Bab 5 Logika MatematikaNama Sekolah Mata Pelajaran Kelas Semester : : : : SMA dan MA Matematika X 2

Pernyataan dan IngkarannyaA. Standar Kompetensi Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya. Indikator Menentukan nilai kebenaran dan ingkaran dari suatu pernyataan. Materi Pokok Logika Matematika Alokasi Waktu 4 jam pelajaran. Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Melakukan diskusi tentang permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan logika matematika. Misalnya dalam hal menyampaikan pendapat atau berkomunikasi antarmanusia. Kadang dalam penyampaiannya ada yang benar dan ada yang salah. 2. Kegiatan Inti a. Mengingatkan kembali tentang kalimat terbuka, yaitu kalimat yang memuat peubah atau variabel, contoh: 4x 7 = 5. b. Menginformasikan tentang penggunaan logika matematika yang akan dipelajari dalam pembuatan program komputer. c. Memberikan contoh pernyataan yang saling berlawanan dalam kehidupan sehari-hari. Pernyataan d. Memberikan tugas kepada siswa untuk menentukan kalimat yang benar atau kalimat yang salah. e. Memberikan informasi tentang ahli matematika yang berjasa bidang logika matematika, misalnya Gottfried Leibnez. f. Menguji keterampilan siswa menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan. Ingkaran Pernyataan atau Negasi Pernyataan g. Melakukan diskusi tentang ingkaran atau sangkalan dari suatu pernyataan. Misal: Saya siswa kelas XI SMA. Bagaimana bentuk sangkalan atau ingkaran dari pernyataan tersebut? h. Menjelaskan pengertian nilai kebenaran dari suatu pernyataan melalui contoh. i. Bersama siswa menyimpulkan pernyataan dan ingkarannya dalam bentuk tabel kebenaran. j. Menguji keterampilan siswa menentukan ingkaran beserta nilai kebenaran dari suatu pernyataan. k. Memberi tugas kepada siswa membuat pernyataan-pernyataan yang nilai kebenarannya dapat ditentukan secara empiris dan nonempiris. Penutup Menekankan kepada siswa betapa pentingnya dalam menyampaikan suatu pernyataan. Pernyataan yang singkat dan jelas nilai kebenarannya akan lebih mudah diterima oleh orang lain.

B. C. D. E. F.

3.

PG Matematika Kelas X

61

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 111114 2. Buku PG Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 275278 H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan membuat suatu pernyataan; b. kemampuan menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan; c. kemampuan menentukan ingkaran dari pernyataan. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menyampaikan pendapat; b. kemampuan menghargai pendapat teman; c. kemampuan bekerja sama dalam kelompok; d. kemandirian dalam mengerjakan tugas individu.

Disjungsi dan KonjungsiA. Standar Kompetensi Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar 1. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. 2. Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan. Indikator Menentukan nilai kebenaran dari disjungsi dan konjungsi beserta ingkarannya. Materi Pokok Logika Matematika Alokasi Waktu 4 jam pelajaran. Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Memberikan contoh permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan disjungsi dan konjungsi. 2. Kegiatan Inti Disjungsi a. Bersama-sama siswa membahas tentang permasalahan pada apersepsi yang berkaitan dengan disjungsi. Misal: Perintah guru pada siswa. Kerjakan soal ini dengan menggunakan pensil atau pulpen. b. Menginformasikan tentang pernyataan majemuk, yaitu penggabungan dua pernyataan dengan kata hubung atau yang disebut dengan disjungsi. c. Memberikan informasi tentang jenis-jenis disjungsi, yaitu disjungsi inklusif (p q) dan disjungsi eksklusif (p q). d. Mengajak siswa untuk menyimpulkan dari pembahasan disjungsi di muka dan membuatnya dalam bentuk tabel kebenaran. e. Menguji keterampilan siswa menentukan nilai kebenaran suatu bentuk disjungsi dan menuliskan pernyataan majemuk disjungsi. Konjungsi f. Memberikan permasalahan sehari-hari yang berupa pernyataan majemuk dengan konjungsi. Misal pernyataan pak guru: Ratih, tolong ambilkan pensil dan penghapus. g. Bersama-sama siswa membahas permasalahan tersebut dan kemudian menyelesaikan tentang pernyataan majemuk menggunakan kata hubung dan yang ditulis p q.

B.

C. D. E. F.

62

Model Pembelajaran

Mengajak siswa menyimpulkan kebenaran pernyataan majemuk konjungsi (p q) dalam bentuk tabel kebenaran. i. Menginformasikan kesamaan arti dan pada logika matematika, seperti kata tetapi, walaupun, meskipun, hanya saja. j. Menguji keterampilan siswa menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk konjungsi dan menuliskan kalimat verbal pernyataan. k. Memberikan tugas kepada siswa menunjukkan sifat komutatif dan distributif dengan membuktikan ekuivalensi-ekuivalensi. l. Mengingat kembali tentang kalimat terbuka, kemudian bersama-sama siswa membahas tentang kalimat terbuka dengan disjungsi atau konjungsi. m. Melatih siswa menentukan sembarang nilai dari kalimat terbuka disjungsi dan konjungsi sehingga menjadi pernyataan yang benar. Cara melengkapi yang digunakan dalam hal ini. n. Menguji keterampilan siswa menentukan nilai x (suatu variabel) yang membuat kalimat terbuka menjadi pernyataan benar. Ingkaran Disjungsi dan Ingkaran Konjungsi o. Bersama-sama siswa melakukan tanya jawab untuk menentukan ingkaran disjungsi p q atau ~(p q). p. Melatih siswa menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk ingkaran disjungsi dengan cara melengkapi tabel kebenaran, kemudian bersama-sama menyimpulkan. q. Menguji keterampilan siswa menentukan ingkaran pernyataan majemuk berdisjungsi dan nilai kebenarannya. r. Menyuruh siswa mendiskusikan dengan teman sebangku untuk membuat pernyataan majemuk yang menggunakan tanda dan kemudian membuat ingkarannya. s. Mengajak siswa melengkapi tabel kebenaran pernyataan majemuk konjungsi dan ingkarannya, kemudian menyimpulkan tentang kesamaan nilai kebenaran. t. Menguji keterampilan siswa menentukan ingkaran pernyataan majemuk konjungsi beserta nilai kebenarannya. u. Menguji kemampuan siswa menentukan ingkaran pernyataan dalam kehidupan sehari-hari. h. 3. Penutup Menekankan kepada siswa tentang pentingnya penggunaan pernyataan majemuk dalam kehidupan seharihari. Memberikan soal-soal tambahan untuk menambah pemahaman siswa.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 114121 2. Buku PG Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 279288 H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan membuat pernyataan majemuk disjungsi; b. kemampuan menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk disjungsi; c. kemampuan membuat pernyataan majemuk konjungsi; d. kemampuan menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk konjungsi; e. kemampuan membuat ingkaran pernyataan majemuk disjungsi; f. kemampuan membuat ingkaran pernyataan majemuk konjungsi; g. kemampuan membuat kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan yang benar; h. kemampuan menentukan ekuivalensi dari suatu ingkaran pernyataan disjungsi dan konjungsi. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan mengemukakan pendapat dalam diskusi; b. kemampuan menghargai pendapat orang lain; c. kemampuan bekerja sama dalam kelompok; d. keaktifan dalam tanya jawab; e. kemandirian dalam mengerjakan tugas individu.

