METNUM-2NILAI DAN VEKTOR EIGEN2.1 ObjektifMahasiswa mampu menghitung nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks bujursangkar menggunakan metoda pangkat (Power Method) dan inversi metoda pangkat.2.2 Teori dan Percobaan2.2.1 Karakteristik PolinomJika x merupakan vektor eigen dari nxn matriks A yang berasosiasi dengan nilai eigen lambda, maka persamaan Eigen dapat ditulis menjadi(2.1)Untuk menghitung nilai dan vektor Eigennya persamaan (2.1) dirubah menjadi suatu persamaan aljabar linier sebagai berikut:(2.2)dengan I menyatakan matriks identitas nxn. Perlu diperhatikan jika matriks (lambda)I-A merupakan matriks nonsingular, persamaan (2.2) mempunyai solusi yang unik pada x = 0. Namun, nilai vektor Eigen haruslah tidak nol, yang artinya bahwa nilai Eigen merupakan skalar (lambda) untuk matriks (lambda)I-A yang singular. Suatu matriks merupakan matriks singular jika dan hanya jika determinannya berharga nol. Sehingga nilai Eigen dari A adalah solusi dari delta(lamdbda) = 0, dengan(2.3)Persamaan delta(lamdbda) = 0 disebut dengan persamaan karakteristik dari A. Dengan mengekspansi determinan dari persamaan (2.3) dapat ditunjukkan bahwa...... merupakan polinom derajat n dalam bentuk(2.4)Polinom .... disebut dengan karakteristik polinom dari matriks A. Dari persamaan (2.4) terlihat bahwa nilai-nilai Eigen matriks A merupakan akar-akar dari karakteristik polinom. Dari teorema aljabar dinyatakan bahwa setiap polinom derajat n mempunyai sebanyak n akar-akar pada bidang kompleks. Sehingga ... dapat difaktorkan menjadi :(2.5) Dari persamaan (2.5) dapat dinyatakan bahwa matriks A mempunyai sebanyak n nilai Eigen [.......]. Namun demikian n nilai Eigen tidaklah harus berbeda dan nilai Eigen dapat berbentuk bilangan kompleks meskipun matriks A riil. Jika matriks A riil maka nilai Eigen kompleksnya selalu muncul sebagai pasangan kompleks konjugetnya ...... dengan ......2.2.2 Metoda Pangkat (Power Method)Misal nilai-nilai Eigen dari matriks A yang berukuran nxn diurutkan dari terbesar sampai terkecil sebagai berikut:(2.6)Nilai Eigen yang mempunyai magnitud terbesar disebut dengan nilai Eigen dominan. Jika ... merupakan nilai vektor Eigen yang berasosisasi dengan nilai Eigen ... , sehingga:(2.7)Untuk memperoleh nilai Eigen yang dominant dari matriks A yang berukuran nxn, pertama kita kali set nilai vektor Eigen awal, sebagai contoh untuk n=3 kita bisa menggunakan x = {1,1,1}. Selanjutnya kita hitung hasil perkalian matriks dan vektor dari persamaan (2.7) ruas kiri. Hasil dari perkalian tersebut akan menghasilkan sebuah vektor baru. Vektor tersebut kemudian kita normalisasi dengan cara membagi setiap elemen dari vektor tersebut dengan nilai elemen terbesarnya, sehingga pada akhirnya vektor tersebut merupakan vektor yang ternormalisasi, dan nilai skalarnya merupakan aproksimasi dari nilai ... pada persamaan (2.7). Proses terus berlangsung dengan mengganti vektor yang sebelah kiri pada iterasi selanjutnya dengan vektor hasil perkalian sebelumnya yang telah ternormalisasi, dan perhitungan berlanjut seperti proses di atas sampai dengan tercapai konvergensi.Konvergensi dicapai apabila nilai ...... , dengan r merupakan residual yang didefinisikan sebagai berikut:(2.8)Buatlah program metoda pangkat dan carilah nilai Eigen domminant dan vektor Eigennya dari matriks-matriks berikut :a.b.c.2.2.3 Metoda Pangkat Inversi (Inverse Power Method)Metoda ini digunakan untuk mencari nilai Eigen terkecil yang meupakan kebalikan dari Metoda Pangkat, algoritma dan prosedurnya sama dengan Metoda Pangkat hanya saja matriks yang digunakan terlebih dahulu harus diinversikan, sehingga persamaan (2.7) dapat ditulis kembali menjadi :(2.9)Untuk memperoleh nilai Eigen sebenarnya, digunakan nilai resiprok dari nilai Eigen yang diperoleh dari hasil iterasi.Buatlah program untuk metoda ini, lalu carilah nilai Eigen terkecil dari percobaan 2.2.2.2.2.4 Spektral RadiusSpektral radius .... dari matriks A didefinisikan sebagai (2.10)Carilah nilai dari spektral radius pada percobaan 2.2.2.2.3 Tugas Pendahuluan 1. Buatlah algoritma pemrograman untuk metoda pangkat.2. Buatlah program C untuk mencari inverse dari sebuah matriks 3x3.3. Carilah nilai dan vektor Eigen dari semua percobaan di atas secara analitik sesuai dengan teori pada 2.2.14. Jelaskan tentang trace matriks, dan jelaskan pula hubungan antara trace dan determinan Matriks pada kasus matriks tertentu.2.4 Tugas Akhir1. Jelaskan peranan nilai spektral radius dalam mencari solusi persamaan linier menggunakan metoda iterasi. (Modul 3).2. Buatlah summary (tidak lebih dari satu halaman) untuk menganalisa dari semua metoda yang telah anda kerjakan.