i

LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK DAN DI TAKHINGGA

KELAS XI SEMESTER 2

Penulis : Suharyanti, S.Pd

SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA) 2 WONOSARI Jl. Ki Ageng Giring 3 Wonosari, Gunungkidul

2011

MODUL MATEMATIKA

ii

Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia

dan hidayah-Nya, kami dapat menyusun bahan ajar modul Limit Fungsi untuk

kelas XI IPA Semester 2.

Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pakar akademik sebagai

bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul. Diharapkan para pemakai

berpegang pada azas keterlaksanaan, kesesuaian dan fleksibilitas, dengan

mengacu pada perkembangan IPTEK dalam rangka membekali kompetensi yang

terstandar pada peserta didik.

Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua,

khususnya peserta SMA untuk mata-pelajaran Matematika, atau praktisi yang

sedang mengembangkan modul pembelajaran untuk SMA.

Wonosari , Desember 2011

Penyusun .

iii

DAFTAR ISI Halaman Judul .................................................................................... i

Kata Pengantar................................................................................... ii

Daftar Isi ............................................................................................. iii

Bab I PENDAHULUAN

A. Petunjuk Penggunaan Modul ........................................................ 1

B. Standar Kompetensi ………………………………………………. 2

C. Kompetensi Dasar ………………………………………………….. 2

D. Tujuan Pembelajaran Yang Akan Dicapai ..................................... 2

E. Glosarium ..................................................................................... 2

BAB II KEGIATAN BELAJAR

A. KEGIATAN BELAJAR I …………………………………………….. 3

1. Pengertian Limit Fungsi …………………………............................ 3

2. Latihan soal 1 ………………………………………………. 6

3. Kunci jawaban latihan soal 1 …………………………….. 7

B. KEGIATAN BELAJAR II ………………………………………… 8

1. Limit Fungsi Aljabar…………………………………............. 8

2. Latihan soal 2 ………………………………………………. 12

3. Kunci jawaban latihan soal 2 …………………………….. 13

BAB III EVALUASI AKHIR

A. Lembar tes tertulis ……………………………………….. 14

B. Lembar kunci jawaban tes tertulis ……………………… 17

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………. 18

1

BAB I

PENDAHULUAN

Dalam modul ini akan diuraikan tentang limit fungsi di suatu titik dan

ditakhingga. Pada modul ini akan dibahas mengenai pengertian limit fungsi, limit

fungsi aljabar, dan cara menghitung limit fungsi aljabar.

A. Petunjuk penggunaan modul

Selamat Anda akan memasuki materi ajar berikutnya setelah anda

mempelajari modul sebelumnya. Anda akan mempelajari modul matematika

berikutnya di kelas XI IPA ini tentang limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga.

Modul ini berkaitan dengan sukubanyak. Jika Anda sudah lupa tentang isi modul

tersebut, silahkan dibaca kembali.

Selanjutnya, untuk dapat memahami materi dalam modul ini, silahkan Anda

ikuti petunjuk berikut ini :

- Bacalah setiap penjelasan pada tiap-tiap kegiatan dengan baik

- Kerjakan latihan dan kegiatan serta tes dalam modul ini sendiri atau

berkelompok.

- Cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang ada di akhir modul

ini

- Jika Anda mengalami kesulitan memahami materi yang ada dalam modul

ini, silahkan diskusikan dengan teman atau guru pembimbing

- Jangan memaksakan diri sebelum betul-betul menguasai bagian demi

bagian dalam modul ini, karena masing-masing saling berkaitan

- Jika anda belum menguasai 75 % dari setiap kegiatan, maka ulangi

kembali langkah-langkah di atas dengan seksama

- Bacalan buku-buku Matematika selain modul ini untuk memperbanyak

latihan soal dan mempermudah pemahaman anda.

Selamat belajar, semoga sukses.

2

B. Standar Kompetensi

Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan

masalah.