PG Matematika Kelas X

63

Implikasi, Konvers, Invers, dan KontraposisiA. Standar Kompetensi Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar 1. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. 2. Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan. Indikator Menentukan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi beserta ingkarannya. Materi Pokok Logika Matematika Alokasi Waktu 4 jam pelajaran. Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Memberikan informasi tentang tokoh matematika yang berjasa dalam matematika terutama dalam hal keberadaan sesuatu. 2. Kegiatan Inti Implikasi a. Mengajak siswa untuk mengungkapkan kalimat majemuk dengan menggunakan kata hubung jika . . . maka . . . . b. Memberikan tugas kepada siswa membuat contoh kalimat yang diawali dengan kata jika dan diikuti kata maka. c. Menginformasikan kepada siswa tentang lambang implikasi (p q) dan cara membacanya. d. Melatih siswa dalam menuliskan pernyataan majemuk dengan cara melengkapi. e. Bersama-sama siswa membahas tentang nilai kebenaran implikasi yang disertai contoh-contoh kemudian siswa menyimpulkan. f. Melatih siswa menentukan nilai kebenaran suatu implikasi dengan cara melengkapi. g. Memberikan trik kepada siswa dalam mengingat nilai kebenaran suatu implikasi dengan melihat nilai kebenaran antesedennya. h. Menguji keterampilan siswa menentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan yang memuat implikasi. i. Bersama-sama siswa membahas implikasi logis, yaitu implikasi yang selalu bernilai benar, kemudian untuk membuktikannya siswa melengkapi tabel kebenaran. j. Menguji keterampilan siswa menyelidiki suatu pernyataan merupakan implikasi logis atau bukan. k. Bersama-sama siswa membahas tentang biimplikasi atau implikasi dua arah. Dalam hal ini meliputi tentang penulisan lambang biimplikasi dan cara membacanya. l. Melatih siswa menentukan nilai kebenaran biimplikasi dengan cara melengkapi tabel kebenaran kemudian siswa menyimpulkan. m. Menguji keterampilan siswa menentukan nilai kebenaran pernyataan yang mengandung biimplikasi. Ingkaran dari Suatu Implikasi n. Mengajak siswa untuk mengamati kejadian sehari-hari yang ada kaitannya dengan ingkaran dari suatu implikasi. Misal: Janji : Jika sore hari cerah, maka Dina akan ke rumah Wati. Kejadian : Sore hari cerah dan Dina tidak ke rumah Wati. o. Mengajak siswa melengkapi tabel kebenaran ingkaran suatu implikasi ~(p q) dan (p ~q), kemudian menentukan ke-ekuivalensian-nya. p. Memberikan pertanyaan-pertanyaan ringan yang berkaitan dengan ingkaran dari implikasi-implikasi di awal materi. q. Menguji keterampilan siswa menentukan ingkaran dari pernyataan-pernyataan majemuk. Konvers, Invers, dan Kontraposisi r. Bersama-sama siswa membahas implikasi baru yang dapat dibentuk dari implikasi p q, yang dikenal dengan konvers (q p), invers (~p ~q), dan kontraposisi (~q ~p).Model Pembelajaran

B.

C. D. E. F.

64

s.

Mengajak siswa untuk melengkapi tabel kebenaran implikasi beserta konvers, invers, dan kontraposisinya kemudian menyimpulkannya. t. Menguji keterampilan siswa menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari beberapa pernyataan. u. Memberikan tugas kepada siswa menentukan ingkaran dari suatu konvers, invers, dan kontraposisi. v. Memberikan trik kepada siswa tentang ekuivalensi dari implikasi. w. Menguji kemampuan siswa menentukan pernyataan-pernyataan yang ekuivalen dalam kehidupan sehari-hari. 3. Penutup a. Memantapkan pemahaman siswa tentang implikasi dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. b. Memberikan soal-soal tambahan untuk menambah pemahaman siswa.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 122128 2. Buku PG Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 289299 H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan membuat kalimat yang mengandung pernyataan implikasi; b. kemampuan menentukan nilai kebenaran implikasi; c. kemampuan menyatakan suatu pernyataan adalah implikasi logis; d. kemampuan menentukan kalimat adalah pernyataan biimplikasi; e. kemampuan menentukan nilai kebenaran biimplikasi; f. kemampuan menentukan ingkaran dari suatu implikasi; g. kemampuan menentukan konvers dari suatu implikasi; h. kemampuan menentukan invers dari suatu implikasi; i. kemampuan menentukan kontraposisi dari suatu implikasi; j. kemampuan menentukan pernyataan-pernyataan yang ekuivalen dengan suatu implikasi. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan dalam mengemukakan pendapat; b. kemampuan bekerja sama dalam kelompok; c. kemampuan dalam menyimpulkan; d. kemandirian dalam mengerjakan tugas; e. keaktifan dalam tanya jawab.

Kuantor Universal dan Kuantor EksistensiA. Standar Kompetensi Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar 1. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. 2. Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan. Indikator Menjelaskan arti kuantor universal dan kuantor eksistensial beserta ingkarannya. Membuat ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor. Materi Pokok Logika Matematika Alokasi Waktu 4 jam pelajaran. Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Mengajak siswa mengamati contoh pernyataan-pernyataan sehari-hari yang menggunakan pernyataan berkuantor.

B.

C.

D. E. F.

PG Matematika Kelas X

65

Misal: Ade berkata: Semua siswa kelas XA senang olahraga. Budi berkata: Beberapa siswa kelas XB senang olahraga. 2. Kegiatan Inti Kuantor Universal a. Mengajak siswa mengamati pernyataan di muka yang berkaitan dengan pernyataan berkuantor universal, misalnya: Semua siswa XA senang olahraga. b. Bersama-sama siswa membahas tentang pernyataan berkuantor universal. Di sini menjelaskan ciri-ciri pernyataan berkuantor universal dan cara menuliskan dengan lambangnya, serta cara membacanya. c. Menguji keterampilan siswa menentukan pernyataan-pernyataan berkuantor universal. Kuantor Eksistensi d. Mengajak siswa kembali mengamati pernyataan berkuantor. Misal: Beberapa siswa kelas XB senang olahraga. Kemudian menjelaskan bahwa pernyataan tersebut termasuk pernyataan berkuantor eksistensial. e. Bersama-sama siswa membahas pernyataan berkuantor eksistensi, cara penulisan lambangnya, dan cara menyatakannya. Misal: Beberapa P adalah Q, atau Ada P yang Q. f. Menguji keterampilan siswa menentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berkuantor eksistensial. Ingkaran Pernyataan Berkuantor g. Mengingatkan kembali kepada siswa tentang ingkaran dari suatu pernyataan. h. Menyuruh siswa untuk berdiskusi dengan teman sebangku, untuk membuat ingkaran dari pernyataan Ade dan Budi di muka. Membimbing jalannya diskusi ini. i. Melatih siswa menentukan ingkaran pernyataan berkuantor universal dan eksistensial dengan cara melengkapi isian, kemudian menyimpulkannya. j. Memberikan pertanyaan-pertanyaan ringan sehingga siswa cepat dalam menjawab. k. Menguji keterampilan siswa menentukan ingkaran dari suatu pernyataan dan menentukan pernyataan ekuivalennya. Penutup a. Menekankan kepada siswa pentingnya mempelajari pernyataan berkuantor ini dalam menyelesaikan permasalahan matematika selanjutnya. b. Mengingatkan kepada siswa bahwa menentukan nilai kebenaran pernyataan berkuantor perlu berhatihati dalam menelaah pernyataan.

3.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 129132 2. Buku PG Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 300304 H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menyebutkan pernyataan-pernyataan berkuantor; b. kemampuan menyebutkan pernyataan berkuantor universal; c. kemampuan menentukan nilai kebenaran pernyataan berkuantor universal; d. kemampuan menyebutkan pernyataan berkuantor eksistensial; e. kemampuan menentukan nilai kebenaran pernyataan berkuantor eksistensial; f. kemampuan menyebutkan ingkaran pernyataan berkuantor universal; g. kemampuan menyebutkan ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial; h. kemampuan menentukan ekuivalensi pernyataan berkuantor. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan mengemukakan pendapat; b. keaktifan dalam berdiskusi; c. kemampuan menghargai pendapat orang lain; d. kemandirian dalam mengerjakan tugas.

