Limit Trigonometri Dan Mendekati Tak Hingga

STANDAR KOMPETENSI : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.KOMPETENSI DASAR : 6.1 Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi trigonometri dan takhingga.

6.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk trigonometri dan tak hingga TUJUAN PEMBELAJARAN :

1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut

2. Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan.

3. Menghitung limit fungsi trigonometri dan tak hingga di satu titik.

4. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit.

5. Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.

6. Menghitung limit trigonometri dan tak hingga dengan menggunakan sifat-sifat limit.

KEGIATAN BELAJAR :

I. Judul sub kegiatan belajar :

1. Pengertian Limit Fungsi

2. Sifat-sifat limit fungsi

3. Limit Fungsi Trigonometri

4. Limit tak hingga

PETA KONSEP

A. Teorema Dasar Limit

B. Limit Fungsi Trigonometri

Untuk meneyelesaikan limit fungsi trigonometri ada beberapa metode yaitu:

1. Dengan subtitusi langsung

Untuk metode subtitusi langsung hanya dapat digunakan jika nilai limit setelah disubtitusikan tidak memiliki nilai tak tentu ( ). Untuk metode subtitusi langsung kita hanya perlu mengganti nilai sudut x yang tersedia.

2. Dengan metode penyederhanaanKetika kita menggunakan metode substitusi langsung nilai sudut x kedalam limit fungsi dan didapat bentuk tak tentu, maka kita harus menyederhanakan limit fungsi tersebut agar menjadi berntuk yang tentu saat kita mensubstitusikan nilai sudut x kedalam limit fungsi.

Masalah :

Bagaimana cara menyelesaikan suatu limit fungsi dengan menggunakan metode penyederhanaan?

Solusi :

Untuk menyelesaikan limit fungsi kita memerlukan rumus rumus trigonometri yang telah kita pelajari di kelas X.

Beberapa rumus tersebut antara lain:

1. 2. 3. 4. Dan rumus sudut ganda

3. Dengan menggunakan rumus rumus limit trigonometri Kita bias menyelesaikan limit fungsi trigonometri dengan menggunakan rumus rumus limit trigonometri. Rumus rumus tersebut antara lain :

Untuk membuktikan rumus - rumus tersebut, kita bias menggunakan cara memasukkan x sampai mendekati nol, yaitu sebagai berikut :

x

0.10.998334166

0.010.999983333

0.0010.999999833

0.00010.999999998

0

-0.00010.999999998

-0.0010.999999833

-0.010.999983333

-0.10.998334166

f(x) merupakan nilai fungsi limit trigonometri baik ataupun .

Secara intuitif meskipun tidak cukup kuat untuk diakui, dapatlah disimpulkan bahwa : untuk x dekat dengan 0 baik dari kiri maupun kanan maka fungsi akan dekat dengan 1.

Soal Dan Pembahasan

Soal No. 1Tentukan hasil dari soal limit berikut

PembahasanCara pertama dengan rumus yang ada diatas, sehingga langsung didapatkan

atau dengan cara kedua yang lebih panjang, memakai turunan, 3x turunkan jadi 3 dan sin 4x turunkan jadi 4 cos 4x, kemudian ganti x dengan nol

Soal No. 2Tentukan hasil dari soal limit berikut

PembahasanSeperti nomor 1

Soal No. 3Tentukan hasil dari soal limit berikut

PembahasanSeperti nomor 1 juga

Soal No. 4Tentukan nilai dari:

PembahasanPerhatikan rumus limit berikut:

Diperoleh

Soal No. 5Tentukan hasil dari soal limit berikut

PembahasanIdentitas trigonometri berikut diperlukan

Setelah diubah bentuknya gunakan rumus dasar di atas

Soal No. 6Tentukan hasil dari soal limit berikut

PembahasanUbah dulu 1 cos 4x menjadi 2 sin22x.

Soal No. 7Tentukan hasil dari soal limit berikut

PembahasanUbah dulu 1 cos 6x menjadi 2 sin23x.

Soal No. 8Tentukan hasil dari soal limit berikut

A. 1/2B. 1/3C. 1/6D. 1/12E. 1/18(umptn 2001)

PembahasanTinggal di susun ulang, didapat hasil

Soal No. 9Nilai

A. 4B. 2C. 1D. 2E. 4(un 2012 A13 dan D49)

PembahasanJika 1 cos 4x menjadi 2 sin22x, tentunya cos 4x 1 menjadi 2 sin22x, sehingga

Soal No. 10Nilai

A. 2B. 1C. 0D. 1E. 2(un 2012 B76)

PembahasanUbah 1 cos 2x menjadi 2 sin2x

Soal No. 11Nilai dari:

A. 2B. C. 0D.1/E.1/2

PembahasanMisakan:x 2 = y

Soal No. 12Nilai dari:

A. 0B.1/2C. 2D.1/22E. 1

PembahasanSubstitusi langsung akan menghasilkan bentuk 0/0, dengan strategi pemfaktoran,Ingat bentuk:

a2 b2= (a b)(a + b)

dimana a = sin 2x dan b = cos 2x, setelah difaktorkan coret yang sama, kemudian substitusikan nilai x yang diminta:

Soal No. 13Tentukan nilai dari

PembahasanSubstitusi langsung menghasilkan bentuk 0/0.Ubah cos 2x menjadi bentuk lain yaitu cos2x sin2x kemudian faktorkan dengan mengingat bentuk

a2 b2= (a b)(a + b)

Setelah itu coret dengan bagian bawah, hingga diperoleh angka 1.