C. Kompetensi Dasar:

Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga

D. Tujuan Pembelajaran yang akan dicapai

Setelah membaca modul belajar ini, diharapkan Anda mampu;

1. Menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik.

2. Menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik.

3. Menghitung limit fungsi aljabar di titik tak hingga

E. Glosarium

Istilah Keterangan

Limit Ambang batas, hampir, mendekati

Limit fungsi Memuat pengertian tentang nilai fungsi yang diperoleh

melalui pendekatan terhadap suatu batas.

Limit fungsi tak

hingga

Nilai fungsi ysng diperoleh melalui pendekatan terhadap

suatu batas bilangan taktentu.

Limit fungsi

berhingga

Nilai fungsi ysng diperoleh melalui pendekatan terhadap

suatu batas bilangan tertentu.

Bentuk tak tentu Berupa bentuk pecahan atau tidak pecahan yang nilai-

nilainya tidak diketahui.

3

BAB II

KEGIATAN BELAJAR

1. Pengertian Limit Fungsi

Limit fungsi adalah dasar untuk mempelajari kalkulus, yaitu ilmu kalkulus

yang dikenalkan oleh Isaac Newton dan G. W. Leibniz. Sedangkan

konsep Limit fungsi dikenalkan oleh Agustin Louis Cauchy satu abad

setelah Kalkulus.

Konsep limit fungsi memuat pengertiantentang nilai fungsi yang

diperoleh melalui pendekatan terhadap suatu batas. Sebagai contoh

perhatikan fungsi f sebagai berikut.

1

1)(

2

−−=

x

xxf

Kalau kita perhatikan daerah asal f adalah semua bilangan real x kecuali

x = 1, karena f(1) adalah tidak ada. Selanjutnya akan kita selidiki untuk

nilai-nilai x di sekitar 1 tetapi tidak sama dengan 1.

Tabel berikut menyatakan hubungan x dengan f(x) untuk x → 1

Tabel 1 untuk x → 1 dari kiri :

x 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999

1

1)(

2

−−=

x

xxf 1 1,25 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999

Tabel 2 untuk x → 1 dari kanan :

x 2 1,75 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001

1

1)(

2

−−=

x

xxf 3 2,75 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001

A. KEGIATAN BELAJAR 1

4

Perhatikan kedua tabel di atas, kita ketahui bahwa jika x semakin

mendekati ke nilai 1, baik dari arah kiri maupun dari arah kanan, maka

nilai f(x) bergerak semakin mendekati 2. Hal seperti di atas dapat

dikatakan bahwa kita dapat membuat nilai f(x) mendekati 2 untuk x

cukup dekat dengan 1, walaupun nilai f(1) tidak ada.

Dalam matematika dapat dituliskan sebagai berikut :

21

1lim

2

1=

−−

→ x

xx

Perlu diperhatikan bahwa 2 ≠ f(1), karena f tidak terdefinisi di x = 1.

Secara ituitif pengertian limit dapat didefinisikan sebagai berikut:

pernyataan Lxfax

=→

)(lim menunjukkan bahwa jika x mendekati a

tetapi x ≠ a maka nilai f(x) mendekati L.

Notasi Lxfax

=→

)(lim , dibaca “ limit f(x) sama dengan L untuk x

mendekati a”.

a. Limit kiri dan Limit kanan

Perhatikan fungsi tangga f yang didefinisikan dengan :

<≤<≤<≤<≤

=

4325

3220

2115

1010

)(

xuntuk

xuntuk

xuntuk

xuntuk

xf

Grafik fungsi f pada interval 0 ≤ x < 4 dapat dilihat pada gambar

berikut.

5

Dari diagram di atas dapat kita tentukan untuk x → 2,

Untuk x → 2 dari kiri, yang dilambangkan x → 2- diperoleh :

x 1,5 1,8 1,9 1,99 1,995

f(x) 15 15 15 15 15

Untuk x → 2 dari kanan, yang dilambangkan x → 2+ diperoleh :

X 2 … 2,001 2,01 2,1 2,2 2,3

f(x) 20 … 20 20 20 20 20

Dari dua tabel di atas kita peroleh :

15)(lim2

=−→

xfx

disebut limit kiri (ditulis −L ) , sedangkan

20)(lim

2=

+→xf

x disebut limit kanan (ditulis L+).

Jadi, kalau kita perhatikan fungsi f di atas limit kiri dan limit kanan

Untuk x mendekati 2 nilainya tidak sama, )(lim)(lim22

xfxfxx +− →→

≠

Maka dikatakan )(lim2

xfx →

tidak ada.

Definisi :

Suatu fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x →a , jika

Lxfxfaxax

==+− →→

)(lim)(lim

Contoh 1 :

Diketahui

>−≤+

=1,

1,3)(

xuntukx

xuntukxxf , hitunglah (jika ada) nilai dari :

a. )(lim1

xfx −→

b. )(lim1

xfx +→

c. )(lim1

xfx →

6

Penyelesaian :

a. Jika kita ambil x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 4,

maka )(lim1

xfx −→

= )3(lim1

+−→

xx

= 4

b. Jika kita ambil x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2,

maka )(lim1

xfx +→

= )3(lim1

+−+→

xx

= 2

c. Dari jawaban a dan b maka )(lim)(lim11

xfxfxx +− →→

≠ , jadi dapat kita

simpulkan bahwa )(lim1

xfx →

tidak ada.

Contoh 2 :

Diketahui

=≠−

=2,5

2,12)(

xuntuk

xuntukxxf , tentukan )(lim

2xf

x →

Penyelesaian :

Dengan substitusi, kita peroleh f(2) = 3

2. Soal Latihan 1

a. Jelaskan apakah yang dimaksud dengan 3)(lim1

=−→

xfx

dan

4)(lim1

−=+→

xfx

mungkinkah )(lim1

xfx →

ada? Jelaskan.

b. Selidiki nilai limit fungsi f(x) = 2x + 1 untuk x mendekati 0

c. Selidiki nilai limit fungsi f(x) = 12

32 −−

+xx

xuntuk x mendekati 4

d. Selidiki nilai limit fungsi f(x) = 32

32 −−

−xx

xuntuk x mendekati 3

e. Tentukan nilai p sehingga limit yang diberikan ada.

)(lim1

xfx −→

dengan

−>+−≤−

=1,

1,3)(

2 xuntukpx

xuntukpxxf

7

3. Kunci jawaban soal latihan 1

a. –

b. 1

c. ∞=0

7

d. tentutidak=0

0

e. p ≠ - 3

8

1. Limit Fungsi Aljabar

Cara menghitung limit suatu fungsi bergantung pada jenis fungsi

yang akan dicari limitnya.

sebagai berikut :

a. Limit Fungsi f(x) untuk x → a

Langkah-langkah menentukan nilai )(lim xfax →

, untuk a ∈ R adalah

1) Tentukan nilai limit dengan cara mensubstitusikan nilai x = a

pada fngsi f(x). Maka kita peroleh )(lim xfax →

= f(a).

Jika 0

0)( ≠af , maka nilai limit sudah diperoleh.

Jika 0

0)( =af (bentuk tak tentu), maka lakukan dengan cara

langkah kedua.

2) Tentukan nilai limit dengan cara pemfaktoran atau mengalikan

dengan akar sekawan.

Contoh 1 :

Tentukan nilai )53(lim3

−→

xx

Penyelesaian :

Dengan cara substitusi, kita dapatkan )53(lim3

−→

xx

= 3.3 – 5 = 4

Jadi, nilai )53(lim3

−→

xx

= 4.

Contoh 2 :

Tentukan nilai dari 4

2lim

22 −−

→ x

xx

Penyelesaian :

B. KEGIATAN BELAJAR 2

9

Dengan substitusi kita peroleh nilai 0

0, jadi diperoleh bentuk tak

tentu, maka kita lakukan dengan memfaktorkan, yaitu

4

1

2

1lim

)2)(2(

2lim

4

2lim

2222=

+=

+−−=

−−

→→→ xxx

x

x

xxxx

Jadi nilai dari 4

1

4

2lim

22=

−−

→ x

xx

Contoh 3 :

Tentukan nilai dari x

xxx

2lim

0

−→

Penyelesaian :

Dengan substitusi maka kita peroleh bentuk tak tentu yaitu 0

0

Dengan demikian maka kita gunakan cara dengan mengalikan

akar sekawan.

x

xxx

2lim

0

−→

= x

xxx

2lim

0

−→

. x

x

= x

xxxx

2lim

0

−→

= )2(lim0

−→

xx

= 0 – 2 = 2

b. Limit Fungsi f(x) untuk x → ∞

1) Bentuk )(

)(lim

xg

xfx ∞→

Contoh 1:

Tentukan nilai x

xx 2

26lim

+∞→

Penyelesaian :

10

Dengan substitusi kita peroleh ∞∞

yang nilainya tidak diketahui, dan

disebut bentuk tak tentu. Tetapi masalah ini dapat kita selesaikan

dengan lang

Kah berikut :

Bagilah pembilang dan penyebut dengan x, yaitu ambil pangkat

tertinggi, maka kita peroleh

xx

xx

xx x

x2

26

lim2

26lim

+

∞→∞→=+

= 2

6lim

2x

x

+∞→

= 32

06 =+

Jadi, nilai x

xx 2

26lim

+∞→

= 3

Contoh 2 :

Tentukan nilai 3

12lim

2 +−

∞→ x

xx

Penyelesaian :

Pangkat tertinggi pembilang atau penyebut adalah 2, maka pembilang

dan penyebut masing-masing dibagi dengan x2.

1

0

1lim

3

12lim

2

2

22

2

22

3

12

3

12

2=

+−

=+−

=+−

∞→∞→x

xx

xxx

xxx

xx x

x = 0

Contoh 3 :

Tentukan nilai 2

12lim

2

23

−−+

∞→ x

xxx

Penyelesaian :

2

12lim

2

23

−−+

∞→ x

xxx

= ∞==−

−+∞→ 0

22lim

3

3

21

11

xx

xx

x(tidak mempunyai limit)

Catatan :

0lim =∞→ nx x

a, untuk a konstan dan n bilangan asli

11

Dari ketiga contoh tesebut, dapat kita rangkum menjadi :

a) Jika pangkat pembilang dan penyebut sama, maka nilai

penyebuttertinggipangkatxkoefisien

pembilangtertinggipangkatxkoefisien

xg

xfx

=∞→ )(

)(lim

b) Jika pangkat pembilang < pangkat penyebut, maka

0)(

)(lim =

∞→ xg

xfx

c) Jika pangkat pembilang > pangkat penyebut, maka

∞=∞→ )(

)(lim

xg

xfx

2) Bentuk { })()(lim xgxfx

−∞→

Bentuk ini dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan bentuk

sekawannya yaitu )()(

)()(

xgxf

xgxf

++

, kemudian membaginya dengan x

pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebut.

Contoh :

Tentukan nilai dari ( )23lim −−+∞→

xxx

Penyelesaian :

( ) ( ) ( ))23(

23.23lim23lim

−++−++−−+=−−+

∞→∞→ xx

xxxxxx

xx

= ( ) ( )

23

23lim

−++−−+

∞→ xx

xxx

= 23

5lim

−++∞→ xxx

Langkah berikutnya adalah membagi dengan x pangkat tertinggi

yaitu x .