66

Model Pembelajaran

Penarikan KesimpulanA. Standar Kompetensi Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah. Indikator Menarik kesimpulan dengan silogisme, modus ponens, dan modus tollens. Materi Pokok Logika Matematika Alokasi Waktu 4 jam pelajaran. Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi a. Mengajak siswa mengingat kembali tentang implikasi p q selalu bernilai benar kecuali p benar dan q salah. b. Menyuruh siswa mendiskusikan permasalahan sehari-hari yang kemudian berusaha menyimpulkan. Misal: Jika lampu merah menyala, maka kendaraan-kendaraan berhenti. Apabila diketahui bahwa lampu merah menyala, benarkah kesimpulan: Kendaraan-kendaraan berhenti? 2. Kegiatan Inti Silogisme a. Bersama-sama siswa membahas tentang aturan dasar penarikan kesimpulan silogisme. pq . . . premis 1 qr . . . premis 2 Jadi, p r . . . konklusi b. Menyuruh siswa berdiskusi untuk membuktikan penarikan kesimpulan silogisme dengan cara melengkapi tabel kebenaran, kemudian menyimpulkannya. c. Memberikan tugas kepada siswa membuktikan keabsahan penarikan kesimpulan silogisme dengan menunjukkan bahan pernyataan [(p q) (q r)] (p r) merupakan tautologi. d. Melatih siswa menentukan kesimpulan yang ditarik dari premis-premis dengan cara melengkapi isian. Modus Ponens e. Bersama-sama siswa membahas aturan dasar penarikan kesimpulan modus ponens. Penyajian: p q . . . premis 1 p . . . premis 2 Jadi, q . . . konklusi f. Memberikan tugas kepada siswa membuat suatu tabel kebenaran untuk membuktikan penarikan kesimpulan modus ponens adalah sah. g. Melatih siswa menarik kesimpulan dari premis-premis yang disediakan dengan cara melengkapi isian. Modus Tollens h. Bersama-sama siswa membahas aturan dasar penarikan kesimpulan modus tollens. Penyajian: p q . . . premis 1 ~q . . . premis 2 Jadi, ~p . . . konklusi i. Memberikan tugas kepada siswa membuktikan dengan tabel kebenaran bahwa penarikan kesimpulan modus tollens adalah sah yang ditunjukkan dengan suatu implikasi ((p q) ~q) ~p merupakan tautologi. j. Melatih siswa menarik kesimpulan dari beberapa premis dengan cara melengkapi isian.

B.

C. D. E. F.

PG Matematika Kelas X

67

k. l. 3.

Menguji keterampilan siswa menarik kesimpulan dari premis-premis yang diberikan dan menyelidiki dengan tabel kebenaran dari penarikan kesimpulan. Menguji kemampuan siswa dalam menarik kesimpulan dari suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

Penutup a. Menekankan kepada siswa pentingnya dalam menarik kesimpulan perlu adanya suatu logika atau berpikir logis. b. Mengingatkan kepada siswa bahwa pentingnya mempelajari konsep pada materi ini untuk menunjang bidang studi yang lain.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 132138 2. Buku PG Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 305313 H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menarik kesimpulan dengan aturan silogisme; b. kemampuan menarik kesimpulan dengan aturan modus ponens; c. kemampuan menarik kesimpulan dengan aturan modus tollens. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan mengemukakan pendapat; b. kemampuan bekerja sama dalam kelompok; c. keaktifan dalam diskusi; d. kemampuan dalam menyimpulkan; e. kemandirian dalam mengerjakan tugas dan soal-soal.

Metode PembuktianA. Standar Kompetensi Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah. Indikator Membuktikan sifat matematika dengan bukti langsung. Membuktikan sifat matematika dengan bukti tak langsung (kontraposisi dan kontradiksi). Membuktikan sifat/teorema dengan induksi matematika. Materi Pokok Logika Matematika Alokasi Waktu 6 jam pelajaran. Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Memberikan suatu informasi atau contoh pernyataan, misalkan sifat, dalil, rumus atau teorema yang dapat dibuktikan kebenarannya, menjelaskan jenis-jenis pembuktian yaitu pembuktian langsung dan tak langsung. 2. Kegiatan Inti Bukti Langsung a. Bersama-sama siswa membahas tentang cara membuktikan rumus secara langsung, yaitu dengan menggabungkan definisi, aksioma, sifat, maupun dalil. b. Melatih siswa membuktikan langsung suatu rumus dengan cara melengkapi isian. Contoh: Membuktikan (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.

B.

C.

D. E. F.

68

Model Pembelajaran

c. Menguji keterampilan siswa membuktikan suatu pernyataan dengan bukti langsung. Bukti Tidak Langsung d. Mengingatkan kembali tentang implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya. e. Bersama-sama siswa membahas tentang bukti tidak langsung dengan kontraposisi. Contoh: Untuk membuktikan p q, maka harus dibuktikan ~q ~p. f. Melatih siswa membuktikan tidak langsung sebuah pernyataan dengan kontraposisi. Dalam hal ini siswa dibimbing dengan cara melengkapi isian. g. Bersama-sama siswa membahas tentang cara membuktikan tidak langsung dengan kontradiksi. Misal: Untuk membuktikan p adalah benar. Dimisalkan ~p benar, dengan kontradiksi maka ~p salah atau p benar. Dalam hal ini memberikan contoh-contoh pembuktian. h. Menguji keterampilan siswa membuktikan kebenaran dari pernyataan-pernyataan dengan cara kontradiksi. Pembuktian dengan Induksi Matematika i. Bersama-sama siswa membahas pembuktian dengan induksi matematika. j. Melatih siswa membuktikan dengan cara induksi matematika. Dalam hal ini menyuruh siswa untuk melengkapi isian. Contoh: Untuk setiap n, 1 + 3 + 5 + . . . + (2n 1) = n2. k. Menguji keterampilan siswa membuktikan rumus-rumus dengan cara induksi matematika. 3. Penutup a. Mengevaluasi pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal tambahan untuk menambah pemahaman siswa. b. Menekankan pentingnya mempelajari bab ini dalam membantu penyelesaian masalah sehari-hari. c. Mengevaluasi kegiatan belajar yang telah dilakukan dengan mengerjakan soal-soal latihan ulangan. d. Mengingatkan siswa untuk mencari penerapan materi yang telah dipelajari sebagai bahan penilaian proyek. e. Memantau hasil proses belajar siswa. f. Merangkum pokok-pokok materi bab yang telah dipelajari.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 138145 2. Buku PG Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 313327 H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan membuktikan secara langsung rumus matematika atau pernyataan; b. kemampuan membuktikan suatu pernyataan dengan kontraposisi; c. kemampuan membuktikan suatu pernyataan dengan kontradiksi; d. kemampuan membuktikan suatu rumus atau pernyataan dengan induksi matematika. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan memahami soal-soal; b. kemandirian dalam mengerjakan tugas dan soal-soal. 3. Penugasan Aspek-aspek yang dinilai: kemampuan menggunakan matematika pada bidang studi lain.

PG Matematika Kelas X

69

Bab 6 TrigonometriNama Sekolah Mata Pelajaran Kelas Semester : : : : SMA dan MA Matematika X 2

Sudut dan SatuannyaA. B. Standar Kompetensi Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri. Indikator Menjelaskan arti derajat dan radian. Mengubah ukuran sudut dari derajat ke radian dan sebaliknya. Materi Pokok Trigonometri Alokasi Waktu 4 jam pelajaran. Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Mengajak siswa keluar kelas atau berdiskusi tentang permasalahan sehari-hari yang berhubungan manfaat trigonometri. Misal: Menghitung tinggi pohon. 2. Kegiatan Inti a. Menunjukkan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan manfaat trigonometri. Misal: Mengukur tinggi pohon dengan hanya mengukur sudut elevasi dan jarak kita dengan pohon. b. Memberikan informasi yang penting sehingga bermanfaat bagi siswa. Misal: Alat untuk mengukur sudut pandang yaitu teodolit. c. Mengingatkan kembali tentang sudut yang sudah dipelajari di SMP, beserta alat ukur dan cara menghitungnya. d. Memberikan tugas kepada siswa untuk mencari arti kata radian dalam buku Kamus Besar Bahasa Indonesia. e. Bersama-sama siswa membahas tentang sudut dengan satuan derajat, membandingkan antara sudut f. terhadap putaran, 4 putaran = 4 360 = 90 kemudian menyimpulkan. Bersama-sama siswa membahas tentang sudut dengan satuan radian, menginformasikan bahwa satuan radian diperoleh perbandingan antara panjang busur dengan jari-jari.B

C.