Rumus untuk cos 2x (dalam soal ini dipakai rumus yang pertama)

Sehingga:

Soal No. 14Nilai dari

A. 6B. 5C. 4D. 2E. 0(UN Matematika 2014 IPA)

PembahasanFaktorkan x2 1 dengan mengingat bentuka2 b2= (a b)(a + b).Kemudian uraikan sin2(x 1) menjadi sin (x 1) sin (x 1) dan tan (2x 2) menjadi tan 2(x 1). Coret seperlunya.

C. LIMIT TAK HINGGA

Limit Fungsi Bentuk ~/ ~Jika diketahui limit tak hingga (~)

Sebagai berikut: Lim axn + bxn-1 + cxn-2 + + d = R

x~ pxm + qxm-1 + rxm-2 + + sMaka:

1. R= 0 jika nm

Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)

a. Lim ax +b - px +q = R

x~ Maka: 1. R= ~ jika a>p

2. R= 0 jika a=p

3. R= -~ jika ap

2. R = b-q jika a=p

2a

3. R= -~ jika a 0, (( > 0 ( f(x) > P bila 0 < |x c| < (

2. Limit fungsi f (x) untuk x menuju c adalah -( ditulis dan didefinisikan oleh :

( ( N < 0, (( > 0 ( f(x) < P bila 0 < |x c| < (

1. Nilai dari Lim 4x2 + 3x - 6 adalah . x~ 2x2 8x -1

Pembahasan

Perhatikan bahwa pangkat diatas sama dengan pangkat bawah sehingga p = q (p dibagi q)

Lim 4x2 + 3x - 6 = 4 = 2

x~ 2x2 8x -1 2

2. Nilai dari Lim 4x2 2x + 6 - 4x2 + 2x -1 adalah.

x~Pembahasan:

R = b q = -2 2 = -4 = -4 = -1

2a 24 2.2 4 3. Nilai dari Lim (8x 2)2 adalah. x~ (4x + 1)2

Pembahasan: Lim (8x 2)2 .= Lim 64x2 32x + 4

x~ (4x + 1)2 x~ 16x2 + 8x + 1 = 64 = 4

16

4. Nilai dari Lim 6x3 - 4x2 + 2x 1 adalah.

x~ 3x4 2x3 + 5x + 2

Pembahasan:

Perhatikan Pangkat tertinggi diatas 3 Pangkat tertinggi dibawah 4

Jadi n < m sehingga nilai R = 0

5. Nilai dari Lim 2x2 + 4x 10 adalah.

x~ 4x2 + 7

Pembahasan:

Pangkat diatas = Pangkat dibawah

Maka 2/4=1/2

Tentukan nilai-nilai limit fungsi berikut ini :

1).

2).

3).

4).

Jawab :

1). =;

2). =

3). =

4).=

II. Latihan

Jawablah pertanyaan di bawah dengan benar

1. Nilai dari Lim x4 3x2 + 4x adalah.

x~ 2x3 x2 - 2x

2. Nilai dari Lim x2 4 adalah.

x~ x2 + x - 6

3. Nilai dari Lim 4x2 + 3x - 6 adalah . x~ 2x2 8x -1

4. Nilai dari Lim 4x2 2x + 6 - 4x2 + 2x -1 adalah.

x~

5. Nilai dari Lim (8x 2)2 adalah. x~ (4x + 1)2

6. Nilai dari Lim x2 x adalah.

x~ x2 + 2x

7. Nilai dari Lim 6x3 - 4x2 + 2x 1 adalah.

x~ 3x4 2x3 + 5x + 2

8. Nilai dari Lim 2x2 + 5x 12 adalah.

x~ 3x2 13x - 4

9. Nilai dari Lim 2x2 + 4x 10 adalah.

x~ 4x2 + 7

10. lim 1 cos x =

x0 x tan x

11. lim 4/3 x cot x adalah

x0

12. lim sin (a + x) sin (a x ) adalah

x0 x

Daftar PustakaMathematicstudycenter.blogspot.com

Latar belakang penyusunan:

Lembar kerja siswa ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

Tentukan nilai limit fungsi berikut:

Penyelesaian:

Penyelesaian:

Penyelesaian:

Contoh soal

Latihan soal

Tentukan nilai limit fungsi berikut dengan metode penyederhanaan:

QUOTE

Contoh soal

Coba kita perhatikan fungsi EMBED Equation.DSMT4 . Fungsi tersebut tidak terdefinisi untuk x = 0. Lantas, bagaimanakah nilai fungsi untuk x dekat dengan 0?. Kalkulator akan menolong kita mempeoleh bayangan fungsi untuk beberapa x mendekati 0 yang dituliskan pada tabel di samping. Gunakanlah kalkulator kalian untuk mengecek nilai-nilai dalam table tersebut.

Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :

a. b.

Jawab :

a. ==

b. jika QUOTE maka x = 0, dan jika x - = y maka x = 0 + y dan y QUOTE 0 sehingga :

Contoh soal

Contoh :

17LKS LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI DAN MENDEKATI TAK HINGGA