( )23lim −−+∞→

xxx

=

x

xx

x

x 23

5

lim−++∞→

12

= xx

x

x 23

5

11lim

−++∞→

= 1

0

11

0 =+

= 0

Jadi, ( )23lim −−+∞→

xxx

= 0

2. Soal Latihan 2

a. Tentukan nilai limit berikut :

1) )52(lim1

+→

xx

2) 3

65lim

2

3 −+−

→ x

xxx

3) 24

2

3 9

3lim

xx

xxx −

−→

4) 8

4lim

3

2

2 −−

→ x

xx

5) 9

3lim

23 −−

→ x

xx

b. Tentukan nilai tiap limit berikut :

1) 23

54lim

+−

∞→ x

xx

2) 5

324lim

2

2

++−−+

∞→ xx

xxx

3) 54

32lim

2

3

−+−

∞→ xx

xx

4) 52

3lim

4

2

−+−

∞→ xx

xx

13

c. Tentukan nilai tiap limit berikut :

1) ( )112lim −−+∞→

xxx

2) ( )1215lim 22 −+−++∞→

xxxxx

3) ( )352lim 2 +−−∞→

xxx

4. Kunci jawaban soal latihan 2

a. 1) 7

2) 1

3) 18

1

4) 3

1

5) 0

b. 1) 3

4

2) - 4

3) ∞

4) 0

c. 1) 0

2) 3

4

3) ∞

14

BAB III

EVALUASI AKHIR

A. Lembar tes tertulis

Pilihlah jawaban yang benar!

1. ....)12(lim 2

4=+−

→xx

x

A. 25 B. 16 C. 9 D. 4 E. 1

2. 23

54lim

2

3 +−

→ x

xxx

adalah ... .

A. 4

B. 3

4

C. 2

D. 11

21

E. – 3

3.

−−

−→ 4

4

2

1lim 22 xxx

adalah ... .

A. 0

B. 4

1

C. 2

1

D. 2 E. 4

4. 9lim 2

5−

→x

xadalah ... .

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

15

5. 1

22lim

2

1 −−

→ x

xx

= ... .

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. 6

6. x

xx −

−∞→ 3

12lim adalah ... .

A. -2 B. – 1 C. 0

D. 3

2

E. 2

7. 4

4

2

46lim

x

xx +

−∞→

adalah ... .

A. 6

B. 4

C. 3

D. – 2

E. – 4

8. )2(lim 22 xxxxx

+−+∞→

A. 2

1−

B. 2

1

C. 0 D. 1

E. 2

3

9. 2

8lim

38 −−

→ x

xx

adalah ... .

A. 12 B. 10 C. 6 D. 8 E. 4

16

10. 53

4lim

2

2

2 +−−

→ x

xx

addalah ... .

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

11. 34

14lim

1

+−+

∞→ x

x

xadalah ... .

A. 3

1−

B. 12

1−

C. 1 D. 2 E. 4

12. Nilai dari 2

lim

→x 112

15

+−

x

x

=… . A. 0,2 B. 0,3 C. 0,4 D. 0,5 E. 0,6

13. Nilai dari ∞→x

lim ( 9516 2 +− xx – 3916 2 −+ xx ) =… .

A. -4

7

B. -7

4

C. 7

4

D. 4

7

E. 4

14. Nilai dari

3

2

2

1

142lim

+−++

∞→ xx

xx

x = ....

A. 2

B. 3 C. 6 D. 8 E. ∞

17

15. Nilai dari 5

lim

→x 49

12

+−

x

x

=… .

A. 2)49

9(

B. 7

3

C. 49

9

D. 9

7

E. 7

9

B. Lembar kunci jawaban tes tertulis

1. C 6. A 11. E

2. D 7. E 12. E

3. B 8. B 13. A

4. C 9. A 14. D

5. C 10. D 15. B

18

DAFTAR PUSTAKA

H. Sigit Suprijanto dkk 2009. Matematika SMA Kelas XI Program IPA. Terbitan

pertama.: Penerbit Yudhistira.

Nugroho Soedyarto, Maryanto. 2008. Matematika Jilid 2. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

Sutrima, Budi Usodo 2009. Wahana Matematika Untuk SMA/MA kelas XI. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional

Wilson Simangunsong, Drs. 2005. PKS Matematika. Jakarta : Penerbit Gematama

Sulistiyono, Sri Kurnianingsih, Kuntarti. 2007. Matematika kelas XI Program IPA.

Jakarta : Penerbit Gelora Aksara Pratama