D. E. F.

1

1

AOB =A

AB r

radian1

O

1 2

putaran = 2 2 radian = radian

r

g.

Mengajak siswa melakukan praktikum membuat sudut satuan derajat dan sudut satuan radian. Di sini membimbing jalannya praktikum. Contoh: Untuk membuat sudut satuan derajat sebuah lingkaran dibagi menjadi 360 bagian yang sama.

70

Model Pembelajaran

h.

3.

Menjelaskan hubungan satuan derajat dan radian. Dengan cara membandingkan sudut-sudut dengan satuan derajat dan satuan radian, maka akan diperoleh cara mengubah satuan derajat ke radian atau sebaliknya. i. Menyuruh siswa menyimpulkan cara mengubah satuan derajat ke radian atau sebaliknya. j. Menguji keterampilan siswa mengukur besar sudut dengan satuan derajat dan satuan radian. Dalam hal ini memberi petunjuk cara mencari besar sudut khususnya untuk satuan radian. k. Menguji kemampuan siswa menyelesaikan soal-soal cerita atau permasalahan sehari-hari yang berhubungan sudut. l. Mengajak siswa untuk rileks atau santai sejenak untuk mengendorkan pikirannya. Kegiatan ini bisa diisi dengan permainan, misalnya lomba menggambar sudut secara berpasangan. Penutup a. Menekankan kepada siswa betapa pentingnya keterampilan dalam mengukur suatu sudut. Karena besar sudut akan digunakan terus untuk membantu penyelesaian tingkat selanjutnya. b. Mengingatkan kepada siswa bahwa dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak pernah lepas dari sudut.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 147152 2. Buku PG Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 329335 3. Busur derajat 4. Klinometer 5. Benang 6. Jangka 7. Penggaris H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menjelaskan arti derajat; b. kemampuan menjelaskan arti radian; c. kemampuan membuat sudut satuan derajat; d. kemampuan membuat sudut satuan radian; e. kemampuan mengubah ukuran sudut dari derajat ke radian; f. kemampuan mengubah ukuran sudut dari radian ke derajat; g. kemampuan mengukur besar sudut dengan satuan derajat; h. kemampuan mengukur besar sudut dengan satuan radian. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menyimpulkan; b. keaktifan dalam praktikum; c. keterampilan menggunakan busur derajat, jangka, dan penggaris; d. kemampuan memahami soal cerita; e. kemandirian dalam mengerjakan tugas individu; f. kemampuan bekerja sama dalam kelompok.

Nilai Trigonometri SudutA. B. Standar Kompetensi Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri. 2. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri. 3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, dan penafsirannya. Indikator Menentukan sinus, konsinus, dan tangen suatu sudut dengan perbandingan trigonometri segitiga siku-siku.PG Matematika Kelas X

C.

71

D. E. F.

Menentukan sinus, kosinus, dan tangen dari sudut khusus. Menentukan sinus, kosinus, dan tangen dari suatu sudut di semua kuadran. Menentukan besarnya suatu sudut yang nilai sinus, kosinus, atau tangennya diketahui. Menggunakan kalkulator untuk menentukan nilai pendekatan fungsi trigonometri dan besar sudutnya. Menggunakan rumus sinus dan kosinus dalam penyelesaian soal. Mengkonstruksi grafik fungsi sinus dan kosinus. Menggambarkan grafik fungsi tangen.

Materi Pokok Trigonometri Alokasi Waktu 6 jam pelajaran. Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi a. Mengingatkan kembali kepada siswa tentang kesebangunan pada segitiga. Baik itu tentang syaratsyaratnya maupun perbesaran atau perkecilan. b. Memberikan motivasi kepada siswa betapa pentingnya materi ini untuk membantu menyelesaikan permasalahan sehari-hari. 2. Kegiatan Inti Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku a. Memberikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan perbandingan trigonometri. Misal: Kelompok Made ingin mengukur tinggi pohon, karena tidak ada sinar matahari sehingga tidak bisa diselesaikan dengan kesebangunan, sebagai alternatif lain adalah dengan trigonometri. b. Mengadakan diskusi membahas perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga yang sebangun. c. Bersama-sama siswa membahas perbandingan trigonometri atau perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Contoh: Ciri ng

sin = miring = ACdepan

depan

BC

m

cos = miring = AC tan = samping = ABdepan

samping

AB

A samping B

BC

d.

Membahas nilai trigonometri pada sudut penyiku, kemudian menyuruh siswa menyimpulkan. Contoh: sin (90 ) = cos cos (90 ) = sin e. Bersama-sama siswa membahas tentang nilai-nilai trigonometri pada sudut-sudut istimewa (30, 45, 60). Dalam hal ini membimbing siswa dalam menentukan nilai sinus, kosinus, tangen pada sudutsudut istimewa dengan cara melengkapi isian. f. Memberikan informasi penting cara menghitung nilai trigonometri suatu sudut menggunakan kalkulator. g. Menguji keterampilan siswa mengukur sudut, menentukan nilai perbandingan trigonometrinya, menghitung panjang sisi-sisi segitiga menggunakan kalkulator, dan menentukan besar sudut yang belum diketahui. Nilai Trigonometri Suatu Sudut h. Bersama-sama siswa membahas perbandingan trigonometri pada bidang koordinat serta membahas sudut positif dan sudut negatif. r = x2 + y2 sin = OP = r cos =OP OP PP PP yr O P X Y P(x, y)

=

x r y

tan x = OP = x

72

Model Pembelajaran

Mengajak siswa menentukan nilai trigonometri sudut 0 dan 90 dengan cara melengkapi isian kemudian menyimpulkan. j. Membahas perbandingan trigonometri sudut di berbagai kuadran disertai gambar untuk memperjelas pembahasan. Dari sini, menyuruh siswa menyimpulkan rumus-rumus hubungan sudut di berbagai kuadran. Contoh: sin (180 ) = sin cos (180 + ) = cos sin (360 ) = sin k. Membahas rumus trigonometri sudut yang lebih dari 360 atau sudut negatif. Misal: sin ( + k 360) cos ( + k 360) l. Menguji keterampilan siswa menentukan nilai trigonometri berbagai sudut yang berpedoman pada sudutsudut istimewa. m. Mengajak siswa berdiskusi tentang cara menentukan besar sudut yang diketahui nilai trigonometrinya, kemudian menyimpulkan. n. Memberikan informasi yang berguna untuk siswa, terutama dalam hal yang bersangkutan dengan trigonometri. Misal: Cara menggunakan kalkulator untuk menentukan sudut yang diketahui nilai trigonometrinya. o. Memberikan satu atau dua pertanyaan ringan, untuk melatih kecepatan dan keterampilan siswa. p. Melatih siswa menentukan sudut jika nilainya diketahui dengan cara melengkapi isian. q. Menguji keterampilan siswa menentukan sudut jika diketahui nilai trigonometri dari berbagai bentuk persamaan. r. Memberikan tugas kepada siswa menggambar suatu titik pada bidang koordinat, kemudian menyatakan dalam sistem koordinat kutub. s. Bersama-sama siswa membahas tentang grafik fungsi trigonometri, sebelumnya memberikan apersepsi tentang penerapan grafik fungsi trigonometri pada kuat arus listrik. t. Mengajak siswa melakukan praktikum menggambar grafik fungsi. Misal: grafik fungsi y = sin x grafik fungsi y = cos x Kemudian menentukan sifat-sifat grafik fungsi trigonometri tersebut setelah melihat hasil gambar yang dibuat. u. Menguji keterampilan siswa menggambar grafik fungsi trigonometri. Dalam kegiatan ini siswa mengerjakan dengan teman sebangku. v. Menguji kemampuan siswa menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan trigonometri. Dalam hal ini bisa menggunakan kalkulator. 3. Penutup a. Menekankan kepada siswa bahwa ilmu ini sangat membantu dalam penyelesaian masalah sehari-hari dan dalam bidang studi lain. b. Memberikan soal-soal tambahan untuk menambah pengetahuan dan memantapkan pemahamannya dalam ilmu ini. G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 152168 2. Buku PG Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 335360 H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan mengukur besar sudut a dan panjang sisi-sisi pada segitiga; b. kemampuan menentukan nilai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku; c. kemampuan menentukan panjang rusuk yang belum diketahui pada segitiga; d. kemampuan menentukan besar sudut pada segitiga; e. kemampuan menentukan perbandingan trigonometri pada bidang koordinat; f. kemampuan menentukan nilai trigonometri sudut 0 dan 90; g. kemampuan menentukan rumus perbandingan trigonometri sudut di berbagai kuadran; h. kemampuan menghitung nilai trigonometri sudut di berbagai kuadran; i. kemampuan menentukan rumus trigonometri sudut yang lebih besar dari 360 atau sudut negatif; j. kemampuan menghitung nilai trigonometri sudut yang lebih besar dari 360 atau sudut negatif; k. kemampuan menghitung besar sudut yang diketahui nilai trigonometrinya; l. kemampuan menggambar grafik fungsi trigonometri.PG Matematika Kelas X

