalah sudut lancip, maka

Kuadran I0o < < 90o

0o < <

Kuadran II90o < < 180o

< <

Kuadran III180o < < 270o

< <

Kuadran IV270o < < 360o

< < 2

x

y

Kuadran I Kuadran IIsin ( 90o - ) = cos sin ( 90o + ) = cos cos ( 90o - ) = sin cos ( 90o + ) = - sin tan ( 90o - ) = cot tan ( 90o + ) = - cot

X

Y(x,y)

x

y sin =

cos =

tan =

Jika kita memiliki sudut ( ), maka perbandingan trigonometri adalah:

LATIHAN C

1. Tentukanlah nilai dari:a. sin 120o

Kuadran II Kuadran IIIsin (180o - ) = sin sin (180o + ) = - sin cos (180o - ) = - cos cos (180o + ) = - cos tan (180o - ) = - tan tan (180o + ) = tan

Kuadran III Kuadran IVsin ( 270o - ) = - cos sin ( 270o + ) = - cos cos ( 270o - ) = - sin cos ( 270o + ) = sin tan ( 270o - ) = cot tan ( 270o + ) = - cot

Kuadran IVsin ( 360o - ) = - sin cos ( 360o - ) = cos tan ( 360o - ) = - tan

Lengkapilah perbandingan berikut berdasarkan gambar di samping!

sin (- ) = = …

cos (- )= = …

tan (- )= = …

X

Y(x,y)

x

y

-y

(x,-y)

sin ( + k . 360o ) = sin cos ( + k . 360o ) = cos tan ( + k . 360o ) = tan

b. tan 150o

c. cos (-1350)d. sec 300o

e. sin 240o – cos 330o

2. Tentukanlah perbandingan trigonometri yang lain jika diketahui:a. tan x = 2, dengan x adalah sudut tumpul

b. cos A = , dengan A adalah sudut di kuadran I

c. cot A = , dengan 90o < A < 270o

d. cosec C = , dengan

3. Jika sin y = dan tan y > 0, tentukan perbandingan trigonometri yang lain!

4. Jika cos x = dan 0o < x < , tentukan nilai sin (180o–x) + 3.cos (90o+x)!

5. Sederhanakanlah bentuk berikut:

+

6. Dalam segitiga ABC buktikan bahwa:a. sin (B+C) = sin A

b. sin (B+C) = cos A

D. KOORDINAT KUTUB

1. Koordinat kutub Jika sebuah titik diketahui P (x,y) maka:

r =

tan = , 0o

maka koordinat kutubnya adalah P (r, )

2. Koordinat kartesius Jika diketahui panjang r dan , maka:

Y

Xx

P(x,y)=P(r,)y

r

sin = x = r. sin

cos = y = r. cos

Jadi Koordinat kartesiusnya P (x,y)

LATIHAN D1. Nyatakan setiap koordinat cartesius berikut ini dalam koordinat kutub.

a. (4, 45o) c. (2, )

b. (3, 270o) d. (3,

2. Nyatakan setiap koordinat kutub berikut ini dalam koordinat kartesius.a. (1, ) c. (-5, -6)

b. (4 , 4) d. (15, -12)

E. IDENTITAS TRIGONOMETRI

LATIHAN EBuktikan identitas berikut:

a. tan x. cos x = sin xb. tan y + cot y = sec y . cosec y

c. =

d. =

e. sin p ( 1+ cot2 x) = cosec xF. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

Tugas Kelompok!

Teorema E:Untuk setiap sudut tertentu berlaku:

1. tan =

2.

3.

4. 1 + =

Buatlah grafik trigonometri dengan y = sin , y = cos , dan y = tan dalam satu

grafik dimana 0o ! Dalam kertas karton berukuran 30 x 50 cm!

G. PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA1. Penyelesaian Persamaan Trigonometri sin x = sin , cos x = cos , tan x = tan

2. Penyelesaian Persamaan Trigonometri sin x = a , cos x = a , tan x = a

Cara: Ubahlah a ke dalam bentuk sin, cos, tan. Kemudian diselesaikan dengan Teorema G.1

LATIHAN G

1. Tentukan akar persamaan dan penyelesaian umum dari setiap persamaan berikut:a. sin xo = sin 50o, 0 x 360b. cos xo = cos 75o, 0 x 360c. sin 2xo = - sin 100o, 0 x 360

d. cos 2xo = cos , 0 x 180

e. tan x = - tan , 0 x

2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:a. sin ( x – 30)o = sin 15o, 0 x 360b. cos (3x – 60)o = cos (-300)o, 0 x c. cos 2xo = sin 2xo, 0 x 180

3. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut:

a. sin xo =

b. tan ( x – 40)o = , 0 x

c. sec = , 0 x

H. ATURAN SINUS UNTUK SEGITIGA

Teorema G.1Sudut dalam derajat:1. sin x = sin maka x = + k.360o atau x = (180o - ) + k. 360o 2. cos x = cos maka x = + k . 360o 3. tan x = tan maka x = + k . 180o

A B

C

ab

c

R R

RO

LATIHAN H1. Tentukanlah panjang sisi-sisi segitiga ABC jika diketahui

a. A = 110o, C = 20o, b = 6 !b. a = 12, b = 5, B = 24o

c. a + b + c = 100, A = 42o, B = 106o

2. Diketahui sudut-sudut ABC adalah . Jika

, buktikan bahwa = 90o !

I. ATURAN KOSINUS UNTUK SEGITIGA

LATIHAN I1. Diketahui ABC, dengan A = 120o, a = 14 cm, dan c = 10 cm. Hitunglah

unsur-unsur yang lain!2. Carilah sudut terbesar dan sudut terkecil dari ABC , jika diketahui a = 20 cm, b

= 25 cm, dan c = 30 cm !3. Sisi –sisi segitiga ABC berbanding sebagai 6 : 5 : 4. Tentukan kosinus sudut yang

terbesar dari segitiga tersebut!

J. LUAS SEGITIGA

Teorema H

Pada setiap ABC berlaku = 2

RDengan a = BC; b = AC; c = AB, dan R := jari-jari lingkaran

Teorema IPada setiap ABC berlaku

1.

2.

3. A B

C

ab

c

1. Luas segitiga dengan besar sudut dan dua sisi yang mengapit sudut itu diketahui

Teorema J.1:

1. L = bc sin A

2. L = ac sin B

3. L = ab sin C

2. Luas Segitiga dengan Besar Dua Sudut dan Satu Sisi yang Terletak di antara Kedua Sudut Diketahui

Teorema J.2Pada setiap ABC berlaku:

1. L = 3. L =

2. L =

3. Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui

Rumus HeronPada setiap ABC berlaku:

L =

Dengan L = Luas ABC , BC = a, AC = b, dan AB = c

S = adalah setengah keliling ABC.

DAFTAR PUSTAKA

A B

C

ab

c

A B

C

ab

c

Sartono Wirodikromo. 2000. MATEMATIKA 2000 SMU Kelas 1 Caturwulan 1. Jakarta:Erlangga.

Kartini,Suprapto, Endang S, Untung S, Subandi, Nur Akhsin. 2004. Matematika SMA Kelas X. Klaten : Intan Pariwara.

Husein Tamponas. 2007. Seribu Pena Matematika jilid 1 untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta: Erlangga.

Johanes, Kastolan, Sulasim. 2005. Kompetensi Matematika Kelas 1 SMA Semester Kedua. Jakarta : Yudhistira.

Krismanto. 2008. Pembelajaran Trigonometri SMA. Yogyakarta: Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika.