1. Menentukan Nilai limit Fungsi Trigonometri dengan Metode Penyederhanaan

Dalam menentukan nilai limit fungsi trigonometri yang mengandung kosinus, sinus dan tangen

jika tes limit menunjukkan 0

0, kita diharuskan menggunakan rumus-rumus trigonometri agar

memunculkan sinus dan tangent. Lalu menggunakan aturan limit yang hanya mengandung sinus

dan tangen.

Contoh :

a. Hitunglah nilai dari lim𝑥→0

1−cos 2𝑥

1−cos 4𝑥

Tes limit

𝑥 = 0 →1−cos 0

1−cos 0=

1−1

1−1=

0

0 (Tes limit gagal)

lim𝑥→0

1−cos 2𝑥

1−cos 4𝑥= lim

𝑥→0

1−(1−2𝑠𝑖𝑛2𝑥)

1−(1−2𝑠𝑖𝑛22𝑥)

= lim𝑥→0

2𝑠𝑖𝑛2𝑥

2𝑠𝑖𝑛2 2𝑥

= lim𝑥→0

(sin 𝑥

sin 2𝑥)

2

= lim𝑥→0

(sin 𝑥

𝑥sin 2𝑥

2𝑥

∙1

2)

2

= (1.1

1.2)

2

=1

4

b. Hitunglah nilai limit dari lim𝑥→𝑦

sin 𝑥−sin 𝑦

𝑥−𝑦

lim𝑥→𝑦

sin 𝑥−sin 𝑦

𝑥−𝑦= lim

𝑥→𝑦[

2 cos(𝑥+𝑦

2) sin(

𝑥−𝑦

2)

𝑥−𝑦]

= lim𝑥→𝑦

[cos (𝑥+𝑦

2) ∙

sin(𝑥−𝑦

2)

1

2(𝑥−𝑦)

]

= [lim𝑥→𝑦

cos (𝑥+𝑦

2)] ∙ [lim

𝑥→𝑦

sin(𝑥−𝑦

2)

1

2(𝑥−𝑦)

]

= cos (𝑦+𝑦

2) . 1 = cos 𝑦

Ingat

𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

= 𝟏 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

= 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝟏

Aplikasi Limit Fungsi Trigonometri

Dalam kehidupan sehari-hari terdapat beberapa masalah yang berkaitan dengan

limit fungsi trigonometri yaitu jarak, kecepatan dan percepatan.

Contoh:

Perpindahan sebuah partikel pada saat t detik diberikan oleh persamaan

𝑠 = 10 sin 2𝑡 dengan s adalah jarak yang dinyatakan dalam meter. Tentukan

kecepatan partikel pada saat 𝑡 =𝜋

6 detik.

Penyelesaian :

Diketahui : 𝑠(𝑡) = 10 sin 2𝑡

Ditanya : 𝑣(𝑡) pada saat 𝑡 =𝜋

6?

Jawab :

Kecepatan pada saat t :

𝑣(𝑡) = lim∆𝑡→0

∆𝑠

∆𝑡= lim

∆𝑡→0

𝑠(𝑡+∆𝑡)−𝑠(𝑡)

∆𝑡

sehingga

𝑠(𝑡) = 10 sin 2𝑡

𝑠(𝑡 + ∆𝑡) = 10 sin 2(𝑡 + ∆𝑡) = 10 sin((2𝑡 + 2∆𝑡)

𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡) = 10 sin(2𝑡 + 2∆𝑡) − 10 sin 2𝑡

= 10ሾsin(2𝑡 + 2∆𝑡) − sin 2𝑡ሿ ………….. persamaan 1

Ubah persamaan 1 menjadi bentuk

sin 𝐴 − sin 𝐵 = 2 cos (𝐴+𝐵

2) sin (

𝐴−𝐵

2), diperoleh

𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡) = 10ሾsin(2𝑡 + 2∆𝑡) − sin 2𝑡ሿ

= 10 ቂ2 cos (2𝑡+2∆𝑡+2𝑡

2) sin (

2𝑡+2∆𝑡−2𝑡

2)ቃ

= 20 cos(2𝑡 + ∆𝑡)𝑠𝑖𝑛∆𝑡

𝑣(𝑡) = lim∆𝑡→0

∆𝑠

∆𝑡= lim

∆𝑡→0

𝑠(𝑡+∆𝑡)−𝑠(𝑡)

∆𝑡

= lim∆𝑡→0

20 cos(2𝑡+∆𝑡)𝑠𝑖𝑛∆𝑡

∆𝑡

= 20 lim∆𝑡→0

cos(2𝑡 + ∆𝑡) ∙ lim∆𝑡→0

𝑠𝑖𝑛∆𝑡

∆𝑡

= 20 cos(2𝑡 + 0) ∙ 1 = 20 cos 2𝑡

Jarak

𝑠(𝑡)

Kecepatan

𝑣(𝑡) = lim∆𝑡→0

∆𝑠

∆𝑡

= lim∆𝑡→0

𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡)

∆𝑡

Percepatan

𝑎(𝑡) = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡

= lim∆𝑡→0

𝑣(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑣(𝑡)

∆𝑡

1. Hitunglah nilai limit trigonometri berikut :

2. Diketahui lim𝑥→0

𝑎𝑥 sin 𝑥+𝑏

cos 𝑥−1= 1, tentukan :

a. Nilai a dan b

b. Nilai dari(𝑎 + 𝑏)3

3. Seorang pengendara motor mengendarai motornya dari arah Bandung

menuju Sumedang. Persamaan gerak pengendara motor itu dinyatakan

oleh 𝑠 = 30 sin 2𝑡 dengan 𝑠(𝑡) adalah jarak dalam meter dan t adalah

waktu dalam menit. Tentukan kecepatan pengendara motor tersebut pada

saat 30 menit?

4. Sebuah partikel menempel pada pinggir sebuah roda. Jika roda tersebut

berputar, maka posisi partikel tersebut diberikan oleh fungsi𝑠(𝑡) =

Untuk 𝑡 =𝜋

6 detik, maka

𝑣(𝑡) = 20 cos 2𝑡

𝑣 (𝜋

6) = 20 cos 2 ∙

𝜋

6

= 20 cos𝜋

3

= 20 ൬1

2൰ = 10 𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘

Jadi, kecepatan partikel pada saat 𝑡 =𝜋

6 detik adalah 10 𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘

AsahOtak

a. lim𝑥→0

sin 2𝑥

sin 6𝑥

b. lim𝑥→𝜋

sin 𝑥 − cos 𝑥

c. lim𝑛→

𝜋

2

sin(𝑛−𝜋

2)

(𝑛−𝜋

2)𝑐𝑜𝑠 (3𝑛)

d. lim 𝑥→0

(𝑥2−1) tan 6𝑥

2𝑥+3𝑥2+𝑥3

e. lim𝜃→0

𝜃∙sin 𝜃

1−cos 𝜃

f. 𝑙𝑖𝑚𝑥→

𝜋

2

𝑠𝑖𝑛 2𝑥

𝑥−𝜋

2

g. 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑡𝑎𝑛 𝑥−𝑠𝑖𝑛 𝑥

𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥

h. 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

1−2 𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑐𝑜𝑠 2𝑥

𝑥2

3 sin 2𝑡 + 1dengan𝑠(𝑡) adalah jarak dalam meter dan t adalah waktu

dalam detik. Tentukan kecepatan partikel pada saat :

a. 𝑡 =1

2𝜋 detik

b. 𝑡 = 𝜋 detik