i.

73

2.

Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. keterampilan menggunakan busur derajat; b. kemampuan mengemukakan pendapat; c. keaktifan dalam berdiskusi; d. kemampuan menghargai pendapat orang lain; e. kemampuan dalam menyimpulkan; f. kemampuan menyelesaikan soal cerita; g. kemandirian dalam mengerjakan tugas dan soal-soal.

Identitas TrigonometriA. B. Standar Kompetensi Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri. 2. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, dan penafsirannya. Indikator Menggunakan identitas trigonometri dalam penyelesaian soal. Membuktikan beberapa identitas trigonometri yang sederhana. Materi Pokok Trigonometri Alokasi Waktu 4 jam pelajaran. Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Memberikan suatu gambaran atau cerita awal yang mengarah ke konsep identitas trigonometri. 2. Kegiatan Inti a. Mengingatkan kembali pelajaran tentang rumus-rumus trigonometri yang berlaku untuk sembarang sudut . b. Bersama-sama siswa membahas tentang identitas trigonometri yaitu kesamaan yang memuat bentuk trigonometri dan berlaku untuk semua sudut. Misal: tan x = cos x sin2 x + cos2 x = 1 Melatih siswa membuktikan suatu identitas trigonometri dengan cara melengkapi isian. Memberikan suatu trik atau cara cepat yang berkaitan dengan identitas trigonometri. Menguji keterampilan siswa menyederhanakan bentuk-bentuk trigonometri menggunakan identitas. Melatih siswa membuktikan kebenaran identitas trigonometri dengan cara melengkapi isian. Menguji keterampilan siswa membuktikan kebenaran identitas trigonometri. Mengajak siswa rileks atau santai sejenak untuk mengendorkan pikirannya. Misalnya dengan tebakantebakan ringan atau humor matematika. i. Memberikan tugas kepada siswa yang berkaitan dengan kegunaan unsur identitas trigonometri dalam menentukan koordinat benda. j. Menguji kemampuan siswa menyelesaikan permasalahan sehari-hari atau terapan dalam bidang studi lain menggunakan trigonometri. Penutup Menekankan kepada siswa betapa pentingnya mempelajari trigonometri karena konsep ini akan digunakan pada materi selanjutnya. c. d. e. f. g. h.sin x

C.

D. E. F.

3.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 169173 2. Buku PG Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 360367

74

Model Pembelajaran

H.

Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menyederhanakan bentuk-bentuk trigonometri menggunakan identitas; b. kemampuan membuktikan kebenaran identitas. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan membuktikan; b. kemandirian dalam mengerjakan tugas dan soal-soal.

Rumus-Rumus Trigonometri pada SegitigaA. B. Standar Kompetensi Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri. 2. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri. 3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, dan penafsirannya. Indikator Menghitung luas segitiga yang komponennya diketahui. Membuktikan rumus sinus dan rumus kosinus. Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya memuat ekspresi trigonometri. Menentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai variabel yang berkaitan dengan ekspresi trigonometri. Merumuskan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan fungsi trigonometri, rumus sinus, dan rumus kosinus. Menentukan penyelesaian dari model matematika. Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah. Materi Pokok Trigonometri Alokasi Waktu 6 jam pelajaran. Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Memberikan contoh permasalahan sehari-hari yang penyelesaiannya menggunakan konsep trigonometri. Misal: Sawah Pak Hasan berbentuk segi empat sembarang. Untuk mencari luas sawah tersebut menggunakan konsep trigonometri. 2. Kegiatan Inti Rumus Luas Segitiga a. Bersama-sama siswa membahas permasalahan di awal menggunakan dasar-dasar trigonometri yang sudah dipelajarinya pada segitiga. b. Mengingat kembali rumus luas segitiga yang sudah dipelajari di sekolah dasar. L = 2 alas tinggi c. Melatih siswa menentukan luas suatu segitiga menggunakan trigonometri dengan cara melengkapi isian. d. Menguji keterampilan siswa menentukan luas segitiga menggunakan konsep trigonometri. e. Memberi tugas kepada siswa menghitung luas suatu bangun datar yang menggunakan prinsip atau konsep trigonometri pada segitiga. Misal: Tugas menghitung luas segi delapan. Rumus Sinus dan Rumus Kosinus f. Memberikan permasalahan sehari-hari yang penyelesaiannya membutuhkan aturan trigonometri (sinus dan kosinus).PG Matematika Kelas X

C.

D. E. F.

1

75

g. h. i.

Misal: Hubungan antara jarak dan arah kapal dari pelabuhan. Menginformasikan bahwa letak suatu benda dapat menggunakan jarak dan arah (sudut). Misal: Kedudukan kapal dari pelabuhan adalah (10 km, 50). Bersama-sama siswa membahas permasalahan di muka menggunakan rumus-rumus trigonometri. Membimbing dan melatih siswa dalam menurunkan rumus sinus dan kosinus pada segitiga sembarang dengan cara melengkapi isian. Kemudian merumuskan hasilnya. A Misal: Pada segitiga ABC sembarang berlaku:a sin

= sin = sin (rumus sinus) B

b

c

c

b a C

a2 = b2 + c2 2bc cos (rumus kosinus) j.

3.

Menguji keterampilan siswa menentukan panjang sisi atas besar sudut yang belum diketahui, menentukan luas segitiga dan pengukuran yang lain menggunakan aturan atau rumus sinus dan kosinus pada segitiga. k. Menguji kemampuan siswa menyelesaikan permasalahan sehari-hari menggunakan aturan atau rumus sinus dan kosinus pada segitiga. l. Mengajak siswa melakukan praktikum yang pada intinya penggunaan rumus sinus dan kosinus. Misal: Mengukur tinggi gedung, pohon, atau gunung menggunakan alat klinometer, untuk mencari besar sudut elevasi. Dengan aturan atau rumus sinus dan kosinus dapat ditentukan tinggi gedung atau gunung tersebut. Penutup a. Menekankan kepada siswa pentingnya mempelajari trigonometri, karena sangat berguna dalam membantu menyelesaikan permasalahan sehari-hari dan pembelajaran berikutnya. b. Mengevaluasi kegiatan pembelajaran siswa dengan mengerjakan soal-soal pada latihan ulangan, yaitu mengerjakan soal pilihan ganda dan soal esai. c. Memantapkan konsep trigonometri kepada siswa dalam membantu menyelesaikan permasalahan pada bidang studi yang lain. d. Memantau hasil proses belajar siswa dalam hal penugasan materi melalui refleksi diri. e. Merangkum pokok-pokok materi yang diajarkan.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 173183 2. Buku PG Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 367385 3. Penggaris 4. Busur derajat (klinometer) H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menentukan rumus luas segitiga dengan aturan trigonometri; b. kemampuan menentukan panjang sisi segitiga menggunakan aturan trigonometri; c. kemampuan menentukan rumus sinus pada segitiga; d. kemampuan menentukan rumus kosinus pada segitiga; e. kemampuan menentukan sudut-sudut pada segitiga menggunakan rumus sinus; f. kemampuan menentukan panjang sisi-sisi pada segitiga menggunakan rumus sinus; g. kemampuan menentukan sudut-sudut pada segitiga menggunakan rumus kosinus; h. kemampuan menentukan panjang sisi pada segitiga menggunakan rumus kosinus. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. keterampilan menggunakan busur derajat; b. kemampuan menelaah suatu informasi; c. kemampuan bekerja sama dalam kelompok; d. kemandirian dalam mengerjakan soal-soal dan tugas individu; e. keaktifan dalam praktikum. 3. Penugasan Aspek-aspek yang dinilai: kemampuan menggunakan matematika pada bidang studi lain.

76

Model Pembelajaran

Bab 7 Ruang Dimensi TigaNama Sekolah Mata Pelajaran Kelas Semester : : : : SMA dan MA Matematika X 2

Titik, Garis, dan BidangA. Standar Kompetensi Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga. Kompetensi Dasar Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga. Indikator Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang. Materi Pokok Ruang Dimensi Tiga Alokasi Waktu 4 jam pelajaran. Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Mengajak siswa untuk mengamati hal-hal atau sesuatu yang ada di sekitarnya yang mencerminkan atau menunjukkan unsur-unsur titik, garis, dan bidang. Misal: Mengamati gedung-gedung atau bangunan-bangunan. Kemudian bersama-sama siswa melakukan diskusi yang berkaitan dengan titik, garis, dan bidang. 2. Kegiatan Inti Komponen Bangun Ruang a. Mengingatkan kembali kepada siswa tentang komponen-komponen kubus dan balok, misalnya sudut, rusuk, sisi, diagonal sisi, dan lain sebagainya. b. Mengajak siswa untuk mengamati suatu kubus dan kerangkanya yang kaitannya dengan rusuk, sudut, dan sebagainya. Kemudian berdiskusi menyebutkan bagian-bagian dari kubus tersebut. Misal: A, B, C, D, E, F, G, H adalah sudut-sudut pada kubus ABCD.EFGH. AG, BH, CE, dan DF adalah diagonal-diagonal ruangnya. c. Bertanya jawab untuk menanamkan konsep tentang titik, garis, dan bidang. d. Menguji keterampilan siswa menyebutkan komponen-komponen pada balok dan prisma segi lima serta bangun ruang yang lain. Kedudukan Titik terhadap Garis dan terhadap Bidang e. Bersama-sama siswa membahas tentang kedudukan titik terhadap garis. Titik A pada garis g Titik B di luar garis g B A g f. Menyuruh siswa melakukan praktikum membuat garis dari suatu titik, dua titik atau lebih yang dapat dibuat. Kemudian menyimpulkannya.

B. C. D. E. F.

PG Matematika Kelas X

77

g.

Bersama-sama siswa membahas kedudukan titik terhadap bidang. Titik A pada bidang B Titik B di luar bidang A

h.

Menguji keterampilan siswa menentukan kedudukan titik terhadap garis dan titik terhadap bidang pada kubus ABCD.EFGH. Kedudukan Garis terhadap Bidang dan terhadap Garis i. Bersama-sama siswa membahas kedudukan garis terhadap bidang. Ada 3 kemungkinan kedudukan ini, yaitu garis terletak pada bidang, garis sejajar bidang, dan garis memotong bidang.g

Garis g menembus (memotong) bidang .

A

j. k.

Memberikan informasi kepada siswa yang bermanfaat dalam pembelajaran ini. Misal: Kipas bidang. Bersama-sama siswa membahas kedudukan garis terhadap garis. Ada 3 kemungkinan dalam kedudukan ini, yaitu kedua garis saling berpotongan, sejajar, dan bersilangan. Garis g dan garis h bersilangan. gh

l.

Mengajak siswa berpikir sejenak tentang banyak bidang yang dapat dibuat melalui tiga titik, melalui sebuah garis dan sebuah titik dan melalui dua garis. m. Menguji keterampilan siswa menentukan kedudukan garis terhadap bidang dan kedudukan garis terhadap garis pada kubus. Kedudukan Bidang terhadap Bidang Lain n. Bersama-sama siswa membahas kedudukan dua bidang yang saling sejajar dan berpotongan. Misal: Bidang dan bidang mempunyai garis persekutuan, yaitu garis h. Jadi, bidang memotong bidang .g

o.

3.

Menguji keterampilan siswa menentukan kedudukan bidang dengan bidang pada bangun ruang sisi tegak. p. Mengajak siswa berpikir sejenak tentang kedudukan tiga bidang yang berpotongan dan akibat yang terjadi. q. Memberi tugas kepada siswa menunjukkan kedudukan tiga buah bidang pada suatu kubus. Penutup a. Menekankan pentingnya mempelajari kedudukan titik, garis, dan bidang dalam rangka membantu menyelesaikan permasalahan sehari-hari dan dalam bidang studi lain. b. Mengevaluasi kegiatan pembelajaran siswa dengan memberikan tugas atau soal-soal untuk menambah pemahaman siswa.

78

Model Pembelajaran

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 185173 2. Buku PG Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 387397 3. Kardus H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menunjukkan komponen-komponen dalam bangun ruang; b. kemampuan menunjukkan kedudukan titik terhadap garis; c. kemampuan menunjukkan kedudukan titik terhadap bidang; d. kemampuan menunjukkan kedudukan garis terhadap garis; e. kemampuan menunjukkan kedudukan garis terhadap bidang; f. kemampuan menunjukkan kedudukan bidang terhadap bidang. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan bekerja sama dalam kelompok; b. keaktifan dalam diskusi; c. kemampuan menghargai orang lain; d. kemampuan menyimpulkan; e. kemandirian dalam mengerjakan tugas dan soal-soal.

Volume Benda RuangA. Standar Kompetensi Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga. Kompetensi Dasar Memahami komponen menggambar dan menghitung volume dari benda ruang. Indikator Menentukan volume benda-benda ruang. Menghitung perbandingan volume dua benda dalam suatu bangun ruang. Materi Pokok Ruang Dimensi Tiga Alokasi Waktu 4 jam pelajaran. Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Mengingatkan kembali kepada siswa tentang luas suatu bangun datar, seperti persegi, persegi panjang, segitiga, dan lingkaran. Menjelaskan bahwa hal ini sangat penting dalam menentukan volume suatu bangun ruang. 2. Kegiatan Inti Volume Prisma, Limas, dan Bola a. Memberikan contoh permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang menggunakan konsep volume suatu bangun ruang. Kemudian memberikan permasalahan-permasalahan dari contoh tersebut. b. Bersama-sama siswa membahas tentang prisma dan volume prisma. V = luas alas prisma tinggi. Kemudian, mengingatkan bahwa tabung sebagai prisma tegak yang alasnya berbentuk lingkaran, sehingga volume = r2 t. c. Membimbing siswa dalam mencari rumus limas dan kerucut. Pada kegiatan ini siswa melengkapi beberapa isian yang mengarah ke rumus volume limas dan kerucut.

B. C.

D. E. F.

PG Matematika Kelas X

79

Misal: Volume limas = 3 La t Volume kerucut = 3 r2 t rlimas kerucut

1

1

t

3.

Bersama-sama siswa membahas tentang volume bola. Melatih siswa menghitung volume prisma, limas, dan tabung dengan cara melengkapi isian. Menguji keterampilan siswa menghitung volume bangun ruang atau menghitung unsur-unsur lainnya jika volumenya diketahui. g. Menguji kemampuan siswa menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan volume bangun ruang. h. Mengajak siswa santai sejenak dengan memberikan permainan-permainan matematika, sehingga menjadikan siswa lebih rileks atau tidak tegang. Perbandingan Volume Dua Benda dalam Suatu Bangun Ruang i. Mengingatkan kembali kepada siswa tentang perbandingan antara s1 s2 panjang rusuk dan luas bangun datar. Misal: Pada persegi mempunyai panjang sisi s dan luas L. s1 Jika s2 = 2s1, maka L2 = 4L1. s2 j. Bersama-sama siswa membahas tentang volume kubus dan perbandingan dengan volume kubus yang sudah mengalami perubahan. Misal: Jika s2 = 2s1, maka V2 = 8V1. k. Mengingatkan kembali tentang persegi panjang dan luasnya, serta perbandingan antara sisi dan luas. s2 l. Bersama-sama siswa membahas tentang volume balok, s1 V2 perbandingan antara volume balok mula-mula dengan voluV1 me balok yang sudah mengalami perubahan ukurannya. m. Membimbing dan melatih siswa menentukan perbandingan s1 s2 s1 volume antara bangun ruang mula-mula dengan volume s2 bangun ruang yang sudah mengalami perubahan. n. Memberikan pertanyaan-pertanyaan singkat yang berkaitan dengan bangun ruang untuk menguji kecepatan dan ketepatan berpikir siswa. o. Menguji keterampilan siswa menentukan perbandingan volume dua benda dalam suatu bangun. p. Menguji kemampuan siswa dalam menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan perbandingan volume dua benda dalam suatu bangun ruang. Penutup a. Menekankan pentingnya konsep volume bangun ruang ini untuk membantu menyelesaikan permasalahan sehari-hari dan hubungannya dengan bidang studi lain. b. Mengevaluasi siswa dengan memberikan soal-soal latihan tambahan untuk memperdalam materi ini.

d. e. f.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 193198 2. Buku PG Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 398405 H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menentukan rumus volume prisma; b. kemampuan menghitung volume prisma; c. kemampuan menentukan rumus volume tabung; d. kemampuan menghitung volume tabung; e. kemampuan menentukan rumus volume limas; f. kemampuan menghitung volume limas; g. kemampuan menentukan rumus volume kerucut; h. kemampuan menghitung volume kerucut; i. kemampuan menentukan rumus volume bola; j. kemampuan menghitung volume bola; k. kemampuan membandingkan volume dua benda dalam suatu bangun ruang.

80

Model Pembelajaran

2.

Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menelaah permasalahan; b. kemampuan dalam memahami soal cerita dan menyelesaikannya; c. kemandirian dalam mengerjakan tugas dan soal-soal.

Menggambar Bangun RuangA. Standar Kompetensi Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga. Kompetensi Dasar Memahami komponen menggambar dan menghitung volume dari benda ruang. Indikator Menjelaskan bidang frontal, sudut surut, dan perbandingan proyeksi dalam menggambarkan bangun ruang. Materi Pokok Ruang Dimensi Tiga Alokasi Waktu 4 jam pelajaran. Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Mengingatkan kembali kepada siswa tentang bentuk kubus yang dilihat dari berbagai sudut pandang beserta kerangkanya. Misal: Memperhatikan bentuk kardus dari berbagai sudut pandang. Dalam hal ini dapat memberikan contoh gambar atau lukisan kubus seperti pada umumnya. 2. Kegiatan Inti a. Bersama-sama siswa membahas tentang menggambar bangun ruang apabila dilihat dari sudut pandang yang telah ditentukan. b. Bersama-sama siswa membahas tentang pengertian dan ketentuan yang diperlukan untuk menggambar bangun ruang. Hal-hal tersebut antara lain: Bidang gambar, bidang frontal, garis frontal, bidang ortogonal, sudut menyisi atau sudut surut dan perbandingan proyeksi atau perbandingan ortogonal. Dalam hal ini menunjukkan dengan gambar kubus untuk memperjelas pengertian hal-hal di atas. c. Memberikan satu pertanyaan kepada siswa yang berkaitan dengan materi ini, untuk mengetahui kecerdasan dan kecepatan berpikir siswa. d. Mengajak siswa santai sejenak untuk menyegarkan pikiran dengan memberikan permainan matematika atau humor matematika. e. Menyuruh siswa melakukan praktik menggambar kubus yang sudah ditentukan syarat-syaratnya. Dalam kegiatan ini guru membimbing dalam langkah-langkah menggambar kubus dan balok. Sementara siswa menggambar dengan langkah-langkah tersebut sehingga diperoleh gambar yang benar. f. Menguji keterampilan siswa dalam menggambar kubus dan balok yang sudah ditentukan syaratsyaratnya. 3. Penutup a. Memberikan tugas kepada siswa yang ada kaitannya dengan sketsa atau gambar bangun ruang. Misal: Membuat sketsa gambar kubus dan balok dari gambar-gambar yang ada pada majalah atau dari foto-foto. b. Menekankan pentingnya mempelajari cara menggambar dengan proyeksi dalam membantu menyelesaikan permasalahan bidang studi lain.

B. C. D. E. F.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 199203 2. Buku PG Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 406410 3. Penggaris 4. Busur derajat

PG Matematika Kelas X

81

H.

Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menunjukkan bidang frontal; b. kemampuan menunjukkan bidang ortogonal; c. kemampuan menentukan sudut surut; d. kemampuan menggambar kubus dengan proyeksi; e. kemampuan menggambar balok dengan proyeksi. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan bekerja sama dalam kelompok; b. keaktifan dalam praktikum; c. kemandirian dalam mengerjakan tugas dan soal-soal.

Menggunakan Abstraksi RuangA. Standar Kompetensi Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga. Kompetensi Dasar 1. Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga. 2. Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga. Indikator Menggambar dan menghitung jarak titik ke garis dan titik ke bidang. Menggambar dan menghitung jarak dua garis bersilangan pada benda ruang. Menggambar dan menghitung jarak dua bidang sejajar pada benda ruang. Menggambar dan menghitung sudut antara garis dan bidang. Menggambarkan dan menghitung sudut antara dua bidang. Menggambar irisan suatu bidang dengan benda ruang. Materi Pokok Ruang Dimensi Tiga Alokasi Waktu 12 jam pelajaran. Strategi Pembelajaran 1. Apersepsi/Motivasi Mengingatkan kembali kepada siswa tentang rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku. 2. Kegiatan Inti P g Jarak C a. Bersama-sama membahas jarak titik ke titik. Dalam hal ini perlu ditanamkan konsep bahwa jarak merupakan panjang lintasan terpendek. b. Melatih siswa menentukan jarak antara dua titik dengan melengkapi B isian. A c. Bersama-sama siswa membahas jarak antara titik dan garis. Dari titik P ditarik garis yang tegak lurus terhadap garis g, yaitu memotong di titik B. Sehingga PB garis g. Jadi, PB adalah jarak antara titik P dan garis g. Kemudian siswa menyimpulkan tentang jarak antara titik dan garis. d. Melatih siswa menentukan jarak antara titik dan garis dengan melengkapi isian. e. Bersama-sama siswa membahas tentang jarak antara titik dan bidang. Sebelumnya menjelaskan tentang garis yang tegak lurus dengan bidang. f. Melatih siswa dalam menentukan jarak titik terhadap bidang pada suatu bangun ruang. Kegiatan ini dilakukan dengan cara melengkapi isian. Misal: Pada kubus ABCD.EFGH. Menentukan jarak titik F dengan bidang ACH. g. Memberikan trik atau langkah cepat dalam mencari jarak titik terhadap garis. Tetapi, sebelumnya harus menguasai lebih dahulu.

B.

C.

D. E. F.

82

Model Pembelajaran

Menguji keterampilan siswa menentukan jarak titik ke garis, titik ke bidang, P dan garis ke bidang pada suatu bangun ruang. Q Q i. Sebelum membahas jarak dua garis bersilangan, bersama-sama siswa mengingat kembali tentang proyeksi garis pada suatu bidang. Dibantu dengan P gambar-gambar untuk mempermudah pemahaman siswa. Garis PQ merupakan proyeksi dari PQ pada . Garis merupakan proyeksi garis pada . Dari kegiatan di atas, siswa diharapkan bisa menyimpulkan. j. Mengajak siswa santai sejenak dengan memberikan soal-soal ringan/humor atau teka-teki matematika. k. Bersama-sama siswa membahas jarak dua garis yang bersilangan. Dalam hal ini guru memberikan langkah-langkah yang tepat untuk menentukan jarak kedua garis ini. l. Melatih siswa menentukan jarak kedua garis yang bersilangan dalam suatu bangun ruang yang dilakukan dengan cara melengkapi isian. m. Menguji keterampilan siswa menghitung jarak dua garis pada bangun ruang. n. Mengajak siswa untuk santai sejenak agar pikiran menjadi segar kembali. o. Bersama-sama siswa membahas tentang jarak antara dua bidang yaitu ruas garis yang tegak lurus pada kedua bidang itu. p. Membimbing siswa dalam menunjukkan bidang-bidang yang sejajar pada bangun ruang, kegiatan ini dilakukan dengan melengkapi isian. q. Menguji keterampilan siswa menentukan dan menghitung jarak bidang dengan bidang lainnya pada suatu bangun ruang. Q Sudut Antara Garis dan Bidang r. Bersama-sama siswa membahas pengertian sudut antara garis dan bidang. Dengan bantuan gambar, menunjukkan sudut antara garis dan bidang. Q Misal: Q adalah proyeksi titik Q pada bidang . P Sudut antara garis dengan bidang adalah QPQ. Dari kegiatan ini, kemudian siswa menyimpulkan. s. Melatih siswa menunjukkan sudut antara garis dan bidang dalam suatu bangun ruang kubus. Kegiatan ini dilakukan dengan melengkapi isian. t. Menguji keterampilan siswa menyebutkan atau menentukan sudut pada berbagai bangun ruang. u. Bersama-sama siswa membahas cara menentukan besar sudut antara garis dan bidang. Di sini menggunakan aturan sinus, kosinus, dan tangen pada segitiga. Misal dari gambar di atas: sin QPQ = PQ , cos QPQ = PQ . v. Melatih siswa menghitung besar sudut antara garis dan bidang pada suatu bangun ruang dengan cara melengkapi isian. w. Menguji keterampilan siswa menentukan besar sudut antara garis dan bidang di berbagai bangun ruang. Sudut Antara Dua Bidang x. Bersama-sama siswa membahas pengertian sudut antara dua bidang. Dengan bantuan gambar menjelaskan dan menunjukkan sudut yang dibentuk oleh (, ) A dua bidang. k Misal: Garis k dan tegak lurus terhadap garis (, ). Sudut yang dibentuk dua bidang sama dengan sudut yang dibentuk oleh garis k dan yaitu sudut . Kemudian siswa menyimpulkan tentang ini. y. Melatih siswa menunjukkan sudut antara dua bidang pada suatu bangun ruang. Pada kegiatan ini membimbing dalam menunjukkan sudutnya dengan cara melengkapi isian. z. Membahas cara menentukan besar sudut antara dua bidang menggunakan aturan sinus, kosinus, dan tangen. Dalam hal ini memberikan contoh sudut yang dibentuk dua bidang pada suatu bangun ruang beserta cara menghitungnya. aa. Melatih siswa menghitung besar sudut antara dua bidang pada suatu bangun ruang dengan cara melengkapi isian. ab. Menguji keterampilan siswa menentukan besar sudut antara dua bidang pada bangun ruang, yaitu mengerjakan soal-soal latihan. Menggambar Irisan Suatu Bidang dengan Bangun Ruang ac. Bersama-sama siswa membahas pengertian irisan bidang dengan bangun ruang, memberikan contoh gambar bangun ruang yang diiris suatu bidang datar, kemudian menunjukkan garis potong-potong bidang datar dengan sisi-sisi pada bangun ruang.QQ PQ

h.

PG Matematika Kelas X

83

3.

ad. Bersama-sama siswa menentukan garis potong dengan bidang, bidang irisan dan bentuk irisan suatu bangun ruang yang dipotong bidang datar. ae. Menguji keterampilan siswa menentukan garis potong bidang, irisan bidang dan bentuk irisan dari bangun ruang yang dipotong bidang datar. af. Menjelaskan kepada siswa cara menggambar irisan antara bidang dengan bangun ruang dan hal-hal yang terjadi pada irisan tersebut. Misal: bidang-bidang yang saling berpotongan, sumbu afinitas. Dalam hal ini memberikan contoh gambar untuk memperjelas pemahaman siswa. Dari hasil ini kemudian siswa menyimpulkan. ag. Mengajak siswa melakukan praktik menentukan irisan bidang datar dengan kubus. Dalam kegiatan ini siswa menggambar dengan mengikuti langkah-langkah yang ada, sementara guru membimbing jalannya praktik. ah. Melatih siswa menggambar irisan bidang datar dengan bangun ruang dengan syarat-syarat tertentu. Kegiatan ini dilakukan dengan cara melengkapi isian. Misal: Menggambar irisan bidang dengan prisma segitiga tegak. Menggambar irisan bidang dengan limas segi empat. ai. Memberikan soal-soal selingan kepada siswa untuk menguji kecepatan dan keterampilan siswa dalam berpikir. Dalam hal ini satu soal sudah cukup untuk siswa yang bisa menyelesaikannya. aj. Menguji keterampilan siswa menentukan dan menggambar irisan bidang datar dengan bangun ruang dengan ketentuan-ketentuan yang diberikan. Penutup a. Menekankan kepada siswa pentingnya mempelajari konsep abstraksi ruang untuk membantu menyelesaikan permasalahan sehari-hari atau pada bidang studi lain. b. Mengevaluasi proses pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal tambahan atau siswa mengerjakan soal-soal latihan akhir bab dan ulangan blok. c. Memantau hasil pembelajaran siswa dalam hal penguasaan materi. d. Merangkum pokok-pokok materi yang diajarkan. e. Mengadakan latihan ulangan kenaikan kelas. Hal ini sebagai ajang latihan untuk menghadapi ujian kenaikan kelas. f. Mengingatkan siswa untuk mencari penerapan materi yang telah dipelajari sebagai bahan penilaian proyek.

G. Sumber/Bahan/Alat 1. Buku Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 203226 2. Buku PG Matematika kelas X, Intan Pariwara, halaman 410457 3. Penggaris H. Penilaian 1. Tes tertulis (paper and pen test) Aspek-aspek yang dinilai: a. kemampuan menentukan jarak antara titik dan garis; b. kemampuan menentukan jarak antara titik dan bidang; c. kemampuan menentukan jarak dua garis bersilangan; d. kemampuan menentukan jarak dua bidang sejajar; e. kemampuan menunjukkan sudut antara garis dan bidang pada bangun ruang; f. kemampuan menentukan besar sudut antara garis dan bidang; g. kemampuan menentukan besar sudut antara dua bidang; h. kemampuan menggambar irisan suatu bidang dengan bangun ruang. 2. Tes kinerja (performance test) Aspek-aspek yang dinilai: a. keaktifan dalam praktikum; b. kemampuan bekerja sama dalam kelompok; c. kemampuan menyimpulkan; d. keterampilan dalam menggambar; e. kemandirian dalam mengerjakan tugas dan soal-soal. 3. Penugasan Aspek-aspek yang dinilai: kemampuan menggunakan matematika pada bidang studi lain.

84

Model Pembelajaran